期中真题必刷02【压轴培优 69道】-2024-2025学年高二数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

期中真题必刷02 一、单选题 1．（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出圆关于轴的对称圆，结合图形分析即可得. 【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为， 由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 则， 由图可知， 当且仅当共线时取等号， 因为，所以的最小值为. 故选：B    2．（23-24高二上·福建厦门·期中）若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆与圆的对称性可得，再利用几何关系，求点的轨迹方程. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由圆与圆关于直线对称， 可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线上，所以，解得， 经检验，满足题意，则点的坐标为， 设圆心为坐标为，则，整理得， 即圆心的轨迹方程为. 故选：D. 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程. 【详解】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 4．（23-24高二上·北京西城·期中）已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定正方体内切球半径，根据空间向量的运算化简为，结合题意得的取值范围，即可得答案. 【详解】由题意设正方体中心为O，即为正方体内切球球心， 则O为的中点，因为正方体的棱长是2，故， 则内切球半径为1； 则 ， 由于点在正方体表面上运动，故， 即当P位于正方体顶点时取得最大值，位于内切球与正方体的切点处时取最小值， 则， 即的取值范围为， 故选：C 5．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 6．（23-24高二上·辽宁大连·期末）边长为2的正三角形所在平面为平面，平面外有一点，且三棱锥的体积为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】C 【分析】根据三棱锥体积得到点到平面的距离为2，设点在平面的投影为点，求出，建立平面直角坐标系，求出的最小值为，从而求出答案. 【详解】， 设点到平面的距离为，则， 解得， 设点在平面的投影为点， 则，， 则 ， 如图所示，取的中点为原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设， 则 ， 当时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为. 故选：C 7．（23-24高二上·广东江门·期末）已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二面角的概念，结合空间向量的数量积运算即可求得结果. 【详解】如图所示，易知，所以结合已知有， 易知， 设正方形边长为2，所以， , 故选：A. 8．（23-24高二上·江苏徐州·期中）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，.进而在中，由余弦定理变形可得，.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案. 【详解】 根据椭圆及双曲线的定义可得， 所以. 在中，，由余弦定理可得 ， 整理可得，， 两边同时除以可得，. 又，， 所以有， 所以，. 因为，所以， 所以，所以，，， 所以，. 则， 故. 故选：C. 9．（23-24高二上·四川·期中）已知分别是椭圆的左､右焦点，第一象限内的点在上，，直线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的斜率可得，结合同角三角函数关系式求出，结合椭圆定义得，利用余弦定理即可求得的关系式，即可求得椭圆离心率. 【详解】由题意知直线的斜率为，即得， 得，为锐角， 结合,， 则， 由，得，    在中，， 得，所以，即， 可得的离心率， 故选：C 10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】依据椭圆和双曲线定义和题给条件列方程组，利用余弦定理得到关于椭圆的离心率和双曲线的离心率的关系式，即可求得的值. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 令，不妨设， 则解之得 由余弦定理可得， 化简得， 整理得，即， 也就是. 故选： 11．（23-24高二上·河南信阳·期末）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左支交于点A，B，若则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义结合勾股定理求得，再利用勾股定理求出即可得解. 【详解】依题意，设，则，， 由，得，在中，， 整理得，因此， ， 在中，有，整理得， 显然，即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． 故选：C 【点睛】易错点睛：双曲线的渐近线方程为 ，而双曲线的渐近线方程为 （即 ），应注意其区别与联系. 12．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（    ） A．平面，且到平面的距离为 B．与平面不平行，且与平面所成角大于30° C．与平面不平行，且与平面所成角小于30° D．与平面不平行，且与平面所成角等于30° 【答案】C 【分析】连接，交点为，以为坐标原点，方向分别轴正方向建立空间坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，代入向量夹角公式，求出与平面夹角的正弦值，再由正弦函数的单调性，即可得到答案． 【详解】连接交点为，以为坐标原点，方向分别轴正方向建立空间直角坐标系， 由正四棱锥的棱长均为，点为的中点， 则,,,,,,， 则，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，得， 设与平面所成的角为，线面角范围为大于等于下雨等于， 则，则， 故与平面不平行，且与平面所成的角小于． 故选：C． 13．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据对称性利用中位线性质求得，再利用渐近线的斜率与直角三角形中角的正切值相等关系待定，进而得到相关长度求面积即可. 【详解】由对称性，不妨设点关于渐近线的对称点为， 设与该渐近线交于点M，则，且. 由分别是与的中点，知且， 又右焦点，渐近线方程即， 故点到渐近线的距离为， 则在中，，解得， 所以由得，， 所以. 故选：D. 14．（23-24高二下·重庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，由题意可得出，利用椭圆的定义结合已知条件可求出、的值，即可得解. 【详解】如下图所示： 因为点关于的对称点为，则， 因为，且， 所以，， 所以，，可得， 则， 所以，，故． 故选：D 15．（23-24高二下·浙江·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设出直线的方程，与渐近线的方程联立，求出的坐标，由为的中点，，得为的中点，求出的坐标，代入双曲线的方程求解即可. 【详解】令，由对称性，不妨设直线的方程为， 由，解得，，即点的坐标为， 由为的中点，，得为的中点，则点的坐标为， 代入双曲线的方程，有， 即，， 解得，所以双曲线的离心率为． 故选：A 16．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为，根据，得到四边形为为矩形，再由，结合椭圆的定义得到，然后由求解. 【详解】设椭圆的左焦点为， 因为，所以四边形为为矩形，所以， 因为， 所以，，则， 由椭圆的定义得， 所以， 因为，所以， 所以， 其中 ， 所以， 所以. 故选：A 17．（2024·浙江·模拟预测）双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】设，通过题意求出直线的方程、直线的方程，之后联立直线的方程、直线的方程及双曲线方程，计算即可得出答案． 【详解】设，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，不妨令P点在x轴下方，如图： 设、，，双曲线其中一条渐近线为， 直线的方程为，① 由，得，即直线的斜率为，直线方程为，② 由点在双曲线上，得，③ 联立①③，得，联立①②，得， 则，即，因此， 所以离心率． 故选：C 18．（23-24高二上·四川达州·期中）已知圆C: ，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据直线的方程，求得直线所过的定点，直线被圆C截得的弦长最短时有，则，解出方程即可. 