第27讲 一次函数的图象、性质及其应用(一)-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年八年级全一册数学

第27讲 次函数的图象、性质及其应用 (一) 情境课堂 函数概念的认识(2)-一代数观念下的函数 1718年,约翰·贝努利(瑞士,1667-1748)在菜布尼兹函数概念的 基础上对函数概念进行了定义:“由任一变量和常数的任一形式所构成 的量,”他的意思是凡变量工和常量构成的式子都叫作x的函数,并强 调函数要用公式来表示,18世纪中叶,欧拉(瑞士,1707-1783)给出了 定义:“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成 欧拉 的解析表达式,”他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数,并 进一步把它区分为代数函数和超越函数,还考虑了“随意函数”,不难看出,欧拉给出的函数定 义比约翰·贝努利给出的定义更普遍,且更具有广泛的意义 典例剖析 类型1 求一次函数的解析式 例1(2024,岳阳九中期末)约定:如果函数的图象经过点(m,n),我们就把此函数称作 “(m,n)族函数”.例如:正比例函数y一2x的图象经过点(1,2),所以正比例函数y一2x就是“(1,2) 族函数”.已知:一次函数y-2x十4和=-x十1都是“(n,n)族函数”,当nx1时,一次函数 y-+b的函数值y恰好有一2n y2n,则该一次函数的解析式为 【学找切入点】 由于及的符号不能确定,故应对>0和<0两种情况进行讨论 变式11 (2023,武汉四调)杆秤是我国传统的计重工具,如图,可以用秤砣到秤纽的水平 距离来得出秤钩上所挂物体的质量,称重时,若秤砣到秤纽的水平距离为x(单位;cm)时,秤钩所 挂物重为y(单位:kg),则y是x的一次函数,下表记录了四次称重的数据,其中只有一组数据记 录错误,它是 ). A.第1组 B.第2组 C.第3组 D.第4组 秤 组数 2 1 3 {7} 行 1 2 r/cn 4 7 0.80 1.65 1.05 /kg 2.30 167)》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 变式12(经典,呼和浩特中考)在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(0,4).以AB为一边 在第一象限作正方形ABCD,则对角线BD所在直线的解析式为( ). D.-4 类型2 一次函数的图象与性质 2(1)(经典,牡丹江中考)已知一次函数y=(2m-3)x十3n十1的图象经过一、二、三象 限,则,n的取值范围是( 。 B. 30~ __0 D.# A.m>3.n3 B ). 9-6n,则关于自变量x的一次函数y一x一mn的图象一定经过的象限为( A.一、二 B三、四 C.二,三 D.一、四 【学找切入点】 (1)直接根据一次函数图象与系数的符号关系求解.(2)确定k,m,”的值,再 根据一次函数图象与两常数,b的关系求解即可 2-1 变式 若一次函数y一x十2一1的图象不经过第一象限,则 的取值范围是( B._# C. A.b<0 D. 变式2-2(2023,绍兴中考)已知点M(-4.a-2),N(-2.a),P(2.a)在同一个函数图象 上,则这个函数图象可能是( ). ####}# B D 类型3一次函数与图形变换 测3(1)(2024,上饶实验中学月考)将直线y一hx十b向上平移2个单位长度,再向右平移 (2)(2024,重庆育才中学月考)直线y一2x十1关于x轴对称的直线的解析式为 ,关 于y轴对称的直线的解析式为 (3)将直线y-一 2x绕坐标原点逆时针旋转90”,所得直线的解析式为 (4)将直线y-2x十5沿直线y一x平移2v2个单位长度,所得直线的解析式为 【学找切入点】 1 在直线上取点(可取与坐标轴的交点),将点作平移、对称、旋转等变换,变换 后的点再利用待定系数法可求解直线的解析式 《168 第27讲 一次函数的图象、性质及其应用 删4已知函数y=x-al(a为常数),当lx3时,y有最小值为4,则a的值为( ). A.