专题5.3 二次函数的性质【九大题型】-2024-2025学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题5.3 二次函数的性质【九大题型】 【苏科版】 【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】 2 【题型2 根据二次函数的性质比较大小】 2 【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 3 【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 3 【题型5 根据二次函数的性质求最值】 4 【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】 4 【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】 5 【题型8 待定系数法求二次函数解析式】 5 【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】 6 知识点1：二次函数的性质 二次函数的图象是一条抛物线。当＞0时，抛物线开口向上；当＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；||越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) （，） a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】 【例1】（23-24九年级·河北保定·期中）对于抛物线，有下列四个判断：（1）抛物线的开口向下；（2）抛物线的顶点坐标是；（3）对称轴为直线；（4）当时，．其中，正确的判断个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（      ） A．该函数图象经过第一、三象限 B．函数图象有最高点 C．函数图象的对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小 【变式1-2】（23-24·天津滨海新·二模）已知抛物线y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）； ③抛物线的对称轴是y轴； ④抛物线的顶点坐标是（0，1）； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的． 其中正确的个数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1-3】（23-24·安徽宿州·一模）对于抛物线有下列说法：①顶点坐标为；②开口方向向上；③当时，随的增大减小；④与轴有两个不同交点，其中说法正确的有（  ）个． A． B． C． D． 【题型2 根据二次函数的性质比较大小】 【例2】（23-24·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24九年级·贵州黔东南·期末）二次函数的图象上有两点、，若，且，则（    ） A． B． C． D．、的大小不确定 【变式2-2】（23-24九年级·福建漳州·期末）已知点都在二次函数的图像上，若，则下列关于，，三者的大小关系判断一定正确的是（    ） A．可能最大，不可能最小 B．可能最大，也可能最小 C．可能最大，不可能最小 D．不可能最大，可能最小 【变式2-3】（23-24·浙江宁波·二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 【例3】（23-24九年级·福建福州·期末）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当＝1，＝3时，．若对于任意实数x1、x2都有≥2，则c的范围是（    ） A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6 【变式3-1】（23-24·福建莆田·一模）已知点，在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24九年级·北京东城·期中）已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ． 【变式3-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）已知点，点都在关于x的函数的图象上，且，则n的取值范围是 ． 【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 【例4】（23-24·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为 【变式4-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）已知，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【变式4-2】（23-24九年级·吉林长春·期中）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大、已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为 . 【变式4-3】（23-24·福建厦门·模拟预测）抛物线 过四个点，若，四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【题型5 根据二次函数的性质求最值】 【例5】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（，m，k是实数），则（    ） A．当时，函数y的最大值为 B．当时，函数y的最大值为 C．当时，函数y的最大值为 D．当时，函数y的最大值为 【变式5-1】（23-24·山东枣庄·二模）点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ． 【变式5-2】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）若二次函数的最大值是5，则的最小值为 ． 【变式5-3】（23-24·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】 【例6】（23-24·河北邢台·三模）点，在函数的图像上，当时，函数的最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24·吉林长春·模拟预测）已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的取值范围 ． 【变式6-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）已知二次函数，在有最大值7，则所有满足条件的实数的值为 ． 