第20讲 导数的概念及其意义（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第20讲 导数的概念及其意义 【人教A版2019】 模块一 导数的概念 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 【题型1 瞬时速度、平均速度】 【例1.1】（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案. 【解答过程】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 则该质点在这段时间内的平均速度为（）. 故选：A. 【例1.2】（23-24高二下·江苏·阶段练习）如果说某物体做直线运动的时间与距离满足，则其在时的瞬时速度为（    ） A．4 B． C．4.8 D． 【解题思路】利用导数的定义即可求解. 【解答过程】根据导数的定义可得，在时的瞬时速度为 ， 故选：D. 【变式1.1】（2024高二下·全国·专题练习）物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【解题思路】利用平均速度的定义逐项判断可得出合适的选项. 【解答过程】在到范围内，甲、乙的平均速度都为，故AB错误； 在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为， 因为，，所以， 则在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误． 故选：C. 【变式1.2】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 根据瞬时速度的定义直接求解即可． 【解答过程】 运动员在时的瞬时速度即为，令， 根据导数的定义， ， 所以， 故运动员在时的瞬时速度为. 故选：A． 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 【例2.1】（23-24高二下·辽宁阜新·期末）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【解题思路】根据条件，直接求出，，再利用平均变化率的定义即可求出结果. 【解答过程】因为，所以，， 故函数从到的平均变化率为， 故选：B. 【例2.2】（23-24高二下·内蒙古包头·期中）已知点是曲线上一点，则P处的瞬时变化率为（   ） A．2 B．4 C．6 D． 【解题思路】直接瞬时变化率计算公式即可得到答案. 【解答过程】曲线在点处的瞬时变化率为， 故选：B． 【变式2.1】（23-24高二下·北京·期中）为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示． 给出下列四个结论： ①在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； ②在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同； ③在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； ④在两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③④ C．②③ D．①③ 【解题思路】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此点处切线的斜率，平均变化率是，再结合图象，逐一判断选项即可． 【解答过程】解：对于①，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即①正确； 对于②，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即②错误； 对于③，由平均变化率公式知，甲、乙两人在，内，血管中药物浓度的平均变化率均为，即③正确； 对于④，在，和，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和，显然不相同，即④错误． 故正确的只有①③； 故选：D． 【变式2.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B．在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【解题思路】由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断. 【解答过程】解：∵在a到b之间的平均变化率是， 在a到b之间的平均变化率是， 又，， ∴， ∴A、B错误； 易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 同理可得：函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 由题中图象可知： 时，函数在处切线的斜率有可能大于在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故C错误，D正确． 故选：D． 【题型3 利用导数的定义解题】 【例3.1】（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）若函数在处的导数为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【解题思路】由导数的定义和把所求转化为导数的表达式求出结果. 【解答过程】因为函数在处的导数为2， 所以， 所以， 故选：D. 【例3.2】（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A．-1 B．-3 C．1 D． 【解题思路】利用导数的定义求解. 【解答过程】解：因为， 所以， 故选：D. 【变式3.1】（23-24高二下·江西萍乡·期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【解题思路】由已知结合导数定义即可求解. 【解答过程】由于，则. 故选：C. 【变式3.2】（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）设f(x)为可导函数且满足，则在曲线y=f(x)上点(1,f（1）)处的切线斜率为 A．2 B．-1 C．1 D．-2 【解题思路】由导数的几何意义，求出在曲线上点处的导数，即求得在此点处切线的斜率． 【解答过程】由 根据导数的定义可得:. 在曲线y=f(x)上点(1,f（1）)处的切线斜率 故选：B. 模块二 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 【题型4 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例4.1】（23-24高二下·河北保定·期中）曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由导数的意义求出切线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的大小即可. 【解答过程】设曲线在处的切线倾斜角为， 因为，则. 所以曲线在处的切线倾斜角是， 故选：D. 【例4.2】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（   ） A．6 B．2 C．3 D． 【解题思路】根据导数的定义，结合导数的几何意义求解即可. 【解答过程】由题意，， 即，故，即曲线在点处的切线的斜率是6. 故选：A. 【变式4.1】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设切点坐标为，写出切线的方程，求出即得解. 【解答过程】解：由，得， 设切点坐标为，则切线方程为， 把点代入并整理，得， 解得或（舍去）， 故切线斜率为． 故选：C． 【变式4.2】（23-24高三上·四川南充·阶段练习）过函数图象上一动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数求得切线的斜率的范围，进而求得倾斜角的范围. 【解答过程】依题意，，则， 即切线的斜率的取值范围是， 所以倾斜角的取值范围是. 故选：B. 【题型5 求曲线的切线方程】 【例5.1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用导数的定义即可得到，再由导数的几何意义即可得出结果. 【解答过程】由，得到， 由导数的定义知，所以函数在点处的切线的方程为， 即， 故选：D. 【例5.2】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）过原点且与函数图像相切的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果. 【解答过程】因为，所以， 设所求切线的切点为，则， 由题知，，解得，所以切线斜率为， 故所求切线方程为. 故选：C. 【变式5.1】（2024·陕西西安·三模）已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分段函数结合导函数求出，再根据点斜式得出直线方程. 【解答过程】当时，， 当时，，则， 所以，． 则所求的切线方程为，即． 故选：B. 【变式5.2】（2024·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【解题思路】由解析式得为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称，再由导数几何意义求上的切线，结合偶函数对称性写出另一条切线. 【解答过程】由，得为偶函数， 故过原点作的两条切线一定关于y轴对称． 当时，，则， 设切点为，故，解得或（舍）， 所以切线斜率为1，从而切线方程为． 由对称性知：另一条切线方程为． 故选：A. 【题型6 已知切线（斜率）求参数】 【例6.1】（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知函数是自然对数的底数．若曲线在点处的切线方程是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，根据函数在某点的切线方程得到在点处的切线方程可表示为：，再由切线方程是，建立方程组求解. 【解答过程】因为，所以． 在点处的切线方程可表示为： ， 又因为曲线在点处的切线方程是， 所以解得． 故选：C. 【例6.2】（23-24高三下·河北张家口·开学考试）“”是“直线与曲线相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用导函数求得直线与曲线相切时，再根据直线与曲线相切即可得出结论. 【解答过程】若直线与曲线相切， 设切点为， 则解得，即必要性成立； 反之，若，可知直线与曲线相切，即充分性成立； 故选：C． 【变式6.1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【解题思路】求导，与直线垂直，求出的值. 【解答过程】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D. 【变式6.2】（2024·山西·模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的几何意义，列方程组求解即可. 【解答过程】由题意知， 所以，解得， 又 ， 所以 ，解得，所以. 故选：C. 【题型7 函数图象与导函数的关系】 【例7.1】（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】结合图形，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到. 【解答过程】    如图，设函数的图象上有两点，经过点的切线分别为, 则直线的斜率依次为 ， 由图知直线的倾斜角满足，， 因函数在上递增，故， 即. 故选：B. 【例7.2】（23-24高二下·河南南阳·期中）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的几何意义，切线的斜率，判断求解即可． 【解答过程】由题图知函数是单调递增的， 则函数的图象上任意一点处的导函数值都大于零． 又函数的图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率， 所以． 如图，记，连接． 直线的斜率． 由函数图象知：， 即， 故选：B． 【变式7.1】（23-24高二下·山东枣庄·期末）已知函数的图象是下列四个图象之一.且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用导数的几何意义求解即可. 【解答过程】图象可知，. 故函数在处，切线的斜率为0， 只有选项D满足条件. 故选：D. 【变式7.2】（23-24高二下·湖北·期中）已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据图象，由导数的意义和割线的斜率求解即可. 【解答过程】因为在上为递增函数， 由导数的意义可知，为曲线在处切线的斜率， 所以， 又由斜率的定义可以，表示割线的斜率， 所以， 故选：A. 【题型8 两条切线平行、垂直、公切线问题】 【例8.1】（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可. 【解答过程】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故， 故选：A. 【例8.2】（23-24高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．26 B．23 C．15 D．11 【解题思路】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解. 【解答过程】解：因为， 所以，由，解得或（舍去）， 所以切点为， 因为切点在切线上，解得， 所以切线方程为， 设切点为， 由题意得，解得， 所以， 故选：D. 【变式8.1】（23-24高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程； （2）先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案. 【解答过程】（1）当时，，，. 曲线在处的切线方程为，即. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，. 曲线在点A处的切线为， 与曲线相切于点， 则且（*）， 由，则， 代入（*）得， 解得或. 