-3或5 B-1或7 C.-3或7 D.-1或5 【学找切入点】 函数y=x-a的函数图象由y一x一a变换而来,保留y一x-a在x轴及 上方部分的图象,且将y一x一a在:轴下方部分的图象沿着x轴翻折至上方,整个y三x一a的 函数图象呈现“V”字形,其对称轴为直线x一a.对a3及a<1分类讨论即可 [变式3-1(经典,扬州中考)如图,一次函数y一x十2的图象与x轴、 y轴分别交于点A,B,把直线AB绕点B顺时针旋转30交x轴于点C,则线 段AC的长为( ). A.6② B.3/2 C.2十③ D.③十/2 变式32 (2024,淮南龙湖中学期末)已知函数y-(-1)x十2-1与y-x-1,当满足 0<.3时,两个函数的图象存在2个公共点,则满足的条件是( ). A.03 D. 规律清单 一次函数图象的变换特点总结 (1)将直线v-x十b向左平移n个单位长 (2)直线y一kx十b关于x轴对称的直线 度,所得直线的解析式为y一k(x十m)十,向右 的解析式为y一-hx-b,直线y一hx十b关于 平移则得-k(x-m)十b,将直线y-kx十b向 y轴对称的直线的解析式为y一一hx十b. 上平移h个单位长度,所得直线的解析式为y (3)与直线v一x十b垂直的直线的解析 hr+b十h,向下平移则得-hx十b-h. 类型4一次函数与几何探究 剩5(2023,眉山中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为 (一8,6),过点B分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为点C,点A,直线y三一2x一 6与AB交于点D,与y轴交于点E,动点M在线段BC上,动点N在直线y -2x-6上,若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形,则点M的坐标 为。 【学找切入点】 1. 作垂线构造全等三角形,由对应边相等,将N点坐标转化到三角形的边长 关系中,注意对点N在AB上方、下方进行分类讨论 169》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 变式41(2021,毕节中考)如图,在平面直角坐标系中,点N 3 (1.1)在直线/:yx上,过点N作NM I/.交x轴于点M;过点 M 作MN。x轴,交直线/于N:过点N.作NMII.交x轴于点 M:过点M作MN。 x轴,交直线/于点N:...按此作法进行下 AM. M. 去,则点M的坐标为 如图,已知直线y一 变式4-2 -2-1与x轴,y轴分别交于A,B两点. (1)若AOB被直线y一x-1分成的两部分面积相等,求的值 (2)是否存在直线y一x一1分△AOB所得的两部分的面积的比为1:5?若存在,求的 值;若不存在,请说明理由 1 研讨乐园 测6(2024,吉安一中期末)如图,过点F(1,一1)作不平行于坐标轴的 直线/,点M(m,m{}-2m+1),N(n,n-2n+1)为直线/上两点,将点M向 左平移(2m一2)个单位长度得到点G.求证:直线NG过一定点 【学找切入点】 由于点F,M,N中任意两点可表示出直线/的解析式. 故可利用M,N两点求出/的解析式,再代入点F得到/n,”之间的关系,或 利用点F设出/的解析式,再代人点M,N亦可求出n,n之间的关系式;由平移易知点G的坐 标,利用G,N两点求出直线NG的解析式,最后将,n的关系式代入观察定点坐标. 【解】甲的探究 由点M(m,n-2m+1),N(n,n-2n+1)可求出/的解析式为l:y=(m +n-2)(x-m)+n2-2m+1. .点F在直线/上: '.-1-(m+n-2)(1-m)+n-2m+1. 整理得n+-7-0 由平移得G(2-m,m②-2n十1). 由G,N两点可得直线GN的解析式为lcv:y=(n-m)(x-n)+n-2n+ -(n-n)x+nn-2n+1. “.'nn-n十n. '.lev:y-(n-m)x十m-n十1. 当x-1时,y-1恒成立, ..直线NG过定点(1.1). 乙的探究 设直线/的解析式为y=x十q,将F(1,-1)代入,得十q=-1,..q=一-1. 《170 第27讲 一次函数的图象、性质及其应用 '.