12.1 三角形（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第十二章 三角形 12.1 三角形（3大题型提分练） 题型一 三角形的识别与有关概念 1．下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，是基础题，需熟记．根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 所以正确的有两个． 故选：B． 2．若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短可得，据此可得答案． 【详解】解：∵线段分别是中线BC上的高和中线，而垂线段最短， ∴， 故选C． 3．如图，在长方形中，，点在边上（不与点重合），点在边上（不与点重合），若图中直角三角形有个，钝角三角形有个，则的值为（    ）      A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据直角三角形的定义及钝角三角形的定义可知，，再根据乘方的运算法则即可解答． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴直角三角形有，总共个， ∴， ∴钝角三角形有，总共个， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了直角三角形的定义，钝角三角形的定义，乘方的运算法则，掌握直角三角形的定义及钝角三角形的定义是解题的关键． 4．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，高为顶点到对应边的最短线段，中线在三角形内，由此可解． 【详解】解：如图，    中，，E为的中点，为边的高， 则是最长的边， 是最长的中线，是最长的高， 由图可知， 因此． 故选A． 【点睛】本题考查与三角形有关的线段，根据题意画出示意图是解题的关键． 5．如图，在中，的对边是 ，在中，的对边是 ，在中，边的对角是 ．    【答案】 【分析】根据三角形的定义，找准所在三角形，然后确定答案即可． 【详解】解：由图可知： 在中，的对边是，在中，的对边是，在中，边的对角是， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了三角形的概念，熟练掌握三角形的相关概念，找准三角形是解题的关键． 6．如图所示． （1）图中共有 个三角形，它们是 ； （2）线段是 ， ， 的边； （3）是 ， ， 的角． 【答案】 6 【分析】（1）首先根据给出的图形，写出所有的三角形，进而确定个数即可； （2）根据三角形的边的定义作答即可； （3）根据三角形的角的定义作答即可． 【详解】解：（1）由图可知，图中的三角形有：，共6个， 故答案为：6，； （2）由图可知： 以为边的三角形有、、， 故答案为：，，； （3）由图可知： 是、、的角， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查三角形的概念及相关基础问题，熟练掌握三角形的相关概念是解题的关键． 7．如图所示，在中，，是的中点，延长交于点，为上一点，交于点．①是的角平分线；②是的边上的中线；③为的边上的高；④是的角平分线和高线，其中判断正确的有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高． 【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故此说法不正确； ②根据三角形的中线的概念，知是的边上的中线，故此说法不正确； ③根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故此说法正确； ④根据三角形的角平分线和高的概念，知是的角平分线和高线，故此说法正确． 故答案为：②③④． 8．如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了三角形的有关概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】在中，所对的边是；在中，边所对的角是， 故答案为：；． 9．如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积． 【答案】20 【分析】本题考查了构造等腰直角三角形求不规则图形的面积，先把图形补全成为等腰直角三角形，求解即可，补充图形是解题的关键． 【详解】解：延长交于点E ∵A是，角D是， ∴角E是，如图所示： ， ∴是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形， 则四边形的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差， 即， 答：四边形的面积20． 10．（1）用刻度尺量出图中三角形三条边的长． ； ； ． （2）用“=”“<”“ >”填入下面的空格． ， ， ． 【答案】（1）3；3；2；（2）=；； 【分析】本题主要考查了三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．根据三角形的性质计算即可； 【详解】解：（1）根据测量可得：，，； 故答案为：3；3；2； （2），，． 故答案是：=；；． 题型二 三角形的个数问题 1．图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 由D、E、C三点分别与端点相连，可构成3个三角形， 【详解】解：图中以为边的三角形有：，，．共有3个． 故选：B． 2．如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要查了三角形的个数．根据三角形定义解答即可． 【详解】解：图中的三角形有：，共16个， 故选：D 3．如图所示的图形中，三角形的个数是（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的个数问题，掌握不在同一直线上三点可以确定一个三角形成为解题的关键． 根据不在同一直线上三点可以确定一个三角形进行解答即可． 【详解】解：根据图示知，图中的三角形有：，共有5个． 故选：C． 4．如图，图中三角形的个数共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据三角形的定义， 找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论． 【详解】图中是三角形的有：、、、、． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形， 牢记三角形的定义是解题的关键． 5．如图，以为边的三角形的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形的认识．根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：以为边的三角形的有，一共有4个． 故答案为：4． 6．