2.3.2 两条直线的交点坐标（教学课件）数学湘教版选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步 2.3.2 两条直线的交点坐标 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.进一步巩固两条直线的位置关系 2.掌握两条直线相交位置关系的判定，会求其交点坐标（重点） 3.直线系方程的关系（难点） 4.体会数形结合，分类讨论, 特殊到一般等数学思想 3 在平面几何中，我们对直线作了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一个点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等. 情景导入 我们已经知道，任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，也就是说直线方程是直线上每一个点的坐标满足的一个关系式， 为判断两条直线是否相交，进而寻求这两条直线的交点坐标，我们可以从直线方程入手来判断． 新知探究 5 如图：若当两条直线相交，通过观察图象，可以知道它们的交点一定在这两条直线上，也就是说两条直线的交点的坐标一定是两个方程的公共解． 设两条直线的方程分别为 l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0． 我们联立这两条直线的方程，通过解方程组，方程组的解是唯一的，那么以这个解为坐标的点必然是直线l1和直线l2的交点． 6 若两直线平行，则方程组*无解；若方程组*无解，则两直线平行． 设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0． 若两直线重合，则方程组*有无数组解；若方程组*有无数组解，则两直线重合． 7 方程组 的解的情况 直线l1和l2的公共点个数 直线l1和l2的位置关系 综上可得： 一组解 无 解 无数组解 一 个 零 个 无数个 相 交 平 行 重 合 8 例6 判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： （1）l1：2x＋y＋3=0，l2：x－2y－1=0； 课本例题 9 例6 判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： （2）l1：x＋y＋2=0， l2：2x＋2y＋3=0； 课本例题 10 例6 判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： （3）l1：x－y＋1=0， l2：2x－2y＋2=0． 课本例题 11 2. 已知直线l1：2x＋3y－m=0与l2：x－my＋12=0的交点在 y 轴上，求 m 的值． 课本练习 12 2. 已知直线l1：2x＋3y－m=0与l2：x－my＋12=0的交点在 y 轴上， 求 m 的值． 课本练习 13 2.已知直线l1：2x＋3y－m=0与l2：x－my＋12=0的交点在 y 轴上， 求 m 的值． 课本练习 14 3. 已知直线 l 过直线l1：3x＋4y－2=0与l2：2x＋y＋2=0的交点，且 平行于l3：x＋2y－5=0，求直线 l 的方程． 课本练习 15 易错辨析　应用直线系方程漏解引发的错误 错因分析 易错原因 纠错心得 应用直线系方程求解时，恰好漏掉了直线 2x－y＋4＝0. 直线系(2λ＋1)x＋(1－λ)x＋4λ－1＝0表示经过两直线x＋y－1＝0和2x－y＋4＝0的交点，但不包括直线2x－y＋4＝0，而本题是特殊情况， 因为原点到直线2x－y＋4＝0的距离也为. 错因分析 题型1　求两条直线的交点 典例剖析 (1)已知直线l1的方程为Ax＋3y＋C＝0，直线l2的方程为2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为 (　　) A．4 B．－4 C．±4 D．与A有关 (2)直线l1：2x＋3y＝12与直线l2：x－2y－4＝0的交点坐标为________． (3)已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________． B 方法一 联立直线方程解方程组，若有一解，则两条直线相交 方法二 两条直线斜率都存在且斜率不等 方法三 两条直线的斜率一个存在，另一个不存在 两条直线相交的判定方法 概念归纳 典例剖析 【例1】求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，且分别满足下列条件的直线l的方程： (1)直线l与直线3x－4y＋1＝0平行； (2)直线l与直线5x＋3y－6＝0垂直． 题型2　过两条直线交点的直线的问题 【例2】求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，若直线l在x轴上的截距为－3，求直线l的方程． 典例剖析 【例3】求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，且分别满足下列条件的直线l的方程： (1)直线l与直线2x＋3y－5＝0平行； (2)直线l与直线3x－2y－3＝0垂直． 典例剖析 概念归纳 1．过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． 2．解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． 典例剖析 　已知直线l：3x＋λy－2＋2λx＋4y＋2λ＝0. (1)求证：直线l过定点； (2)求过(1)的定点且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程． 题型三　直线恒过定点问题 概念归纳 审结论(明解题方向) 审条件(挖解题信息) (1)直线过的定点坐标代入方程恒成立； (2)求直线方程，要确定直线的斜率和所过定点坐标 (1)直线l的方程化为 3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0 容易求出定点坐标； (2)直线3x－2y＋4＝0的斜率为， 故所求直线的斜率为－ 建关系——切解题突破口 (1)转化方程的形式→解方程组→得定点坐标； (2)明确定点坐标→求斜率→写出点斜式并化为一般式 1.直线3x＋2y－18＝0和－2x＋5y－7＝0的交点坐标为 A.(－4，－3) B.(4,3) C.(－4,3) D.(3,4) √ 分层练习-基础 2.无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为 A.(1,3) 　　　　B.(－1,3) 　　　　C.(3,1) 　　　　D.(3，－1) √ 直线方程可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，则此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点. 