第22讲 矩形-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年八年级全一册数学

第22讲 矩形 情境课堂 完美矩形 把一个矩形(或正方形)剖分成大小(规格)不同的正方形的问题称为完美剖分问题,能够 被完美剖分的矩形(或正方形)称为完美矩形(或正方形) 早在1923年,波兰利沃夫大学的鲁齐维茨教授首先提出完美矩形的存在性问题 1925年,数学家莫伦找到一种剖分完美矩形的方法,同时他给出了两个矩形剖分成大小不 同的正方形的例子,至此人们才知道完美矩形的存在. 矩形(或正方形)被剖分成的小正方形的个数称之为阶 随着1938年英国剑桥大学的四位大学生布鲁克斯等(他们后来都是世界知名的组合数学 专家)找到完美矩形(或正方形)与电路网络中基尔霍夫定律的联系之后,人们又陆续发现了一 些完美矩形. 1940年,布鲁克斯等人给出过9~11阶全部完美矩形,同时他们还证明了:完美矩形的最 低阶数是9,且仅存在两种9阶完美矩形,如图1和图2所示。 25 36 18 15 16 1 4 8 3 14 28 10 图1 图2 典例剖析{ 类型1 矩形的性质 (1D)矩形的性质是求线段的长度,角度等问题常用的手段 (2)由于矩形的四个角都是直角,故常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决 (3)矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形,因此在解决相关问题时,常常用 到等腰三角形的性质 蔺1如图,在四边形ABCD中,ABC-90{*,BCD-45{,CAD 2/ ACB,DE AC于点E,交BC于点F,求证,FC-2AB. 【学找切入点】 利用二倍角构矩形,通过全等证明结论 31)》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 变式 11(2023,河南中考)在矩形ABCD中,M为对角线BD的中点,点N在边AD上 且AN一AB-1.当以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,AD的长为 变式12 (2024,黄冈启黄中学月考)如图,在矩形ABCD中,AB-4,AD一 3,矩形内有一个点P,连接AP,BP,CP,已知 APB=90*,CP=CB,延长CP交E AD于点E,则AE一 D 类型2 矩形的判定 删2(2023,岳阳中考)如图,点M在□ABCD的边AD上,BM-CM, 请从以下三个选项中① 1= 2;②AM=DM;③ 3= 4,选择一个合适 的选项作为已知条件,使CABCD为矩形. (1)你添加的条件是 (填序号); (2)添加条件后,请证明□ABCD为矩形 【学找切入点】 根据矩形的判定作选择. 变式2-1 (2024.重庆八中单元测试)设凸四边形ABCD的四个顶点满足条件;每一点到 其他三点的距离之和都相等,试问:这个四边形是什么四边形?请证明你的结论 变式22 (2024,湖北华宜寄宿学校期末)如图,D是△ABC内部一 点,AC BD.目AC=62,BD=42.依次取AB,BC,CD.AD的中点,并顺 次连接得到四边形MNPQ,则四边形MNPQ的面积是( ). A.6/2 B.12 C.24 D.48 1 类型3 矩形与折叠 矩形的折叠问题是中考常见的几何题,解题的关键是折叠后重合的角相等,重合的线段相 等,重合的图形是全等图形. 3如图,在矩形ABCD中,AD-9.点G在边AD上,AB-GD-A 4.边BC上有一点H,将矩形沿边GH折叠,点C和D的对应点分别是 C'和D',若A,D和C'三点恰好在同一条直线上时,AC的长为 【学找切入点】 分类讨论:(1)点A在CD的延长线上;(2)点A在 线段CD上. 《132 第22讲 短形 变式3-1(2024,武汉武路路实验中学期末)如图,在矩形ABCD中,EA 是AD的中点,连接BE,将△ABE沿着BE翻折得到△FBE,EF交BC于点 C H.延长BF,DC相交于点G.