第17讲 二次根式(一)-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年八年级全一册数学

第17讲 二次根式(一) 情境课堂 数学与游戏(4)-一强盗分脏问题的探究 强盗分脏问题,也叫下楼梯问题,此题源于中国,日本人用于智力开发,美国人用于人工智 能,关于此类问题是否有通法能找到任意一个1到n的对应的连线方法呢?下面我们给出一 个探究过程. 如图1~3所示,若有两条纵线,老大、老二各将分得什么?你发现了什么规律? 3线 4条线. _ n条线呢? 图1 图2 图3 操作:在图4~7中连横线,使得连线后刚好是一个反序的对应 3 21 21 4321 54321 图4 图5 图6 图7 数学欣赏:图8~11为图7连线后形成的反序对应。 246135 图8 图 图10 图11 图12 数学探究:如图12,给定一个分赃结果,请你画出横线,并探究出对于任意一条线都可以实 现目标的一种通用方法,有兴趣的读者不妨试一试. 典例剖析 类型1 二次根式的“双重非负性”) 有意义,则x应满足 ). 26 A.-6<3 B-6r3 C.-6r3 D.-63且x-1 9》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 2-4.r十3 有意义,那么x的取值范围是 【学找切入点】 判断代数式中变量的取值范围,要看其式子是整式、分式、根式,还是复合形 式.理论上,如果为整式,变量为一切实数;如果为分式,分母不为0;如果为二次根式,被开方数为 非负数:如果为复合形式,则应综合考虑 ~1:-1-2 翻2(2024,宜昌五中期末)已知△ABC的三边长a,b.c满足a②十b十|Vc-1-2l=10a十 2/6-4-22,试判断△ABC的形状 【学找切入点】 利用配方法及非负性解答 变式13(2024,淮北二中月考)已知实数a,b,c满足2a+3l+4-b-0.c*十46-4c-12 一0,则a十b十c的值为 类型2 最简二次根式与同类二次根式 3(1)化简:v3十2/2一 (2)已知a,6是有理数,且(+)a+(-)6-2-13=0,求an,的值. 【学找切入点】 将方程左边整理为有理数项与无理数项相加的形式 变式21计算:v8+63+v8-63-;23-2v2+17-12v2-_. 变式22(2024,上饶实验中学月考)已知m,n是有理数,且(V5十2)m十(3-2v)n十7- 0,则n一_,= 类型3 利用二次根式的性质化简) 测4如果式子v(x-1){十x-2化简的结果为2x-3,则x的取值范围是( ). A.:1 B.>2 C.1<2 D.x0 【学找切入点】 由于v(r-1){-x-1l,故用零点分段法,分x<1,1<x<2,x2三个区 间逐一求解. 《100 第17讲 二次根式(一) 变式3-1 若代数式(1一a)十 (3一a)的值是常数2,则a的取值范围是 变式32若 +6x+9+ -2x+1-+4x+4=-x+2,则x的取值范围为 归纳总结 二次根式的性质与运算法则 1.二次根式具有以下性质: 2.常用二次根式运算法则; (1)(v)②-a(a>0). (1)ā·-ab(a>0,b>0). a(a>0). (2) a{-lal-{o(a=0). (一a(a<0). _上上山 类型4 二次根式的化简与求值) 5]算:(1)#24×#}4×#V#3) 3-2 (2)7-##### 【学找切入点】 将(1).(2)化到最简 (2024,重庆一中月考)已知x为实数,化简 一一x 的结果为( 变式4-1 ). A.(-1v-x B(-1-c)/-x C.(1-x)/-x D.(1十c)-r 6(1)已知v27-^+V9十^-7,求v27-a^-9十a^{的值. 1--v1-+ā 【学找切入点】 (1)利用换元法求解,(2)先化简第二个条件,再寻求其与a十一1的关系 14十26-②1-39 [变式42 (2024,阳新实验中学月考)计算: 14+v26+/21+39 a+b+2va4a-b 变式4-3 (2024,武汉外国语学校月考)先化简,再求值: ,其中实 2va+# 数a,b满足a+a-4ab++1-0 101》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 研讨乐园 7(2024,西南大学附属中学月考)求(3十2)的整数部分的值(6~2.449). 