第2讲 与三角形有关的角-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年八年级全一册数学

培优竞赛超级课堂 日年级数学 第2讲 与三角形有关的角 情境课堂 当代数学大师陈省身1980年在北京大学的一次讲学中妙语惊人：“人们常说，三角形的内 角和等于180°，但是，这是不妥的！”当时全场爆发了一阵笑声，于是陈教授作了精辟的解释： “三角形的内角和等于180’不妥，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应该 说‘三角形的外角和等于360°.”把目光集中在内角，只能看到三角形、四边形、…、n边形的 内角和分别是180°，360°，…，(n一2)·180°一公式里出现了边数n,如果看外角呢？不论是 三角形、四边形或n边形，外角和都是360°.这样就把一切可能的情况用一个十分简单的结论 概括起来，用一个与n无关的常量360°代替了与n有关的公式，找到了更一般的规律.下面以 五边形为例来说明（如图）. 设想一只蚂蚁在多边形的边界上绕圈子，每经过一个顶角，它的前进方向就改变一次，改 变的角度恰好是这个顶点的外角.爬了一图，回到原处，因此角度改变量之和恰好是360° 风典例剖析 类型1三角形内角和定理的应用 例1①(1)在△ABC中，若∠C=4∠A,∠A十∠B=100°，则∠A:∠B:∠C= (2)在锐角△ABC中，∠C=2∠B,则∠B的取值范围是 【学找切入点】(1)题目中已有两个方程，又知∠A十∠B十∠C=180°，故可列方程组，算出 ∠A,∠B,∠C.(2)将题目中的等量关系和不等关系转化为关于∠B的不等关系即可 变式1-1(2024，临川一中期中)在△ABC中： (1)若∠C=60°，∠A=3∠B,则∠A= ∠B (2)若∠A=2∠B=3∠C,则∠A= ,∠B= (3)若∠A-∠B=∠C,则∠A= (4)若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则△ABC是 三角形 《6 第2讲与三角形有关的角 类型2利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和进行推理、计算 例2求解下列问题： (1)如图1，∠1十∠2+∠3+∠4= E 30 20° SOAX XB 0 图1 图2 (2)(2024,秦安一中期末)图2是可调躺椅示意图（数据如图2），AE与BD的交点为C,且 ∠CAB,∠CBA,∠E保持不变.为了舒适，需将∠D=20进行调整，使得∠EFD=130°，则∠D应 调整为( A.10 B.30 C.40° D.50 【学找切入点】(1)∠1，∠2，∠3，∠4为三角形的外角，利用外角的性质可得答案.(2)连接 CF并延长，得外角，利用外角性质求解. 例3(2024，广州越秀区校级自主招生)求解下列问题： (1)如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A'的位置.试写出 ∠A与∠1十∠2之间的关系，并说明理由. (2)如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部点A'的位置.此时 ∠A与∠1，∠2之间存在什么样的关系？直接写出： (3)如图3，把四边形ABCD沿EF折叠，使点A,D分别落在四边形BCFE内部点A',D的 位置.直接写出∠A',∠D,∠1与∠2之间的关系： 图1 图2 图3 【学找切入点】4)∠ADE=180°，⊥，∠AED=180°，∠2，再利用三角形的内角和列式 2 2 (2)∠DEC为△ADE的外角，∠DEC=∠A+∠ADE=∠A+180°2∠1，而∠2=2∠AED-180, 2 ∠AED=∠2士180，再利用∠DEC+∠AED=180列式，最后化简可得答案：也可在△ADE 2 7》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 中利用三角形的内角和列式.(3)同样利用翻折前后对应角相等及内角和或外角解决. 变式2-1(2024，南宁三中期未)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为边AC上一动 点，将△CBD沿着直线BD对折得到△EBD.