【详解】因为直线：， 方程可化为， 令，解得， 故直线过定点， 且在圆C:内，又, 故当直线被圆C截得的弦长最短时, 有， 则， 解得， 故选：B. 19．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点，结合直线的斜率得出平行于轴，最小，再设，求出，利用三角函数知识得最小值． 【详解】如图，过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点表示的长度，因为直线的方程为，所以，即， 当固定点时，为定值，此时为零时，最小，即与重合（平行于轴）时，最小，如图所示， 设，，则， ， 由三角函数知识可知，其中， 则其最大值是， 所以，故D正确. 故选：D.    【点睛】关键点睛：本题的关键是理解曼哈顿距离的定义，得到，再利用辅助角公式即可求出其最值. 20．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知点P是直线l：与x轴的交点，直线l绕点P逆时针方向旋转45°得到直线，则直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的倾斜角为，可得和，根据两角和的正切公式，求得直线的斜率为，结合点斜式方程以及距离公式，即可求解. 【详解】由直线，令，解得，即直线与轴的交点为， 设直线的倾斜角为，可得， 则， 即把绕点按逆时针方向旋转得到直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 直线的斜率为，则直线与直线平行. 则直线与直线之间的距离为. 故选：D 21．（23-24高二上·江西景德镇·期中）已知直线恒过定点，圆：上的两点，满足，则的最小值为（    ） A．13 B．18 C．23 D．28 【答案】B 【分析】求出点的坐标，由条件可得点，，三点共线，结合点到直线的距离公式求的最小值. 【详解】将整理得， 由解得，所以直线恒过， 因为，所以，，三点共线，， 因为，为圆上两点， 所以点，为过点的直线与圆的两个交点， 设线段的中点为，则，， 因为表示点，到直线的距离和， 分别过，，作，，与直线的垂直，垂足为，，，则， 所以， 因为，直线过点，， 所以，所以， 所以，整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以点到直线的距离的最小值为， 所以， 所以， 所以. 故选：B    22．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知圆的圆心到直线的距离小于或等于2，进而可得. 【详解】由题意可知，由得，圆心为，半径为 因，故根据题意圆的圆心到直线即的距离小于或等于2， 所以得， 即得，可得， 故选：D 23．（23-24高二下·甘肃甘南·期中）正方体的棱长为是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用向量的数量积及体积最大值求得，从而得到与平面所成角的正弦值. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，设，，， 则，，所以， 因为为定值，要想三棱锥的体积最大，则点到底面的距离最大，其中， 所以当时，取最大值为，因为，所以的最大值为，则三棱锥的体积最大时，，， 设平面的法向量，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为， 故选：A 二、多选题 24．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是的中点，点满足，下列选项中一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】以，，为基底向量，若，则，根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，依题意，，，在同一平面内，连接、、，即可证明平面，要使，则需在上，再由四点共面判断D. 【详解】设正三棱柱的棱长为2， 以，，为基底向量，则， ，， 可得 ， 若，则， 则， 即， 所以，所以且x为任意取值，故B、C正确，A错误； 又，故，，，在同一平面内， 连接、、，依题意，，，平面， 所以平面，要使，所以需在上， 由， 所以，，，四点共面，故在上，故D正确. 故选：BCD． 25．（23-24高二上·山西大同·期中）月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.某月光石的截面曲线可近似看成由半圆和半椭圆组成.圆的半径､椭圆的短半轴长都为1，椭圆的焦距为是曲线上不同的两点，为坐标原点，的面积为，则（    ） A．线段的最大值为 B．若在半圆上，则的最大值为 C．当轴时，的最大值为 D．若在半椭圆上，当时，取得最大值 【答案】ABD 【分析】A.由在轴上时，线段的最大求解判断；B.设，由判断；C.由轴，设直线的方程为，由求解判断；D.直线斜率存在时，设直线：，并代入半椭圆方程，由，得到m，k的关系，然后由求解判断. 【详解】由题意得，圆的方程为： ，椭圆方程为， 当在轴上时，线段的最大值为，故正确； 设，则，当且仅当时，等号成立，故B正确； 当轴时，设直线的方程为，，则， 所以，当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 当在半椭圆上，直线斜率存在时，设直线：，， 由，得， 由韦达定理得， ， 则， 点到直线的距离， 由，解得， 则， ， ，所以. 当直线的斜率不存在时，设：， 由，解得， 则，故D正确. 故选：ABD 26．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点（不同于左、右顶点），则下列说法正确的是（    ） A．当直线l与x轴垂直时， B．△ABF1的周长为 C．的内切圆的面积的最大值为 D．的最小值为4 【答案】ACD 【分析】利用代入法，结合椭圆的定义、椭圆的性质、平面向量数量积的运算性质逐一判断即可. 【详解】当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为， 所以，解得，所以，故A正确； 的周长为， 故B错误； 设的内切圆的半径为， ， 当A为椭圆C的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值， 最大值，所以 的内切圆的半径的最大值， 所以的内切圆的面积的最大值为，故C正确； ， 因为， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用椭圆的定义和焦点三角形面积的性质. 27．（23-24高二上·全国·期中）已知抛物线：的准线与轴交于点，为坐标原点，点，是抛物线上异于点的两个动点，线段与轴交于点，则（   ） A．若为抛物线的焦点，则线段的长度的最小值为4 B．若为抛物线的焦点，则为定值 C．若与的面积之积为定值，则为抛物线的焦点 D．若直线和直线都与抛物线相切，则为抛物线的焦点 【答案】ABD 【分析】设方程为，，，与抛物线联立，韦达定理，利用弦长公式求解最值判断A，利用数量积坐标运算判断B，求出面积之积判断C，利用直线与抛物线联立求得切点坐标，即可求出两切点连线过焦点判断D. 【详解】直线的斜率不为0，设点，设直线的方程为， 设，，因为点T在线段上，所以， 联立直线和抛物线方程得，则， 所以，， 对于A，若为焦点，则，， 则，当时等号成立，正确； 对于B，因为，所以， 所以，正确； 对于C，为定值，只需T横坐标为定值即可， 但是不一定为1，即不一定为抛物线的焦点，错误； 对于D，，与抛物线相切的切线方程为， 则，化简得，由，可得，解得， 由对称性，不妨过切线方程为，过的切线方程为， 联立得，则，联立得，则， 所以直线方程为：，所以，即为抛物线的焦点，正确. 故选：ABD    28．（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线经过抛物线的焦点F，且l与C相交于A，B两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．以为直径的圆和抛物线C的准线相切 【答案】BC 【分析】求出点的坐标即可判断A；联立方程，利用韦达定理求出，进而可判断BC；结合抛物线的定义即可判断D. 【详解】依题意可知，所以，解得，A错； 由消去y可得， 所以， ，B对； ，C对； 以为直径的圆的圆心横坐标为，而半径， 故该圆圆心到y轴的距离恰好等于半径，所以该圆与y轴相切，与准线相离，D错. 故选：BC． 29．（23-24高二上·山西·期末）已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（    ） A．当为双曲线上一点时，的面积为4 B．当点坐标为时， C．当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为 D．当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】依题意可得为直角三角形，设，，利用勾股定理及双曲线的定义求出，即可判断A，对称性可知为等腰直角三角形，即可求出，从而得到，即可判断B，曲线与双曲线的交点即为，联立双曲线方程，求出，即可求出，从而求出，即可判断C，由双曲线的定义及所给条件求出，即可得到为等边三角形，从而判断D. 