【解】 甲的探究 用计算器计算可得(v3十v2)~969.9989691,故其整数部分为969. 乙的探究 题目要求计算并推出结论,可运用v6的近似值进行推导. 方法一3+②) -[(3+v2)-(5+2)-(5+2)(5+26 -(49+206)(5+26)-485+1986 ~485+198×2.449-969.902,故其整数部分为969 方法二(3+2)=[(3+2)]=[3+②)(5+2)]=(93+11②)=485+$ 1986~485+198×2.449-969.902,故其整数部分为969 丙的探究 你能运用乙的结论吗?能运用其方法吗?类似地,(③一②)一485-198v 这样,3+2)+(3-②)-485+1986+485-1986-970 :0③-v2<1,.0(③-②)1. 故(③十/②)*的整数部分为969. 丁的探究 你能用别的方法推导出这个结果吗?我们知道(x十y)一十3x*y十3xy十. ① (x-y)--3x”y十3xy-,② 由①+②,得(x+y)+(x-y)-2x+6xy-2x(+3y). 当x=5.y-2v6时,即为(3+2)+③-②)-2×5×[5+(2)3]-970 故(3十v②)}的整数部分为969.类似地,(x十y){十(x-y)}-2(r^十}). 当x=93,=112时.3+2)+3-2)-2×[(93)+(11v2)]=970. 故(3十②)*的整数部分为969 拓展:当为正整数时,①(m+1十n)+(m十1一m)的整数部分是多少? ②(vm十I十m)*的整数部分是多少? 答案:①2(2m+1)(16m+16m+1);②2(2m+1)(16m+16m+1)-1. 能力平台 .优训练 A.0 (建议用时:60分钟) B.1十2 C.1 1.(2024,安庆四中期末)设点P的坐标是(1十 D.不存在 -a,-2十a),则点P在( ). 3.已知实数a,b满足a②十-1和ab-2a十 A.第一象限 b-2二0,则/3十a+26的值等于( B.第二象限 ). A.2一/2 D.第四象限 C.第三象限 B.1十③ C.2十2 ). 2.代数式十vx-1十vx-2的最小值是 D.v2 《102 第17讲 二次根式(一) ). 4.若1-x=1+x,则v(-1)*等于( 10.(2024,武汉武钢实验中学期中)已知x A.x-1 B.1-x C.1 D.-1 3} 5.k,m,n为三个整数,若 135-kv15.450 15 m.v180-6vn,则下列关于k.m,n的大 小关系,正确的是( ). A.b<m-n Bn-n<k C.m<n<k D.m<k<”: 6.已知实数a,b满足 2a-3|+|b+2|+ 宾训练 (建议用时:50分钟) (a-2)-1,则a十等于 11.如果实数x,y满足(十1十x)(+1+ 7.已知l7-9m\+(n-3)*}=9m-7-m-4 y)=1,那么x十y的值为( ). 则(n-m)?o24- B-1 C.1 A.0 D.2 8.(2024,河南省实验中学月考)若x·v都是实 12.若实数a,b,c满足2vā+3lbl=6,4v 96-6c,则c可能取到的最大值为( ). A.0 B. 1 C.2 D.3 代数式:x-1-G-1)-2y+1 3-1 13.计算:N6-6-6-6-6-.. 14.(2024,合肥寿春中学月考)若实数x,y,m满 足关系式 3x+5y-2-m+v2x+3y-m= x-199+y·199-x-y,试求m的值 9.(2024,南昌外国语学校月考)计算; 士._十 3+3 5③+35 7V5+5/7 - 49v47+4749 (2)315-10-2+33-2+18 15.(2024,临川一中期末)已知a,b均为正数 5+23+1 且a+b-2,求U-+4十 十1的最 小值. 103》参考答案与提示 4 =⑧+√16×g×2-√16×g×3-5-2 =2√2+2-√6-3-2 △高 =2√2-6-5. 