直线/的解析式为y=p.x--1. ·.点M(m,m}-2m+1),N(n,n-2n+1)为直线/上两点; [m^{?-2m+1-pm--1①, .: ①-②,得(m-n)(m十n-2)-p(m-n). “-2n+1-n--1 ②. .'mn..=m+n-2,把 =m+n-2代入②,得n-2n+1=n(m+n-2)-(m+n 2)-1. 整理得n-n十n. .点M向左平移2m-2单位长度得到点G..'.G(-m+2,m{}-2m+1). 设直线NG的解析式为y-k'x+b,把G(-m+2,m{}-2m+1),N(n,n{}-2n+1)代人, [(-n+2)+6-n-2m+1, '-n-n. 得 “解得 l'+6--2n十1, l6-nn-2n十1. '.直线NG的解析式为y=(n-n)x+m-2n+1. .m=m十n..,直线NG的解析式为y=(n-m)x十m-n+1,当x=1时,y=1恒成立, ·直线NG过定点(1,1). 能力平台 蹈优练 # ._ (建议用时:60分钟) 3.(2024:警州一中期末)在平面直角坐标系 则直线一(a十b)x十c一定不经过 ). 中,过点(一2,3)的直线/经过一、二、三象 A.第一象限 B.第二象限 限,若点(0,a),(一1,b),(c.-1)都在直线/ C.第三象限 D.第四象限 上,则下列判断正确的是( ). 2.如图,已知A,A,A:..,A,A是x轴上 A. B~3 的点,且OA-AA-AA-..-AA,= C.3 D.c-2 1.分别过点A,A.A...,A,A:作x轴 4.已知一次函数y-x十6,当一31时,对 的垂线交直线一2x于点B,B,B.... 应的y值为1y9,则b的值为 ). B..B ,连接AB.BA.AB.BA... A.4 B-6 A.B ,BA.依次相交于点P.P.P.. C.-4或21 D.-6或14 P若△ABP,△ABP.△ABP.... 5.(2024,合肥寿春中学月考)如 { △A.BP。的面积依次记为S.S,S.... 图,将长为2,宽为1的四个矩 S,则S.为( B__=2 形按如图所示摆放在平面直 角坐标系中,若正比例函数 y一x的图象恰好将所组成的图形分为面 积相等的两部分,则:的值等于( . B C D A.1 171》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 6.已知函数y=x-2a (a为常数),当1 赛训练 (建议用时:50分钟) 3时,y有最小值为5,则a的值为 ). 10.(2024,宜昌五中期末)已知过点(2,一3)的 A.3或-1 B.3或4 直线y一ax十b(a关0)不经过第一象限,设 C.-2或一1 D.-2或4 s-a+2,则s的取值范围是 ). 7.(2024,类底三中月考)已知函数y一(a-2)x -3a-1,当自变量x的取值范围为3 x<5 时,y既能取得大于5的值,又能取得小于3 的值,则实数a的取值范围为 b_t,则一次函数y= 8.(2024,武汉外国语学校月 考)如图,在平面直角坐标 tx十r*的图象必定经过的象限是( 。. 系中,直线AB交y轴于 A.第一、二象限 B.第一、二、三象限 点B(0,2),现将直线AB C.第二、三、四象限 D.第三、四象限 绕点A(1,-1)按逆时针方向旋转45{,交; 12.(2021,“希望杯”邀请赛)如图,已知点A(-3. 轴于点C,则点C的坐标是 9.(2024,芜湖二十七中期末)已知直线y 0).B(0,3),C(3,0),点P是直线/:y b+2k-4(b-1). 一2x十8上的一个动点,若以点P为端点的任 -1 意一条射线与折线ABC最多只有一个交点; (1)说明无论取不等于1的任何实数,此 则点P的纵坐标ye的取值范围是 ). 直线都经过某一定点,并求出此定点的 ### 坐标. (2)若点B(5,0),点P在v轴上,点A为(1 中确定的定点,要使入PAB为等腰三角 形,求直线PA的解析式 13.(2021,“希望杯”邀请赛)在平面直角坐标 系xOy中,P(m,n)是第一象限内一点,过 P点的直线/与x轴,y轴分别相交于点 A.B,若Rt^AOB的面积为2m,则这样 的直线/有。 条。 