若DG=16,BC-24,则FH= C 方法视窗 矩形中常见的4种折叠问题 (1)把图形沿对角线折叠. (3)把一边折叠到对角线上. (2)把一顶点折叠到一边上 (4)把一条对角线的项点折叠使其重合 类型4 直角三角形斜边上的中线 ) 4如图,P为△ABC的边BC的中点,分别以AB,AC为斜边作 RtAABD和Rt△ACE,目 BAD= /CAE,求证:PD=PE 【学找切入点】方法一 取AB的中点M,AC的中点N,借助中位 1 线与直角三角形斜边上的中线解决 方法二 倍长BD,CE,利用中位线与全等三角形求解 变式41(2024,南昌外国语学校月考)如图,在四边形ABCD中, CD/AB.A-90$*},BC-2AB,E为BC的中点,连接DE,若 B-76^*,则$$ CDE的度数为 变式42(2024,吉安一中月考)如图,BAC-BDC=90{,四边形ABDE为平行四边 形,若AD-6,BC-8,求CE的长. 133》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 研讨乐园 删5如图1,在矩形ABCD的CD边上取一点E,将△BCE沿BE翻折, 使得C恰好落在AD边上点F处,在AE上取一点G,使得AG-DF,连接BG AG 【学找切入点】 分类讨论,从边人手找特殊角,从而找到线段关系 , 【解】 甲的探究 从矩形翻折中找特殊角,利用勾股定理解三角形 图1 分类讨论:①若BE一HE,如图2,连接CF,设 /CBE一a,由翻折知 FBE- .四边形ABCD为矩形: 45 .BCD-90*. A_G 又BECF. .D . FCD-a, BEC-90*-a= BEH. 又BE-HE. 图2 · H-HBE-45*+, 在Rt△ABG和Rt△DCF中. “:AB-CD,AG-FD, A- D-90*, 'Rt/ABGeRt/DCF. ..ABG- DCF-g. . BFG-36. 设AG-FD-1.BG-CF-x 则AD-BC-BF-x十2. 由勾股定理得--1-(x+2)-(x+1)? .-+1. _f# 5十3 ②若BE-BH.如图3. H 设 CBE-a,则 EBF-a,BEC-90{*-a 90- ABG- DCF-a. 在△BHE中,.BE-BH .H- HEB-90*-a, 图3 ./HBF-. 由4a-90得。-22.5* .BFG- ABF-2a-45*。 《134 第22讲 矩形 过G作GM | BF交于点M. 设BM-1,则GM-MF-/-1. '$GF-2GM-2-2. 2 ③若BH=EH,如图4,有 EBH- BEH= BEC=90*}一a,此时 HBC=90{},则BH与 AB重合,BH/CD,不合题意,舍去 2_#_ 乙的探究 利用黄金三角形边的比例关系得到结论 分类讨论:①若BE=HE,同甲的探究可得 BFG-36{. _#1.# 图4 2. ②若BE-BH,同甲可得 BFG-45*。 过G作GM[BF于点M. 设AG-FD-1,则GM-MF-1. .FG一/2. *AD-BC-BF-/②+2 ③若BH一EH,同理,BH//CD不合题意,舍去 能力平台 蹈优l练 (建议用时:30分钟) 2.如图,在矩形纸片ABCD中,AB一3,将其折 1.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是边 叠,使点D与点B重合,折痕为EF,设EF与 AB,BC的中点,连接EC,FD,点G.H分别 BD交于点O.与AD.BC分别交于点E,E.连 是EC,FD的中点,连接GH,若AB-6,BC 接AO.若BF一5,则AO的长为 ). 一10,则GH的长度为( ). 7 #7 # C.310 77 A.35 D.2 B.2/10 2 135》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 3.定义:如果一个三角形有一边上的中线等于 7.(2024;宜昌五中期末)已知四边形ABCD是 这条边的一半,那么称三角形为“智慧三角 矩形. 形”,如图,在平面直角坐标系xOv中,矩形 (1)如图1,E,F分别是AB,AD上的点,CE OABC的边OA-3.OC=4,点M(2,0),在 垂直平分BF,垂足为G,连接DG 边AB上存在点P,使得△CMP为“智慧三 ①求证:DG-CG: ). 