勾股定理与折叠问题 讲义-2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第4讲 勾股定理与折叠问题 课前评估 总分10分 得分_ 1.(2分)如图, ABC为等腰直角三角形,AB=AC,D为斜边BC的中点,E、F分别为AB、AC上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5,则EF的长为_. 2.(2分)如图,一个2.5米长的梯子斜靠在墙上,底端A距墙角0.7米,如果梯子的顶端下滑了0.4米,那么梯子的底部向外滑了_米. 3.(3分)如图,在Rt ABC中,∠BAC=90 ,AB=AC,D为 ABC外一点,∠ADC=135 ,若AD=7,CD=10,则BC的长为_. ( B E D A C )4.(3分)如图,一个小盒子的长为6cm,宽为5cm,高为3cm,一只蚂蚁位于A处,欲爬往B处觅食,则蚂蚁爬行的最短路程为_cm. ( A B C D E F ) ( A B C D ) ( A B ) 【学习目标】 能够熟练运用勾股定理建立方程,解决折叠问题中的线段长度和图形面积,掌握与勾股定理有关的折叠问题的解决方法. 【教学重难点】 1.添加辅助线;2.将已知条件、设出的未知数转移到同一直角三角形中,最终利用勾股定理建立方程. 考点:与勾股定理有关的翻折问题 知识点与方法技巧梳理: 1.翻折(也叫折叠)实质上是一种轴对称,折叠前后的两个图形关于折痕对称且全等,即对应边相等,对应角相等,对应点连线被对称轴(折痕)垂直平分.解决这类问题的关键是找出隐藏的条件(翻折前后的线段相等,角相等),因此,可以利用勾股定理列方程来解决. 2.利用对称的性质将分散的条件转化为某个直角三角形的三边,再利用勾股定理列方程解决. 一、直角三角形中的翻折问题 【例1】翻折后一条直角边落在斜边上(角平分线型) 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于_cm. ( A C B D E ) 【变式训练】 ( A D B E C )如图,在Rt ABC中,∠A=90 ,AB=AC=2,D是AC上一点,将 ABD沿BD翻折,点A恰好落在BC边上点E处,则 DEC的周长为_. 【例2】翻折后两个锐角顶点重合(垂直平分线型) ( A D B E C )如图,在 ABC中,∠B=90 ,AB=24,AC=40,将 ABC折叠,使点C与点A重合,则折痕DE的长为_. 【变式训练】 ( A E D B ′ F C B )如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,AC=3,BC=4,将边AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处,再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD延长线上的点B′ 处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段B′F的长为_. 【例3】翻折后顶点落在边上某一位置 ( A E D F B C )如图, ABC中,∠C=90 ,AC=10,BC=25,将 ABC折叠,使B点与AC的中点D重合,折痕为EF,则BF的长为_. 【变式训练】 ( B D E A C )如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,点D在边AB上,连接CD,将 ACD沿直线CD翻折,点A恰好落在BC边上的点E处,若AC=3,BE=1,则DE的长是_. 【例4】分类讨论思想 ( A D E B ′ B C )如图,在Rt ABC中,∠A=90 ,AB=AC=,折叠∠B,使点B落在边AC上点B′ 处,折痕为DE,若 CB′E为直角三角形,则BE的长为_. 【变式训练】 ( E B D C F A )如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,∠B=30 ,BC=3,点D是BC边上一点(不与点B、C重合),DE⊥BC交AB于点E,将∠B沿DE翻折,点B落在射线BC上的点F处,当 AEF为直角三角形时,BD的长为_. 二、长方形中的翻折问题 【例1】翻折后顶点落在一条边上(角平分线型) ( A D B F C E )如图,在长方形ABCD中,AB=8,BC=10,在边CD上取一点E,将 ADE沿AE折叠,使点D落在BC边上点F处,则EF的长为_. 【变式训练】 ( A D B C A ′ E M N )1.如图,将长方形纸片ABCD对折,得折痕MN,再将点A折叠在折痕MN上,得折痕BE,若AB=,则BE的长为_. ( A D E B C F G )2.如图,长方形ABCD中,E是AD的中点,将 ABE沿BE折叠后得到 GBE,延长BG交CD于点F,若CF=1,DF=2,则BC的长为_. A.3 B.2 C.2 D.2 ( A D C F B E )3.如图,将长方形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上F点,已知AD=10,BF=6,则图中阴影部分的面积为_. 【例2】翻折后一条边落在对角线上(角平分线型) ( A D F B C E )如图,在长方形纸片ABCD中,AB=3,AD=4,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,则BE的长为_. 【变式训练】 ( A D E B C F )如图,将长方形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上点F处,若BF=6,DF=4,则AE的长为_. 【例3】沿对角线翻折(产生等腰三角形) ( A D E B C D ′ )如图,长方形ABCD中,AB=4,AD=8,把长方形ABCD沿AC折叠,点D落在D′ 处,AD′ 交BC于E. (1)探索线段AE、CE的大小关系,并说明理由; (2)求 ACE的面积. 【变式训练】 ( A D F E B C )如图,在长方形ABCD中,AB=4,BC=8,将长方形ABCD沿BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,则点F到BD的距离为_. 【例4】翻折后对角线的两个顶点重合(折痕垂直平分对角线) ( G A D E B C F )如图,把长方形纸片ABCD折叠,使其对角顶点C与A重合,若长方形的长BC为16cm,宽AB为8cm,则 DEG的面积为_. 【变式训练】 ( A D B C F E D ′ )1.