如图，以为边的三角形有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形的认识．根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：以为边的三角形的有，，一共有2个． 故答案为：2． 7．如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 . 【答案】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数． 【详解】解：观察图形可知： 从点首先连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， 再连接，不同的三角形个数为， ， ∴连接到时，图中有个三角形(n为正整数)， 故答案为：． 8．如图，在中，边BE所对的角是 ，所对的边是 ；在中，边AE所对的角是 ，所对的边是 ；以为内角的三角形有 ． 【答案】 CE AC ，， 【解析】略 9．如图，在中，为AC边上不同的n个点，首先连接，图中出现了3个不同的三角形，再连接，图中便有6个不同的三角形…… (1)完成下表： 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 (2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ (3)若一直连接到，则图中共有多少个三角形？ 【答案】(1)3，6，10，15，21，28；(2)8；(3) 【分析】(1)根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数．所以当上面有3个分点时，有6+4=10；4个分点时，有10+5=15；5个分点时，有15+6=21；6个分点时，有21+7=28；7个分点时，有28+8=36； (2)若出现45个三角形，根据上述规律，则有8个分点； (3)若有n个分点，则有()()． 【详解】(1) 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 10 15 21 28 (2)由(1)中表格：7个分点时，有28+8=36；8个分点时，有36+9=45； ∴出现了45个三角形，则共连接了8个点； (3)设连接到AAn时，图中有个三角形(n为正整数)． 观察图形和(1)中表格，可知：=2+1=3，=3+2+1=3，=4+3+2+1=10，， ∴ =()()， ∴若一直连接到，则图中共有()()个三角形． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数． 10．如图所示： (1)图中有几个三角形？把它们一一说出来． (2)写出的三个内角． (3)含边的三角形有哪些？ 【答案】(1)图中有7个三角形，即 (2)的三个内角是 (3)含边的三角形有 【分析】本题考查了三角形的定义，角的写法，查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形． 【详解】（1）解：图中有7个三角形， 分别为：； （2）解：在中， 它的三个内角是； （3）解：由（1）知图中有7个三角形，即， 含边的三角形有． 题型三 三角形的分类 1．在中．若，则是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类即可求解，掌握三角形的分类是解题的关键． 【详解】解：∵，和无法确定， ∴可能是锐角三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形， 故选：． 2．三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类，要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别．根据三角形按边的分类方法即可确定． 【详解】解：三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形，等腰三角形包括腰和底不相等的等腰三角形和等边三角形， 故选：B． 3．（三角形的性质）在三角形中，三个内角是、、，若，那么这个三角形一定是（   ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的性质， 根据三角形内角和为180度得出，在结合，即可得出，则可得出答案． 【详解】解：因为， 所以 所以， 所以这个三角形是直角三角形， 故选：B． 4．一个三角形中，最小角大于，这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的分类，根据如果一个三角形中，最小角大于，则三角形中的最大角小于，即可得出答案． 【详解】解：如果一个三角形中，最小角大于，则三角形中的最大角小于，故另外两个角一定是锐角，这个三角形是锐角三角形， 故选：A． 5．三角形按角分可以分为锐角三角形，直角三角形和 ． 【答案】钝角三角形 【分析】根据三角形的分类，按角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，据此解答即可． 【详解】解：三角形按角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 故答案为：钝角三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟练掌握三角形按角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，是解题的关键． 6．中，，于，，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当是锐角三角形或钝角三角形时，分别画出合适的图形，再由角的和差解题． 【详解】解：分两种情况讨论： 当是锐角三角形时，如图， 于，， ； 当是钝角三角形时，如图， 于，， ； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形的分类，是基础考点，正确画出图形，分类讨论解题是关键． 7．设、、是三角形的三边长，且满足，则此三角形的形状为 ． 【答案】等腰三角形 【分析】本题考查了完全公式公式、平方差公式的应用，等式的性质，先整理，得出，结合、、是三角形的三边长，得出，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则 ∵、、是三角形的三边长， ∴ ∴ ∴此三角形的形状为等腰三角形， 故答案为：等腰三角形 8．等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 【答案】 20 锐角 【分析】本题主要考查了三角形的分类．设顶角度数为，则，即可解得，故三个内角度数为20，80，80，即可得它是锐角三角形． 【详解】解：设顶角度数为，则， 解得， 故三个内角度数为20，80，80， 它是锐角三角形． 故答案为：20，锐角． 9．