【变式6-3】（23-24·河北石家庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数 的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数 的最小值为，最大值为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】 【例7】（23-24九年级·陕西西安·期中）若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，，则n的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式7-1】（23-24九年级·福建龙岩·阶段练习）抛物线与轴的一个交点为，则另一个交点坐标为 ． 【变式7-2】（23-24九年级·山东济宁·期中）已知二次函数的对称轴为直线，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式7-3】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为、，且．若的最小值是，则的最大值是 ． 【题型8 待定系数法求二次函数解析式】 【例8】（23-24九年级·江苏苏州·期末）已知二次函数图像经过点 (1) ； ； ； (2)连接AC，将抛物线沿着直线AC方向平移后经过点，求平移后新抛物线的顶点． 【变式8-1】（23-24九年级·河北邯郸·期末）抛物线顶点，与x轴交于A、B两点，且．    (1)求y1的解析式及A、B间距离． (2)将x轴向下平移n个单位后得新坐标系，此时x轴与抛物线交于C、D两点，且．求出新坐标系下抛物线的解析式及n值． 【变式8-2】（23-24九年级·福建福州·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 5 0 0 … (1)求二次函数解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标． 【变式8-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）已知二次函数． (1)当，时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求x的取值范围． (2)当时，y的最小值为；当时，y的最小值为3，求二次函数的表达式． 【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】 【例9】（23-24九年级·四川德阳·期中）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接和，则的最小值是 ． 【变式9-1】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），点C为抛物线上任意一点（不与A，B重合），为的边上的高线，抛物线顶点与点的最小距离为1，则抛物线解析式为 ． 【变式9-2】（23-24九年级·山东济宁·期末）如图，已知二次函数图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求该二次函数的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M，交线段BC于点N，求线段MN的最大值，及此时点M的坐标． 【变式9-3】（23-24九年级·江苏连云港·期末）如图1，抛物线与x轴交于点、． （1）求抛物线的函数关系式． （2）如图1，点C是抛物线在第四象限内图像上的一点，过点C作轴，P为垂足，求的最大值； （3）如图2，设抛物线的顶点为点D，点N的坐标为，问在抛物线的对称轴上是否存在点M，使线段绕点M顺时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.3 二次函数的性质【九大题型】 【苏科版】 【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】 2 【题型2 根据二次函数的性质比较大小】 4 【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 7 【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 9 【题型5 根据二次函数的性质求最值】 12 【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】 15 【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】 18 【题型8 待定系数法求二次函数解析式】 21 【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】 25 知识点1：二次函数的性质 二次函数的图象是一条抛物线。当＞0时，抛物线开口向上；当＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；||越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) （，） a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】 【例1】（23-24九年级·河北保定·期中）对于抛物线，有下列四个判断：（1）抛物线的开口向下；（2）抛物线的顶点坐标是；（3）对称轴为直线；（4）当时，．其中，正确的判断个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知对于二次函数，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，故（1）（3）正确，（2）错误， 当时，，故（4）错误， 故选C． 【变式1-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（      ） A．该函数图象经过第一、三象限 B．函数图象有最高点 C．函数图象的对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案． 【详解】∵， ∴，抛物线的开口向下，顶点坐标是，经过三、四象限，故选项A错误； 函数图象有最高点，故选项B正确； 对称轴是，故选项C错误； 抛物线的开口向下，对称轴是，当时，y随x的增大而增大，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 【变式1-2】（23-24·天津滨海新·二模）已知抛物线y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）； ③抛物线的对称轴是y轴； ④抛物线的顶点坐标是（0，1）； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的． 其中正确的个数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解． 【详解】①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误； ②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确； ③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确； ④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确； 综上所述，正确的有②③④⑤共4个． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图象与系数关系是关键. 【变式1-3】（23-24·安徽宿州·一模）对于抛物线有下列说法：①顶点坐标为；②开口方向向上；③当时，随的增大减小；④与轴有两个不同交点，其中说法正确的有（  ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图像和判别式的性质，依次对各个选项分析，即可得到答案． 【详解】∵顶点坐标为： ∴①的结论错误； ∵的二次项系数为：1 ∴开口方向向上，②结论正确； ∵当时，随的增大而增大 ∴③的结论错误； ∵判断和轴有两个不同交点，即判断有两个不相等的实数根 ∵ ∴有两个不相等的实数根 ∴与轴有两个不同交点 ∴④的结论正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程判别式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解． 【题型2 根据二次函数的性质比较大小】 【例2】（23-24·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查抛物线的性质，根据点和点在抛物线上得到，，表示出 ，， ，，，结合判断式子与0的关系即可得到答案； 【详解】解：∵点和点在抛物线上， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，在该抛物线上， ∴， ， ，， ∴，，，， ∴， 故选：D． 【变式2-1】（23-24九年级·贵州黔东南·期末）二次函数的图象上有两点、，若，且，则（    ） A． B． C． D．、的大小不确定 【答案】A 【分析】由题意易得二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴点A离二次函数的对称轴更远， ∵二次函数的开口向下，离抛物线对称轴越近其所对的函数值越大， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式2-2】（23-24九年级·福建漳州·期末）已知点都在二次函数的图像上，若，则下列关于，，三者的大小关系判断一定正确的是（    ） A．可能最大，不可能最小 B．可能最大，也可能最小 C．可能最大，不可能最小 D．不可能最大，可能最小 【答案】B 【分析】求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分和两种情况，根据已知三点与对称轴的距离，结合开口方向分析即可． 【详解】解：在中， 对称轴为直线， 令，解得：，， ∴函数图像与x轴交于，， ∵， ∴离对称轴最远，离对称轴最近， 当时，开口向上， ∴； 当时，开口向下， ∴； ∴和可能最大，也可能最小， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表达式求出对称轴和与x轴交点，利用性质进行分析． 【变式2-3】（23-24·浙江宁波·二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线，根据，，设的对称点为，得出，则在对称轴右侧，随的增大而减小，则当时，． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，有最大值为， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为直线， 设的对称点为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小． 【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 【例3】（23-24九年级·福建福州·期末）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当＝1，＝3时，．若对于任意实数x1、x2都有≥2，则c的范围是（    ） A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6 【答案】A 【分析】由当＝1，＝3时，y1＝y2可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得抛物线解析式，将函数解析式化为顶点式可得y1＋y2的最小值，进而求解． 【详解】∵当＝1，x2＝3时，． ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2， ∴b＝﹣4， ∴y＝﹣4x＋c＝＋c﹣4， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，c﹣4）， ∴当y1＝y2＝c﹣4时，y1＋y2取最小值为2c﹣8， ∴2c﹣8≥2， 解得c≥5． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【变式3-1】（23-24·福建莆田·一模）已知点，在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质．根据题意和二次函数的性质，可以求得m的取值范围本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当且时，都有， ∴且时，都有， ∴且，解得； ∴m的取值范围为， 故选：D． 【变式3-2】（23-24九年级·北京东城·期中）已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解答本题的关键． 根据抛物线经过点，，求出对称轴，再根据抛物线性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为， ∵， ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∵，是抛物线上的两点是该抛物线上的两点，且， ∴根据对称性可得P点对称点， ∴或． 故答案为：或． 【变式3-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）已知点，点都在关于x的函数的图象上，且，则n的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据抛物线的对称轴，求出的值，进而得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为：， ∵点，点都在抛物线上，且函数值相同， ∴两个点关于对称轴对称， ∴，解得：； ∴， ∴， ∵，对称轴为， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，有最大值为，当时，有最小值为：； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性求出的值． 