因此所求定点为(3，－1). 3.已知直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为 A.12 　　　　B.10 　　　　C.－8 　　　　D.－6 √ ∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1). ∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10. 4.若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并且经过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为 A.－3，－4 B.3，4 C.4，3 D.－4，－3 √ 5.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是 A.－24 　　　　B.6 　　　　C.±6 　　　　D.24 √ 因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)， 6.已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点 √ 由a＋2b＝1，得a＝1－2b， 则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0， 整理得x＋3y－b(2x－1)＝0， 7.已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为______. (3,3) ∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2， ∴a×1＋1×(a－2)＝0，解得a＝1， ∴点P的坐标为(3,3). 8.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______________________. x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 ∴直线方程为3x＋4y＝0； 代入点(－4,3)，得a＝－1.∴直线方程为x＋y＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 9.判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标. (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； 交点坐标为(－1，－1). (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 9.判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标. ① ② ①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解. 所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 10.已知直线l：6x－y＋1＝0. (1)若平行于l的直线m经过点A(－1，－4)，求m的方程； 因为直线m平行于l， 可设直线m的方程为6x－y＋c＝0， 又因为直线m经过点A(－1，－4)， 所以－6＋4＋c＝0， 解得c＝2，可知直线m的方程为6x－y＋2＝0. (2)若l与直线y＝4x＋b的交点在第二象限，求b的取值范围. 10.已知直线l：6x－y＋1＝0. 因为它们的交点在第二象限， 分层练习-巩固 11.若直线l：y＝kx－ 与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则 直线l的倾斜角θ的取值范围是 A.{θ|0°<θ<60°} B.{θ|30°<θ<60°} C.{θ|30°<θ<90°} D.{θ|60°<θ<90°} √ 由题可知k≠－1， ∴30°<θ<90°. 12.(多选)对于直线l：x＝my＋1，下列说法错误的是 A.直线l恒过定点(1,0) B.直线l的斜率必定存在 √ √ 对于A，由直线方程知直线l恒过定点(1,0)，故A正确； 对于B，当m＝0时，直线斜率不存在，故B错误； 13.(多选)已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值可以为 √ √ √ 14.已知直线l1：kx＋y－1＝0，l2：x＋ky＋1＝0，若l1∥l2，则k＝____；若曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点，则实数k的取值范围是________. 1 (－1,1) 因为l1∥l2，所以k2－1＝0，解得k＝±1，当k＝－1时，l1与l2重合，所以k＝1. 直线l1化为y＝－kx＋1，恒过定点(0,1)， 画出函数图象，如图所示， 因为曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点， 所以－k＝0或0<－k<1或－1<－k<0，即－1<k<1. 分层练习-拓展 15.已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的角平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为 A.y＝2x＋4 B.y＝ x－3 C.x－2y－1＝0 D.3x＋y＋1＝0 √ 设B关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x，y)， 又B′在直线AC上， 即x－2y－1＝0. 16.如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程. 同理可求得C点的坐标为(5,0). 即4x－y－20＝0. 方程组 的解的情况 一组解 无 解 无数组解 直线l1和l2的公共点个数 一 个 零 个 无数个 直线l1和l2的位置关系 相 交 平 行 重 合 设两条直线的方程分别为 l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0． 课堂小结 58 例5　过两直线x＋y－1＝0和2x－y＋4＝0的交点，且到原点的距离为的直线方程． 解析：设所求直线为x＋y－1＋λ(2x－y＋4)＝0， 即(2λ＋1)x＋(1－λ)y＋4λ－1＝0， 由点到直线的距离公式得λ＝－ 所以所求直线方程为2x＋11y－20＝0. 因为原点到直线2x－y＋4＝0的距离也为， 故直线2x－y＋4＝0也符合题意． 故所求的直线方程为2x＋11y－20＝0和2x－y＋4＝0. 