若∠ABD=18°，则∠ABE的度数为(). A.34 B.42 C.54° D.62 变式2-1图 变式2-2图 变式2-2如图，在△ABC中，AE平分∠BAC,AD⊥BC于点D,∠ABD的角平分线BF 所在直线与射线AE相交于点G,若∠ABC=3∠C,且∠G=20°，则∠DFB的度数为( A.50 B.559 C.60 D.65 类型3三角形的内角、外角与角平分线 例4(2024，娄底三中期中)求解下列问题： (1)知图1，在△ABC中，BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB.求证：∠BPC=90+∠A (2)如图2，在△ABC中，BM平分∠ABC,CM平分△ABC的外角∠ACD.求证：∠M=2∠A. (3)如图3.BN,CN分别平分△ABC的外角∠EBC,∠FCB.则∠N与∠A的数量关系是 (4)如图4，△ABC的两内角平分线交于P点，两外角平分线交于N点，一内角平分线与一 外角平分线交于M点.设∠BPC=a°，∠M=b°，∠N=c°，则a,b,c之间的关系是 图1 图2 图3 图4 【学找切入点】(1)先根据三角形角平分线定义表示出∠PBC与∠PCB,再根据三角形内 角和定理求解.(2)先根据三角形外角定理求出∠ACD,再根据三角形内角和定理求解.(3)先根 据三角形外角定理求∠EBC与∠FCB,再根据三角形内角和定理求解.(4)由(1)(2)(3)的结论 很容易得出结论 《8 第2讲与三角形有关的角 变式3-1(2024，南京一中期末)如图，在△ABC中，设∠A x°，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点A:,得∠A:∠ABC与 ∠ACD的角平分线相交于点A,得∠A:·；∠ABC与∠ACD 的角平分线相交于点A221,得∠A21,则∠A224是( )度 1 A.2题t B.22 C.22@t D. 类型4三角形内相关线段与角的几何探究> 例5(2024，安庆二中期未)在△ABC中，高BD和高CE所在的直线相交于点O,若△ABC 不是直角三角形，且∠A=60°，求∠BOC的度数. 【学找切入点】注意理解高BD和CE所在的直线相交于点O,不是两条高相交于点O,且 △ABC不是直角三角形，故应考虑锐角三角形和钝角三角形两种情况。 研讨乐园 例6(2024，河南省实验中学一模)如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交 于点P.作△ABC外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q,延长线段BP,QC交于点E, △BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数. 图1 图2 【学找切入点】在△BQE中，可求出∠Q=90°-∠A,∠E=2∠A,∠EBQ=90,所以如果 △BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E= 90°：②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E:④∠E=2∠Q.分别列出方程，求解即可. 【解】如图2，延长BC至F. ,CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，.CE是△ABC的外角∠ACF的角平分线， ∴∠ACF=2∠ECF.,BE平分∠ABC,∴.∠ABC=2∠EBC :∠ECF=∠EBC+∠E,.2∠ECF=2∠EBC+2∠E, 即∠ACF=∠ABC+2∠E. 又：∠ACF=∠ABC+∠A,∴∠A=2∠E,即∠E=2∠A. :∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=2∠ABC+号∠MBC=2(∠ABC+∠MBC)=90, 9》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 ∴∠Q-180°-（∠QBE+∠E)=90°-2∠A 如果在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°； ②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°： ③∠Q=2∠E,则90-2∠A=∠A,解得∠A=60: ④∠E=2∠Q,则2∠A=2(90°-2∠A),解得∠A=120. 综上所述，∠A的度数是90°、60°或120 能力平台L 珞优训练 (建议用时：60分钟) ①∠DBE=∠F:②2∠BEF=∠BAF+∠C: 1.