角形”,则点P的坐标为( ②若BC-2AB,求/DGC的大小 A.(3,1)或(3.3) (2)如图2,AB-BC=6,M,N,P分别是 B.(3.)或(3.3) AB.CD,AD上的点,MN垂直平分 BP,Q是CD的中点,连接MP,PQ.若 C.(3.)或(3.,1) O MA) PQ MP,则CN的长为 AF D.(3.)或(3,1)或(3,3) 4.如图,在矩形ABCD中,点E为矩形内一点 B 且AB=1,AD-3, BAE-75^{, B[CE 图1 图2 60{,则四边形ABCE的面积是 第4题图 第5题图 2,E 一个动点,连接EF,将EF绕着点E顺时针 旋转45^*到EG的位置,连接FG.CG.DG.当 CG取最小值时,/GCD的度数为 6.(2024,安庆二中月考)如图,E,G分别是正 方形ABCD的边AD,BC的中点,点F,H 在对角线BD上.若四边形EFGH是矩形 则A0D S形FGH_ 《136 第22讲 短形 赛训练 (建议用时:20分钟) 11.(2024,南京一中期末)如图,将矩形纸片 8.如图,在矩形ABCD中,AD一 3AB,对角线 ABCD(AD>AB)折叠,使点C刚好落在 相交于点O.动点M从点B向点A运动(到 线段AD上,且折痕分别与边BC,AD相 点A停止),N是AD上一动点,且满足 交,设折叠后点C,D的对应点分别为点G MON-90{,连接MN.在点M,N运动的过 H.折痕分别与边BC,AD相交于点E,E (填序号). 程中,以下结论正确的是 (1)判断四边形CEGF的形状,并证明你的 结论. ①点M,N的运动速度不相等 ②存在某一时刻使Sw-Swv; (2)若AB-3,BC=9,求线段CE的取值 范围. ③MN?-BM+DN?. M # 第8题图 第9题图 9.如图所示,长方形ABCD中,M是边AD的 中点,N是边DC的中点,AN与MC交于点 P,若 MCB= NBC+33*,则 MPA的度 数是。 △. 10.(2024,常德五中月考)如图,矩形ABCD 中,AB-8,BC=6.P.Q,R.S分别是AB$ BC.CD.DA上的动点,则PQ+QR}+ RS^{*}士SP}的最大值与最小值之和为 1r 137》参考答案与提示 运动,当m=0时,M(吾,o):当m=10时,M(5.5). A+ D-180”,A- D-90 .ABCD为矩形 '.点M的运动轨迹是从点(.o),沿着直线y-2r- 1或7.提示:(1)当点A在C'D的延长线上时. 5运动到点(5,5). $G$=$D'G$=$AB=4. $$AD$G=$$CD'G$=$D= .点M的运动路径长为(5-)+(5-0)-55 90{*,DC'-DC-AB-4. $AG-AD-$DG- $'$AD-AG-DG-$ 第22讲 矩形 ..AC-AD+DC-3+4-7. 如图,过点C作CG1BC交AD的延长线于点G,过 (2)当点A在线段CD上时, 点A作AH GC于点H 根据题意可知DG-DG=AB-4. ADG- D=90$$$ .ABC90.'.四边形ABCH是矩形, '.AG=AD-DG=5. 在Rt△ADG中,AD= ..AB-CH,AH//BC,..CAH= ACB. AG-DG-3. : /CAD-2/ACB../CAD-2/CAH *AC=CD'-AD-4-3=1.AC的长为7或1 '. CAH=/GAH:又.AH=AH. AHC 如图,分别取AB.AC的中点M.N.连接DM,EN. AHG-90{...△ACH2△AGH.'$CH=GH.$ PM.PN,得四边形AMPN为平行四边形,易证 ..GC-2CH.'.GC-2AB. DMP- PNE,△DMP△PNE. *·DE 1AC.DFC-90*-ACB-90*- ..PD-PE. CAH-90*- GAH- G. ·GC1BC. BCD-45*. .DCF=DCG 45*,又'CD=CD...△CDF△CDG...FC GC...FC-2AB. 【变式题组】 -.-G 变式1-12或1+②. 提示:以点D,M.N为顶点的三 ---H 角形是直角三角形时,分两种情况: 如图1.当 MND-90*时,则MN1AD. ·四边形ABCD是矩形: (1)①(或②).