已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 【答案】为等腰三角形 【分析】本题考查非负性和三角形的分类，根据非负性求出的值，进而判断出的形状即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 10．说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【答案】锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有： 【分析】根据三角形的分类进行求解即可． 【详解】解：由题意得：锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键． 1．如图，是的高，点在上，且，图中，与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得到∠BAD=∠ADE，再由三角形高的定义得到∠BAD+∠EDC=90°，则． 【详解】解：∵， ∴∠BAD=∠ADE， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC=90°， ∴∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠BAD+∠EDC=90°， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形高的定义，熟知相关知识是解题的关键． 2．如图，与没有公共边的三角形是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接找两个三角形的公共边即可． 【详解】解：三角形的公共边即两个三角形共同的边． ，两个三角形没有公共边； ，两个三角形的公共边为； ，两个三角形的公共边为； ，两个三角形的公共边为． 故选． 【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题． 3．如图，，，则以为高的三角形的个数是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据高的定义即可确定相应三角形，一一列举即可求解．从三角形的一个顶点向底边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高． 【详解】于 即图中所能写出的三角形的高均为 以为高的三角形有个：；；；；； 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角形的高，解题关键是熟练掌握三角形高的定义． 4．如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A．10 B．15 C．21 D．28 【答案】C 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为3=1+2； 第③个图中三角形的个数为6=1+2+3； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑥个图形中三角形的个数为：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是规律性问题，解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值． 5．如图，一个三角形的下都被一张纸遮住了，只露出了一个角，这个三角形是（    ）三角形． A．钝角 B．锐角 C．直角 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据三角形最大的内角的大小可将三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，据此即可解答． 【详解】解：根据题意无法判断被纸遮住的两个角的情况，故无法判断这个三角形是什么类型的三角形． 故选：D 6．如图，，分别是的边和上的点，与的周长相等，与的周长相等．设，，．则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的识别与有关概念，等式的性质，整式的加减运算等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据与的周长相等，可以得出：，等式的左右边正好是周长的一半，即，由于已知，于是可求出的长，同理可求出的长． 【详解】解：与的周长相等，，，， ， ， ， ， ； 与的周长相等，，，， ， ， ， ， ； 故答案为：，． 7．△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则△ABC周长为 cm． 【答案】2400． 【分析】由“三条边的长度比为3：4：5",设△ABC三边分别是3xm、4xm、5xm 、利用最长边为10m，列出方程,即得三角形的周长. 【详解】解：设△ABC三边分别是3xm、4xm、5xm， ∵最长边为10m， ∴5x＝10， 解得：x＝2， ∴3x＝6，4x＝8， ∴6+8+10＝24（m）＝2400cm， 故答案为：2400． 【点睛】本题考查了三角形的周长问题，解题的关键是根据比例设未知数，列出方程，解方程. 8．如图在的边上取三个点，，，连接，，，则边上有 条线段，以 为顶点的角有 个，图中共有 个三角形．      【答案】 【分析】本题主要考查线段数量、角度的数量和三角形的个数，利用固定点可得到线段，上述线段都与点A组成角，即以 为顶点的角有10个；以 为顶点的角即组成对应的三角形． 【详解】解：根据题意得，线段有共10条线段； 以 为顶点的角 三角形有 上述线段都与点A组成交，即以 为顶点的角有10个； 以 为顶点的角即组成对应的三角形． 故答案为：10，10，10． 9．数一数图中共有（   ）个三角形． 【答案】44 【分析】本题主要考查分类讨论的思想，根据三角形中包含的小三角形的个数进行分类求解，再求总数即可． 【详解】解：由一个小三角形组成的三角形数量为16个； 由二个小三角形组成的三角形数量为16个； 由四个小三角形组成的三角形数量为8个； 由八个小三角形组成的三角形数量为4个； 则共有个， 故答案为：44． 10．已知a，b，c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形，②等边三角形，③直角三角形，④钝角三角形.以上结论正确的是 .（只填序号） 【答案】①②③ 【详解】∵a，b，c是三个正整数，且a+b+c=12，∴所有a，b，c可能出现的情况是：①2，5，5，等腰三角形；②3，4，5，直角三角形；③4，4，4，等边三角形.故正确的结论是①②③. 11．如图，以BD为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来． 【答案】详见解析. 【分析】先根据BD边找三角形，再根据∠1找三角形. 【详解】以BD为边的三角形有：△BDC，△BDO， 以∠1为内角的三角形有：△EOC，△ACD． 【点睛】本题考查了三角形的内角和边的概念，学会分类的方法找三角形是本题的解题关键. 12．