如图，点A在直线1上，(1)过点A作射线 ®∠F=号（∠BAC-∠C):④∠xH= AM:(2)以点A为圆心，以任意长为半径作 ∠ABD十∠EBH.其中正确的是( 弧交直线I于点B, A.①②③ B.①③④ 交射线AM于点C: C.①②④ D.①②③④ (3)在射线CM上取 一点D,以点D为圆 心，以AB长为半径 作弧交射线DM于点E:(4)以点E为圆心， 以BC长为半径作弧交前面的弧于点F: H (5)作直线DF,连接BD.若∠EDF=54°， 第3题图 第4题图 ∠ADB=30°，则∠1的度数为( 4.(2024,娄底三中期中)在社会实践手工课 A.54° B.80° C.82 D.84 上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如 2.(2024,广州培正中学一模)当三角形中一个 果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠D 35°，∠E=72°，那么∠F= 内角3是另外一个内角α的2时，我们称此 5.(2024,南宁三中二模)如图，在△ABC中， 三角形为“友好三角形”.如果一个“友好三 ∠A=48°，∠ABC和∠ACB的三等分线分 角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好 别交于点D,E,则∠E-∠D 三角形”的“友好角a”的度数为(). A.108°或27 B.108°或54 C.27°或54°或108° D.54°或84或108 3.如图，在锐角△ABC中，∠BAC>∠C,BD, B 入 BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在 第5题图 第6题图 CA的延长线上，FH⊥BE,分别交BA,BD, 6.如图，已知∠A=40°，则∠1十∠2十∠3十 BC于点T,G,H,则有下列结论： ∠4的度数为 《10 第2讲与三角形有关的角 7.(2024,南京一中期中)如图，在△ABC中， 宽赛训练 (建议用时：5分钟) ∠BAC>90°，分别以点A,B为圆心，以大于 9.(2024,中科大附中期末)已知三角形的一个 AB长为半径画弧，两弧交于点D,E,作直 角为(180一n)°，最大角与最小角的差为 24°，求n的取值范围， 线DE,交BC于点M,分别以点A,C为圆 心，以大于号AC长为半径画弧，两孤交于点 F,G,作直线FG,交BC于点N,连接AM, AN.若∠BAC=a,则∠MAN= B M E 8.(2024,长沙南雅中学月考)在△ABC中， ∠ACB=90°，D,E分别是边AC,BC上的 点，P是AB上的一个动点，设∠DPE=a, (1)如图1，若点P在边AB上，a=50°，则 ∠ADP+∠PEB= 0 (2)如图2，若点P在边AB上，试判断a, ∠ADP,∠PEB之间的数量关系，并说 明理由 (3)如图3，当点P运动到边AB的延长线 上时，直接写出a,∠ADP,∠PEB之间 的数量关系 图1 图2 图3 11》 培优竞赛超级课堂 日年级数学 10.(2024,桂林十八中月考)锐角三角形的内 11.三角形内角平分线的交点称为内心.如图 角用度数表示时，所有角的度数为正整数， 所示，D是△ABC的内心，E是△ABD的 最小角的度数是最大角的度数的，求满足 内心，F是△BDE的内心.若∠BFE的度 数为整数，则∠BFE至少是多少度？ 此条件的所有锐角三角形的内角的度数. 《12培优竞赛超级课堂 日年级数学 LSAIMD ∴2∠A=∠1-∠2. S△r 提+等-蒂+荒+？-++2= (3)∠AN+∠D=180°+号（∠1+∠2）. S△R S△n 例4(1)：BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB. Sg+Sm)+2=S+2=1+2. S△K S△Ar ∴∠PBC=2∠ABC,∠PCB=2∠ACB 又已知能+答-5.+2=， ∴∠BPC=180-∠PBC-∠PCB=180°-2（∠ABC 即瑞8 +∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+号∠A 第2讲 与三角形有关的角 例1(1)1：4：4.提示：依题意有 (2):∠MBC=号∠ABC.∠ACM=t∠ACD, ∠A+∠B=100°， ∠A=20°， ∠BCM=∠ACB+∠ACM,∠ACD是△ABC的外角， ∠C=4∠A, 解得 ∠B=80°， ·∠ACM=号∠ACD=2（∠ABC+∠A) ∠A+∠B+∠C=180°， ∠C=80. 