【详解】因为为平面上一点，且，所以为直角三角形， 设，，在中由勾股定理可得①， 由双曲线的定义可得②， ②式的平方减①式可得，所以，故A正确； 由对称性可知为等腰直角三角形，因此，又且， 所以，故B正确； 因为，所以点在以为直径的圆上，所以该圆的圆心为原点，半径为， 即曲线与双曲线的交点即为，由， 则，即（负值舍去），所以， 所以离心率，故C错误； 由题意可知，，则， 所以，即为等边三角形，则直线的斜率为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题关键是双曲线的定义及性质的应用，双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到，的关系．. 30．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．的最小值为 C．若为直角三角形，则的面积为 D．的范围为 【答案】ACD 【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用位于椭圆上顶点时最大求解即可；对于C，利用点坐标求的面积即可；对于D，设利用二次函数求的范围即可. 【详解】对A，易知，则，故A正确； 对B，位于椭圆上顶点时最大， 此时最小，且 故此时为等边三角形，，故B错误； 对C，若为直角三角形，由B知， ， 所以或，不妨设， 则此时点横坐标，代入，得， 故的面积为：，故C正确； 对D，,设 则， 由得：， 故， 故，故D正确. 故选：ACD 31．（23-24高二上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ） A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．圆C与曲线：恰有三条公切线，则 C．过点作圆的一条切线，切点为Q，可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 【答案】BD 【分析】 对A，求出圆心到直线的距离，将圆上点到直线的最短距离与比较即可；对B，转化为两圆外切即可；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点. 【详解】 选项A，由题知，圆心到直线的距离为，圆的半径为， 由，圆上不存在点到直线的距离为，故A错误； 选项B， 整理得，圆心为，半径为， 由题可知两圆外切时有三条公切线，则，解得，B正确； 选项C，由切点为，则在中，， 当最小时，取最大值，最大，过点作，垂足为， 此时最小，最小值为， 即最大值为，最大为，不可能为，故C错误； 选项D，设点，切点， 可得切线方程为，由点在切线上，得， 同理可得， 故点都在直线上， 即直线的方程为， 又由点在直线上，则， 代入直线方程整理得， 由解得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：BD. 32．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆，直线.则下列命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为 【答案】ACD 【分析】将直线方程化为，可求得定点坐标；将代入圆的方程，即可求得两交点纵坐标，即可得到弦长；求出圆心到定点的距离，即可判断C项；由题意知，当圆心与定点的连线恰好与垂直时，弦长最短，可求出直线的斜率，代入点斜式方程即可判断D. 【详解】对于A，由已知可得，圆心，半径， 直线方程可化为， 由，可得， 所以直线恒过定点，A选项正确； 对于B，将代入圆的方程有，解得， 弦长为，B项错误； 因为点到圆心的距离为， 所以点在圆内，直线与圆恒相交，C项正确； 当圆心与定点的连线恰好与垂直时，圆心到直线的距离最大， 直线被圆截得的弦长最小，则的斜率应满足，所以， 代入点斜式方程有，即，D正确. 故选：ACD. 33．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 【答案】ABD 【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【详解】圆心到直线的距离为，    所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD 34．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 【答案】ACD 【分析】将直线的方程化简为点斜式，判断出A项的正误；根据时被圆截得弦长最短，算出的最小值，从而判断出B项的正误； 利用平面向量数量积的定义与运算性质，结合圆的性质求出的最大值与的大小，从而判断出CD两项的正误． 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径． 对于A，直线，可化为， 所以直线经过点，斜率为， 因此直线过定点，A项正确； 对于B，当时，直线到圆心的距离达到最大值， 此时，可知的最小值是，故B项不正确；    对于C，，由于的最小值是，此时取最大值，故最大值为0，故C项正确； 对于D，设的中点为，连接，则， 可得 ，故D项正确． 故选：ACD． 35．（23-24高二上·江苏苏州·期末）如图，在平行六面体中，已知，，为棱上一点，且，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与平面所成角为 【答案】ACD 【分析】法1：根据线面垂直的性质定理证明判断A，利用向量法证明不垂直排除B，利用数量积的运算律求解判断C，把线面角转化为线线夹角，然后利用直线向量夹角公式求解判断D. 法2：以为空间基底，利用数量积是否为0判断垂直关系判断AB，利用数量积的运算律求解判断C，求出平面的法向量，利用向量法求解线面角判断D. 【详解】法1：由，可知， 所以，设，为中点， 则，因为四边形为菱形，所以，， 平面，平面，所以平面， 又平面，所以，A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 所以与不垂直，即与不垂直,所以与平面不垂直，B错误； 对于C，， 所以，所以，C正确 对于D，选项A中已经证明平面， 所以直线与平面所成角即为直线与所成角的余角，， 而，， 所以，所以直线与所成角为， 所以直线与平面所成角为，D正确. 故选：ACD 法2：由题意知：， ， ，则， ，故A正确，B错误； ，则，C正确； 显然有，且，又， 故，从而易得是平面的一个法向量， ， 设与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角为，D正确； 故选：ACD 36．（23-24高三上·湖南常德·期末）如图，在多面体ABCDEP中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且DE∥PA，，M，N分别是线段BC，PB的中点，Q是线段CD上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A．存在点Q，使得NQ⊥PB B．存在点Q，使得异面直线NQ与PE所成的角为30° C．三棱锥Q-AMN体积的取值范围为 D．当点Q运动到CD中点时，CD与平面QMN所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设,，根据向量垂直的坐标表示和异面直线所成角的向量求法可确定是否有解，从而判断AB；利用等体积法可知，可求得体积的表达式，即可判断C；利用向量法求线面角即可判断D． 【详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则,,,,,,,,,,,,,,,， 对于A，假设存在点,，使得， ,，,， ，解得，符合题意，故A正确； 对于B，假设存在点,，使得异面直线与所成的角为， ,，,， ， 解得，不符合， 不存在点，使得异面直线与所成角为，故B错误； 对于C，连接,,,,,，   ， 点到平面的距离为， ， ，，故C正确； 对于D，当点运动到中点时,,， ,,,， , 设,,是平面的法向量， 则,令,则,， ,,设直线与平面所成的角为， ,，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用空间向量解决角度问题及椎体体积求解，熟记线面角和异面直线夹角公式，并转换顶点求锥体体积是关键. 37．（24-25高二上·河南漯河·期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（    ） A． B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离是 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】BC 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到；B选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案；C选项，利用空间向量点到直线距离公式进行求解；D选项，利用异面直线夹角公式进行求解. