1.2反比例函数的图象与性质 第2课时 课件 2024—2025学年湘教版数学九年级上册

1．2　反比例函数的图象与性质 第2课时 第1章 反比例函数 基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能 基础主干落实 |k| × × 5 4 2 (－2，－4) 8 重点典例探析 8 20 －8 8 －6 3 (3，－2) －x＋1 3－(－2) 5 －2＜x＜0或x＞3 D 5+2思维赋能 1．待定系数法求反比例函数表达式的步骤 (1)设：设反比例函数表达式y＝ eq \f(k,x) (k≠0)； (2)代：把已知点的坐标代入表达式，求出k的值； (3)定：写出答案． 2．反比例函数中比例系数k的几何意义 如图，反比例函数y＝ eq \f(k,x) 中，设P(x，y)， 则PM＝|y|，PN＝|x|， 所以S矩形OMPN＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|.过双曲线上一点向x轴、y轴作垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形的面积等于_____． 1．若点(－1，－2)在反比例函数y＝－ eq \f(k,x) 的图象上，则k的值为2.(　　) 2．若反比例函数与一次函数有交点，则交点个数一定是2.(　　) 1．反比例函数y＝－ eq \f(5,x) (x＜0)的图象如图所示，则矩形OAPB的面积是____． 2．如图，点P在反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k≠0)的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为____． 3．已知变量y与x成反比例，当x＝3时，y＝－7，则该反比例函数的表达式为 y＝_______． 4．已知反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k≠0)的图象经过点A(－2，3)，则当x＝－3时，y＝____． 【加固训练】 　 　如图，正比例函数y＝2x与反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k≠0)的图象的一个交点为A(2，4)，则另一个交点的坐标为____________，k的值为____. 重点1　比例系数k的几何意义(拆解法) 【典例1】(2021·鄂州中考)如图，点A是反比例函数y＝ eq \f(12,x) (x＞0)的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为____． 怎样构造与△PAB面积相等的三角形？ 　【自主解答】连接OA，OB，因为AC⊥x轴， 所以AC∥y轴，所以S△AOB＝S△APB， 因为S△APB＝2，所以S△AOB＝2， 由反比例函数系数k的几何意义可得，S△AOC＝6，S△BOC＝ eq \f(1,2) k，所以6－ eq \f(1,2) k＝2， 解得k＝8. 1．(变条件)如图，分别在反比例函数y1＝ eq \f(6,x) 和y2＝ eq \f(k,x) 的图象上取A，B两点，已知AB∥x轴，△AOB的面积为7，则k＝____． 【解析】延长BA交y轴于E，如图， 因为S△AOE＝ eq \f(1,2) ×6＝3，S△BOE＝ eq \f(1,2) |k|， 而△AOB的面积为7， 所以S△BOE－S△AOE＝7， 即 eq \f(1,2) |k|－3＝7，而k＞0，所以k＝20. 2．(变图形)如图，直线x＝t(t＞0)与反比例函数y＝ eq \f(12,x) (x＞0)，y＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象分别交于A，B两点，与x轴交于点C，P为y轴上任意一点，△PAB的面积为10，则k的值为____． 【解析】方法一：连接OA，OB， 因为AC⊥x轴，所以AC∥y轴，所以S△AOB＝S△APB， 因为S△APB＝10，所以S△AOB＝10， 由反比例函数系数k的几何意义可得，S△AOC＝6，S△BOC＝ eq \f(1,2) |k|， 所以6＋ eq \f(1,2) |k|＝10，解得|k|＝8， 又因为图象位于第四象限，所以k＝－8. 方法二：由题意得，点A的坐标 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(12,t))) ，点B的坐标 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(k,t))) ，AB＝ eq \f(12,t) － eq \f(k,t) ， 则 eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,t)－\f(k,t))) ×t＝10，解得k＝－8. 