第21讲 函数的单调性、极值与最值（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第21讲 函数的单调性、极值与最值 【人教A版2019】 模块一 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．含参函数的单调性的求解策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例1.1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在区间内单调递增 B．在区间内单调递减 C．在区间内单调递增，在区间内单调递减 D．在区间内单调递减，在区间内单调递增 【变式1.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 【变式1.2】（2024·湖北黄冈·一模）已知函数 (1)若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； (2)讨论的单调性. 【题型2 由函数的单调性求参数】 【例2.1】（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（24-25高三上·广东清远·阶段练习）设函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数为，在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2024·云南大理·模拟预测）若函数在为增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型3 函数单调性的应用】 【例3.1】（24-25高三上·广东清远·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知定义在上的函数关于直线对称，当时，，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）定义在 上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 模块二 函数的极值与最值 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．函数的最值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值， 并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 3．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【题型4 利用导数求函数的极值】 【例4.1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数，则（    ） A．的极小值点为 B．的极大值点为0 C．的极小值点为0 D．的极大值点为 【例4.2】（23-24高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知函数在处取得极值，则的极大值为（    ） A． B． C． D．1 【变式4.1】（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【变式4.2】（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的极大值． 【题型5 根据极值（点）求参数】 【例5.1】（23-24高三上·广东潮州·期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高三上·山东青岛·阶段练习）已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线过原点的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【变式5.2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数（，且）. (1)当时，证明：为增函数； (2)若存在两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）设的极大值为，求的取值范围. 【题型6 利用导数求函数的最值】 【例6.1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【例6.2】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）函数，已知在时取得极值，则上的最大值为（    ） A． B．1 C．9 D．4 【变式6.1】（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）已知函数. (1)求函数在点 处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【变式6.2】（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为. (1)比较和的大小； (2)讨论的单调性； (3)若有最小值，且最小值为，求的最大值. 【题型7 已知函数最值求参数】 【例7.1】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例7.2】（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数和有相同的最小值，求. 【变式7.2】（24-25高三上·海南·开学考试）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数的最大值为，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 3．（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 4．（24-25高三上·福建·阶段练习）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数有两个极值点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·河北·阶段练习）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数可以是（    ） A．0 B． C． D．1 10．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）设函数 ，则（    ） A． 是 的极小值点 B． C．当 时， D．当 时， 11．（24-25高三上·湖南益阳·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数存在三个不同的零点 B．函数既存在极大值又存在极小值 C．若时，，则t的最大值为2 D．当时，方程有且只有两个实根 三、填空题 12．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 13．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在处取得极大值，则 ． 14．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数 和有相同的最小值，则 . 四、解答题 15．（23-24高三上·福建泉州·开学考试）已知函数 (1)当时，求该曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间. 16．