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， 则，A错误； B选项，平面的法向量为， ，设直线与平面所成角的大小为， 则，B正确； C选项，， 点到直线的距离为，C正确； D选项，， 设异面直线与所成角大小为， 则，D错误. 故选：BC 三、填空题 38．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于，两点.若四边形的面积为，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设，过作的垂线，垂足为，，结合双曲线的定义求得圆的弦长及，然后由面积得出关于的齐次式，变形后求得离心率． 【详解】根据对称性不妨设点在第一象限，如图所示，圆，圆心为，半径为， 设，点在双曲线上，，则有，可得， 过作的垂线，垂足为为的中点， 则，同理，， 由，四边形的面积为，化简得， 则有，则的离心率. 故答案为：． 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用双曲线的定义以及勾股定理，并结合几何法求圆的弦长，最后得到面积表达式，得到关于的齐次方程即可. 39．（23-24高二上·云南文山·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，.若椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，则椭圆的标准方程为 ；若在轴上方的上存在两个不同的点，满足，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由短轴一个端点到右焦点的距离为可得的值，结合离心率计算即可得第一空；在轴上方的上存在两个不同的点，满足，即上顶点与两焦点组成的三角形中，上顶点所在的角需大于，结合余弦定理计算即可得. 【详解】由，短轴一个端点到右焦点的距离为4，即，故， ，即椭圆方程为； 在轴上方的上存在两个不同的点，满足， 则有，即，解得， 故，即离心率的取值范围为. 故答案为：；. 40．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与交于两点.若的面积是面积的2倍，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据焦半径的角度式，结合题意，即可求得结果. 【详解】根据题意，作图如下： 设，则， 在△中，， 由余弦定理可得：， 即，解得； 在△中，，同理可得，故； 由题可知，，， 故，即，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的方法诸多，选用焦半径的角度式从而解决焦半径比值问题，是常用的较为便捷的方式之一. 41．（2024·云南昆明·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】利用点到直线的距离公式求出的长，再利用双曲线的定义结合等腰三角形列式计算即得. 【详解】双曲线的半焦距为c，渐近线方程为， 点到渐近线距离为，由双曲线定义得， 由为等腰三角形，得，即，因此， 则，所以的离心率为. 故答案为： 42．（23-24高二上·江苏南通·期中）设a，b是实数，若椭圆与直线交于点A，B，点M为AB的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆方程为 . 【答案】 【分析】将椭圆与直线联立，由韦达定理表示出AB中点M的坐标，由OM的斜率可得的值，由，则，化简得，联立，可得a、b的值，从而得出椭圆方程． 【详解】由已知条件可知，， 联立，消去并整理得： 设，， 则， 则， 由，则， 又因为, 所以， 解得 所以椭圆方程为 故答案为：    43．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知，是双曲线的两个焦点，点是双曲线的右顶点，是双曲线渐近线上一点，满足，若以为焦点的抛物线经过点，则此双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由以及点在直线上，列出方程，根据抛物线的定义可知，然后求解双曲线的离心率即可． 【详解】设 由可知， 又点在直线上， 所以， 解得， 所以，轴， 于是根据抛物线的定义可知，且， 所以，即，所以， 则双曲线的离心率为. 故答案为： 44．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设，则根据题意可知，，，，又易知，在中，由勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】设，则根据题意可知，， 所以，，又易知， 在中，由勾股定理可得：， 解得，又， 所以， 所以的面积为． 故答案为： 45．（23-24高二上·江苏盐城·期中）设点是函数图象上任意一点，点的坐标，当取得最小值时圆：上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由点的坐标，可得在直线上，方程为：，由，两边平方可得轨迹为半圆，经过圆心与垂直的直线为：，把圆心坐标代入可得，即可得出此直线的方程，进而得出取得最小值时的坐标，解得，表示出圆心到直线的距离，根据已知，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为点的坐标， 可得在直线上，：， 由， 两边平方得， 可得轨迹为半圆，圆心， 经过圆心与垂直的直线为：， 把代入可得， 则此直线方程为：， 联立，解得， 所以当取得最小值时，， 所以，解得， 所以圆为， 圆心到直线的距离为： ， 由圆上恰有个点到直线的距离为， 则实数的取值范围为，即. 故答案为： 46．（23-24高二上·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，两动直线：与：相交于点A， O为原点，则线段的长度的最大值是 . 【答案】 【分析】先求得动点A的轨迹方程，进而求得线段的长度的最大值. 【详解】当时， 两直线：与：相交于， 线段的长度为； 当时， 由，可得， 则动直线过定点，斜率为k； 由，可得， 则动直线过定点，斜率为； 由，可得动直线，互相垂直， 则动直线与的交点A位于 以定点，为直径的圆上， 该圆圆心为，半径为，其方程为 则线段的长度的最大值为 综上，线段的长度的最大值为 故答案为： 47．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知A，是圆上两点，且.若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知可推得，即可得出点在以为圆心，1为半径的圆上，方程为.求出直线的定点，结合方程判断，，点在以为直径的圆上，求出圆的方程为.进而得出两圆的位置关系，得出关系式，代入数据即可求出答案. 【详解】由已知可得，圆的圆心为，半径， 根据垂径定理可得，， 所以，点在以为圆心，1为半径的圆上， 方程为，半径. 由已知可得，， 解可得，所以直线过定点. 又， 解可得，所以直线过定点. 因为，所以. 又点为两直线的交点， 所以，点在以为直径的圆上. 因为，且中点， 所以，圆心，半径， 所以，圆的方程为. 综上可得，点是圆与圆的公共点， 所以两圆位置关系为相交、外切、内切， 所以，有，即. 又，所以， 解得，所以. 故答案为：.    48．（24-25高二上·辽宁·期中）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】先求两个圆的公共弦所在直线方程，利用勾股定理求出弦长的表达式，结合不等式性质求最值，进而可得答案. 【详解】与相减， 可得两圆的公共弦所在线的方程为：， 由圆：可得，圆的半径为4， 圆心到AB直线的距离为， ，因为， 所以，时等号成立， 又因为的最小值为， 所以，解得. 故答案为：. 49．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则 .    【答案】 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故答案为： 50．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知三棱锥，点满足：，过点作平面，与直线，，分别相交于三点，且，，，则 . 【答案】 【分析】根据题意可得，再由并利用空间向量共面定理即可得. 【详解】由可得， 即可得，所以， 又，，，所以， 即， 又四点共面，由空间向量共面定理可得. 故答案为： 51．（23-24高二下·江苏南京·期中）长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是 ；当点到直线的距离为时，的值为 ． 【答案】 /0.25 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共线表示出点的坐标，由为钝角建立不等式求解的范围；由空间点到直线距离公式计算的值. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直线坐标系， 则，令， 则有，，， 由为钝角，得，解得， ，因此； 显然，点到直线的距离 ，整理得， 解得，所以. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：求空间点的坐标，可以借助向量共线，结合向量的坐标运算求解. 52．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中、，求出平面的一个法向量，，由因为平面，则，可得，利用二次函数的基本性质结合空间向量的模长公式可求得线段长度的最小值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，设点，其中、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，因为平面，则， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，的长度取最小值. 故答案为：. 53．（24-25高二上·辽宁·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为 . 【答案】/ 【分析】连接，，设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 求出与，都垂直的向量为，利用即可求. 【详解】    连接，，设， 由题意，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，，. 设与，都垂直的向量为， 则，即， 令，则，， 所以为与，都垂直的一个向量， 则线段的长度的最小值为. 故答案为： 四、解答题 54．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知圆的圆心为（且），，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆的圆心，求圆的方程； (3)在（2）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）求出圆的方程，分别令，求出，，即可求出的面积，即可证明； （2）因为直线经过圆的圆心，所以，结合，即可解出，可求出求圆的方程； （3）由题意可得然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，可得圆的方程，由点到直线的距离、圆的弦长公式表示出，再由二次函数的性质即可求出求线段长度的最小值. 【详解】（1）设圆的方程为，由题可知点在圆上， 则圆的方程为， 整理得， 因为圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合）， 令，解得：；令，解得：； 则，． 所以，为定值． （2）因为直线经过圆的圆心，所以． 又，且，解得． 所以圆的方程为． （3）过点作圆的切线，，切点为，， 显然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，， 则圆的方程为， 即，① 又圆的半径，方程可化为，② ①－②，得圆与圆的相交弦所在直线的方程为． 点到直线的距离， 所以， 所以当时，取得最小值， 故线段长度的最小值为． 55．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用轨迹法，代入两点间距离公式，即可求解； （2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解； （3）首先直线与圆的方程联立，并利用坐标表示直线和的方程，并利用韦达定理表示，即可求解交点坐标， 【详解】（1）设，因为，所以， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为． （2）曲线的圆心到直线的距离， 所以． （3）证明：设． 联立得， ． 设，所以直线的方程为，直线的方程为． 因为直线与直线交于点，所以 则 ，即，解得， 所以点在直线上． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是坐标法的应用，利用韦达定理表示. 56．（22-23高二下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角.动点在线段上. (1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线夹角； （2）设可得，利用空间向量求线面夹角结合二次函数分析运算. 【详解】（1）由题意可得：，平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 若为的中点，则，可得， 设异面直线与所成角，， 则. 故异面直线与所成角的余弦值为. （2）若动点在线段上，设， 则，可得，解得， 即，则， 由题意可知：平面的法向量为，    设与平面所成角为，， 则， 对于函数，开口向上，对称轴为， 可得当时，取到最小值， 所以的最大值为，因为， 故与平面所成角的正弦最大值为. 57．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点.    (1)若为中点，证明：面； (2)若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，且或 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量证明线面平行即可； （2）设，利用向量法求出求出线面角的正弦，由正弦值得出参数，即可得解. 【详解】（1），所以为等边三角形， 为中点，， 又，所以 以为原点，分别头轴，建立空间直角坐标系，如图，    则 ， 设平面的一个法向量， 则，，令，可得， ，， 又面，面. （2）设， 则, , 设平面的法向量， 则，即， 令，得平面的一个法向量， 设与平面所成的角为， 则， 解得或， 即存在点，且或. 58．（2024·广东广州·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）取中点，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得. （2）过作于点，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （3）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）取中点，连接，由为中点，为中点，得， 又，则，因此四边形为平行四边形， 于是，而平面平面， 所以平面. （2）过作于点，连接，由，得≌， 则，即，而， 因此，又平面，则平面，平面， 所以平面平面. （3）由（2）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设与平面所成角为，， 所以与平面所成角的正弦值是. 59．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. (1)求动点的轨迹方程； (2)为线段的中点，求点的轨迹方程； (3)过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆定义可知，点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆，由此能求出动点的轨迹方程； （2）设，，利用中点坐标公式及“代点法”即可得出点的轨迹方程； （3）对直线的斜率分不存在、为、存在且不为三种情况讨论，当直线的斜率存在（不为）时，把直线的方程与椭圆的方程联立，解得点，的坐标，利用两点间的距离公式即可得出，再利用点到直线的距离公式即可得出点到直线的距离，利用三角形的面积计算公式即可得出． 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知， 点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则，，所以， 故动点的轨迹方程为； （2）设，， ，且为线段的中点， ，即，代入的轨迹方程，可得， 整理得， 即点的轨迹方程为； （3）①当直线的斜率不存在时，可得，， ，点到轴的距离为1， ； ②当直线的斜率为时，则，， ，点到轴的距离为， 所以； ③当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，，，． 联立，化为． 解得，则，则，． ． 又点到直线的距离． ， ， 当时，当且仅当，即可时取等号， 当时，当且仅当，即可时取等号， 所以， 当且仅当时，即，取最大值，最大值为， 综上所述面积的最大值． 60．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义进行求解即可； （2）设出直线的方程，将直线方程与曲线的方程联立，利用韦达定理及得到，，，求出的中点坐标和直线的方程，进而即可得证． 【详解】（1）因为动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等， 所以动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线， 此时， 则曲线的方程为； （2）证明：设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 此时， 解得， 由韦达定理得，， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 设点为的中点， 此时， 所以直线的方程为， 令， 解得． 