相似三角形的常见模型总结2024-2025学年北师大版数学九年级上册

相似三角形的常见模型总结 相似三角形的基本模型 相似三角形的基本模型有A型、斜A型，8字型、斜8字型（蝴蝶型）、母子型、旋转型（可看做由A型旋转得到）、一线三等角型（K型或M型），等等． A型 斜A型 8字型 斜8字型 母子型 旋转型 A A A A A A B C B C B C B C B C B C E D D E D D D D E E E 一线三等角型 A A A A A B C D E F B C D E B C D E B C D E F D B C E A B C D E 考点1：A型（斜A型）相似 【例】如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，DE＝12，则BC＝___________． 【练习1】如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6，O是对角线BD的中点，点E在边AB上，连接EO并延长交边CD于点G，交边BC的延长线于点F，若BE＝CF，求AE的长．A B E C D F G O A D M E B C N 【练习2】如图△ABC中∠A＝55°，∠B＝45°，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠ADE＝80°． （1）求证：△AED∽△ABC． （2）如果AD＝4，BD＝6，AE＝5，求CE的长． 考点2：8字型相似（由平行产生相似） 【例2】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则 的值为_________．A D F G B C E 【练习1】如图，在□ABCD中，E、F是AC的三等分点，AB＝4，则CH＝_________． A B G C D E F H 【练习2】如图，在□ABCD中，F为BC延长线上一点，连接AF分别交BD、CD于点O、E，若OE＝4，EF＝5，则AO＝_________．A D B C F E O 考点3：母子型相似 【例1】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AC＝，DB＝4，则AD的长为_________． C B A D 【练习1】如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C＝45°，BD＝5，DC＝3，求△ABC的面积．A B D C 考点4：旋转型相似 【例1】如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE． （1）求证：△CAE∽△BAD； （2）若AC：BC＝1：2，求的值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/12 14:31:17；用户：微信用户；邮箱：orFmNt5gsPbwyfA-pllvDpmGYdDU@weixin.jyeoo.com；学号：56189529 【练习1】问题背景 如图1，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； 尝试应用 如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上， ＝，求 的值； 拓展创新 如图3，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．A D E B C A B C D F E A B C D 图1 图2 图3 考点5：一线三等角型相似 【例】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝11，BC＝24，E是线段BC上一动点，若△ABE与△ECD相似，求BE的长． A D B E C 【练习1】如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，将△BDE沿DE翻折得△FDE，点F在线段EC上，连接AF．若∠AFD＝90°，BD＝3，AD＝5，求AC的长． A D B C E F 【练习2】如图，在等腰Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，E、F分别是直角边AB、AC上的点，且∠EDF＝45°．若AE＝3，AF＝4，则BC＝___________．A B C D E F 家庭作业 1．如图，AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，若AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2，则FG的长为_______． A D M E B C N 2.如图，矩形EFGD的边EF在△ABC的边BC边上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知AB＝AC＝10，BC＝12． （1）当矩形EFGD为正方形时，求正方形的边长； （2）联结EG，当△GEC以GC为腰的等腰三角形时，求矩形EFGD的面积． 3.如图，在等腰Rt△ABC中，点D、E分别在斜边BC和直角边AB上， ＝ ，∠ADE＝45°． （1）求AE∶EB的值；A B C D E （2）若△BDE的面积为18，求△ADC的面积． 4．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：AE2＝EF•BE； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长． 5．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BCA＝∠ADE，∠CAD＝∠BAE． （1）求证：△ABC∽△AED； （2）求证：BE•AC＝CD•AB． 学科网（北京）股份有限公司 $$