精品解析：湖北省恩施土家族苗族自治州恩施市龙凤镇民族初级中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

恩施市龙凤镇民族初级中学2024年秋季学期期中考试 八年级数学学科试题卷 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）． 1. 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是 A. 1，2，6 B. 2，2，4 C. 1，2，3 D. 2，3，4 2. 如图，在中，点E是的中点，，，的周长是25，则的周长是（　　） A. 18 B. 22 C. 28 D. 32 3. 一个多边形的内角和比外角和多540°，这个多边形为( ) A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 4. 如图，三角形一外角为140，则1的度数为（ ） A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 5. 如图，和是两个直角三角形，且点B，C，D在同一条直线上，若，则线段和线段的关系是（ ） A. 既不相等又不互相垂直 B. 相等但不互相垂直 C. 互相垂直但不相等 D. 相等且互相垂直 6. 如图，已知太阳光线和是平行的，在同一时刻，如果将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，那么在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断的依据是( ) A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ） A. 0.4 cm2 B. 0.5 cm2 C. 0.6 cm2 D. 0.7 cm2 9. 如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），给出以下四个结论：①②是等腰直角三角形③④．上述结论中始终正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）． 11. △ABC中，如果AB＝8cm，BC＝5cm，那么AC的取值范围是_____． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____． 13. 如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为______． 14. 如图，的两条内角平分线，相交于点O，两条外角平分线，相交于点P，已知，则_________． 15. 如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则___________． 三、计算题：（本大题共9小题，共75分）． 16. 已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°. 求证：AO=BO. 17. 已知：如图，，，，，求：的度数． 18. 如图，正方形的四个顶点都是格点，点是格点，且在边上．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图． （1）找到格点，并连接，使，且； （2）连接，过作于点； 19. 如图，中，、是角平分线，它们相交于点O，是高，，求及的度数． 20. 如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 21. 如图，在中，，在边上取一点D，使得，过B作的平行线，过D作的垂线与交于点E，连结． （1）求证：． （2）若，求的度数． 22. 如图，在中，，点D在边上，点E在边上，且，连结． （1）当，求的度数； （2）当点D在（点B、C除外）边上运动时，试写出与的量关系，并说明理由． 23. 【问题情境】（1）如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与等吗？请你给出证明； 【变式拓展】（2）如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F，过点P作于点M，试解决下列问题： ①与还相等吗？为什么？ ②若，求的值． 24. 如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a，b满足． （1）如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若D为的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恩施市龙凤镇民族初级中学2024年秋季学期期中考试 八年级数学学科试题卷 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）． 1. 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是 A. 1，2，6 B. 2，2，4 C. 1，2，3 D. 2，3，4 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【详解】A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误； B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误； C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误； D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确； 故选D． 2. 如图，在中，点E是的中点，，，的周长是25，则的周长是（　　） A. 18 B. 22 C. 28 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点得到，再表示出和的周长，找出它们的联系即可． 【详解】∵点E是的中点， ∴， ∵，， ∴的周长， ∴， ∴的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的中线，注意两个三角形周长的关系是解题的关键． 3. 一个多边形的内角和比外角和多540°，这个多边形为( ) A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°，外角和等于360°列出方程即可解决问题. 【详解】解：设多边形的边数是n， 根据题意得，(n﹣2)•180°﹣540°＝360°， 解得n＝7. 故选：C. 【点睛】本题考查多边形外角和与多边形内角和公式，熟记多边形外角和度数与内角和公式是解决本题的关键。 4. 如图，三角形一外角为140，则1的度数为（ ） A. 100 B. 110 C. 120 D. 130 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质求出∠2，根据平角的定义计算即可． 【详解】解：由三角形的外角性质可知，∠2＝140°−80°＝60°， ∴∠1＝180°−∠2＝180°−60°＝120°， 故选C． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 5. 如图，和是两个直角三角形，且点B，C，D在同一条直线上，若，则线段和线段的关系是（ ） A. 既不相等又不互相垂直 B. 相等但不互相垂直 C. 互相垂直但不相等 D. 相等且互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据得到，，，结合直角三角形的性质即可得到答案 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∴， ∴线段和线段相等且互相垂直， 故选：D． 6. 