【解析】(1)由题意知，l2与y轴的交点在l1上， 又l2与y轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))， 所以A×0＋3×eq \f(4,3)＋C＝0，C＝－4. (2)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝12，,x－2y－4＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(36,7)，,y＝\f(4,7)，)) 即交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36,7)，\f(4,7))). (3)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x＋4y＝2a＋1，,2x＋3y＝a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(2a＋3,7)，,y＝\f(a－2,7)，)) 由于交点在第四象限，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2a＋3,7)>0，,\f(a－2,7)<0，)) 解得－eq \f(3,2)＜a＜2. 【答案】解：方法一，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))可得交点坐标为(0,2)． (1)因为直线l与3x－4y＋1＝0平行， 所以l的斜率k＝eq \f(3,4)，l的方程为y＝eq \f(3,4)x＋2，即3x－4y＋8＝0. (2)因为直线l与5x＋3y－6＝0垂直， 所以l的斜率k＝eq \f(3,5)，l的方程y＝eq \f(3,5)x＋2，即为3x－5y＋10＝0. 方法二，设所求直线方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. (1)由于所求直线与直线3x－4y＋1＝0平行， 所以eq \f(1＋λ,3)＝eq \f(λ－2,－4)≠eq \f(4－2λ,1)，解得λ＝eq \f(2,7). 故所求直线方程为x－2y＋4＋eq \f(2,7)(x＋y－2)＝0， 即3x－4y＋8＝0. (2)由于所求直线与直线5x＋3y－6＝0垂直， 所以5(1＋λ)＋3(λ－2)＝0，解得λ＝eq \f(1,8). 故所求直线方程为x－2y＋4＋eq \f(1,8)(x＋y－2)＝0， 即3x－5y＋10＝0. 解：由题意可得，直线l在x轴上的截距为－3， l在y轴上的截距为2， 所以直线l的方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,2)＝1， 即2x－3y＋6＝0. 解：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y－5＝0，,3x－2y－3＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(19,13)，,y＝\f(9,13)，)) 交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,13)，\f(9,13)))， (1)因为直线l与3x－4y＋1＝0平行， 所以l的斜率k＝eq \f(3,4). 所以直线方程为y－eq \f(9,13)＝eq \f(3,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(19,13)))， 即39x－52y－21＝0. (2)因为直线l与5x＋3y－6＝0垂直， 所以l的斜率k＝eq \f(3,5). 所以直线方程为y－eq \f(9,13)＝eq \f(3,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(19,13)))， 即39x－65y－12＝0. (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 规范解答：(1)证明：根据题意将直线l化为 3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0①， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，)) 所以直线过定点(－2,2)②. 答题规则说明： (1)得转化分：对于①把直线方程的形式转化后，有利于求出定点坐标； (2)得计算分：对于②需准确解方程组求出定点坐标； (2)解：由(1)知定点为(－2,2)， 直线3x－2y＋4＝0的斜率为eq \f(3,2)③， 所求直线与3x－2y＋4＝0垂直， 故其斜率k＝－eq \f(2,3)④， 所以直线的方程为y－2＝－eq \f(2,3)(x＋2)， 即2x＋3y－2＝0⑤. 答题规则说明： (3)得关键分：对于③④计算出直线的斜率是关键； (4)得常规分：对于⑤化为一般式是常规要求. 解方程组得 由解得 由解得 由题意得解得 所以消去b，可得k＝±6. A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 所以解得 故直线过定点. 联立方程解得 由解得 ①若所求直线在两坐标轴上的截距都为0，设直线方程为y＝kx，代入点(－4,3)，得k＝－， ②若所求直线在两坐标轴上的截距不为0，设直线方程为＋＝1. 解方程组 得所以直线l1与l2相交， 解方程组 所以 解得<b<1， 故b的取值范围为. 联立解得 ∴两直线的交点坐标为. ∵两直线的交点在第一象限，∴ 解得k>. 又直线l的倾斜角为θ，则tan θ>， C.当m＝时，直线l的倾斜角为60° D.当m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为 对于D，当m＝2时，直线l：x＝2y＋1，则与x轴、y轴的交点分别为(1,0)，，所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为，故D正确. 对于C，当m＝时，直线方程为y＝(x－1)，即tan θ＝，则倾斜角θ＝30°，故C错误； A.－ 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.2 设三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0分别为l1，l2，l3，斜率分别为k1，k2，k3，且k1＝，k2＝－，k3＝m， 当l3∥l1时，k3＝k1即m＝，l1，l2，l3不能构成三角形； 当l3∥l2时，k3＝k2即m＝－，l1，l2，l3不能构成三角形； 综上所述，实数m的取值集合为. 由可得 所以直线l1，l2的交点为， 当直线l3过直线l1，l2的交点时，l1，l2，l3不能构成三角形， 此时－m＋－1＝0，可得m＝－， 易得y＝|x|＝ 则即 解得即B′(1,0). 则AC所在直线方程为＝， 设B(x0，y0)，则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 得 解得即B(6,4). 故所求直线BC的方程为＝， $$