故点为定点，坐标为． 61．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆：，直线过点且与圆交于点B，C，中点为D，过中点E且平行于的直线交于点P，记P的轨迹为. (1)求的方程； (2)坐标原点O关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与交于点M，N，直线，相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明. ①的面积是定值；②的面积是定值；③的面积是定值. 【答案】(1) (2)结论③正确，证明见解析 【分析】（1）由几何性质知到，两点的距离之和为定值可得的轨迹为椭圆. （2）设直线：，，，表示出直线，的方程并联立求得的横坐标为定值，进而可得的面积是定值. 【详解】（1） 由题意得，，， 因为D为BC中点，所以，即， 又，所以， 又E为的中点，所以， 所以， 所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆（左、右顶点除外）， 设：，其中，， 则，，，， 故的方程为：. （2） 结论③正确，下证：的面积是定值. 由题意得，，，，，且直线的斜率不为0， 可设直线：，，，且，， 由，得， 所以，， 所以， 直线的方程为：，直线的方程为：， 由，得， 解得， 故点Q在直线上，所以Q到的距离， 因此的面积是定值为. 62．（2024·天津和平·一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆C的方程； (2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组，求得，得到，再由的方程为，联立方程组，求得，进而求得，再由弦长公式，求得，结合，即可得证. 【详解】（1）解：由椭圆的离心率为，且过点F且与x轴垂直的直线截得的线段长为， 可得 ，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）证明：设直线所在的直线方程为， 联立方程组，整理得， 所以，解得， 设，则， 所以，则，即， 所以的方程为， 联立，解得或，所以， 则， 又由 ， 又因为的中点， 可得， 所以.    【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线问题的方法与策略： 1、涉及圆锥曲线的定义问题：抛物线的定义是解决曲线问题的基础，它能将距离进行等量转化．如果问题中涉及圆锥曲线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用圆锥曲线定义就能解决问题．因此，涉及圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用圆锥曲线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 63．（23-24高二下·四川泸州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求，由此可得抛物线方程； （2）（i）设的方程为，联立方程组并化简，设，应用韦达定理得，写出直线方程，求出它与轴的交点坐标即得； （ii）由（i）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值． 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以的方程为：； （2）（i）由已知可得直线的斜率不为0，且过点， 故可设的直线的方程为， 代入抛物线的方程， 可得， 方程的判别式， 设，， 不妨设，则, 所以直线AD的方程为：，即 即，令，可得， 所以，所以 所以； （ii）如图所示，可得， ， 所以与的面积之和 当且仅当时，即时，等号成立， 所以与的面积之和的最小值为.    【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。 64．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆经过点，且焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，． ①若直线和的斜率存在且分别为，，求证：为定值； ②求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程； （2）①由，关于对称，设的方程，，，，利用直线的斜率公式，即可求得为定值；②分类讨论，当所在直线与轴垂直时，求得点坐标，即可求得四边形面积，当所在直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理求得，利用两平行线之间的关系求得，根据平行四边形的面积公式，利用二次函数的性质，即可求得四边形面积的最大值． 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）①因为，，，四点都在椭圆上，直线与交于点， 所以四边形为平行四边形， 又直线，的斜率均存在， 所以设的方程，，，， 显然， 椭圆的方程，则，， 所以， 又，， ， 为定值； ②由（1）可知：椭圆的左焦点，右焦点， 当所在直线与轴垂直时，则所在直线方程为，代入，得，则，，所以，， 平行四边形的面积； 当所在直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，得． 显然，设，，则，， ， 两条平行线间的距离， 平行四边形的面积 ， 由，，， 设，由在上单调递减， ， ， 综上，平行四边形面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 65．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，定值为 【分析】（1）根据题意和可得，然后根据点在双曲线上即可求解； （2）依题意可设PQ：，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到，利用韦达定理和已知条件求出的表达式，然后求出的表达式，化简即可求证. 【详解】（1）因为，，成等差数列，所以， 又，所以. 将点的坐标代入C的方程得，解得， 所以，所以C的方程为. （2）依题意可设PQ：， 由，得,    设，，，则. ，， 则， 而， 所以， 所以是定值，定值为. 【点睛】关键点点睛： （1）本题的关键是根据题目条件得到等式，解方程组； （2）本题的关键是把目标转化成两根之和以及两根之积的形式，然后代入韦达定理化简. 66．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知圆与圆：关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为，记四边形的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的方程，明确圆心与半径，结合点关于直线对称的问题解决，可得答案； （2）设出直线，利用几何法求得弦长，整理面积的函数表达式，利用二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）    由，则圆心，半径， 设直线，可知其斜率， 过并垂直于直线的直线斜率，则其方程， 整理可得，联立可得，解得， 设，则，解得，所以， 由圆与圆关于直线对称，则圆的半径， 所以圆. （2）由题意可知，由，当斜率不存在时，斜率为，易知此时不符合题意； 由，则设，由，则设， 将代入直线的方程，可得，则， 点到直线的距离，， 点到直线的距离，， 令，由，则，且，， 由在四边形中，则， 由于，故当时，此时最大为， 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 67．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1)或 (2)①；②证明见详解 【分析】（1）根据题意分析可知：圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①分析可知，即可得方程；②设直线的方程为，设、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所有为定值． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 68．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值； (2)求的面积； (3)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)过定点， 【分析】（1）先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得； （2）根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可； （3）设方程，含参表示方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可. 