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数 (1)若，求在处的切线方程； (2)试讨论的单调性. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 18．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围. 19．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲 函数的单调性、极值与最值 【人教A版2019】 模块一 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．含参函数的单调性的求解策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例1.1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出导数，利用导数大于0可得答案. 【解答过程】函数 的定义域为 ， ， 由 得，解得 ， 所以 的单调增区间为 . 故选：B. 【例1.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在区间内单调递增 B．在区间内单调递减 C．在区间内单调递增，在区间内单调递减 D．在区间内单调递减，在区间内单调递增 【解题思路】求，通过在区间内的符号判断函数的单调性即可. 【解答过程】由题意， ， 当时，，则， 所以在区间上单调递减． 故选：B. 【变式1.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 【解题思路】（1）求导，根据导数符号判断的单调区间； （2）构建，分析可知在单调递增，求导整理可得，利用基本不等式运算求解. 【解答过程】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 所以的单调增区间为，无单调减区间． （2）因为， 则，即， 设函数，可知在单调递增． 且， 则在恒成立．即，可得， 又因为，当且仅当时等号成立， 可得，即． 所以的取值范围是． 【变式1.2】（2024·湖北黄冈·一模）已知函数 (1)若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； (2)讨论的单调性. 【解题思路】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义与斜率关系即可求解； （2）结合导数与单调性关系对的范围进行分类讨论即可求解． 【解答过程】（1），则． 曲线在点处的切线方程为， 则，解得， 由，解得， （2），函数定义域为， 则， 令，解得或， 若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增， 若，则在上恒成立，单调递增， 若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【题型2 由函数的单调性求参数】 【例2.1】（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题转化为导函数在区间上大于零有解，分离参数结合二次函数的性质计算范围即可. 【解答过程】由题意知，问题等价于在区间上有解， 即有解，而， 由二次函数的性质知，即. 故选：C. 【例2.2】（24-25高三上·广东清远·阶段练习）设函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数求出函数的单调区间，结合题意即可求. 【解答过程】由得， 因为，所以，， 由解得， 由解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为函数在区间上单调递减， 故，解得. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数为，在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用在上单调递增，结合导数求出的范围，再利用分段函数是增函数求出范围即可. 【解答过程】依题意，函数在上单调递增， 则对恒成立， 即，，而函数在上单调递增，，则， 显然函数在上递增， 又函数在上递增，则，解得，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式2.2】（2024·云南大理·模拟预测）若函数在为增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对恒成立，其中，令，则，从而得到，验证后得到答案. 【解答过程】，由题意对恒成立， 其中，令， 则需，其中，故， 当时，，故在上递增， ∴成立. 当时，取，易知在上单调递增， 若，则，所以在上递减， 故，与题意不符，舍去； 若时，，，所以存在，使得， 当时，，所以在上递减， 故，与题意不符，舍去； 综上得. 故选：A. 【题型3 函数单调性的应用】 【例3.1】（24-25高三上·广东清远·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，化简得到，构造函数，利用导数求得在上单调递减，得到，再由，得到，即可求解. 【解答过程】由指数幂与对数的运算法则，可得， 构造函数，则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以，故，即， 又由，而， 其中且，所以，即， 因为，所以，所以，所以. 故选：C. 【例3.2】（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据的奇偶性以及单调性，即可将问题转化为，即可求解. 【解答过程】记 ，则， 故为的奇函数， 又， 因此为上的单调递增函数， 因为， 由可得，进而， 故，解得， 故选：D. 【变式3.1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知定义在上的函数关于直线对称，当时，，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由的对称性确定是偶函数，再结合函数单调性即可比较大小. 【解答过程】因为关于直线对称，则是偶函数， 当时，，所以函数在上单调递增. 因为， 再比较和的大小，构造函数， 则，令，得，此时单调递增， 所以，也即， 结合函数在上单调递增及偶函数可知. 故选：C. 【变式3.2】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）定义在 上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由是奇函数，可得是偶函数，得到，令，得到，得出在上单调递增，再由，求得的周期为的周期函数，根据，得到，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解. 【解答过程】因为是奇函数，可得是偶函数， 又因为，所以， 令，可得，所以在上单调递增， 因为且是奇函数， 可得，则， 所以的周期为的周期函数， 因为，所以， 则不等式，即为，即， 又因为在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为． 故选：C． 模块二 函数的极值与最值 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．函数的最值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值， 并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 3．