提示:①当 1-2时,□ABCD '.A-90,..MN/AB 为矩形;②当AM-DM时,□ABCD为矩形 “.M为对角线BD的中点, ..AN-DN (2)若添加条件①:.四边形ABCD是平行四边形 “AN-AB-1.'AD-2AN-2. *.AB/DC,AB-DC,'.A十D-180*。 如图2,当 NMD=90时,则MN IBD. [AB-DC, ·M为对角线BD的中点,..BM一DM 在△ABM和△DCM中乙1-乙2. .MN垂直平分BD,'.BN-DN. BM-CM, . A-90*,AB-AN-1.'$BN-/②AB-② '.△ABM△DCM(SAS).'A-D. 'AD-AN+DN-1+/②. 'A-D-90,*□ABCD为矩形. 综上所述,AD的长为2或1+② 若添加条件②:.四边形ABCD是平行四边形. *.AB-DC.AB/DC. (AB-DC. 在△ABM和△DCM中,AM-DM. 图1 IBM-CM. 图2 ..△ABM△DCM(SSS),'.A-D. 变式1-2 提示:如图,延长AP交CD于点F. 77 培优竞赛超级课堂 日年级数学 .APB-90$.FPB-90{. “ D-EFG-90{。$$ *. CPF+CPB-90 在Rt△EFG与Rt△EDG中. ·.四边形ABCD是矩形: .EF-ED.FG-EG. ' DAB- ABC=90$,BC=AD-.$$$$ '.REFG2Rt△EDG(HL) ' EAP+BAP=$ABP+$/BAP-90 .$FG-DG-16. '.EAP-乙ABP 由折叠的性质,得BF-AB-DC .CP-CB=3..'.CPB-CBP 设DC=x.则CG=16-t.BG=+16 '. CPF-ABP-EAP 在Rt△BCG中.BG=BC$+CG "EPA-/CPF..EAP-EPA 即(r+16)-24+(16-x),解得x-9. .AF-PE .AD//BC...AEB-CBE .CD+DE-CE. .AEB=/FEB,. /CBE=FEB. ..4+(3-AE)*}-(3+AE),解得AF-4. '.BH-EH. 2这个四边形是矩形,证明如下:如图,设四边形 设BH-EH-y,则FH-12-y, 在Rt△BFH中,BHf=BF*+FH$. AB$CD中,AB=a,BC=b$CD-c.DA-d.AC-BD 一/,根据题意可得 ratd+e-n, ① FH-12-y-21. a+b+f-m, c十e=n, 变式4-152。提示:如图,连接AE,延长AB,DE交于 tc+d十f-n. ④ 点F.BC-2AB-2BE, .'$AB-BE, ' BAE 式中n为常数,式②一式①,得b十f=d十e. = BEA-(180*-乙ABE)-52”,由△CDE} 式③一式①,得b十c-a十d. △BFE,得DE=EF.. FAD-90{$'AE=EF 式④一式①,得c十f-a十e. 式+式一式,得2b-2d,所以$=$$ '. F- BAE-52*'CDE= F-52 式十式一式,得2c-2a,所以a-. A 式+式一式,得2f-2,所以e=f 由a一c,b-d知,四边形是平行四边形, 又由e一/知,此四边形是矩形 变式22B 提示:易证四边形MNPQ是平行四边形. 变式42如图,连接BE,交AD于 .MN//AC,BD AC. .'.BD MN.'.MQIMN. 点T,取BC的中点O,连接 .MNPQ为矩形.又'MN-AC-x6$2- OT.OA.OD.则Or1CE. 3V2.MQ-BD=2V2.*.矩形MNPQ的面积为 OD-AO.OT|AD. MQ.MN-2②×3②-12. 'OT-AO-AT-/7,即CE-27 11. 提示:如图,连接GE 【能力平台】 C 提示:如图,连接CH并延长交AD于点P,连接PE .E是边AD的中点 '.DE-AE-FE-12. 又.四边形ABCD是矩形, 'D- A-BFE-90” 78 参考答案与提示 ·四边形ABCD是矩形, 理得CM+MP-CP. '. A-90,AD/BC ',20+1+a”-(4-a)②+9,解得a- “.E,F分别是边AB,BC的中点,AB-6.BC-10. .P(3.). A-AB-$63CF-BC$ 0=5 :AD/BC. DHP= FHC. 