《172参考答案与提示 ④是两组对边不平行的四边形,表示甲、乙先后不是 对称点为A(0,-1),B(1.-3).根据待定系数法可 使用同一速度3或,因而均不符合题意 求得直线A'B的方程为y=-2x-1. 0A ·A.B关于y轴的对称点为A.(0.1).B(-1,3) 第27讲 一次函数的图象、性质及其应用(一) .直线AB的方程为y=-2x+1. 阅-x十3或y--r+3. (3)y-2x.提示:在直线y-- 提示:.y2十4和y 1上取点(-2.1). 一+1都是“(m,n)族函数”,..y-2x+4和y--十 将其绕原点逆时针方向旋转90{得到点(一1,-2),过 (2n+4-n. n--1. 解得 1都过点(n,n). 点(0,0)和(-1,-2)的直线方程为y-2x. 1-n+1-n. 1n-2. (4)y-2x+3或y-2x+7. 提示:沿直线y=x平移 ·当一1<r1时,一次函数v-x十6的函数值y恰 2v2个单位长度,相当于向右平移2个单位长度,再向 好有2<4.①当0时,y随着x的增大而增大. ..y一hx十b经过(-1,2)和(1,4),.一次函数为y 上平移2个单位长度,或向左平移2个单位长度,再向 下平移2个单位长度,直线-2x+5上的点(0,5)平 士3;②当0时,y随x的增大而减小;.yr b经过(一1,4)和(1.2),.一次函数为y=-x+3.综 移后相应的对应点为(2,7)或(一2.3).设平移后的直 线为y-2r+b,代入点可求得-3或7. 上所述,该一次函数的解析式为y-x+3或y---+3. 4C 提示:①当a1,r-1时,y-4,a=-3; 2(1)B 提示:.一次函数y-(2n-3)x十3n+1的 ②当a3,x-3时,y-4.a-7..a--3或7. 图象经过一、二、三象限. (-8.6)或(-8.2). 2n-30. 解得m3n一 提示:①当点N在AB下 . 3n10. 方时,如图1,过点N作PQ y轴交y轴于点P,交 (2)B 提示:'-a+hca-b十c-a+b BC于点Q,..APQ-NQM-90*。 0 .△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形, 'a+b-c-hc,a-bc-bb,-a+b十c=ha, .AN-NM, ANM-90..ANP十MNQ- 三式相加,得a十b十c一&(a十b十c). NMQ+MNQ...ANP-NMQ. .k-1或a+b+c-0. .'.APNNOM(AAS)...AP-NO.NP-MQ 当a十b+c-0时,a+b--c,故k--2. 设N(t,-2-6),'NP-MQ--1,OP--2t-6. “.vm-5++9-6n. 又.NQ-AP=8-NP-8+1.',8+1-21-6-6 '.vn-5+(n-3)-0,则n-5.n-3. '.-4.CM=MQ+CQ-MQ+OP=-1-2t-6 故一次函数为y-x-15或y=-2x-15. 6.'.M(-8.6). '.函数图象一定经过三、四象限 丽(1)- 提示:取直线y-x的图象上的两 点A(0,0),B(2,1),将其向下平移2个单位长度,再向 左平移1个单位长度得A(-1.一2),B(1,-1). -2--6. 由A’,B在y-kr十b的图象上得 -1-+6. 图1 图2 .{## ②当点N在AB上方时,如图2,过点N作PQ1y轴 交y轴于点P,交直线BC于点Q. 同理可得△APN△NQM(AAS). (2)y--2r-1;y--2c+1. 提示:取直线y-2 *.AP-NQ.NP-MQ +1的图象上的两点A(0.1),B(1,3),其关于x轴的 设N(t,-2t-6),NP-MQ--t.OP--2t-6. 103 培优竞赛超级课堂 日年级数学 又.NQ-AP-8-NP-8+1,..-2t-6-(8+) 设CD-AD-x,则AC=AD+CD-② 由旋转的性质可知ABC-30*, ·BC-2CD-2x. .M(-8.2). *BD-BC-CD-V3x. 【变式题组】 又.·BD-AB+AD-2+x. 11C 提示:设y-r+b.把x-l.y=0.80,-2 '2+x-v③x,解得x-③十1. y=1.05代入,求得y=0.25r+0.55,当x=4时,y $AC-②-②③+1-6+/② 0.25×4+0.55-1.55...