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【题型4 利用导数求函数的极值】 【例4.1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数，则（    ） A．的极小值点为 B．的极大值点为0 C．的极小值点为0 D．的极大值点为 【解题思路】首先利用导数求出函数的单调区间，再结合极值的概念即可得答案. 【解答过程】， 由得，， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以是的极大值点，无极小值点． 故选：D. 【例4.2】（23-24高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知函数在处取得极值，则的极大值为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】先求出a的值，再由导数求出单调性求解． 【解答过程】由题意知，，所以，解得， 所以，令，解得或， 由得，，或， 由得，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以的极大值为. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【解题思路】（1）对求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解； （2），对分，和讨论单调性即可. 【解答过程】（1）. 所以或时，，时，， 则在上递减，在递增， 所以的极小值为，极大值为. （2）， 当时，，所以在上递增， 当时，或时，；时，， 所以在上递增，在上递减， 当时，或时，；时，， 所以在上递增；在上递减． 【变式4.2】（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的极大值． 【解题思路】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到切线的斜率，再由斜截式得到切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可求出函数的极大值. 【解答过程】（1）当时，则，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，且， 当时恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值，不存在极大值； 当时，令，解得或， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，在处取得极小值， 所以的极大值为； 当时恒成立，所以在上单调递增， 则不存在极大值； 当时，令，解得或， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，在处取得极小值， 所以的极大值为； 综上所述，当或时不存在极大值； 当时的极大值为； 当时的极大值为. 【题型5 根据极值（点）求参数】 【例5.1】（23-24高三上·广东潮州·期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得在上有零点，即在上有实数根，利用基本不等式求出的最小值，可得，再验证是否满足即可. 【解答过程】的定义域为，， 要函数在上有极值， 则在上有零点，即在上有实数根. 令， 则，当且仅当时等号成立， 所以. 当时，，函数单调递增， 则函数在上没有极值， 故. 故选:D. 【例5.2】（23-24高三上·山东青岛·阶段练习）已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题转化为方程在有两个不相等实根，即有两个不同的交点，令，利用数形结合法求解． 【解答过程】解：，则， 要使函数在其定义域内既有极大值也有极小值， 只需方程在有两个不相等实根． 即，令，则． 当，， 当，， 在递增，在递减，当，， ， 其图象如下： ，． 故选：D． 【变式5.1】（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线过原点的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【解题思路】（1）把代入，设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过的点求得答案. （2）求导，按和分类讨论，并求出极小值，再建立不等式求解即得. 【解答过程】（1）当时，，求导得，设切点坐标为，则， 于是得切线方程为，而切线过原点，则，解得， 所以所求切线方程为，即. （2）函数的定义域为R，且， 当时，恒成立，即函数在R上单调递增，无极值，不合题意； 当时，由，解得；由，解得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 依题意，，则，解得， 所以a的取值范围为. 【变式5.2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数（，且）. (1)当时，证明：为增函数； (2)若存在两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）设的极大值为，求的取值范围. 【解题思路】（1）利用导数证得为增函数. （2）（i）先换元设，然后利用多次求导的方法，对进行分类讨论，根据极值点个数来求得的取值范围. （ii）根据（i），通过换元以及构造函数，结合导数来求得的取值范围. 【解答过程】（1）依题意，， 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 故，即，单调递增. （2）（i）设，则， 则. 设，则，即在上单减，在上单增， 当时，令，由，且在上单调递增， 故仅有一个零点，不符合题意； 当时，， ①当时，则，此时，，单调递增，不符合题意； ②当时，则，此时存在两个零点， 当时，；当时，，； 当时，，，存在两个极值点，符合题意. 综上可知，. （i i）由（i）可知，且，满足， 故， 设，则， 设，则， 故单调递减，且，则， 即. 【题型6 利用导数求函数的最值】 【例6.1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【解题思路】利用导数判断出函数的单调性即可得解. 【解答过程】的定义域为， 所以当时，，单调递减； 当时，单调递增， 所以的最小值为． 故选：D. 【例6.2】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）函数，已知在时取得极值，则上的最大值为（    ） A． B．1 C．9 D．4 【解题思路】利用，求得，代入利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解函数的最值. 【解答过程】因为函数， 所以， 因为在时取得极值， 所以，解得， 所以，， ， 令，则，解得或（舍）， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值为. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）已知函数. (1)求函数在点 处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）先利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即. （2）由，令，解得或， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，最小，且最小值为， 因为，，故最大值为. 