【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 【例4】（23-24·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式，得出，顶点坐标为，最小值为，确定，再由，得出，然后求不等式解集即可，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴对称轴为， ∵对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，开口向上， ∴，顶点坐标为，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）已知，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性．先求出对称轴，再根据当时，y随x的增大而减小，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，且抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24九年级·吉林长春·期中）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大、已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的性质，先得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而增大，可得．根据题意有，即，问题随之得解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即． ∵点在二次函数的图象上， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24·福建厦门·模拟预测）抛物线 过四个点，若，四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，可得抛物线的对称轴是直线，又当时，，从而，且当时，，故，然后分和两种情形讨论，结合四个数中有且只有一个大于零，即可判断得解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线． 又当时， ∴，且当时，． ∴． ①若，则当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴． ∵四个数中有且只有一个大于零， 又， ∴ ∴． ∴ ②若， 则当时，y随x的增大而减小． ∵ ∴． ∴四个数中没有一个大于0，不合题意． 故选：D． 【题型5 根据二次函数的性质求最值】 【例5】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（，m，k是实数），则（    ） A．当时，函数y的最大值为 B．当时，函数y的最大值为 C．当时，函数y的最大值为 D．当时，函数y的最大值为 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数与x轴的交点坐标是．得到二次函数的对称轴是直线．根据开口方向进一步求出最值即可． 【详解】解：由题意，令， ∴， ∴． ∴二次函数与x轴的交点坐标是． ∴二次函数的对称轴是：直线． ∵， ∴y有最大值． 当，y最大， 即 当时，函数y的最大值为； 当时，函数y的最大值为． 综上，C选项正确． 故选：C． 【变式5-1】（23-24·山东枣庄·二模）点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值．根据对称轴公式求出，把代入解析式得，用含t的式子表示出，找到最大值即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴ ， ∴当时，取最大值，最大值为， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）若二次函数的最大值是5，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值，由题意得出，当时，最大，为，从而得出，将化为，利用二次函数的性质即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：二次函数有最大值， ， ， 当时，最大，为， 二次函数的最大值是5， ， ， ， ，抛物线开口向上， 当时，最小，为， 故答案为：． 【变式5-3】（23-24·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，求得抛物线开口向下，对称轴为轴是解题的关键． 由题意可知对称轴为轴，则函数为，利用待定系数法求得，由当时，该函数有最大值和最小值，即可得出，，进一步求的， 得到的最小值为，无最大值． 【详解】二次函数的图象经过点，，， 对称轴为直线， ，， ， 把，代入得， 解得：． 当时，该函数有最大值和最小值， 时，取最大值， 时，取最小值， ， 又 ， 的最小值为，无最大值． 故选B． 【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】 【例6】（23-24·河北邢台·三模）点，在函数的图像上，当时，函数的最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的对称轴及顶点坐标，然后分三种情况讨论：①点B与顶点重合时；②当点A，B对称时；③当点A，B不对称时；分别求出a的范围，最后可得a的取值范围． 本题主要考查了在一定范围内讨论二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图像的特征是解题的关键． 【详解】由，得抛物线的对称轴为，顶点坐标为． 由题意得A点在B点的左边． 如图3，当点B与顶点重合时，，解得； 当点A，B对称时，．此时若函数的最大值为4，最小值为； 当点A，B不对称时，A点离对称轴远，B点离对称轴近， ， 解得， ∴a的取值范围是． 故选D． 【变式6-1】（23-24·吉林长春·模拟预测）已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先求出对称轴，再求出对称点，根据二次函数的性质求出的取值范围． 【详解】解：二次函数的对称轴， 令，， 点关于直线的对称点为， 如图： ， 开口向上， 当时，函数值的最大值为， ， 故答案为：． 【变式6-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）已知二次函数，在有最大值7，则所有满足条件的实数的值为 ． 【答案】9或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．先求出抛物线的对称轴，然后结合抛物线的性质四种情况讨论，即可求解． 【详解】解： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，， ∵在有最大值7，抛物线开口向上， ∴当，即时，， 此时，（舍去）； 当，即时， 若，即， 此时，解得：（舍去）； 若，即， 此时，解得：（舍去）； 此时，解得：； 当，即时， 此时，解得：； 综上所述，a的值为9或． 故答案为：9或 【变式6-3】（23-24·河北石家庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数 的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数 的最小值为，最大值为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式等知识，利用数形结合和分类讨论是解题的关键． 