【详解】（1） 由题知：直线方程为，则由，得到，即， 点为线段的中点，，即， . （2） 由，则圆心； 到直线距离为， ， 又到直线的距离为，边上的高为.. （3）    由圆与轴交于两点，得， 不妨设直线的方程为，其中， 在直线的方程中，令，可得， 因为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 则线段的中点为，圆的半径平方为， 所以，以线段为直径的圆的方程为， 即， 由，解得， 因此，当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是（3）设直线的方程为，则直线的方程为，由表示的中点为，圆的半径平方为，得以线段为直径的圆的方程，可得以线段为直径的圆过圆内的一定点. 69．（23-24高二下·湖南·期中）已知椭圆，左､右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.    (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积； (3)如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 【答案】(1)椭圆 的方程为 , 离心率 . (2) (3) 【分析】（1）根据为等边三角形得到关系，求出其方程，再利用离心率公式即可； （2）写出双曲线方程，联立椭圆方程即可得到，再计算面积即可； （3）联立椭圆方程与直线方程，根据相切得到，再求出点坐标，最后消元即可. 【详解】（1）是面积为的等边三角形，， 椭圆的方程为，离心率. （2）由题意得双曲线中的，则， 所以双曲线方程为， 联立椭圆方程解得:，即， .    （3）由题易知，则联立， 得， ，即， 设为，则， 直线，令，解得，则， 令，则，则， . 则点的轨迹方程为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是联立直线方程与椭圆方程，根据判别式为0得到，再根据直线垂直得到直线方程，从而得到坐标，即得到的坐标，最后消元即可得到轨迹方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷02 一、单选题 1．（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京西城·期中）已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·辽宁大连·期末）边长为2的正三角形所在平面为平面，平面外有一点，且三棱锥的体积为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．18 7．（23-24高二上·广东江门·期末）已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏徐州·期中）设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·四川·期中）已知分别是椭圆的左､右焦点，第一象限内的点在上，，直线的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（23-24高二上·河南信阳·期末）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左支交于点A，B，若则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（    ） A．平面，且到平面的距离为 B．与平面不平行，且与平面所成角大于30° C．与平面不平行，且与平面所成角小于30° D．与平面不平行，且与平面所成角等于30° 13．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 14．（23-24高二下·重庆·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·浙江·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（    ）    A． B． C．2 D． 16．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（2024·浙江·模拟预测）双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 18．（23-24高二上·四川达州·期中）已知圆C: ，直线：，直线被圆C截得的弦长最短时，实数m的值为（     ） A． B． C．1 D． 19．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·四川凉山·期中）已知点P是直线l：与x轴的交点，直线l绕点P逆时针方向旋转45°得到直线，则直线与直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·江西景德镇·期中）已知直线恒过定点，圆：上的两点，满足，则的最小值为（    ） A．13 B．18 C．23 D．28 22．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二下·甘肃甘南·期中）正方体的棱长为是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 24．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是的中点，点满足，下列选项中一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·山西大同·期中）月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.某月光石的截面曲线可近似看成由半圆和半椭圆组成.圆的半径､椭圆的短半轴长都为1，椭圆的焦距为是曲线上不同的两点，为坐标原点，的面积为，则（    ） A．线段的最大值为 B．若在半圆上，则的最大值为 C．当轴时，的最大值为 D．若在半椭圆上，当时，取得最大值 26．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点（不同于左、右顶点），则下列说法正确的是（    ） A．当直线l与x轴垂直时， B．△ABF1的周长为 C．的内切圆的面积的最大值为 D．的最小值为4 27．（23-24高二上·全国·期中）已知抛物线：的准线与轴交于点，为坐标原点，点，是抛物线上异于点的两个动点，线段与轴交于点，则（   ） A．若为抛物线的焦点，则线段的长度的最小值为4 B．若为抛物线的焦点，则为定值 C．若与的面积之积为定值，则为抛物线的焦点 D．若直线和直线都与抛物线相切，则为抛物线的焦点 28．（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线经过抛物线的焦点F，且l与C相交于A，B两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．以为直径的圆和抛物线C的准线相切 29．（23-24高二上·山西·期末）已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（    ） A．当为双曲线上一点时，的面积为4 B．当点坐标为时， C．当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为 D．当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为 30．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1 B．的最小值为 C．若为直角三角形，则的面积为 D．的范围为 31．（23-24高二上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ） A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．圆C与曲线：恰有三条公切线，则 C．过点作圆的一条切线，切点为Q，可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 32．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知圆，直线.则下列命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为 33．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 34．（23-24高二下·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 35．（23-24高二上·江苏苏州·期末）如图，在平行六面体中，已知，，为棱上一点，且，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与平面所成角为 36．