【变式6.2】（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为. (1)比较和的大小； (2)讨论的单调性； (3)若有最小值，且最小值为，求的最大值. 【解题思路】（1）根据导数意义列方程即可求解； （2）求导，分和讨论导数符号即可得解； （3）利用（2）中结论表示出最小值，然后利用导数求最值即可. 【解答过程】（1），由题知， 整理得. （2）由（1）知，， 当时，恒成立，此时在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，无最小值， 当时，在处取得最小值，所以， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 即的最大值为. 【题型7 已知函数最值求参数】 【例7.1】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的导数，再求出在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正的值范围. 【解答过程】函数，求导得， 由在区间上有最小值， 得在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 令，则在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【例7.2】（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求导可得，可求得的极值点，同时确认在各个区间的单调性，即可求得. 【解答过程】由题意知，令，得或， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 令求得，或， 又因在上的最大值为4，故舍弃， 又在上单调递减，所以在上， 在单调递增，所以当时，， 所以a的取值范围为， 故选：D. 【变式7.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数和有相同的最小值，求. 【解题思路】（1）利用导数工具研究函数的单调性，进而得函数即可得证； （2）利用导数分别求出函数和的单调性，进而得和，令得，构造函数，再利用导数求出在区间上是单调递增的且即可得解. 【解答过程】（1）当时，， 令，得，令，得， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增， 所以有最小值，所以当时，. （2）由题，因为为减函数，所以为增函数， 当时，单调递减，故无最小值，不符合； 当时，令得， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增， 故. 又，令得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 故， 因为和有相同的最小值，所以，即， 整理得，设函数， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以是函数的唯一零点，即为方程的唯一实根， 综上所述，. 【变式7.2】（24-25高三上·海南·开学考试）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 【解题思路】（1）求定义域，求导，对参数进行分类讨论即可； （2）由（1）知a的初步范围，求得最大值，利用导数解不等式即可. 【解答过程】（1）由，知，定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，则在上单调递增； 令，则在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，若有最大值，则，且， 因为的最大值小于， 所以，即， 设，问题转化为解不等式， 因为恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，所以， 故的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得，结合的解集，即可求得函数的递增区间. 【解答过程】由函数，可得其定义域为， 且， 令，解得，所以函数的单调增区间为． 故选：C. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数的最大值为，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【解题思路】先求导，再分类讨论，根据导数和函数最值的关系即可求出. 【解答过程】的定义域为， 当时，单调递增，无最大值，不合题意； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 所以 ，即， 又在上单调递增，， 所以． 故选：A. 3．（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【解题思路】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【解答过程】根据的图象可得： 当时，，时，，时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极小值，在处取得极大值. 故选：C. 4．（24-25高三上·福建·阶段练习）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由导数在上存在变号零点即可求解. 【解答过程】由题可得， 若函数在上不单调，则时，， 故，则． 故选：A． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构建，分析可知在内单调递减，结合单调性分析判断. 【解答过程】因为，即， 根据特点设函数，则， 当时，，可知在内单调递减， 且，则，即，所以． 故选：C. 6．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件构造函数，利用导数确定单调性，结合求解不等式即得. 【解答过程】依题意，令，求导得，则在上单调递减， 由，得，不等式， 则或，即或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数有两个极值点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，得到有两个变号的零点，二次求导，分和两种情况，得到单调性，得到，结合函数图象走势，得到，求出答案. 【解答过程】，因为有两个极值点，所以有两个变号的零点， 令，则， 当时，单调递增，至多有一个零点，不符合题意； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 又时，时，，所以要使有两个变号零点， 只需，即0，即． 故选：A. 8．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】结合题意构造函数，得到，表示出，再借助导数求出的最小值即可. 【解答过程】∵，， ∴， 令， ∴在上单调递增， ∴，即， ∴， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴当时，函数取得最小值， 即， ∴， 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高三上·河北·阶段练习）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数可以是（    ） A．0 B． C． D．1 【解题思路】先求出导函数，再利用导数与函数单调性的关系得到在上有解，再利用导数求得的最大值，从而得解. 