2024-2025学年六年级上学期第八单元数学思维能力提升卷（人教版）

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 六年级上学期第八单元数学思维能力提升卷 一、填空题（第7题6分，其余每题3分，共36分） 1.三角形数规律：1,3,6,10,15,21，（ ）。 2. 1+3+5+7+9+11+13+15+13+11+9+7+5+3+1=（ ）。 3. ++++++=（ ）-（ ）=（ ）。 4. 观察一列数: ，，，，，，，，，，，，，，……,根据发现的规律,从左往右数, 是第（ ）个分数。 5.如图,是用黑白两种颜色的正六边形地砖,按规律拼成的若干个图案,则第2019个图案中有白色地砖（ ） 块。 6.如图,0A、BA分别表示甲、乙两名学生的运动状态,其中s和t分别表示运动的路程和时间。根据图象判断快者比慢者每秒快（ ）米。 7.王叔叔12月1日乘动车去北京办事，由于事情紧急，办完事立刻乘飞机赶了回来，办事经过如图所示: (1)王叔叔早晨（ ）时出发，（ ）时到达北京； (2)王叔叔家离北京有（ ）千米,去时乘动车平均每小时行驶（ ）千米,回来时乘飞机平均每小时行驶（ ）千米； (3)王叔叔在北京办事花了（ ）小时。 8.如图,分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形,公共边只用一根火柴棍,如果搭建正三角形和正六边形共用了2020根火柴棍,并且正六边形的个数比正三角形的个数多6个,那么能连续搭建正三角形（ ）个。 9.如图,半径为2cm的圆在周长为15cm的三角形外贴着边作无滑动的滚动,若圆绕三角形滚动一周,则圆心走过的路径长为（ ）cm。(结果保留π) 10.如图是由3个小正方形组成的图形，若在图中补一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则不同的补法有（ ）种。 11. 有三个同心圆,它们的半径之比是3:4:5,如果大圆的面积是100平方厘米，那么中圆与小圆所构成的圆环的面积是( )平方厘米。 二、选择题（18分） 12.明明步行去学校后发现自己的语文书放在家里,立即从学校跑回家,( )图反映了明明这一活动情况。 13.观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色的三角形有( )个。 A.82 B.83 C.121 D.154 14.有A、B、C、D、E五名同学进行象棋比赛,规定每两人之间要赛一场,到目前为止,A已经赛了4场,B已经赛了3场,C已经赛了2场,D已经赛了1场,那么E赛了( )场。 A.1 B.2 C.3 D.4 15. 将偶数按下表排列: 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 第4行 32 30 28 26 ...... ...... ...... ...... ...... 根据表格中的数字规律,偶数2018应排在 ( ) A.第 252 行第1列 B.第 252行第2列 C.第253 行第1列 D.第253行第 2列 16.在方格纸中将左图中的图形N平移后的位置如右图所示,那么正确的平移方法是( )。 A.先向下移动1格,再向左移动1格 B.先向下移动1格,再向左移动2格 C.先向下移动2格,再向左移动1格 D.先向下移动2格,再向左移动2格 17.有这样一组数：30，1+30，2+30，3+30，4+30，5+30，…其中第n个数用含字母的式子表 示为（　 　）。 A.n+30 B.（n+1）+30 C.（n+2）+30 D.（n﹣1）+30 三、操作题（12分） 18.画出线段图，并列式解答。 一本书，聪聪第一天看了它的，第二天看了余下的，还剩下30页没有看，这本书共有多少页？ 19.画图并解答（提供2份备用图）。 一个长方形,要使它的面积保持不变,当宽增加1分米时,长就要减少2分米；当宽减少1分米时,长就要增加4分米，求它原来的面积。 四、解决问题（6+6+6+6+10=34分） 20.圆环的内直径为5厘米,外直径为6厘米,将100个这样的圆环一个接一个环套环的连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为多少厘米？(拉直后每个圆环的形状不变) 21.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速运动600米,先到终点的人在终点处休息。