3．(变条件、变问法)(2021·巴中中考)如图，平行于y轴的直线与函数y1＝ eq \f(k,x) (x＞0)和y2＝ eq \f(2,x) (x＞0)的图象分别交于A，B两点，OA交双曲线y2＝ eq \f(2,x) 于点C，连接CD，若△OCD的面积为2，则k＝____． 【解析】方法一： 如图，过点C作CE⊥x轴于E， 因为点C在双曲线y2＝ eq \f(2,x) 上，所以S△OCE＝1， 因为S△OCD＝2，所以S△ECD＝S△OCE＝1， 所以点E为OD的中点， 因为CE∥AD，所以点C是OA的中点， 所以S△OAD＝2S△OCD＝4， 因为函数y1＝ eq \f(k,x) (x＞0)的图象过点A，AD⊥x轴，所以k＝8. 方法二：设A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(k,m))) ，则B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(2,m))) ，D(m，0)， 设C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(2,n))) ，因为S△OCD＝ eq \f(1,2) OD·yc＝ eq \f(1,2) ·m· eq \f(2,n) ＝2， 所以 eq \f(m,n) ＝2，所以 eq \f(n,m) ＝ eq \f(1,2) . 又S△OCD＝S△OAD－S△ACD＝ eq \f(1,2) k－ eq \f(1,2) · eq \f(k,m) ·(m－n)＝ eq \f(1,2) k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(m－n,m))) ＝ eq \f(1,2) k· eq \f(n,m) ＝ eq \f(1,4) k， 所以 eq \f(1,4) k＝2，所以k＝8. 【归纳提升】 　应用k的几何意义求图形面积(转化思想) (1)图形有边与坐标轴重合：构造一个三角形，以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高； (2)图形没有边与坐标轴重合：用坐标轴(或平行于坐标轴的直线)将其分割后求解． 特别提醒：根据几何图形的面积求k的值时，要注意图象所在的象限，防止弄错符号． 重点2　一次函数与反比例函数综合应用(数形结合思想) 【典例2】(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x＋b与双曲线y2＝ eq \f(k2,x) 相交于A(－2，3)，B(m，－2)两点． (1)求y1，y2对应的函数表达式； (2)过点B作BP∥x轴交y轴于点P，求△ABP的面积； (3)根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x＋b＜ eq \f(k2,x) 的解集． 【完善解答】(1)因为直线y1＝k1x＋b与双曲线y2＝ eq \f(k2,x) 相交于A(－2，3)，B(m，－2)两点， 所以3＝_______，解得k2＝____， 所以双曲线的表达式为y2＝－ eq \f(6,x) ，…………………………………………2分 所以把B(m，－2)代入y2＝－ eq \f(6,x) ，得－2＝ eq \f(－6,m) ，解得m＝____， 所以B____________，…………………………………………3分 把A(－2，3)和B(3，－2)代入y1＝k1x＋b得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2k1＋b＝3,3k1＋b＝－2)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－1,b＝1)) ， 所以直线的表达式为y1＝________；……………………………………5分 (2)过点A作AD⊥BP，交BP的延长线于点D，如图， 因为BP∥x轴，所以AD⊥x轴，BP⊥y轴， 因为A(－2，3)，B(3，－2)， 所以BP＝3，AD＝__________＝____，……………………………7分 所以S△ABP＝ eq \f(1,2) BP·AD＝ eq \f(1,2) ×3×5＝ eq \f(15,2) ；……………………………………8分 (3)k1x＋b＜ eq \f(k2,x) 的解集，是双曲线的图象在一次函数的图象的上方对应的x的取值， 结合题图可得，其解集为__________________．……………………10分 1．(变条件)(2021·威海中考)一次函数y1＝k1x＋b(k1≠0)与反比例函数y2＝ eq \f(k2,x) (k2≠0)的图象交于点A(－1，－2)，点B(2，1).当y1＜y2时，x的取值范围是( ) A．x＜－1 B．－1＜x＜0或x＞2 C．0＜x＜2 D．