由完美点的概念和根的判别式求出和的值，再由抛物线的解析式求出顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，根据函数值，即可求得的取值范围． 【详解】解：令，即， 由题意可得，图象上有且只有一个完美点， ∴，则， 又方程根为， ∴，， ∴函数， 该二次函数图象如图所示，顶点坐标为， 与轴交点为，根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点， 在左侧，随的增大而增大；在右侧，随的增大而减小；且当时，函数的最大值为，最小值为，则． 故选：B． 【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】 【例7】（23-24九年级·陕西西安·期中）若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，，则n的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．根据点、的坐标易求该抛物线的对称轴是直线．故设抛物线解析式为，直接将代入，通过解方程来求的值． 【详解】解：抛物线过点、， 对称轴是直线， 又抛物线与轴只有一个交点， 顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入，得： ， 即． 故选：A． 【变式7-1】（23-24九年级·福建龙岩·阶段练习）抛物线与轴的一个交点为，则另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得出该抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 该抛物线的对称轴为直线， 设另一个交点横坐标为， ∵抛物线与轴的一个交点为， ∴， 解得：， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，解题的关键是掌握二次函数图象的对称轴为直线． 【变式7-2】（23-24九年级·山东济宁·期中）已知二次函数的对称轴为直线，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的对称性；先求得与轴的两个交点坐标，进而根据对称性得出对称轴，根据题意建立方程，即可求解． 【详解】解：当时， 解得：，即抛物线与轴的交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴ 故选：B． 【变式7-3】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为、，且．若的最小值是，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】根据题意得出当P与A点重合时，取得最小值，即是该抛物线的顶点，且经过点，求得该抛物线的解析式的对称轴与的长度，同理得出当P与B点重合时，取得最大值，利用二次函数与x轴的交点及对称性，即可求解． 【详解】解：当抛物线的顶点与A点重合时，的最小值是， 根据题意知是该抛物线的顶点，且经过点， 此时，设抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线， ∴此时， ∴， 当抛物线的顶点与B点重合时，取得最大值， 根据题意知是该抛物线的顶点， ∴此时抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值，利用抛物线的对称性解题是关键． 【题型8 待定系数法求二次函数解析式】 【例8】（23-24九年级·江苏苏州·期末）已知二次函数图像经过点 (1) ； ； ； (2)连接AC，将抛物线沿着直线AC方向平移后经过点，求平移后新抛物线的顶点． 【答案】(1)1；；3 (2)或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及二次函数图象的平移： （1）把代入，求出的值即可； （2）先求出直线的解析式，则平移时的抛物线的顶点在与直线平行的直线上，求出解析式为，设平移后的顶点坐标为，得抛物线的解析式为，代入，求出m的值即可． 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得，， 故答案为：1；；3； （2）解：设直线的解析式为：， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为：， 又由（1）得原抛物线的解析式为， ∴原抛物线顶点， ∵平移时的抛物线的顶点在与直线平行的直线上， ∴设平移时的抛物线的顶点所在直线解析式为， 把代入得，， ∴， ∴平移时的抛物线的顶点所在直线解析式为， 设平移后的顶点坐标为， ∴新抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得，或6， ∴平移时的抛物线的顶点坐标为或． 【变式8-1】（23-24九年级·河北邯郸·期末）抛物线顶点，与x轴交于A、B两点，且．    (1)求y1的解析式及A、B间距离． (2)将x轴向下平移n个单位后得新坐标系，此时x轴与抛物线交于C、D两点，且．求出新坐标系下抛物线的解析式及n值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是抛物线和轴的交点，熟悉二次函数的性质和平移的特点是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数的表达式，进而求出点的坐标，最后根据两点间的距离公式，即可求解； （2）由题意得，令，求出，则，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 将点代入得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 根据函数的对称性，点， 则； （2）由题意得，， 令，则， 则， 则， 解得：， 则． 【变式8-2】（23-24九年级·福建福州·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 5 0 0 … (1)求二次函数解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)二次函数解析式为，顶点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、求二次函数解析式及顶点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据“当和时，”，设二次函数，根据时，，代入求出，得出二次函数解析式，再求出顶点坐标即可； （2）根据和，求出，根据三角形面积公式、坐标与图形，得出点的纵坐标为或，当点的纵坐标为时，，求解得出点的坐标即可；根据二次函数解析式为，顶点坐标为，是最低点，判断当点的纵坐标为时的情况不存在． 【详解】（1）解：∵当和时，， ∴设二次函数， ∵时，， ∴代入得：，即， 解得：， ∴二次函数解析式为，即， ∴，， ∴顶点坐标为； （2）解：∵抛物线与轴交于、两点，由表格得和， ∴， ∵， ∴点到的距离， ∴点的纵坐标为或， ∵点为抛物线上一点， ∴当点的纵坐标为时，，即， 解得：， ∴点的坐标为或； ∵二次函数解析式为，顶点坐标为， 当点的纵坐标为时的情况不存在； 综上所述，点的坐标为或． 