1.2反比例函数的图象与性质 第1课时 课件 2024-2025学年 湘教版数学九年级上册

1．2　反比例函数的图象与性质 第1课时 第1章 反比例函数 基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能 基础主干落实 反比例函数y＝ (k≠0)的图象与性质 y＝ (k≠0) k＞0 k＜0 图象名称 ___________ 图象及其位置 第___________象限 第___________象限 图象是否与坐标轴相交 _______ _______ 双曲线 一、三 二、四 否 否 y＝ (k≠0) k＞0 k＜0 对称性 关于_________成中心对称 关于_________成中心对称 增减性 在每个象限内，函数值y随自变量x 的增大而_________． 在每个象限内，函数值y随自变量x 的增大而_________． 原点 原点 减小 增大 × × √ C C D > 重点典例探析 C B B B B k<0 y2＜y3＜y1 5+2思维赋能 －1＜a＜0 1．反比例函数y＝ eq \f(2,x) (x<0)与y＝－ eq \f(2,x) (x<0)的图象关于y轴对称．(　　) 2．已知反比例函数y＝ eq \f(k,x) (k<0)的图象上两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1<x2，则y1<y2.(　　) 3．反比例函数的图象与坐标轴没有交点．(　　) 1．函数y＝－ eq \f(1,x) 的图象为( ) A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．线段 【加固训练】 在图中，反比例函数y＝－ eq \f(5,x) (x＞0)的图象大致是( ) 2．对于反比例函数y＝－ eq \f(6,x) 图象对称性的叙述错误的是( ) A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于直线y＝－x对称 D．关于x轴对称 3．已知点A(1，y1)，B(2，y2)为反比例函数y＝ eq \f(3,x) 图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1____y2.(填“＞”“＝”或“＜”) 重点1　反比例函数的图象(描点法) 【典例1】经过试验获得两个变量x(x＞0)，y(y＞0)的一组对应值如表： x 1 2 3 4 5 6 y 6 3 2 1.5 1.2 1 (1)画出相应函数的图象，并求出函数表达式； (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由． 【自主解答】(1)函数图象如图所示， 设函数表达式为y＝ eq \f(k,x) (k≠0)，把x＝1，y＝6代入，得k＝6， 所以函数表达式为y＝ eq \f(6,x) (x＞0). (2)因为k＝6＞0， 所以在第一象限，y随x的增大而减小， 所以0＜x1＜x2时，y1＞y2. 1．(变角度)(2024·桂林中考)若点A(1，3)在反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象上，则k的值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】因为点A(1，3)在反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象上，所以k＝1×3＝3. 2．(变条件)(2024·益阳中考)正比例函数y＝2x与反比例函数y＝ eq \f(2,x) 的图象或性质的共有特征之一是( ) A．函数值y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限都有分布 C．图象与坐标轴有交点 D．图象经过点(2，1) 【解析】因为对于正比例函数y＝2x，2＞0，函数值y随x的增大而增大， 对于反比例函数y＝ eq \f(2,x) ，2＞0，双曲线在每一象限内函数值y随x的增大而减小， 所以A选项不符合题意； 因为对于正比例函数y＝2x，2＞0，直线y＝2x过第一、三象限， 对于反比例函数y＝ eq \f(2,x) ，2＞0，双曲线的两个分支在第一、三象限，所以B选项符合题意； 因为对于正比例函数y＝2x，它的图象经过原点， 对于反比例函数y＝ eq \f(2,x) ，它的图象与坐标轴没有交点，所以C选项不符合题意； 因为当x＝2，y＝2×2＝4≠1，所以正比例函数y＝2x的图象不经过点(2，1). 因为当x＝2时，y＝ eq \f(2,2) ＝1，所以反比例函数y＝ eq \f(2,x) 的图象经过(2，1)， 所以D选项不符合题意． 