如图，已知太阳光线和是平行的，在同一时刻，如果将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，那么在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断的依据是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得出，进而得，据此即可判定和全等，从而得出答案． 【详解】解：如图， ， 依题意得：， ， 在和中， ， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解答此题的关键是理解题意，找出，进而找出判定三角形全等的判定条件． 7. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查坐标与图形性质，作图-基本作图，解题关键在于掌握作图法则：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得，然后再整理可得答案； 【详解】解：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上， ∵点P的坐标为， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ） A. 0.4 cm2 B. 0.5 cm2 C. 0.6 cm2 D. 0.7 cm2 【答案】B 【解析】 【详解】解：延长AP交BC于E， ∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P， ∴∠ABP=∠EBP， 又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°， ∴△ABP≌△BEP， ∴， ∴△APC和△CPE等底同高， ， ∴， 故选：B． 9. 如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），给出以下四个结论：①②是等腰直角三角形③④．上述结论中始终正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等（△APF≌△BPE，△APE≌△CPF），根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断． 【详解】解：如图， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵∠BAC=90°，P是BC中点， ∴AP=CP， ∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角， ∴∠1=∠2， 在△APE与△CPF中， ， ∴△APE≌△CPF（ASA）， 同理可证△APF≌△BPE， ①由△APE≌△CPF得到AE=CF，故①正确； ②由△APE≌△CPF得到PE=PF， ∵∠EPF是直角， ∴△EPF是等腰直角三角形，故②正确； ③由△APE≌△CPF得到S△APE=S△CPF， 则S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△ABC， ∴故③正确； ④∵△APF≌△BPE，△APE≌△CPF， ∴BE=AF，CF=AE， ∴BE+CF=AF+AE＞EF，∴④错误； 正确结论为①②③，共3个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力． 10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）． 11. △ABC中，如果AB＝8cm，BC＝5cm，那么AC的取值范围是_____． 【答案】3cm＜AC＜13cm． 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边可得:3cm<AC<13cm. 【详解】解:AB=8cm,BC=5cm, 3cm< AC<13cm. 【点睛】此题考查了三角形的三边关系:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.解题时注意别漏单位. 12. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____． 【答案】15 【解析】 【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得． 【详解】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q， 由作图知CP是∠ACB的平分线， ∵∠B=90°，BD=3， ∴DB=DQ=3， ∵AC=10， ∴S△ACD=•AC•DQ=×10×3=15， 故答案为15． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，三角形面积，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质． 13. 如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为______． 【答案】225° 【解析】 【分析】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值． 【详解】解：如图所示： 在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠5=∠BCA， ∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°， 在Rt△ABD和Rt△AEH中， ∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL）， ∴∠4=∠BDA， ∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°， ∵∠3=45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°． 故答案为：225°． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解． 14. 如图，的两条内角平分线，相交于点O，两条外角平分线，相交于点P，已知，则_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查有关角平分线的计算，三角形内角和定理，根据得到，结合角平分线得到，从而得到，最后结合角平分线求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵的两条内角平分线，相交于点O， ∴， ∴， ∵两条外角平分线，相交于点P， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则___________． 【答案】50或25##25或50 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分 ∴ 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1， ∵， ∴； ②当时，如图2， ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：50或25． 【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键． 三、计算题：（本大题共9小题，共75分）． 16. 已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°. 求证：AO=BO. 【答案】 证明：∵∠C=∠D=90°， ∴△ACB和△ADB为直角三角形， 在Rt△ACB和Rt△ADB中， ∴Rt△ACB≌Rt△ADB， ∴∠ABC=∠BAD， ∴OA=OB 【解析】 【分析】利用HL证明Rt△ACB≌Rt△ADB，得到∠ABC=∠BAD，即可得到OA=OB 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，以及等腰三角形的判定，解决本题的关键是证明Rt△ACB≌Rt△ADB． 