（23-24高三上·湖南常德·期末）如图，在多面体ABCDEP中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且DE∥PA，，M，N分别是线段BC，PB的中点，Q是线段CD上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A．存在点Q，使得NQ⊥PB B．存在点Q，使得异面直线NQ与PE所成的角为30° C．三棱锥Q-AMN体积的取值范围为 D．当点Q运动到CD中点时，CD与平面QMN所成角的正弦值为 37．（24-25高二上·河南漯河·期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（    ） A． B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离是 D．异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题 38．（23-24高二上·安徽阜阳·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于，两点.若四边形的面积为，则的离心率为 . 39．（23-24高二上·云南文山·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，.若椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，则椭圆的标准方程为 ；若在轴上方的上存在两个不同的点，满足，则椭圆离心率的取值范围是 . 40．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与交于两点.若的面积是面积的2倍，则的离心率为 . 41．（2024·云南昆明·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为 . 42．（23-24高二上·江苏南通·期中）设a，b是实数，若椭圆与直线交于点A，B，点M为AB的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆方程为 . 43．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知，是双曲线的两个焦点，点是双曲线的右顶点，是双曲线渐近线上一点，满足，若以为焦点的抛物线经过点，则此双曲线的离心率为 . 44．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 ． 45．（23-24高二上·江苏盐城·期中）设点是函数图象上任意一点，点的坐标，当取得最小值时圆：上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为 . 46．（23-24高二上·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，两动直线：与：相交于点A， O为原点，则线段的长度的最大值是 . 47．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知A，是圆上两点，且.若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为 . 48．（24-25高二上·辽宁·期中）已知圆：与圆：交于A，B两点，当变化时，的最小值为，则 ． 49．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则 .    50．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知三棱锥，点满足：，过点作平面，与直线，，分别相交于三点，且，，，则 . 51．（23-24高二下·江苏南京·期中）长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是 ；当点到直线的距离为时，的值为 ． 52．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 53．（24-25高二上·辽宁·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为 . 四、解答题 54．（23-24高二上·安徽铜陵·期中）已知圆的圆心为（且），，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆的圆心，求圆的方程； (3)在（2）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值． 55．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 56．（22-23高二下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角.动点在线段上. (1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值. 57．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点.    (1)若为中点，证明：面； (2)若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 58．（2024·广东广州·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值. 59．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. (1)求动点的轨迹方程； (2)为线段的中点，求点的轨迹方程； (3)过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 60．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 61．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆：，直线过点且与圆交于点B，C，中点为D，过中点E且平行于的直线交于点P，记P的轨迹为. (1)求的方程； (2)坐标原点O关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与交于点M，N，直线，相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明. ①的面积是定值；②的面积是定值；③的面积是定值. 62．（2024·天津和平·一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆C的方程； (2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：. 63．（23-24高二下·四川泸州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点. （i）求点的坐标； （ii）求与的面积之和的最小值. 64．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆经过点，且焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，． ①若直线和的斜率存在且分别为，，求证：为定值； ②求四边形面积的最大值． 65．（23-24高二下·陕西西安·期中）已知双曲线经过点，右焦点为，且成等差数列. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于两点（在的上方），的中点为在直线上的射影为为坐标原点，设的面积为，直线的斜率分别为，试问是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 66．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知圆与圆：关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为，记四边形的面积为，求的取值范围. 67．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 68．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值； (2)求的面积； (3)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 69．（23-24高二下·湖南·期中）已知椭圆，左､右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.    (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积； (3)如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$