如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形… （1）完成下表： 连接个数 出现三角形个数 若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ 若一直连接到An，则图中共有__________个三角形． 【答案】（1）图标见解析（2）8个点；（3） 【详解】试题分析:根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数．所以当上面有3个分点时，有6+4=10；4个分点时，有10+5=15；5个分点时，有15+6=21；6个分点时，有21+7=28；7个分点时，有28+8=36；若出现45个三角形，根据上述规律，则有8个分点； （1） 连接个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 10 15 21 28 （2）8个点； （3） 13．问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶 点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： 探究一：以的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把分割成3个互不重叠的小三角形． 探究二：以的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： 一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在的内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在上，如图③．显然，不管哪种情况，都可把分割成5个互不重叠的小三角形． 探究三：以的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图． 探究四：以的三个顶点和它内部的m个点，共个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形． 探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共个点为顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形． 问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶点，可把原n边形分割成 个互不重叠的小三角形． 实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？(要求列式计算) 【答案】探究三： 7，分割示意图见解析；探究四：；探究拓展；；问题解决：；实际应用：4030 【分析】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键． 探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可． 探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出个点分割的部分数即可． 探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解． 问题解决：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解． 实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体的数据，然后计算即可得解． 【详解】解：探究三： 7．分割示意图如下（答案不唯一）： 探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，， 三角形内部2个点时，共分割成5部分，， 三角形内部3个点时，共分割成7部分，， …， 所以，三角形内部有m个点时，共分割成部分． 探究拓展：四边形的4个顶点和它内部的m个点， 则分割成的不重叠的三角形的个数为：=． 问题解决：=． 实际应用：把，代入上述代数式，得． 14．分解因式：，以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”，根据以上阅读材料解决问题： 【跟着学】分解因式： ＝______． 【我也可以】分解因式：． 【拓展训练】已知，，为的三边长，若，试判断的形状． 【答案】【跟着学】，；【我也可以】；【拓展训练】为等边三角形 【分析】（1）根据提取公因式法和公式法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法，提取公因式以及公式法，进行因式分解即可； （3）对式子进行因式分解，得到，，的关系，即可求解． 【详解】解：【跟着学】 ． 故答案为：， 解：【我也可以】 解：【拓展训练】， ， ， ∴，， ∴， 从而得到为等边三角形， 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了分组分解法，公式法，提公因式法以及三角形的分类，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 15．阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如：，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：．像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题： （1）分解因式：； （2）的三边，，满足，判断的形状． 【答案】（1）；（2）等腰三角形，见解析 【分析】（1）应用分组分解法，把分解因式即可． （2）先因式分解，再求a，b，c的关系，判断三角形的形状． 【详解】解：（1）； （2）由，可得， 即， ∵在中，，， ，， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 三角形 12.1 三角形（3大题型提分练） 题型一 三角形的识别与有关概念 1．下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 3．如图，在长方形中，，点在边上（不与点重合），点在边上（不与点重合），若图中直角三角形有个，钝角三角形有个，则的值为（    ）      A． B． C． D．或 4．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，的对边是 ，在中，的对边是 ，在中，边的对角是 ．    6．如图所示． （1）图中共有 个三角形，它们是 ； （2）线段是 ， ， 的边； （3）是 ， ， 的角． 7．如图所示，在中，，是的中点，延长交于点，为上一点，交于点．①是的角平分线；②是的边上的中线；③为的边上的高；④是的角平分线和高线，其中判断正确的有 ． 8．如图，在中，所对的边是 ；在中，边所对的角是 ． 9．如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积． 10．