已知甲先出发2秒,在运动过程中,甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)之间的关系如图所示,求图中a、b、c的值。 22.如图所示,在长方形ABCD 中,AB=CD=6cm,BC=AD=4cm,动点P从A点出发,沿ABCD 的路线运动到D点停止;动点Q从D点出发,沿 DCBA的路线运动到A点停止,若 P、Q同时出发,点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,3秒后,P、Q同时改变速度,点P的速度变为2 cm/s,点Q的速度为1cm/s。(7分) (1)问点P出发几秒后,P、Q相遇? (2)当点Q出发几秒后,点P、点Q在运动路线上相距的路程为8cm? 23.雨哗哗地不停地下着。如果在雨地里放一个如图①那样的长方体容器(单位:厘米),雨水将它灌满要用1小时。那么雨水灌满图②容器和图③容器,哪个需要的时间短?最短需要多长时间?(8分) 24.通过探究,你会有新的发现哟!(10分) (1)探究:比较下面每组中两道算式结果的大小,并在横线上填上适当的符号; 3²-2² (3+2)×(3-2) 4²-2² (4+2)×(4-2) (2)发现:观察上面的算式,你发现了什么?请把下面的算式补充完整：a2-b²=( )×( )(a＞b)； (3)验证:请用一个图形直观的表示(2)中发现的结论； (4)应用:用以上发现的规律完成下面两道问题: ①100²-99²+98² -97² +96²-95²+……+2²-1² ②(1-)×(1-)×(1-)×(1-)×……×(1-) 六年级上学期第八单元数学思维能力提升卷 参考答案 一、填空题（第7题6分，其余每题3分，共36分） 1.三角形数规律：1,3,6,10,15,21，（ 28 ）。 解：如图所示：得出1+2+3+4+5+6+7=28 2. 1+3+5+7+9+11+13+15+13+11+9+7+5+3+1=（ 113 ）。 解：82+72=64+49=113 3. ++++++=（ 1 ）-（ ）=（ ）。 4. 观察一列数: ，，，，，，，，，，，，，，……,根据发现的规律,从左往右数, 是第（156）个分数。 解：，，，，，，，，，，，，，，…… 第1组分子与分母之和为2，第2组为3，第3组为4，第四组为5…….所以3+15-1=17组第3个数（分子是1开始的自然数）。1+2+3+4+5+……+17+3=156 5.如图,是用黑白两种颜色的正六边形地砖,按规律拼成的若干个图案,则第2019个图案中有白色地砖（ 4040 ） 块。 解析：差为4等差数列：2+4,2+4+4,2+4+4+4，…… 所以2+4×2019=4040 6.如图,0A、BA分别表示甲、乙两名学生的运动状态,其中s和t分别表示运动的路程和时间。根据图象判断快者比慢者每秒快（ 1.5 ）米。 解：甲速度64÷8=8（米/分），乙速度（64-12）÷8=6.5（米/分），快8-6.5=1.5（米/分） 或路程差÷追及时间=速度差，12÷8=1.5（米/分） 7.王叔叔12月1日乘动车去北京办事，由于事情紧急，办完事立刻乘飞机赶了回来，办事经过如图所示: (1)王叔叔早晨（ 5 ）时出发，（ 11 ）时到达北京； (2)王叔叔家离北京有（ 1800 ）千米,去时乘动车平均每小时行驶（ 300 ）千米,回来时乘飞机平均每小时行驶（ 900 ）千米； (3)王叔叔在北京办事花了（ 2 ）小时。 【思路点拨】 (1)从统计图中可以看出,王叔叔早上5时出发,上午11时到达北京。 (2)王叔叔家离北京有1800千米,去时花了11-5=6(小时),回来时花了15-13=2(小时),因此,乘动车平均每小时行驶1800÷6=300(千米);回来时乘飞机平均每小时行驶1800÷2=900(千米)。 (3)王叔叔在北京办事花13-11=2(小时)。 8.如图,分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形,公共边只用一根火柴棍,如果搭建正三角形和正六边形共用了2020根火柴棍,并且正六边形的个数比正三角形的个数多6个,那么能连续搭建正三角形（ 284 ）个。 解：设正三角形有x个，则正六边形有（6+x）个。 得出方程：（2x+1）+5（6+x）+1=2020 解得：x=284 9.如图,半径为2cm的圆在周长为15cm的三角形外贴着边作无滑动的滚动,若圆绕三角形滚动一周,则圆心走过的路径长为（ 15+4π ）cm。(结果保留π) 解：圆心走过的路径为三角形周长+半径为2cm的圆周长。 15+π×2×2=15+4π 10.如图是由3个小正方形组成的图形，若在图中补一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则不同的补法有（ 4 ）种。 11. 有三个同心圆,它们的半径之比是3:4:5,如果大圆的面积是100平方厘米，那么中圆与小圆所构成的圆环的面积是( 36 )平方厘米。 解：三个圆的面积之比为32：42:52=9:16:25，所以圆环的面积为25-16=9份，100÷25×9=36（平方厘米） 二、选择题（18分） 12.明明步行去学校后发现自己的语文书放在家里,立即从学校跑回家,( B )图反映了明明这一活动情况。 解：为了上学不迟到，明明返回家拿书包的速度应该比去上学的速度快，根据ST图看出B符合题意。 A表示，用返回；C返回家速度慢于去学校时速度；D表示返回但没有到家再去学校情况。 13.观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色的三角形有( C )个。 A.82 B.83 C.121 D.154 解：规律为后一个白色三角形的个数都是它前面三角形个数的3倍多1个。 1；1×3+1=4,；4×3+1=13；13×3+1=40；40×3+1=121 14.有A、B、C、D、E五名同学进行象棋比赛,规定每两人之间要赛一场,到目前为止,A已经赛了4场,B已经赛了3场,C已经赛了2场,D已经赛了1场,那么E赛了( B )场。 A.1 B.2 C.3 D.4 15. 将偶数按下表排列: 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 第4行 32 30 28 26 ...... ...... ...... ...... ...... 根据表格中的数字规律,偶数2018应排在 ( D ) A.第 252 行第1列 B.第 252行第2列 C.第253 行第1列 D.第253行第 2列 解：D【解析】因为每行共有4个数,第一行最大数为8,第二行最大数为16,可以发现每行最大数恰好是8的倍数,单数行最大数在最右边,双数行最大数在最左边,2018÷8=252…2,即 2018应在第253行第2列。 16.在方格纸中将左图中的图形N平移后的位置如右图所示,那么正确的平移方法是( C )。 A.先向下移动1格,再向左移动1格 B.先向下移动1格,再向左移动2格 C.先向下移动2格,再向左移动1格 D.先向下移动2格,再向左移动2格 17.有这样一组数：30，1+30，2+30，3+30，4+30，5+30，…其中第n个数用含字母的式子表 示为（　D　）。 A.n+30 B.（n+1）+30 C.（n+2）+30 D.（n﹣1）+30 三、操作题（12分） 18.画出线段图，并列式解答。 一本书，聪聪第一天看了它的，第二天看了余下的，还剩下30页没有看，这本书共有多少页？ 解：还原问题（倒推法） 30页相当于余下的1-=，余下的又相当于全书的1-=. 30÷（1-）÷（1-）=150（页） 或转化单位1 第二天看了余下的，即看了全书的（1-）×=. 30÷[1--（1-）×]=150（页） 19.画图并解答（提供2份备用图）。 一个长方形,要使它的面积保持不变,当宽增加1分米时,长就要减少2分米；当宽减少1分米时,长就要增加4分米，求它原来的面积。 解：如图所示,根据题意,有 2×宽=1×(长-2).…① 1×长=4×(宽-1).…② 解得：长=8分米。宽=3分米，原来面积=8×3=24（平方分米） 四、解决问题（6+6+6+6+10=34分） 20.圆环的内直径为5厘米,外直径为6厘米,将100个这样的圆环一个接一个环套环的连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为多少厘米？(拉直后每个圆环的形状不变) 解析：我们可以作图了解,无论几个圆环套在一起,其长度都是所有内直径加上首尾两个环的环粗。因此,100个环套，即为100×5+(-)×2=501(厘米)。 或99个内直径+1个外直径=5×99+6=501（厘米） 21.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速运动600米,先到终点的人在终点处休息。已知甲先出发2秒,在运动过程中,甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)之间的关系如图所示,求图中a、b、c的值。 【题图分析】由图象可以看出甲2秒跑了8米,则可以求出甲的速度，b表示乙跑到终点时甲、乙的距离,由乙跑的距离减去甲跑的距离就可以得出结论,c表示乙出发后甲到达终点的时间。根据总路程÷速度减去甲先走的时间即是c的值。 