图3 2原式=3v-如+V+号a-号a 司机两次听到回声的时间间隔是 例6(1)设v√27-a=x,V+a=y, △=(，-)-出-02y 访十边 则x+y=7,x2+y=27-a2+9+a2=36, 代人数据：得4一品干器<5 ∴.2ry=(.x+y)2-(x2+y2)=13, ∴.(x-y)=r2+y2-2xy=23, 解得=5780(m/s).这样的速度不切合实际. ∴.x-y=士√25，即27-a-√9+a=±√23 所以汽车的行驶速度是20m/8 :√27-a-√9+a≤√/27-√5=3v3-3<√23， 第17讲二次根式（一） .√27-a-v9+a=-√23. 例1(1)D(2)x≥5或x<1.提示：(1)3-x≥0，x+ 6>0且x-1≠0，解得一6<x≤3且x≠L.(2)由 （2由题可得0=+@十1一6-@2=-4， (1-Vb)2-(wa) x-3|-20.m(x5或≤1， 得 故x≥5或x<1. 则2(1-不)2+(wa)2]=-4(1-0)+4(a), x2-4x+3≠0x≠3且x≠1. 整理得6(1-√⑥)2=2a,即3(1Vb)2=a. 例2原方程可化为(a-5)+(-4-1)2+√一I一 21=0..a=5,b=5,c=5, a+b=1,.31-0)=1-6=(16)(1+万)， .△ABC为等边三角形. 整理得(1一√6)(3一36-1一√b)=0, 例3(1)w2+1:2-3. ∴1-√6=0或2-4v6=0. 提示：W3+22=V√(W②)+2×√2+1=2+1. 当1一石=0.即b=1时，a=0,不合题意，故舍去： V√7-√48=√(W4)'-2X4X3+(W3) 当2-46=0.即6=}时a=是 =4-3=2-√5. (2)整理等式得（号a+-2)+(a-0 10)=0, 【变式题组】 变式11-2≤r<-1或3<≤4.提示：3-x-1≥ 因为a,b是有理数， 0且x-1川-20，|x-1≤3且x-1>2. 所以a+b-2=0且a-0-1=0， .-2≤r≤4且x>3或x<-1, 即-2≤x<-1或3<r≤4 解得 =4 ®式12-3.提示：h=公+/。+@ a+1 .&2-1=0且a+1≠0，解得a=1. 例4B提示：当x<1时，原式=1-x十2-x=3-2x: 当1≤x<2时，原式=x一1+2-x=1:当x≥2时，原 b百五士出分 a十1 式=x-1+x-2=2x-3. .-a+b=-3. 式1图3.提示：由题意知4-b=子(c-2), V24×+X√g×w-)-(5+2) 21a+31+(c-2)=0,∴a=-3c=2 57 培优竞赛超级课堂、日年级数学 .b=4,∴.a十b十c=3 :原式-a+D+2a+D(2瓜一瓜 2Ja+b 变式213v2:1.提示：设x=√8+√63+√8-√63， a+B 则2=18，解得x=32(负值舍去). =a+b+2a-i=3a, .原式=3×1=3. 原式=2√1-22+2+√9-12√2+8 【能力平台】 =2√(W2-1)2+√(3-22)产=1. 1D 变式22-2：-1.提示：：√5m+2m+3n-2,5n+ 2B提示：x≥2，当x=2时，取最小值. 7=√5(m-2n)+(2m+3n+7)=0. aD提示：由条件知-1≤u≤1，-1≤b≤1，(a+1)(b m=-2, 、f22是—0·强是华 -2)≥0，∴a≤-1， 2m+3n+7=0, n=-1. ∴a=-1,b=0,∴.√/3+a+26=②. 式3-11≤a≤3.提示：：√-a)F+√(3-a)厂=2， 4B提示：11-x=1+x,x≤0，∴x-1< .l1-a+l3-al=2. 0,∴.(x-1)=1-x ①若a<1,则原式=1一a+3-a=4-2a. 5D提示：：√135=315=k/15,k=3. ②若>3，则原式=a一1十a-3=2a-4 又：450=152=15m,m=2 ③若1≤a≤3，则原式=d-1十3-a=2. 又，180=65=6m,∴n=5.m<k<n. 故a的取值范围是1≤a≤3. 日0.