综上,点P的坐标为(3.)或(3.1)或(3,3). 在△PDH与△CFH中 提示:如图,连接AC,在矩形ABCD中. DPH- FCH. DHP=FHC. B=90{},AB=1AD=v③$AC= AB+BC$$$ DH-FH. =2. AB-AC..乙ACB=30”:.乙BAC '.PDHCFH(AAS) -6 60*.又'BAE-75^{,'CAE-15 ..PD-CF-5.CH-PH. 过点E作EF IAC于点H,交BC于点F,连接AF 'AP-AD-PD-5. ·BCE-60”..ECA-30.'CEF=60 .PE-AP+AE-5+3=③4 '.△CEF是等边三角形,..EH一FH, ·点G是EC的中点,:.GH-EP-34. ' EAH= FAH-15*,' BAF-45^$$ ..△ABF是等腰直角三角形,..BF一AB-1 EC 提示:由折叠可得 DEF一BEF,.AD/BC. ·BC=/③..CF=EF-/③-1. “. DEF= BFE,.. BEF= BFE.'BE .EH-EF-3-1. $$=$ '$AE- $BE-AB$-4$DE=BE-$ $ *$AD-4+5-9,BD-AB+AD-310 .四边形ABCE的面积-~c+Sur-×× .$AO-BD310 +×3-1--# D 提示:由题意可知:“智慧三角形”是直角三角形, #支## 则 CPM-90”或 CMP-90”. 设P(3,a),则AP-a,BP-4-a. ①若 CPM一90*,在RtBCP中,由勾股定理得 CP-BP+BC-(4-a)*+9 第4题图 第5题图 在Rt\MPA中,由勾股定理得MP=MA士AP 45”.提示:如图,将线段BE绕点E顺时针旋转45} 1+a*: 得到线段EH,连接GH 在Rt△MPC中,由勾股定理得CM-MP+CP "BEH= FEG-45*$.. BEF- HEG 1+a+(4-a){+9-2a-8a+26. 又·EB-EH,EF-EG...△EBF △EHG ·CM-OM*+0C-4+16-20 '. /B-/EHG-90 ..2-8a+26-20. 作CM|HG于点M,连接DE. .(a-3)(a-1)-0,解得a-3或a-1. '.点G在射线HM上运动,点G与点M重合时.CG .P(3.3)或P(3.1) 的值最小. ②若CMP=90”,在Rt△BCP中,由勾股定理得 .BC-15.BE-. CD-6. CP=BP+BC*-(4-a)*+9. ..CE-CD-6. 在Rt△MPA中,由勾股定理得MP}-MA*十AP= ..CED- BEH-45*. l十a{。 '. HED-90*-EHM,.DE//HM. .CM-OM+OC-20.在Rt^MCP中.由勾股定 ..CMIDE. 70 培优竞赛超级课堂 日年级数学 . MCD= MCE- BCD-45°,$ #1### 故当CG取最小值时,GCD-45{. 6 提示:如图,连接EG交BD于点O,过点H作 图! 图2 HMIEG于点M. ·E,G分别是正方形ABCD的边 ②如图1.连接FC交DG于点Q,取FC的中点H.连 接DH. AD,BC的中点. .CE垂直平分BF...FC=BC. $AE-DE-BG-CG-AD= .四边形ABCD是矩形,'.AD-BC,AB=DC. BB-AB乙A=90”, ADB= “:BC-2AB...FC-2CD. . FDC=90*$FH-HC.'FH-HC-DH 45*.AD/BC '.CD=HC-DH ..ACDH是等边三角形 *四边形AFGB是矩形 .FCD-60”. '.DFC-90*-FCD-30 'FG-AB. AEG-90”。 .DEG-90” “.FC=BC,BG=GF.'. F[CG- $$CG$$ '.EOD-90*- ADB-45°. .△GAD△GBC... ADG- BCG I'HMIEG. .. ADG-/FCG '. MHO-45*- EOD,即 MHO- MOH . FQG- ADG= FQG- F[CG ..MO-MH. ..DGC= DFC-30{ .点F,H在对角线BD上,四边形EFGH是矩形 (2)4. 提示:如图2,过点B作BS1PQ于点S,连 '$FH-EG-AB-AD-BC$OE-OG=OH=O$ 1 G-FH:Srmrmoa=4SA"-4EFO·MH 接BO.