如图,将长方形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O,若AE=5,BF=3,则AO的长为( ) A. B. C.2 D.4 ( A D E B F C C ′ )2.如图,长方形形纸片ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将其折叠,使点D与点B重合,则 BEF的面积为_. ( A D M B C N E F )3.如图,将长方形纸片ABCD沿MN折叠,使点B与点D重合,再将 CDN沿DN折叠,使点C恰好落在MN上的点F处,若MN=4,则AD的长为_. 【例5】翻折后顶点落在边上某一位置 ( A ′ E A D B C F B ′ G )如图,在长方形ABCD中,AB=8,BC=12,点E、F分别在边AD、BC上,将四边形ABFE沿EF翻折,点A落在点A' 处,点B落在CD边上点B' 处,A'B' 与AD交于点G,当 A'EG≌ DB'G时,EG的长为_. 【变式训练】 1.如图,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,点E在边AD上,AE=3DE,点F在边BC上,将四边形CDEF沿EF折叠,点C的对称点C′ 恰好落在AB上,则BF的长为( ) ( A D E D ′ B C F C ′ )A. B. C. D.1 ( G F N D A B C E M )2.如图,长方形ABCD中,AB=8,AD=12,点E、F分别在边BC、AD上,将四边形ABEF沿EF翻折,点A落在点G处,点B落在CD中点M处,GM与AD交于点N. (1)求EM的长;(2)求AF的长;(3)直接写出点G到AD的距离. 3.如图,折叠长方形纸片ABCD,使A点落在BC边上点E处,折痕FG的两端点分别在AD、AB上(含端点),若AB=6,BC=10.则BE的最大值是_,最小值是_. ( A D F B C E G ) 【例6】翻折后的边经过长方形的一个顶点 如图,有一张长方形纸片ABCD,AB=8cm,BC=10cm,点E为CD上一点,将纸片沿AE折叠,BC的对应边B′C′ 恰好经过点D,则线段DE的长为_cm. ( B ′ B C A D E C ′ ) 【变式训练】 ( A D B ′ C ′ E B C )如图,在长方形纸片ABCD中,AB=1,∠BAC=60 ,点E为边CD上一点,将纸片沿AE翻折,BC的对应边B′C′ 恰好经过点D,则线段CE的长为_. 【例7】分类讨论思想 如图,长方形ABCD中,AB=5,BC=12,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在B′ 处,当 B′CE为直角三角形时,BE的长为_. ( A D H B C E B ′ ) 【变式训练】 如图,长方形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在B′ 处,当 B′CE为直角三角形时,BE的长为_. ( D H A B ′ B C E ) 三、正方形中的翻折问题 ( A D M F N B C E )【例】如图,将边长为8cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN,则线段CN的长是( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 【变式训练】 ( A D B ′ B C E F C ′ )1.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E、F分别在边AB、CD上,∠EFD=60 ,若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为( ) A.1 B. C. D.2 ( A D B N C M G F E )2.如图,将边长为9cm的正方形ABCD折叠,使点B落在CD边上点E处,EC=3cm,点A落在F处,折痕为MN,EF交AD于G,求线段AM、MN的长. 3.正方形ABCD的对角线交于点O,沿着过O点的直线折叠正方形,使点B落在B′ 处,连接B′C、B′D,若B′C=,B′D=2,则正方形ABCD的边长为_. ( A D B F C E O B ′ A ′ ) *4.如图,将正方形纸片ABCD折叠,使点B落在AD边上点E处,点C落在F处,折痕为MN,EF交CD于G,连接BE、BG,则有结论: ( A D E M N G F B C )①∠AEB=∠BEG;②∠EBG=45 ;③ DEG的周长是定值. 感兴趣的同学可以证明一下哦! 【学习评估】 ( A B C D A ′ )1.如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,AC=4,BC=,点D在AB上,将 ACD沿CD折叠得到 A′CD,若A′D∥BC,则A′D的长是_. ( A D B C E F )2.如图,在长方形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将 ABE沿AE折叠,使点B落在点F处,连接CF,则CF的长为_. ( A D B C A 1 B 1 E )3.如图,将长方形纸片ABCD沿DE折叠,使点A落在BC边上点A1处,再沿A1E折叠,点B恰好落在DE上点B1处,若AD=2,则AB=_. ( A D E F G B C )4.如图,在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,E是AD的中点,将 ABE沿BE翻折得到 FBE,延长BF交CD于点G,则DG的长为_. ( A D B C E F G )5.如图,在长方形ABCD中,E是BC的中点,将 CDE沿DE翻折得到 FDE,延长DF交AB于点G,若AG=5,DG=13,则DE的长为_. ( D ′ A E D B C F C ′ )6.如图,在长方形ABCD中,AB=4,BC=9,点E、F分别在AD、BC上,将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB中点C' 处,则DE的长为_. ( A D E B C F A ′ )7.如图,正方形ABCD的边长为4,E是AD的中点,将 ABE沿BE翻折得到 A′BE,延长EA′、BC交于点F,则CF的长为_. 8.如图,在 ABC中,∠BAC=90 ,∠ABC=60 ,AB=2,D是边BC上的一个动点,连接AD,将 ADC沿AD折叠得到 ADE,连接BE,当 BDE是直角三角形时,BD的长为_. ( A B C E D ) 1 学科网(北京)股份有限公司 $$