提示：，(a-2)≥0，≥0， 变式32一2≤x≤1.提示：原式=√(x+3)下+ .a-2≥0.则2a-3≥1. x-1)下-√(x+2F=x+3+|x-1-|x+2= .原式=2a-3+1b+2+bVa-2=1, -x+2, .b+21+|ba-2=2(2-a. x+30. a-2>≥0,2(2-a)≥0，.a=2, x-1≤0，解得一2≤xr≤1. 代人上式得b+2=0,∴.b=-2,∴.a+b=0. x+2>0, 71.提示：，17-9m十(n-3)=9m-7-√m-4, 变式4-1C .7-9+(n-3)2+√m-4=9m-7≥>0. 提示：原式=一xx-x·（-) .9m-7+(n-3)2+√m-4=9m-7, =-x-x+√一x=(1-x)√一z. ∴.(n-3)2+√m-4=0,∴n-3=0,m-4=0. 度式42原式=-+2-翅 ∴n=3,m=4,(n-m)*04=(-1)224=1. /14+21+26+39 日：冷-≥0r-7≥0，≤分≥7，x 7X(w2-③)+13×(2-3 √7×(W2+3)+√13×(w2+3) 多>0+0+1=1.即>1x-1-V-1 -2-③)X(w7+3 (w2+5)×(W7+√13) 平=---1-骨=0 y-1 =②-5=26-5. √2+3 号>yD0:原试=号 变式43，a2+a2∥-4ab+P+1=0, -1. .(a-b)2+(ah-1)'=0, 日(1)1 1 3+3 +55+35+75+57 十…+ ,∴.a-b=0,ab-1=0,解得a=b,ab=1. 1 由十2画+如二b可知a和6都是非负数， 49V47+47√493×(w3+1)15×(w5+3) a+b 2a+B 1 ∴.解得a=b=1. v丽X(W7+5+…+ 2303X(V4④+V7 58 参考答案与提示 5-5+5++2震-× 1x-199+y20, 2V32/15235 2√2303 4由二次根式a中a≥0得 199-x-y20, 1-言)+号×（房后）+号×（房清）+ x十y≥199， .x十y=199. x+3≤199. +号×（而）×)=导 √3.x+5y-2-m+√2.x+3y-m=0, (2原式=35+18+3③-（而+26+@ 13.x+5y-2-m=0, w5+23+1 2x+3y-m=0, 33×(W5+23+1)-2×(W5+23+1D .3x+5y-2=2x+3y, 5+2w5+1 ∴.x+2y=2,.x=396,y=-197, =(35-②)×(5+23+1) .m=201. 5+23+1 因由a+b=2,得b=2-a,将其代入U=√0+4+ -35-√2. +I, 四原式=2+是+2+6+2+5=(+上)十 得U=√+2+√(2-a)+1 6(x+2)+5=(x+1+1)(+1+5) =√(a-0)+(2-0)+√(a-2)+(2-3)产， “=3+2原、32后8-2 构造图形（如图），可得U的最小值为AB一√AB+BB西 =13. ∴.原式=(3+22+3-22+1)×(3+2√2+3 22+5)=7×11=77. 团A提示：：(+1十x)(√r+T-x)=2+1 x2=1,(√y+1+y)(y+-y)=y2+1-y=1. 4 2 B 又：(+I+x)(√y+T+y)=1, 第18讲二次根式（二） F币-=万+，⑩ 团a2是 (√y+1-y=√+I+x.② 由①十②得一x一y=x十y, 提示5=+品+安-号，S√牙-2 ∴.2(x十y)=0,即x十y=0. “s=1+是+-器s=名 2a+3b1=6, 2C提示：由条件知 4va-9b1=6c, s=1+安+-器v-是 解得a=3+9,61=4 5 5 S-十m+1n+1)+ 由va≥0，lb1≥0知 解得-3≤≤2 (n+1) (H十1) 2s=号+名+提++“岁-1+号+1 n(n十1) 图2.提示：设√6-√6-√6-√6-√6-=a,两 言+1+b++1+=+(1-专+ 边平方有6-√6-√6-√6-6-=，即6 a=d,.a2+a-6=0,(a+3)(a-2)=0,.a1= 一3，a2=2.根据二次根式的性质知a≥0，.a=2 2D4-:号 59