第3组数据不在这条直线 变32D 提示:①画出y=x-11(0<x3)的图象 上,当x-7时,-0.25×7+0.55-2.30.第4组 如图. 数据在这条直线上. 式2A 提示:如图,过点D作DH|x轴于点H ·点A(3.0),B00,4).'0A-3.0B-4. 2} ·四边形ABCD为正方形. '$AB-AD.BAD-90*$ ②y=(-1)x +2-1-(x+2)--1过定$ ·OBA+OAB-90{,OAB+DAH-90$ (-2.1). :. ABO- DAH. ③画图象如图,当函数y-(-1)x+2一1过(1.0) 在△ABO和△DAH中 D 时,一 [乙AOB= DHA. -1.#1. ABO- DAH. & AB-DA, 变式4-1(2,0). 提示:如图,过点N:作NE1 ..△ABO△DAH(AAS). x轴于点E,过点N 作NFIy轴于点F. *$AH-OB-4.DH=OA-3 .D(7,3). .N.(1.1)..NE-NF-1. 设直线BD的解析式为y-x+b. ' NOM-45'NOM -NMO-45 (7十b-3. 解得 ..八N.OM 是等腰直角三角形 把D(7,3),B(0,4)代入得 6-4. .b-4. '.NE=OE-EM-1. '.OM-2..M(2.0). .直线BD的解析式为y--x+4. 同理,八M.ON。是等腰直角三角形. 10. 短21A 提示:. 'OM-2OM-4.M(4,0). .0. 12-1<0. 变2-2B 变31A 提示:.一次函数y=x十/2的图象与 x轴、y轴分别交于点A,B,令x-0.则y-v2;令y-0 则--一/② .A(-/②,0),B(0.v②). 同理,OM-2OM.-2OM=2.M(2,0). 则△OAB为等腰直角三角形,ABO-45*。 .OM-2OM-2. *AB-2)+2)-2. '.M(20).依此类推,故M(2,0) 如图,过点C作CD)AB,垂足为点D. 42(1)由题意易知A(2,0),B(0.-1),直线y=kx “CAD-OAB-45”, 一1经过点B. '.△ACD为等腰直角三角形 ·△AOB被直线y一x-1分成面积相等的两部分 104 参考答案与提示 '.直线y-hx-1经过OA的中点C(1,0),即0- -2)-3a-1-2a-11,依题意,y应取大于5的值,故 1.:-1. 有2-11>5,所以>8 (2)易得云0,则直线y一x-1与x轴相交于点 8(-1.0). 提示:过点B作BD |AB,交直线AC于 点D,过点D作DE1y轴于点E,过点A作AF 上 一3或. y轴于点F(图略),则△ABF△BDE(AAS). 【能力平台】 .A(1.-1),B(0,2).'$AF=BE=1$BF=DE=3 B提示:因为y---不经过第四象限,则 *OE=OB-BE=2-1-1..D(-3,1. -y-0.则x-1. *.直线AD:y=- 0.-f>o且abc<o.则a+b0.c<o.故直线y= .C(-1,0). (a十b)x十c一定不经过第二象限 D(1)由题意知1. 2D提示:由题意知A.(n,0),B.(n,2n).A(n+1,0) 若取--1,得-x+2y-6. ① B..(n+1.2+2). 若取-2,得2r-v-0. ② 设直线A.B的解析式为y-kx+b (r-2. (nh+b-0. (-2n+2. 联立①②,得 则 解得 1y-4. ((n+1)+b-2n+2. b=-2n(n+1). 故直线A.B:的解析式为y-(2+2)x-2n(n+1). 同理,直线A ,B.的解析式为y--2nr+2n(n+1). ② 所以不论k取不等于1的任何实数,此直线都经过一 定点,其坐标为(2,4). (2)分三种情况讨论: 所以 5.-·2n ·(2-2-一)- ①设P(0.m),满足PB-PA,由勾股定理得5}+ D 提示:由题意知,该一次函数的值随x的增大而 -2+(4-n)”,解得n=- ,即P(o-) 增大且过定点(-2.3),则63.a>3.c-2. 符合题意,直线P.A的解析式为y-37--. 4D 提示;①当y随x的增大而增大时,-2,-7,此 时-14. ②设P(0.m),满足PB-AB,易求得AB-5.