17. 已知：如图，，，，，求：的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的外角性质可得，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 18. 如图，正方形的四个顶点都是格点，点是格点，且在边上．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图． （1）找到格点，并连接，使，且； （2）连接，过作于点； 【答案】（1） 如图，格点即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）在延长线上取格点，连接、，使得，会有，即，结合，可证，则，，故，即，则，故格点即为所求； （2）连接，在点的左侧，过点的水平网格线上取格点；在点的右侧，过点的水平网格线上取格点，使得，会有，连接交于点，连接，根据“两直线平行，内错角相等”，可得、，可证，可得，即点为的中点，根据、等腰三角形三线合一的性质，可得，故即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了网格作图，涉及了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形三线合一的性质等，灵活运用知识点作图是解题的关键． 19. 如图，中，、是角平分线，它们相交于点O，是高，，求及的度数． 【答案】∠DAC= 40°，∠BOA= 115°． 【解析】 【分析】由直角三角形两锐角互余知∠DAC=40度，根据三角形内角和定理得∠CAB+∠ABC= 130°，AF、BE是角平分线，则∠BAO+∠ABO= (∠CAB +∠ABC)=65°，从而得出答案． 【详解】解：∵AD 是高，∠C=50° ∴∠ADC= 90°， ∴∠DAC= 90°-50°=40°， ∵∠C= 50°， ∴∠CAB+∠ABC = 130°， ∵AF、BE是角平分线， ∴∠BAO+∠ABO= (∠CAB +∠ABC)= ×（180°-50°）=×130°=65°， ∴∠BOA= 180°- 65° = 115°． 【点睛】本题主要考查了高的概念、直角三角形的性质、三角形内角和定理，角平分线的定义，做题的关键是角平分线性质的运用． 20. 如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯高度相同（），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量线段的长度；②测量线段的长度 测量数据 米，米 （1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由； （2）猜想两个滑梯和所在直线的位置关系，并证明． 【答案】（1） ． 理由：∵米，米 ∴米，， ∵米， ∴， 在和中， ∴ ∴，即和的长相等． （2） ． 理由：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，关键是掌握全等三角行的判定以及性质． （1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）延长交于点，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，在边上取一点D，使得，过B作的平行线，过D作的垂线与交于点E，连结． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】 （1）证明：∵BE∥AC， ∴∠BAC=∠EBD， ∵DE⊥AB， ∴∠EDB=90°， ∴∠EDB=∠C， 又∵BD=AC， ∴△ABC≌△BED（ASA）． （2）17° 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAC=∠EBD，可证明△ABC≌△BED（ASA）； （2）由（1）可知AB=BE，则∠EAB=∠AEB，求出∠EAB的度数，则可求出答案． 【详解】解：（1） 略 （2）∵△ABC≌△BED， ∴AB=BE， ∴∠EAB=∠AEB， ∵∠BAC=34°， ∴∠EBD=34°， ∴∠EAB= =73°， ∴∠AED=90°-∠EAB=90°-73°=17°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，在中，，点D在边上，点E在边上，且，连结． （1）当，求的度数； （2）当点D在（点B、C除外）边上运动时，试写出与的量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）本题考查三角形内角和定理与内外角关系，根据内外角关系得到 ，结合得到，再结合，即可得到答案； （2）本题考查三角形内角和定理与内外角关系，根据内外角关系得到 ，结合得到，再结合即可得到答案； 【小问1详解】 解：在中，， ∵， ∴， ∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 23. 【问题情境】（1）如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与等吗？请你给出证明； 【变式拓展】（2）如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F，过点P作于点M，试解决下列问题： ①与还相等吗？为什么？ ②若，求的值． 【答案】问题情境： 解：，证明如下： 过点P作于M，于N， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 在与中， ∵， ∴， ∴； 变式拓展： ①解：，理由如下： 过点P作于M，于N， ∵平分，，， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； ②6； 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，角平分线的性质； 问题情境：过点P作于M，于N，根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求证； 变式拓展：①过点P作于M，于N，根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求解； ②先证得，可得，再由得到即可求解； 【详解】问题情境：略 变式拓展： ①略 ②解：由①得， ∵， ∴， ∵在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a，b满足． （1）如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，若D为的中点，M为y轴正半轴上一动点，连接，过D作交x轴于N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】（1）； （2） 证明：过O分别作于M点，作于N点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； （3）的值不发生改变，等于9 【解析】 【分析】（1）先依据非负数的性质求得a、b的值，从而可得到，然后再，，最后，依据可证明，得出，从而得出点P的坐标； （2）过O分别作于M点，作于N点，利用证明，得出，再根据角平分线得到判定即可得出平分，从而求出；（3）连接，易证，从而有，由此可得； 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵C的坐标为， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的值不发生改变，等于9，理由如下： 如图：连接， ∵，，D为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∵即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（2）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $