专题5.3 函数的单调性、极值和最值【八大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.3 函数的单调性、极值和最值【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 2 【题型2 由函数的单调性求参数】 3 【题型3 函数单调性的应用】 3 【题型4 利用导数求函数的极值】 5 【题型5 根据极值（点）求参数】 6 【题型6 利用导数求函数的最值】 6 【题型7 已知函数最值求参数】 7 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 8 【知识点1 函数的单调性】 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在区间内单调递增 B．在区间内单调递减 C．在区间内单调递增，在区间内单调递减 D．在区间内单调递减，在区间内单调递增 【变式1-2】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性. 【变式1-3】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间. 【题型2 由函数的单调性求参数】 【例2】（2024·陕西榆林·模拟预测）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在R上单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【变式2-3】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)试问是否存在实数，使得在上单调递增？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【题型3 函数单调性的应用】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知定义在上的函数关于直线对称，当时，，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【知识点2 函数的极值与最值】 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 4．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【题型4 利用导数求函数的极值】 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有极大值，无极小值 B．无极大值，有极小值 C．既有极大值，也有极小值 D．既无极大值，也无极小值 【变式4-1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极大值与极小值之和为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高三上·北京西城·阶段练习）已知函数. (1)若，求的极值； (2)直接写出一个值使在区间上单调递减. 【变式4-3】（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程为 . (1)求，的值； (2)求的单调区间与极值. 【题型5 根据极值（点）求参数】 【例5】（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知在处有极值，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式5-1】（2024·吉林·模拟预测）若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知函数（k为常数）． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围． 【变式5-3】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数有极小值，且极小值大于，求实数的取值范围. 【题型6 利用导数求函数的最值】 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数，则（    ） A．有最小值1，无最大值 B．有最大值1，无最小值 C．有最小值0，无最大值 D．有最大值0，无最小值 【变式6-2】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. (1)求的值; (2)已知在区间上的最小值为，求在区间上的最大值. 【变式6-3】（2024·吉林·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最大值与最小值. 【题型7 已知函数最值求参数】 【例7】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·陕西·一模）已知函数，其中为常数，为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求的值． 【变式7-3】（24-25高三上·海南·开学考试）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例8】（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若是函数的一个极值点，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二下·北京怀柔·期末）若函数，则根据下列说法选出正确答案是（    ） ① 当时，在上单调递增； ② 当时，有两个极值点； ③ 当时，没有最小值． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式8-2】（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若在处取得极值，求的极值. (3)若在上的最小值为，求的取值范围. 【变式8-3】（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若的导数分别为，且，求a的取值范围； (3)用表示m，n中的最小值，设，若，判断函数的零点个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.3 函数的单调性、极值和最值【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 2 【题型2 由函数的单调性求参数】 4 【题型3 函数单调性的应用】 6 【题型4 利用导数求函数的极值】 9 【题型5 根据极值（点）求参数】 11 【题型6 利用导数求函数的最值】 14 【题型7 已知函数最值求参数】 16 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 18 【知识点1 函数的单调性】 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得，结合的解集，即可求得函数的递增区间. 【解答过程】由函数，可得其定义域为， 且， 令，解得，所以函数的单调增区间为． 故选：C. 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在区间内单调递增 B．在区间内单调递减 C．在区间内单调递增，在区间内单调递减 D．在区间内单调递减，在区间内单调递增 【解题思路】求，通过在区间内的符号判断函数的单调性即可. 【解答过程】由题意， ， 当时，，则， 所以在区间上单调递减． 故选：B. 【变式1-2】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性. 【解题思路】（1）先对求导，再将代入到函数可求出，进而求出的解析式； （2）先对求导，当时，，，所以恒成立，即可得出答案. 【解答过程】（1）因为，所以， 则，所以， 所以. （2）， 当时，，， 所以恒成立， 所以在上的单调递减. 【变式1-3】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间. 【解题思路】（1）根据导数与单调性的关系，求出单调区间即可； （2）对含参函数求导，从而得出导数的零点，再通过对二次函数的根的讨论，得出单调区间. 【解答过程】（1）当时，，定义域为， ， 令，得，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2），定义域为， ，令，得或. ①当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增； ②当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减； ③当时，对恒成立，所以在单调递增； ④当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述：当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增. 【题型2 由函数的单调性求参数】 【例2】（2024·陕西榆林·模拟预测）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题转化为在上恒成立，利用基本不等式可得. 【解答过程】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在R上单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据分段函数单调性的概念求参数的取值范围. 【解答过程】设，则在上单调递减. 因为，由在上恒成立，得： 若，则，所以； 若，则 ，所以. 设，则在上单调递减. 由在上恒成立，所以，，所以. 且 . 综上可知：. 故选：D. 【变式2-2】（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【解题思路】（1）利用导数与函数的关系得到在上恒成立，从而得解； （2）首先求出定义域，再求出导函数，分和两种情况，求出函数的单调区间. 【解答过程】（1）因为，所以的定义域为， 则， 因为在上是增函数，即在上恒成立， 则在上恒成立， 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为，所以，则， 所以，则. （2）由（1）得， 当时，，则在上是增函数； 当时，， 所以； 或； ， 所以在上是减函数，在和上是增函数. 【变式2-3】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)试问是否存在实数，使得在上单调递增？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用导数求得，，可求得切线方程； （2）对恒成立，分离变量得，求得的最大值即可. 【解答过程】（1）当时，， 则，所以，因为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即（或）. （2）假设存在实数，使得在上单调递增， 则对恒成立， 即对恒成立． 当时，为减函数，则， 所以，又，所以的取值范围为． 【题型3 函数单调性的应用】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构建，分析可知在内单调递减，结合单调性分析判断. 【解答过程】因为，即， 根据特点设函数，则， 当时，，可知在内单调递减， 且，则，即，所以． 故选：C. 【变式3-1】（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件构造函数，利用导数确定单调性，结合求解不等式即得. 【解答过程】依题意，令，求导得，则在上单调递减， 由，得，不等式， 则或，即或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知定义在上的函数关于直线对称，当时，，设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由的对称性确定是偶函数，再结合函数单调性即可比较大小. 【解答过程】因为关于直线对称，则是偶函数， 当时，，所以函数在上单调递增. 因为， 再比较和的大小，构造函数， 则，令，得，此时单调递增， 所以，也即， 结合函数在上单调递增及偶函数可知. 故选：C. 【变式3-3】（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据的奇偶性以及单调性，即可将问题转化为，即可求解. 【解答过程】记 ，则， 故为的奇函数， 又， 因此为上的单调递增函数， 因为， 由可得，进而， 故，解得， 故选：D. 【知识点2 函数的极值与最值】 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 3．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 4．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【题型4 利用导数求函数的极值】 【例4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有极大值，无极小值 B．无极大值，有极小值 C．既有极大值，也有极小值 D．既无极大值，也无极小值 【解题思路】求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值点，即可判断. 【解答过程】定义域为，且， 由可得：，所以在单调递增； 由可得：，所以在单调递减． 所以有极大值，有极小值． 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极大值与极小值之和为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对原函数求导，再解出极小值和极大值，求和即可. 【解答过程】由题意知：， 当时，单调递减；当时， 单调递增，所以的极大值为， 极小值为，故. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高三上·北京西城·阶段练习）已知函数. (1)若，求的极值； (2)直接写出一个值使在区间上单调递减. 【解题思路】（1）求导，利用导数判断原函数单调性和极值； （2）由题意可得在恒成立，根据恒成立问题分析求解. 【解答过程】（1）当时，，函数定义域为R， 则， 解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为． （2）若在区间上单调递减，则在内恒成立， 可得在内恒成立，即，即的取值范围为， 所以的值可以为. 【变式4-3】（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程为 . (1)求，的值； (2)求的单调区间与极值. 【解题思路】（1）由题知及联立求解可得结果； （2）令求单调增区间，令求单调减区间，进而可得函数的极值. 【解答过程】（1）由题意，易知，得. ， 由，解得. （2）由（1）知，易知， 当变化时，，的变化情况如下表所示. 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 因此，函数在和上单调递增，在上单调递减. 当时，有极大值，且极大值为； 当时，有极小值，且极小值为. 【题型5 根据极值（点）求参数】 【例5】（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知在处有极值，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【解题思路】由极值点和极值，列出关于的方程组，再验证条件，即可求解. 【解答过程】根据题意，， 函数在处有极值0， 且， 或， 时恒成立，此时函数无极值点， 当时，， 此时是函数的极值，满足条件， ，. 故选：D. 【变式5-1】（2024·吉林·模拟预测）若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，分析可知有2个不相等的正根，结合二次方程的根的分布列式求解即可. 【解答过程】由题意可知：的定义域为，且， 若函数既有极大值也有极小值，则有2个不相等的正根， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知函数（k为常数）． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在区间上存在极值，求实数k的取值范围． 【解题思路】（1）根据已知条件及函数值的定义，利用导数的法则及导数的几何意义，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）将函数在区间上存在极值转化为，使得，两侧的导数异号，利用二次函数的性质即可求解． 【解答过程】（1）当时，，， 所以， 所以， 所以在处的切线的斜率为， 所以在处的切线方程为，即． （2）因为，， 所以， 因为函数在区间上存在极值， 所以，使得，两侧的导数异号， 所以，即，， 令，， 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以实数的取值范围为． 【变式5-3】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数有极小值，且极小值大于，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论的取值范围即可得解； （2）利用（1）中的结论，分类讨论的取值范围，得到关于的不等式，结合构造函数法与导数即可得解. 【解答过程】（1）函数的定义域为， ， 当时，令，得或，令，得， 所以的递增区间是和，递减区间是； 当时，恒成立，所以的递增区间是； 当时，令，得或，令得， 所以的递增区间是和，递减区间是； 当时，令得，令得， 所以的递增区间是，递减区间是. （2）由（1）知：若函数有极小值，则， 当或时，在取得极小值， 又， 所以，解得，则； 当时，在取得极小值， 又， 所以，即， 令，则，， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，上单调递减， 且， 所以由，可得； 综上，或，即的取值范围是. 【题型6 利用导数求函数的最值】 【例6】（24-25高二上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出极值点及区间端点处的函数值，再比较大小即得函数的最大值和最小值. 【解答过程】的定义域为，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以的最大值为， 又， 所以的最大值为，最小值为． 故选：A. 【变式6-1】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数，则（    ） A．有最小值1，无最大值 B．有最大值1，无最小值 C．有最小值0，无最大值 D．有最大值0，无最小值 【解题思路】利用导数得到其单调性和最值即可. 【解答过程】因为，所以. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为，无最大值. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. (1)求的值; (2)已知在区间上的最小值为，求在区间上的最大值. 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数判断的单调性，结合的最小值为，求出，并求出最大值. 【解答过程】（1）由已知，得， 由题知，解得. （2）由（1）可知，，， 的变化情况如表所示： 1 2 + 0 - 0 + 极大值 极小值 ，，， 即在区间上的最大值为1. 【变式6-3】（2024·吉林·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最大值与最小值. 【解题思路】（1）求导，根据导数的几何意义可得切点和切线斜率，即可得切线方程； （2）根据求导判断的单调性，结合单调性分析最值. 【解答过程】（1）因为，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为. （2）由（1）可得， 且，则， 令，则，解得； 令，则，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为，且， 所以函数的最大值为2，最小值. 【题型7 已知函数最值求参数】 【例7】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【解答过程】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【变式7-1】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求得，得出函数的单调性，结合题意，得到，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 要使得函数在区间上有最小值， 则满足，即， 因为，可得，即，解得， 所以，即实数的取值为. 故选：D. 【变式7-2】（2024·陕西·一模）已知函数，其中为常数，为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求的值． 【解题思路】（1）利用导数求得的单调区间； （2）先求得，然后对进行分类讨论，根据单调性、最值等求得的值. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 当时，， 令，得；令，得， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）， ①当时，∵，∴， ∴函数在上单调递增， ∴，∴， ∴，符合题意； ②当且，即时，令，得， 当变化时，的变化情况如下表． ＋ － 单调递增 极大值 单调递减 ∴，∴， ∴，不符合题意，舍去； ③当，即时，在上，， ∴在上单调递增， 故在上的最大值为，∴，不符合题意，舍去， 综上可得. 【变式7-3】（24-25高三上·海南·开学考试）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 【解题思路】（1）求定义域，求导，对参数进行分类讨论即可； （2）由（1）知a的初步范围，求得最大值，利用导数解不等式即可. 【解答过程】（1）由，知，定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，则在上单调递增； 令，则在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，若有最大值，则，且， 因为的最大值小于， 所以，即， 设，问题转化为解不等式， 因为恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，所以， 故的取值范围为. 【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】 【例8】（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若是函数的一个极值点，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的极值点，借助于求导求得的值，继而得到函数解析式，利用函数的单调性即可求得函数的最小值. 【解答过程】由求导得，， 依题意，，解得， 此时，，则，因， 故当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减，即是的极大值点. 又因，故得函数在上递增，在上递减. 因显然， 故的最小值为. 故选：D. 【变式8-1】（23-24高二下·北京怀柔·期末）若函数，则根据下列说法选出正确答案是（    ） ① 当时，在上单调递增； ② 当时，有两个极值点； ③ 当时，没有最小值． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解题思路】求出导函数，结合导数与函数的单调性的关系，极值与导数的关系验证各命题. 【解答过程】， 设，， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 当时，，即， 所以函数在上单调递增，则没有最小值，① ③正确； 当时，，即， 设，由上面的研究可知， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 且当时，，且，时，， 所以此时方程有两个解，即有两个零点， 所以有两个极值点，②正确， 所以正确答案是①②③. 故选：D. 【变式8-2】（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若在处取得极值，求的极值. (3)若在上的最小值为，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）根据在处取得极值，求出a的值，从而判断函数的单调性，求得极值； （3）分类讨论，讨论a与区间的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a的取值范围. 【解答过程】（1）若，则，则， 故， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）定义域为， 则， 由于在处取得极值，故， 则， 令，则或，函数在上均单调递增， 令，则，函数在上单调递减， 故当时，取到极大值， 当时，取到极小值； （3）由于， 当时，，仅在时等号取得，在上单调递增， 则，符合题意； 当时，则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故，不符合题意； 当时，，在上单调递减， 故，不符合题意； 综上，可知的取值范围为. 【变式8-3】（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若的导数分别为，且，求a的取值范围； (3)用表示m，n中的最小值，设，若，判断函数的零点个数． 【解题思路】（1）根据导数的运算求得，分析出单调性即可求得极值； （2）将问题转化为时，恒成立，构造函数，求解最小值即可； （3）由题意可知，当时，通过求的范围即可判断；当时，通过比较和的正负即可判断的零点个数． 【解答过程】（1），令得，或（不合题意舍去）， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值． （2）由（1）得，时，， 对求导得，， 时，恒成立， 所以时，恒成立，设， ，令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以，即a的取值范围是． （3）因为，设，则， ①若，令，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以， 所以时，没有零点； ②若，由（1）知， 当时，，在上单调递增， 又，所以时，， 当时，，所以在上单调递增，且， 存在唯一，使得，则， 当时，，即在单调递增， 所以， 当时，在上单调递减，且， 所以存在唯一，使得， 综上所述，时，无零点，当时有2个零点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$