0＜x＜2或x＜－1 【解析】因为一次函数和反比例函数图象相交于A，B两点，所以根据A，B两点坐标，可以知道反比例函数位于第一、三象限， 画出反比例函数和一次函数图象的草图，如图， 由题可得，当y1＝y2时，x＝－1或2， 由图可得，当y1＜y2时，0＜x＜2或x＜－1. 2．(同型，变条件)(2021·岳阳中考)如图，已知反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k≠0)与正比例函数y＝2x的图象交于A(1，m)，B两点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标． 【解析】(1)把A(1，m)代入y＝2x中，得m＝2，所以点A的坐标为(1，2)， 把点A(1，2)代入y＝ eq \f(k,x) 中，得k＝2，所以反比例函数的表达式为y＝ eq \f(2,x) ； (2)过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，设点C的坐标为(a，0)， 因为点A与点B关于原点对称，所以点B的坐标为(－1，－2)， 所以BD＝|－2|＝2，OC＝|a|， S△BOC＝ eq \f(1,2) BD·OC＝ eq \f(1,2) ×2×|a|＝3，解得a＝3或a＝－3， 所以点C的坐标为(3，0)或(－3，0). 3．(变角度)(2022·娄底质检)如图，一次函数y＝x＋1与反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象相交于点A(2，3)和点B. (1)求反比例函数的表达式； (2)过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC； (3)是否在y轴上存在一点D，使得BD＋CD的值最小，并求出D的坐标． 【解析】(1)因为反比例函数y＝ eq \f(k,x) 过点A(2，3)，所以k＝2×3＝6， 所以反比例函数的表达式为y＝ eq \f(6,x) ； (2)方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1,y＝\f(6,x))) 的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－3,y1＝－2)) ， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝2,y2＝3)) ， 又因为A(2，3)，所以点B(－3，－2)， 又因为BC⊥x轴， 所以点C(－3，0)，BC＝2， 所以S△ABC＝ eq \f(1,2) ×2×(2＋3)＝5； (3)存在．理由为： 作C关于y轴的对称点C′，连接BC′交y轴于点D，连接CD，此时DB＋CD最小， 因为C(－3，0)，所以C′(3，0)， 设直线BC′的表达式为y＝mx＋n， 将B(－3，－2)，C′(3，0)代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3m＋n＝－2,3m＋n＝0)) ， 解得m＝ eq \f(1,3) ，n＝－1， 所以一次函数的表达式为y＝ eq \f(1,3) x－1， 当x＝0时，y＝－1，所以点D(0，－1). 【归纳提升】 　利用图象求不等式解集的步骤(数形结合思想) 特别提醒：反比例函数的图象不是连续的，自变量的取值范围要记得分开写． 　【解读】数形结合思想是指抽象的数学语言与形象直观的图形结合起来，从而实现由抽象向具体转化的一种思维方式．借助于图形，可以使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化． 【应用】在解决反比例函数的问题时，经常会结合图象，利用反比例函数的性质，求x的取值范围． 　在直角坐标系中，设函数y1＝ eq \f(k1,x) (k1是常数，k1＞0，x＞0)与函数y2＝k2x(k2是常数，k2≠0)的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B. (1)若点B的坐标为(－1，2)， ①求k1，k2的值； ②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围； (2)若点B在函数y3＝ eq \f(k3,x) (k3是常数，k3≠0)的图象上，求k1＋k3的值． 【解析】(1)①由题意得，点A的坐标是(1，2)， 因为函数y1＝ eq \f(k1,x) (k1是常数，k1＞0，x＞0)与函数y2＝k2x(k2是常数，k2≠0)的图象 交于点A，所以2＝ eq \f(k1,1) ，2＝k2， 所以k1＝2，k2＝2； ②由图象可知，当y1＜y2时， x的取值范围是x＞1； (2)设点A的坐标是(x0，y)， 则点B的坐标是(－x0，y)， 所以k1＝x0·y，k3＝－x0·y， 所以k1＋k3＝0. $$