【变式8-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）已知二次函数． (1)当，时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求x的取值范围． (2)当时，y的最小值为；当时，y的最小值为3，求二次函数的表达式． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，（1）①将，代入解析式再平方成顶点式即可得到答案；②根据抛物线开口方向解答时，自变量取值范围即可． （2）根据确定开口方向，再根据时，y的最小值为3得到c值，从对称轴代入解析式解出b值即可． 【详解】（1）解：①当，时，解析式为， 该函数的顶点坐标为； ②抛物线，开口向上，对称轴为直线， 当时，即， 解不等式得：或， （2）∵二次函数开口向上，当时，y的最小值为3， ∴时，， ∵当时，y的最小值为； ∴时，，代入得： ， ， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，a、b同号，， ∴， 故抛物线解析式为：． 【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】 【例9】（23-24九年级·四川德阳·期中）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接和，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求对称轴，先作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接，根据确定最小值，再求出点A，C的坐标，然后根据对称性求出点D的坐标，最后根据两点之间距离公式求出答案． 【详解】 解：如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接 ， 则， 令， 解得，， ∴． 令，则， ∴． 又∵抛物线对称轴为直线，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【变式9-1】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），点C为抛物线上任意一点（不与A，B重合），为的边上的高线，抛物线顶点与点的最小距离为1，则抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题意可确定出A，B两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE最小则D点必在对称轴上，从而根据题意画出图形求解即可． 【详解】解：如图所示，使DE最小则D点必在对称轴x=1上，过点E作EF⊥AB，则AF=BF， ∴AD=BD， ∵为的边上的高线， ∴∠ADB=90°， ∴∠DBF=∠BDF=45°， ∴DF=BF=2． 当x=1时，y=-4a， ∵抛物线开口向上， ∴a>0， ∴EF=4a． ∵DE=1， ∴4a-2=1 解得：a=． ∴抛物线解析式为 即 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键． 【变式9-2】（23-24九年级·山东济宁·期末）如图，已知二次函数图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求该二次函数的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M，交线段BC于点N，求线段MN的最大值，及此时点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)MN取得最大值为， 【分析】（1）直接将三点坐标代入解析式求解，即可求得解析式； （2）周长最小即要使得PA+PC最小，A点关于对称轴的对称点是B点，连接CB交对称轴于P点，此时的PA+PC即为最小值； （3）设Q（m，0），再把m代入BC所在一次函数解析式和二次函数解析式，把两者相减，得到一个代数式，再求这个代数式的最大值即可． 【详解】（1）将，，代入得： 解得： 二次函数的解析式为：； （2）存在点P，使△PAC的周长最小 连接BC交抛物线对称轴于P，连接AP，如图： ， 由得抛物线对称轴是 ，关于抛物线对称轴对称 而当B、P、C共线时，PB+CP最小，此时PA+CP也最小， 因，故此时△PAC的周长最小 设直线BC为，将，代入得： 解得： 直线BC解析式为： 令x＝1时，得y＝－2　 （3）如图： 设，， 该函数为开口向下的二次函数，且在时取得最大值 又Q在OB上， ∴ ∴m可取的值包括了 时， MN取得最大值为， 当x=时，y= 故M点坐标为：． 【点睛】本题考查二次函数交点式解析式的应用，考查一个点动点到两个顶点距离最小值的将军饮马模型，考查两点之间距离的最小值，掌握这些知识和模型是解题关键． 【变式9-3】（23-24九年级·江苏连云港·期末）如图1，抛物线与x轴交于点、． （1）求抛物线的函数关系式． （2）如图1，点C是抛物线在第四象限内图像上的一点，过点C作轴，P为垂足，求的最大值； （3）如图2，设抛物线的顶点为点D，点N的坐标为，问在抛物线的对称轴上是否存在点M，使线段绕点M顺时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【分析】（1）由抛物线与x轴交于点、，可得解得即可； （2）设点C坐标为，由点C在第四象限，，由PC⊥y轴可得点P，可求，当时，CP+OP最大值为 ； （3）根据抛物线函数关系式可知，分两种情况，当点M在D点下方时，过点M作x轴平行线，分别过点N、，向所画直线作垂线，分别交于E、F，同理可知当点M在D点上方时，过N′作N′G⊥对称轴于G，可证（AAS），求出坐标为，代入抛物线函数关系式解方程，求出点M坐标综合即可． 【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点、， 由题意得 解得 所以函数关系式为；   （2）设点C坐标为，点C在第四象限，， ∴点P， ， ∴时，CP+OP最大值为 ； （3）根据抛物线函数关系式可知， 当点M在D点下方时，过点M作x轴平行线，分别过点N、，向所画直线作垂线，分别交于E、F， ∵∠NEM=∠DFN′=90°∠NMN′=90º， ∴∠N+∠NME=90°，∠NME+∠N′MF=90°， ∴∠N=∠N′MF， ∵NM=N′M， ∴（AAS）， 设点，，， 则坐标为，代入抛物线函数关系式， ， ， △=312-4×236=17， 解得（舍去）， ，   同理可知当点M在D点上方时，设点，，， 则坐标为，代入抛物线函数关系式， ， ， △=312-4×236=17， （舍去）， 综上可知或． 【点睛】本题考查抛物线的解析式，配方法，二次函数最值问题，图形旋转，三角形全等的判定与性质，一元二次方程及其解法，掌握抛物线的解析式，配方法，二次函数最值问题，图形旋转，三角形全等的判定与性质，一元二次方程及其解法，关键是引辅助线构造图形是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$