过点N作NT AB干点T B①②③.提示:如图,当点M与点B重合时,此时 -2EO.MH. NOBD. 设FH-EG-AB-AD-BC-2a. ·在矩形ABCD中,AD-/③AB. 则OE-OG-OH-OF-a . ADB- DAC-30* 'A0D-180*-30*-30*-120。 2. '.NOA- AOD-NOD-120*-90*-30 .DAO-NOA-30* .AN-ON-DN. Smu-AB-(2a)-4a*。 7(1)①如图1.连接AG·四边形ABCD是矩形。 如图,当点M运动到点M位 ' ABC= BAD-90{,AD-BC 置时,此时OM1AB.点N M . BAD-90{$$BG=GF$ $'$AG-BG$$$$$ 运动到了点N '.BAG= ABG... GAD- GBC .AC和BD是矩形ABCD(MOB [AD-BC. 的对角线, 在△GAD和△GBC中,DAG-CBG. 点M运动的距离是MM'-AB. AG=BG. 点N运动的距离是NN'-AD-AN-AD- ..GAD2/GBC(SAS) ..DG-CG. 80 参考答案与提示 #AD-AD 最大值与最小值之和为300 (1)四边形CEGF是菱形.证明如下: 又'AD-/3AB 由题意可知EF是CG的垂直平分线 .NN-3AB-ABMM. ..FC-FG,EC-FG. 又'AD//BC. ..GFECEE 由折叠的性质知 CEF一 GEF 当点M在点M位置时 '. GFE=$$GEF$ $'$EG=FG-FC=EC$$ .OMA-90”,N'AB-90.MON'-90 '.四边形CEGF是菱形. '.四边形AMON'是矩形. (2)如图1,当点F与点D重合时,四边形CEGF是正 '此时Swv-SMow,故②正确. 方形,此时CE最小,且CE-CD-3. 由题意可得MN-(AB-BM)*+(AD-DN ? AB-2AB·BM+BM*+AD-2AD·DN+DN$= D(F.HD A(G)f ($AB-2AB·BM+3AB$-2 3AB·DN)+BM$+ DN$=(4AB$-2AB·BM-2/3AB·DN)+BM+DN 图1 'AN-AD+BM-AB+BM. 图2 如图2,当点G与点A重合时,CE最大. $DN=AD-AN-V3AB-(AB+BM)= 设CE-x,则BE-9-r,AE-CE-x. #AB{A.A 在Rt△ABE中,AB+BE-AE, 即9+(9-x)-r.'x-5.即CE-5. $23AB·DN=23 AB·(2AB-BM)- 综上所述,线段CE的取值范围为3 CF 5 第23讲 菱形 4AB-2AB·BM D 提示:如图,连接BF,在菱形ABCD中,BAC '.MN*-(4AB-2AB·BM-23AB·DN)+ - BBD-$×80{-40” BCF- DCF-BC- BM$+DN*-BM*+DN,故③正确 回33. 提示:如图所示,取BC的中点Q,连接MB. DC. ABC-180{*-BAD=100{$·EF是线段AB$ AQ.则MBC-MCB,故 MBN= MBC 的垂直平分线,.'.AF=BF, ABF-BAC-40*。$ NBC- MCB- NBC-33{$由图形的对称性知 '. CBF= ABC- ABF=60{·CF-CF NAQ-33{。因为MC//AQ,所以 MPA=NAQ 'BCF△DCF(SAS).'. CDF=CBF=60 -33”. C 0300. 提示:设AP=x.AS=y.CQ=u.CR=v(0 (1)''四边形ABCD是平行四边形, r.8.0y.6),于是PQ+QR+RS+SP= . BAD- BCD.AD//BC &++++(8-)+(6-y)+(6-)+(8 .AE,CF分别是BAD,BCD的平分线, )-2-16r+2-12+-12+2-16-+200 $. BAE- DAF- BAD. BCF- DCF- -2(-4)+2(-4)+2(y-3)+2(-3)+100 1_BCD..DAE-/BCF. 所以当x-y-u-v-0时,和取得最大值200 当x=v-4,y=a-3时,和取得最小值100. .AD/BC,'.DAE- AEB 81