解:由图象可知甲的速度为8÷2=4(米/秒),乙的速度为600÷100=6(米/秒),乙走完全程时甲乙相距的路程为b=600-4×(100+2)=192(米),乙追上甲的时间为a=8÷(6-4)=4(秒),乙出发后甲走完全程所用的时间为c=600÷4-2=148(秒)。答:a、b、c的值分别为4、192、148。 22.如图所示,在长方形ABCD 中,AB=CD=6cm,BC=AD=4cm,动点P从A点出发,沿ABCD 的路线运动到D点停止;动点Q从D点出发,沿 DCBA的路线运动到A点停止,若 P、Q同时出发,点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,3秒后,P、Q同时改变速度,点P的速度变为2 cm/s,点Q的速度为1cm/s。(7分) (1)问点P出发几秒后,P、Q相遇? (2)当点Q出发几秒后,点P、点Q在运动路线上相距的路程为8cm? 【思路分析】(1)变速前后,两点的速度和不变,因此,用总路程除以速度和即可求出相遇的时间;(2)主要考虑两种情况,一种情况是P、Q相遇前相距8cm,另一种情况是P、Q相遇后相距8cm,根据数量关系,列式求解。 解:(1)6×2+4 =16(cm) ,16÷(1+2)=5(s)。 答:点P出发5s后,PQ相遇。 (2)一种情况是P、Q相遇前相距8cm,此时点P和点Q共运动了 16-8 =8(cm),则所用时间为8÷(1+2)= (s); 另一种情况是点P和点Q相遇后相距8cm,则所用时间为(16+8)÷(1+2)=8(s)。故从开始到相遇后相距8cm所需的时间为s或8s。答:当点Q出发s或8s后,点P点Q在运动路线上相距路程为8cm。 23.雨哗哗地不停地下着。如果在雨地里放一个如图①那样的长方体容器(单位:厘米),雨水将它灌满要用1小时。那么雨水灌满图②容器和图③容器,哪个需要的时间短?最短需要多长时间?(8分) 【思路分析】通过图①可以先求出单位面积的接雨量,再计算图②、图③的容积和需要的时间。 解:图①中,容积:接水面积=(10×20×30):(30×20)=10:1,需要1小时， 图②中,容积: 接水面积=(10×10×10+10×20×10):(10×10)=30:1,需要1×(30÷10)=3(小时)， 图③中,容积:接水面积=(10×10×10+10×20×10):(20×10)=15:1, 需要1×(15÷10)=1.5(小时)。因为3＞1.5,所以图③容器需要时间短,最短需要1.5小时。答:图③容器需要的时间短,最短需要1.5小时。 易错警示 此题的易错点在于是否考虑到接雨的时间与接雨的面积有关。虽然体积相等,但是接雨面积不等,则时间不相等。 24.通过探究,你会有新的发现哟!(10分) (1)探究:比较下面每组中两道算式结果的大小,并在横线上填上适当的符号; 3²-2² (3+2)×(3-2) 4²-2² (4+2)×(4-2) (2)发现:观察上面的算式,你发现了什么?请把下面的算式补充完整：a2-b²=( )×( )(a＞b)； (3)验证:请用一个图形直观的表示(2)中发现的结论； (4)应用:用以上发现的规律完成下面两道问题: ①100²-99²+98² -97² +96²-95²+……+2²-1² ②(1-)×(1-)×(1-)×(1-)×……×(1-) 【思路分析】(1)通过计算两个算式得出结论： (2)根据(1)中的形式直接写出结论； (3)可利用大正方形面积减去一个小正方形面积的方法进行验证表示,利用分配律可计算验证得到； (4)可进行结合律运用每两个相邻平方差进行结合成一组,可利用上题中的规律计算得到答案。 (1)=【解析】因为3²-2²=9-4=5,(3+2)(3-2)=5×1=5,所以3²-2²=(3+2)(3-2),同理:4²-2² =(4+2)(4-2)。 (2)a+b a-b【解析】根据上式进行整理可得:a²-b²=(a+b)(a-b)。 (3)解:在边长为a的大正方形的一角剪去边长为b的小正方形,面积为a²-b²,右图面积为 a²-b²=（a-b）2+2（a-b）b= [（a-b）+2b] （a-b）=(a+b)(a-b)。 (4)①解:原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(96+95)(96-95)+……+(2+1)(2-1)=100 +99+98+97+…+2+1=(1+100)×100÷2=5050。 ②解:原式=(1+)(1-)×(1+)(1-)×(1+)(1-)×(1+)(1-)×……×(1+)×(1-) = 学科网（北京）股份有限公司 $$