所以 ②当y随x的增大而减小时,=-2,b-3.此时丛--6. 点P(0.0).直线PA的解析式为y=2x ED 提示:如图,设直线y一的 - ③设P(0,m),满足PA-AB,由勾股定理得2*+ 图象交TR于点A. (4-m)-5,解得n-4士 ②. 设A(4,4),则S-2-4. 即P(0.4+21)或P(0.4-21),直线PA的解析 即Sor-6. 式为y- :TA-4,4×4-6,解得-4. ED 提示;当2a 3,即x=3时,y-3-2al-5.解 得a=-1(舍去)或a-4; 当2a 1,即x-1时,y=l1-2a-5,解得$a -3 B 提示:因为直线y=ax十(a去0)不经过第一象 (舍去)或a--2. 限,所以a<0,b0.已知直线过点(2,一3),将点的坐 综上,a--2或4. 标代入表达式,得2a十b=-3,则a---3.6= 8.提示:当x=3时,y=3(a-2)-3a-1=-7. -2a-3,所以-a+26--3+26--< 满足题设条件,即取小于3的值;当x一5时,-5(a 105 培优竞赛超级课堂 日年级数学 3,且$-a+2-a+2(-2a-3)--3a-6 -6. (3) 2-+400(30 160). -580(60 r80). 故;的取值范围是一6<<-3. '.当x-60时,y的值最大,即y-520 A 提示:由已知等式,得(b十c)/=a,(c十a)7=b. 由题意可知(20-3-14)·60+40·(23--19) 14×60+19×40 (a+b)t-c,将三式相加,得2(a十b十c)-a十b十c.当 ×100%16%,解得n1.2. 答:n的最大值为1.2. --1.当1-时,一次函数y-tc十7*的图象经 4(1)直线y--3x+6与x轴交于点B.与y轴 过第一、二、三象限;当1-一1时,一次函数y一1十 交于点A,.点A(0.6),点B(4,0). ·.图象必定经过的象 的图象经过第一、二、四象限. ·点P是线段AB的中点,.点P(2,3). 限是第一、二象限 (2)过点P作PF [OA于点F(图略). 2A33. .将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ.OQE=90*. 一次函数的图象、性质及其应用(二) 第28讲 $ OQP=0OE=45°0Q=QE:QF=PF. A 提示:设小亮与小莹相遇时,小亮乘车行驶了 ·点P(2,3).'$QF=PF=2.OF=3.$0=5. r小时,.小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别 ·点A(0,6).'A0-6'AQ-6-5=1. 是小时、小时,.小亮、小莹乘车行驶的速度分 即AQ的长为1. 别是a千米/时、2a千米/时,由题意得ax十2a· (3)存在点C使CQ一CE)最大,理由如下; :OQ-QE-5.OQE-90..点E(5,5). ()-.-,又小时-28分钟, 如图,作点E关于直线y一1 十1的对称点E(4,6),连接 '.小亮与小莹相遇的时刻为8:28. 2013. QE交直线y=r十1于点C. 提示:.一次函数y 此时CQ一CE|最大,设直线 一r十b(,b为常数,且k<0)的图 QC的解析式为y一kx+5. 象与直线y-3x都经过点A(3. 1).由如图所示的图象可知:当0 .直线QC的解析式为y-士-+5,联立方程组可得 0r3. (-1. 15a+55-305. 3(1)由题意可知 (a-14. 解得 20a+10-470. 6-19. .点C的坐标为(16.10). (2)由题意可得,当30 x60时,y=(20-14)x十 (23-19)(100-x)-2r+400. 【变式题组】 当6 0 80时,=(20-3-14)(x-60)+(20- 式111.提示:直线y--2+3,..当-0 14)X60+(23-19)(100-x)--x+580. 时,y--2h+3,当y-0时,r-2-3.. .点A的坐 , 答:超市当天售完这两种水果获得的利涧y(元)与购 进甲种水果的数量x(千克)之间的函数关系式为y 2.r十400(3060). OA-2-3.0B--2^+3. -+580(60 x80) 106