当时，直线.当时，，直线. 故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或. 【变式8.2】（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 【解题思路】（1）求导函数，求得，，得出的图象在处的切线方程，由此求得答案； （2）设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求得在点处切线方程，在点在切线方程.建立方程组，求解即可. 【解答过程】（1）解：因为，所以的图象在处切线的斜率为. 又，所以的图象在处的切线方程为， 则，故的面积为. （2）解：设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，则 由点在切线上，得； 由点在切线上，得. 故，解得. 故. 一、单选题 1．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【解题思路】对式子进行变形，结合导数的定义即可求解. 【解答过程】 故选：A. 2．（23-24高二下·北京丰台·期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（    ） A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5 【解题思路】先对函数求导，然后把代入即可求解． 【解答过程】解：因为， 所以， 令，得瞬时速度为． 故选：D. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数满足，则曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】曲线在处的切线斜率为，利用已知计算即可. 【解答过程】由题可得， 曲线在处的切线斜率为， 令，则原式． 故选：B. 4．（23-24高二下·江苏苏州·期中）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的变化率和导数的几何意义进行判断. 【解答过程】因为、分别是函数在、处的切线斜率， 由图可知， 又，， 所以， 故选：C. 5．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对求导，注意是常数，令代入导函数中，可求得，进而可求，可得在处的切线方程. 【解答过程】，令，可得， ， 所以在处的切线方程为. 故选：B. 6．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线. 【解答过程】设过点的曲线的切线为： ， 有, 解得或, 代入可得或. 故选：C. 7．（23-24高二下·福建·期中）若一射线从处开始，绕点匀速逆时针旋转（到处为止），所扫过的图形内部的面积是时间的函数，的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是（    ）    A．     B．   C．   D．   【解题思路】逐个分析扫过部分的面积增速的快慢即得. 【解答过程】因为OP是匀速旋转， 选项A，OP扫过的圆内阴影部分面积在开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意； 选项B，OP扫过的圆内阴影部分面积是匀速变化的，不合题意； 选项C，OP扫过正方形的阴影部分，是开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意； 选项D， OP扫过的三角形内阴影部分面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，选项D符合 故选：D. 8．（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，在根据导数的几何意义算. 【解答过程】依题意得，设直线的方程为， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， 设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得， 即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位， 和仍会保持相切状态，即时，， 综上所述，或. 故选：A. 二、多选题 9．（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线相切的有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】假设选项中的曲线与直线相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论. 【解答过程】选项A中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确； 选项B中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误； 选项C中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得， 当时，切点为，切线方程为，C正确； 选项D中，易知与有三个交点，， 又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误. 故选：AC. 10．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）午饭时间；B同学从教室到食堂的路程与时间的函数关系如图，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（    ） A． B． C．对于，存在，使得 D．整个过程小明行走的速度一直在加快 【解题思路】可通过题意，分别表示出，，，再根据选项A，B进行比大小，即可确定；选项C可根据图像，由线与直线的交点，即可判断，选项D，可以观察曲线在各点处的切线方程的斜率，即可判断． 【解答过程】由题意可知；，，， 由图像可知，，即，因此，， 所以，因此，此时，故A正确； 由，可化为，故，故B不正确； 由图像可知，直线与曲线的交点为，，故存在，使得，即当时，，故C正确； 时刻的瞬时速度为判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率， 由图象可知，当时，切线方程的斜率最大， 故而在此时，速度最快，故D不正确. 故选：AC. 11．（23-24高三上·湖北·期末）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【解题思路】设为直线上任意一点，切点为求出切线方程，将代入切线方程，转化为根的个数求解即可. 【解答过程】设为直线上任意一点， 过点作的切线，切点为， 则函数图象在点B处的切线方程为， 即，   整理得，， 解得1或 当时，，方程仅有一个实根，切线仅可以作1条； 当时，，方程有两个不同实根，切线可以作2条. 故选：BC. 三、填空题 12．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数是可导函数，且，则 . 【解题思路】根据导数的定义，进行求解即可. 【解答过程】因为函数是可导函数，且， 根据导数的定义，有. 故答案为：. 13．（2024·广东珠海·一模）直线与曲线相切，则 ． 【解题思路】设切点坐标为，由导数的几何意义求解即可. 【解答过程】设切点坐标为，由于， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：，即， 所以，， 故答案为：. 14．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则 1 ． 【解题思路】设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在轴上的截距相等即可求解. 【解答过程】设直线 与 的图象相切于点 与 的图象相切于点 , 又 , 且. 曲线 在点 处的切线方程为 , 曲线 在点 处的切线方程为 . 故， 解得 ， 故 故答案为：1. 四、解答题 15．（23-24高二下·全国·课后作业）某赛车比赛中，一赛车的位移s（单位：m）与比赛时间t（单位：s）存在函数关系. (1)当，时，求与的值； (2)求当时的瞬时速度. 【解题思路】（1）代入计算出，进而计算出； （2）在（1）的基础上得到，进而得到赛车在时的瞬时速度. 【解答过程】（1） ; （2）由（1）可知， 当趋于0时，趋于210， 所以赛车在时的瞬时速度为210 m/s. 16．（24-25高二·全国·随堂练习）（1）已知，用割线逼近切线的方法求； （2）已知，用割线逼近切线的方法求． 【解题思路】根据题意结合导数的定义运算求解. 【解答过程】（1）因为， 则， 所以； （2）因为， 则， 所以. 17．（23-24高二·全国·随堂练习）下表为某水库存水量y（单位：万）与水深x（单位：m）的对照表： 水深x/m 0 5 10 15 20 25 30 35 存水量y/万 0 20 40 90 160 275 437.5 650 (1)当x从5m变到10m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义； (2)当x从25m变到30m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义； (3)比较（1）与（2）的数值的大小，并联系实际情况解释意义． 【解题思路】（1）（2）问利用平均变化率公式计算即可；（3）结合前问结果比大小并解释意义即可. 【解答过程】（1）根据表格可知当x从5m变到10m时，存水量y关于x的平均变化率为， 即当x从5m变到10m时，水库存水量随水深每增加1m，水量增加4万； （2）根据表格可知当x从25m变到30m时，存水量y关于x的平均变化率为 即当x从25m变到30m时，水库存水量随水深每增加1m，水量增加32.5万； （3）显然，所以该水库的水深从5m增长到10m时，存水量的平均增长率小于水深从25m增长到30m时存水量的平均增长率， 说明该水库的存水量随着水深的增长会越来越快. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【解题思路】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【解答过程】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 19．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【解题思路】（1）利用导数几何意义求过一点的切线方程； （2）利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值. 【解答过程】（1）由导数公式得， 设切点坐标为，设切线方程为： 由题意可得： ，       所以或，      从而切线方程为或. （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为, 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，  从而，    此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为， 即，故符合题意，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 导数的概念及其意义 【人教A版2019】 模块一 导数的概念 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 【题型1 瞬时速度、平均速度】 【例1.1】（23-24高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二下·江苏·阶段练习）如果说某物体做直线运动的时间与距离满足，则其在时的瞬时速度为（    ） A．4 B． C．4.8 D． 【变式1.1】（2024高二下·全国·专题练习）物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【变式1.2】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 【例2.1】（23-24高二下·辽宁阜新·期末）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【例2.2】（23-24高二下·内蒙古包头·期中）已知点是曲线上一点，则P处的瞬时变化率为（   ） A．2 B．4 C．6 D． 【变式2.1】（23-24高二下·北京·期中）为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示． 给出下列四个结论： ①在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； ②在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同； ③在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； ④在两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③④ C．②③ D．①③ 【变式2.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B．在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【题型3 利用导数的定义解题】 【例3.1】（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）若函数在处的导数为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【例3.2】（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A．-1 B．-3 C．1 D． 【变式3.1】（23-24高二下·江西萍乡·期中）设在上的导函数为，若，则（    ） A． B．2 C． D．6 【变式3.2】（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）设f(x)为可导函数且满足，则在曲线y=f(x)上点(1,f（1）)处的切线斜率为 A．2 B．-1 C．1 D．-2 模块二 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 【题型4 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例4.1】（23-24高二下·河北保定·期中）曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高二下·广东中山·阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（   ） A．6 B．2 C．3 D． 【变式4.1】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高三上·四川南充·阶段练习）过函数图象上一动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 求曲线的切线方程】 【例5.1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）过原点且与函数图像相切的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（2024·陕西西安·三模）已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（2024·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型6 已知切线（斜率）求参数】 【例6.1】（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知函数是自然对数的底数．若曲线在点处的切线方程是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高三下·河北张家口·开学考试）“”是“直线与曲线相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6.1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式6.2】（2024·山西·模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 函数图象与导函数的关系】 【例7.1】（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 【例7.2】（23-24高二下·河南南阳·期中）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（23-24高二下·山东枣庄·期末）已知函数的图象是下列四个图象之一.且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（23-24高二下·湖北·期中）已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 【题型8 两条切线平行、垂直、公切线问题】 【例8.1】（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【例8.2】（23-24高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．26 B．23 C．15 D．11 【变式8.1】（23-24高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【变式8.2】（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 一、单选题 1．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知，则（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高二下·北京丰台·期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（    ） A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5 3．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数满足，则曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 4．（23-24高二下·江苏苏州·期中）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 7．（23-24高二下·福建·期中）若一射线从处开始，绕点匀速逆时针旋转（到处为止），所扫过的图形内部的面积是时间的函数，的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是（    ）    A．     B．   C．   D．   8．（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题 9．（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线相切的有（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）午饭时间；B同学从教室到食堂的路程与时间的函数关系如图，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（    ） A． B． C．对于，存在，使得 D．整个过程小明行走的速度一直在加快 11．（23-24高三上·湖北·期末）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 三、填空题 12．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数是可导函数，且，则 . 13．（2024·广东珠海·一模）直线与曲线相切，则 ． 14．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线是曲线与的公切线，则 ． 四、解答题 15．（23-24高二下·全国·课后作业）某赛车比赛中，一赛车的位移s（单位：m）与比赛时间t（单位：s）存在函数关系. (1)当，时，求与的值； (2)求当时的瞬时速度. 16．（24-25高二·全国·随堂练习）（1）已知，用割线逼近切线的方法求； （2）已知，用割线逼近切线的方法求． 17．（23-24高二·全国·随堂练习）下表为某水库存水量y（单位：万）与水深x（单位：m）的对照表： 水深x/m 0 5 10 15 20 25 30 35 存水量y/万 0 20 40 90 160 275 437.5 650 (1)当x从5m变到10m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义； (2)当x从25m变到30m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义； (3)比较（1）与（2）的数值的大小，并联系实际情况解释意义． 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 19．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$