（1）用刻度尺量出图中三角形三条边的长． ； ； ． （2）用“=”“<”“ >”填入下面的空格． ， ， ． 题型二 三角形的个数问题 1．图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 3．如图所示的图形中，三角形的个数是（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．如图，图中三角形的个数共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．如图，以为边的三角形的个数是 ． 6．如图，以为边的三角形有 个． 7．如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 . 8．如图，在中，边BE所对的角是 ，所对的边是 ；在中，边AE所对的角是 ，所对的边是 ；以为内角的三角形有 ． 9．如图，在中，为AC边上不同的n个点，首先连接，图中出现了3个不同的三角形，再连接，图中便有6个不同的三角形…… (1)完成下表： 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 (2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ (3)若一直连接到，则图中共有多少个三角形？ 10．如图所示： (1)图中有几个三角形？把它们一一说出来． (2)写出的三个内角． (3)含边的三角形有哪些？ 题型三 三角形的分类 1．在中．若，则是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 3．（三角形的性质）在三角形中，三个内角是、、，若，那么这个三角形一定是（   ）三角形． A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 4．一个三角形中，最小角大于，这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．三角形按角分可以分为锐角三角形，直角三角形和 ． 6．中，，于，，则 ． 7．设、、是三角形的三边长，且满足，则此三角形的形状为 ． 8．等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 9．已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 10．说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 1．如图，是的高，点在上，且，图中，与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 2．如图，与没有公共边的三角形是( ) A． B． C． D． 3．如图，，，则以为高的三角形的个数是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 4．如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A．10 B．15 C．21 D．28 5．如图，一个三角形的下都被一张纸遮住了，只露出了一个角，这个三角形是（    ）三角形． A．钝角 B．锐角 C．直角 D．无法确定 6．如图，，分别是的边和上的点，与的周长相等，与的周长相等．设，，．则 ， ． 7．△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则△ABC周长为 cm． 8．如图在的边上取三个点，，，连接，，，则边上有 条线段，以 为顶点的角有 个，图中共有 个三角形．      9．数一数图中共有（   ）个三角形． 10．已知a，b，c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形，②等边三角形，③直角三角形，④钝角三角形.以上结论正确的是 .（只填序号） 11．如图，以BD为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来． 12．如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形… （1）完成下表： 连接个数 出现三角形个数 若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ 若一直连接到An，则图中共有__________个三角形． 13．问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶 点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： 探究一：以的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把分割成3个互不重叠的小三角形． 探究二：以的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： 一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在的内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在上，如图③．显然，不管哪种情况，都可把分割成5个互不重叠的小三角形． 探究三：以的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图． 探究四：以的三个顶点和它内部的m个点，共个点为顶点，可把分割成 个互不重叠的小三角形． 探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共个点为顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形． 问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共个点作为顶点，可把原n边形分割成 个互不重叠的小三角形． 实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？(要求列式计算) 14．分解因式：，以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”，根据以上阅读材料解决问题： 【跟着学】分解因式： ＝______． 【我也可以】分解因式：． 【拓展训练】已知，，为的三边长，若，试判断的形状． 15．阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如：，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：．像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题： （1）分解因式：； （2）的三边，，满足，判断的形状． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$