3．(变角度、问法)(2021·荆门中考)在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝ eq \f(k,|x|) (k≠0)的大致图象是( ) A.①② B．②③ C．②④ D．③④ 【解析】当k＞0时，一次函数y＝kx－k经过第一、三、四象限，函数y＝ eq \f(k,|x|) (k≠0)的图象在第一、二象限，故选项②的图象符合要求；当k＜0时，一次函数y＝kx－k经过第一、二、四象限，函数y＝ eq \f(k,|x|) (k≠0)的图象经过第三、四象限，故选项③的图象符合要求． 【归纳提升】 解决含有字母系数的不同函数在同一坐标系内的图象两方法(数形结合思想) 1．根据图象确定所含字母的取值范围，看字母系数的取值在不同函数中是否一致(排除法)； 2．先假设字母系数的取值，确定不同函数的图象的位置，再看在同一坐标系内不同函数的图象与之是否对应． 重点2　反比例函数的性质(数形结合) 【典例2】(2023·天津中考)若点A(－5，y1)，B(1，y2)，C(5，y3)都在反比例函数y＝－ eq \f(5,x) 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 【解析】因为反比例函数y＝－ eq \f(5,x) 中，k＝－5＜0， 所以函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大． 因为－5＜0，0＜1＜5，所以点A(－5，y1)在第二象限， 点B(1，y2)，C(5，y3)在第四象限，所以y2＜y3＜y1. 1．(变条件问法)(2024·沈阳质检)已知反比例函数y＝－ eq \f(12,x) ，当y≤4时，自变量x的取值范围为( ) A．x≥3或x＜0 B．x＞0或x≤－3 C．x≤－3 D．x≥3 【解析】因为反比例函数y＝－ eq \f(12,x) 大致图象如图所示， 所以当y≤4时，自变量x的取值范围是x≤－3或x＞0. 2．(逆向变问法)若点A(－5，y1)，B(1，y2)，C(5，y3)都在反比例函数y＝ eq \f(k,x) 的图象上，则y1>y3＞y2，则k的取值范围是_______． 【解析】根据图象可知(图略)，反比例函数的图象位于第二、四象限，所以k<0. 3．(变条件)若点A(－5，y1)，B(1，y2)，C(5，y3)都在反比例函数y＝－ eq \f(m2＋1,x) 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_________________． 【解析】因为反比例函数y＝－ eq \f(m2＋1,x) 中，k＝－(m2＋1)＜0， 所以函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大． 因为－5＜0，0＜1＜5，所以点A(－5，y1)在第二象限，点B(1，y2)，C(5，y3)在第四象限， 所以y2＜y3＜y1. 【归纳提升】 　用反比例函数性质比较函数值大小的方法(数形结合思想) 思路1 代入法 将x的值代入表达式，求出y值 思路2 增减比较法 ①先根据点的横坐标，判断不在同一象限内的点； ②再根据增减性判断同一象限内的点 思路3 数形结合法 ①画出函数图象草图； ②根据点的横坐标，描出点的位置； ③数形结合判断自变量的值 特别提醒：利用反比例函数的增减性比较函数值的大小时，一定要区分清楚点所在的象限． 　【解读】分类讨论思想是一种解决情况较多、较复杂问题时常用的数学方法．具体来讲，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决． 【应用】在利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的值的大小时，需要判断所给的点是在两个象限内还是在同一个象限内． 　(2023·武汉中考)已知点A(a，y1)，B(a＋1，y2)在反比例函数y＝ eq \f(m2＋1,x) (m是常数)的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是____________． 【解析】因为k＝m2＋1＞0， 所以反比例函数y＝ eq \f(m2＋1,x) (m是常数)的图象在第一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小， ①当A(a，y1)，B(a＋1，y2)在同一象限， 因为y1＜y2，所以a＞a＋1，此不等式无解； ②当点A(a，y1)，B(a＋1，y2)在不同象限， 因为y1＜y2，所以a＜0，a＋1＞0，解得－1＜a＜0. $$