【解答过程】由已知得， 因为在上存在单调递减区间， 则在上有解，即在上有解， 令，则， 当时，，递增，时，，递减， 所以，所以. 故选：AB. 10．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）设函数 ，则（    ） A． 是 的极小值点 B． C．当 时， D．当 时， 【解题思路】先求导，确定函数的单调区间，结合函数解析式逐项判断即可. 【解答过程】对于A， ，当 时， ， 当 时，， 所以在 和 上单调递增，在上单调递减， 故是的极小值点，故A 正确. 对于B，，故B 正确. 对于C，当 时， ，又在上单调递减， 所以，故C错误. 对于D，当时， ， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高三上·湖南益阳·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数存在三个不同的零点 B．函数既存在极大值又存在极小值 C．若时，，则t的最大值为2 D．当时，方程有且只有两个实根 【解题思路】求得，得到函数的单调性和极值，以及时，，当时，，作出函数的图象，如图所示，结合图象，逐项判定，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 当，函数取得极小值； 当，函数取得极大值， 当时，，当时，， 作出函数的图象，如图所示，结合图象得： 对于A中，函数存在两个不同的零点，所以A不正确； 对于B中，函数既存在极大值又存在极小值，所以B正确； 对于C中，当时，，可得，所以t的最大值为，所以C正确； 对于D中，若方程有且只有两个实根， 即与的图象有两个不同的交点，可得，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【解题思路】根据题意可知在区间有变号零点，结合变号零点与给定区间的关系求解即可. 【解答过程】由题意知， 因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，， 所以在区间内， 所以，解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 13．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在处取得极大值，则 0 ． 【解题思路】求出函数的导数，再由求出并验证即可. 【解答过程】函数，求导得， 依题意，，解得或， 当时，，当或时，，当时，， 函数在处取得极大值，符合题意，则； 当时，，当或时，，当时，， 函数在处取得极小值，不符合题意， 所以. 故答案为：0. 14．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数 和有相同的最小值，则 . 【解题思路】利用导数的正负性与函数单调性的关系，结合函数最值的定义，通过构造新函数，再结合导数的性质进行求解即可. 【解答过程】， 当时，则有，所以函数在R上单调递增， 因此函数在整个实数集上没有最小值， 当时，当时，，所以函数在单调递增， 当时，，所以函数在单调递减， 因此当时，. 由， 当时，则有，所以函数单调递减，因此函数在整个正实数集上没有最小值， 当时，当时，，所以函数在单调递增， 当时，，所以函数在单调递减， 因此当时，， 由题意可知：， 设，则有， 所以函数在时是减函数，而， 所以方程有唯一实数解，即， 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高三上·福建泉州·开学考试）已知函数 (1)当时，求该曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间. 【解题思路】（1）由题意求出导数，根据导数的几何意义，求得切线方程. （2）讨论的正负求出函数单调区间. 【解答过程】（1）当时，，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为. （2）函数的定义域为R，且， 当时，恒成立，函数在R上单调递减； 当时，由，解得，由，解得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的单调递减区间是； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 16．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数 (1)若，求在处的切线方程； (2)试讨论的单调性. 【解题思路】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）讨论、、，判断导数正负，即可求出答案. 【解答过程】（1）由题意得， 由于，则，， 故切线方程. （2）令，则， ①当时，令，则；令，则或； 故在，上单调递减，在上单调递增； ②当时，恒成立，在上单调递减； ③当时，令，则；令，则或； 在，单调递减，在上单调递增. 综上：①当时，在，上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递减； ③当时，在，单调递减，在上单调递增. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 【解题思路】（1）当时，求得，得出函数的单调区间，进而求得函数的极值； （2）求得，分和，分类讨论，结合导数的符号，进而得到函数的单调区间. 【解答过程】（1）解：当时，，可得， 令，则；令，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以函数在处取得极小值，无极大值． （2）解：由函数，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． 18．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围. 【解题思路】（1）求出函数的导数，再按分类讨论求出的单调区间. （2）由（1）的信息，求出最大值，再建立 不等式并构造函数，利用导数单调性求解即得. 【解答过程】（1）显然，的定义域为，求导得， 当时，在上单调递增； 当时，由，得，令，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的单调递增区间是； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由（1）知，当且仅当时，存在最大值，且最大值为.， 设，求导得，函数在上单调递增， 又，则由，得， 所以的取值范围为. 19．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解题思路】（1）求导，利用导数求的单调性和极值； （2）（i）求导可得，构建，由题意可知在内有两个变号零点，结合导数分析函数零点即可得结果；（ⅱ）由（i）可知，，且，构建，利用导数求最值即可. 【解答过程】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 当时，；当时，当； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）（i）由题意可得：的定义域为， 且， 设，可知在内有两个变号零点， 则， 当，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为， 且当趋近于时，趋近于， 当时，则，可得， 可得，即当趋近于时，趋近于， 可得，解得， 所以实数的取值范围为； （ii）由（i）可知，，且， 所以， 设，显然，又， 因为，则，可知在上单调递减， 且，可得， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$