故∠A:∠B:∠C=1:4:4. ∠ABC+∠A, (2)30°<∠B<45. 提示：依题意有 ÷∠M=180-∠MBC-∠BCM=180°-号∠ABC ∠C=2∠B<90°， ∠A+∠B+∠C=180°，解得30°<∠B<45 -(∠ACB+∠ACMD=18O°-号∠ABC-∠ACB ∠A<90°， 例2(1)540°，提示：三角形的外 M ∠AC-∠A=∠A E 角和等于360°， D (2)B提示：连接CF并延长至20 (3)∠N=90°-∠A.提示：∠EBC,∠FCB是 50 △ABC的外角， 点M,如图所示. 在△ABC中，∠CAB=50°，∠CBA=60,.∠ACB ∴.∠EBC=∠A+∠ACB,∠FCB=∠A+∠ABC =180°-∠CAB-∠CBA=180°-50°-60°=70°， ∴∠NBC-号∠EBC-∠A+∠ACB,∠NCB ∴.∠DCE=∠ACB=70. :∠DFM=∠DCF+∠D,∠EFM=∠ECF+∠E, -∠FCB=2∠A+号∠ABC. ∴.∠EFD=∠DCF+∠ECF+∠D+∠E=∠DCE+ ÷∠N=180°-∠NBC-∠NCB=180'-2∠A ∠D+∠E.即130°=70°+∠D+30°，.∠D=30 例3(1)2∠A=∠1十∠2.理由如下： 2∠ACB-2∠A-号∠ABC=180-∠A ∠ADE=1802∠⊥，∠AED=180°，∠2 2 2 2180-∠A)=90-2∠A 在△ADE中，：∠A+∠ADE+∠AED=180. (4)a-c=2h.提示：由(I)得∠BPC=90°+2∠A ∠A+1802∠1+1802∠2=180. 2 2 =a°， .2∠A=∠1+∠2. 由(2)得∠M=2∠A=, (2)2∠A=∠1-∠2.提示：∠ADE=180。∠1 2 由(3)得∠N=90°-号∠A= ∠AED=180+∠2 2. ∴a-=90+号∠A-(90°-号∠A）=∠A. 在△ADE中，：∠A+∠ADE+∠AED=180°， ∴.a-c=2h. .∠A+180°2∠1+180+∠2=180. 2 2 例5当△ABC为锐角三角形时（如图1）， 参考答案与提示 :∠ABD+∠A=90°，∠A=60°，.∠ABD=30. A=∠A=××… :∠BC=∠ABD+∠BEC, 1 .∠B0C=30°+90°=120°. ∴∠A:=2@工 【能力平台】 1D提示：由题意得，∠BAC=∠EDF=54, :∠ADB=30°， ∴∠1=∠BAC+∠ADB=54°+30°=84. 图 图2 2D提示：①若α=54°，则这个“友好三角形”的“友好 角a”的度数为54 当△ABC为纯角三角形时（如图2）， ,∠A+∠ACO=90°，∠BOC+∠ACO=90°， ②若=5，则号a=g=54.a=10g. ∴.∠BC=∠A=60 ③若54既不是a也不是B.则a十3十54°=180. 综上所述，∠BO℃的度数为60或120°. ∴a+7a+54=180,解得a=8. 【变式题组】 综上所述，这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 变式11(1)90,30.(2)30°，60°，90°.(3)90. 54或84或108 (4)直角. aA提示：：∠FGD十∠F=9O°，∠BGH+∠DBE 变式2C提示：：∠ABD=18°，∠ABC=90°， 90°，∠FGD=∠BGH,.∠DBE=∠F.故①正确. .∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°-18=72， BE平分∠ABC 由折叠可得∠DBE=∠DBC=72, ∴.∠ABE=∠CBE.∠BEF=∠CBE+∠C .∠ABE=∠DBE-∠ABD=72-18=54 ∴.2∠BEF=∠ABC+2∠C,∠BAF=∠ABC+∠C 变式22C提示：：AE平分∠BAC,BF平分∠ABD, ∴2∠BEF=∠BAF+∠C故②正确， ∴.∠CAE=∠BAE,∠ABF=∠DBF. :∠ABD=90°-∠BAC, 设∠CAE-∠BAE=x,:∠ABC=3∠C, ∴.∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC ∴.可以假设∠C=y,鲫∠ABC=3. =∠CBD-∠DBE-9O°+∠BAC ∠ABF=∠DBF=∠C=是180r-3)=90- 2 ,∠CBD=90°-∠C, ∴.∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE, ∴∠DFB=90°-∠DBF=号 由①得∠DBE=∠F, 设∠ABF=∠DBF=∠CBG= .∠F=∠BAC-∠C-∠F. 则/=+∠G. ∴.2∠F=∠BAC-∠C :十∠G=x+y, 2G=2y ∴∠F=2(∠BAC-∠C.故③正确， ∴.∠DFB=3∠G=60. :∠ABC为锐角，.∠BTH+∠BHT>90 变式3IC提示：∠ACD是△ABC的外角，∠A:CD 又：∠BHT+∠EBH=9O°，∴.∠EBH≠∠BTH. 是△ABC的外角， 又：∠BGH=∠ABD+∠BTH, ·∠A=∠ACD-∠ABC,∠A=∠ACD- ∴.∠BGH≠∠ABD十∠EBH.故①错误 ∠ABC, ④70°.提示：连接AD,连接AE并延长到点M,连接 ,BA和CA,分别是∠ABC和∠ACD的角平分线， AF并延长到点N,如图所示。 ∴∠ABC=∠ABC,∠ACD=2∠ACD, ∠A=3∠ACD-∠ABC=∠A=2, 同理可得∠A=∠A=×2 -5 培优竞赛超级课堂 日年级数学 ,∠BEM是△ABE的外角， 由①+②得2a十-204°，则3a≥204°，a≥68° ∴.∠BEM=∠BAE+∠B. 所以a+≤2a+B-68°=204°-68°=136. 同理可得出∠DEM=∠DAE+∠ADE,∠DFN= 由②-①得+2y=156,则3y≤156°.y≤52 ∠DAF+∠，ADF,∠CFN=∠CAF+∠C, 所以3+Y≥3+2y-52°=156°-52°=104. ∴.∠BEM+∠DEM+∠DFN+∠CFN=∠BAE+ 所以104°≤3+y≤≤a十B≤136， ∠B+∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF 故104°≤≤136 +∠C, 回设锐角三角形最小角的度数为x,则最大角的度数为 即∠BED+∠CFD=∠BAC+∠B+∠EDF+∠C. 4x,另一角为y.于是有 ∴.72°+∠CFD=52°+25+35+30°， x+4x十y=180°，① .∠CFD=70. x≤y≤4r,② 544°.提示：由题意知3∠EBC+3∠ECB+∠A 4<90°，③ 180°，且/A=48, 由①②式得20≤x≤30，由③式得r<22.5, ÷∠EBC+∠BCB=18048=44. 故20°≤x<22.5°. 3 又因为x为正整数，所以x=20°，21或22 同理，2∠EBC+2∠ECB+∠D=180°. 故满足条件的锐角三角形的内角的度数为(20°，80°， .∠D=180°-2×44°=92，而∠E=180°-44°=136°， 80°)，(21°，75,84)或(22°，70,88). ∴.∠E-∠D=136°-92=44 6280.提示：，∠1+∠2=180°-∠A=140°，∠3+ 1I∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA) ∠4=180°-∠A=140°，∴.∠1+∠2+∠3+∠4= =180°- (∠CAB+∠CBA 280. 72a一180°.提示：由作法得DE垂直平分AB.GF垂 =180°-2180-∠0 直平分AC,.MA=MB,NA=NC. =90+2∠C ∴.∠MAB=∠B,∠VAC=∠C, ∴.∠MAN=∠BAC-∠MAB-∠NAC=∠BAC 同理，∠BFE=90'+2∠EDB (∠B+∠C). 所以∠BFE=90+青∠ADB=90+号(90+ ∠B+∠C=180°-∠BAC, .∠MAN=∠BAC-(180°-∠BAC)=2∠BAC 2∠0=12++∠C 8 180=2a-180 又因为∠BFE的度数为整数，所以当∠C=4时， 8(1)140. ∠BFE的度数最小，故∠BFE至少是113， (2)∠ADP+∠PEB=90°+.理由如下： 第3讲多边形的边、角及其应用 :∠ADP=180°-∠CDP,∠PEB=180°-∠CEP. 例1125.提示：过m边形的一个顶点共有7条对角 且∠CDP+∠CEP=360°-∠C-∠DPE=360° 线，m=7+3=10. 90°-a=270°-a, :n边形没有对角线，n=3. ∴∠ADP+∠PEB=90°+a. (3)∠ADP=90°十∠PEB十a.理由如下： :k边形的对角线的条数为太，“号（一3）=太 由外角的性质可知，∠ADP-∠C+∠CMD,∠(CMD ∴.k=5.∴.(m-k)=(10-5)3=125. ∠PEB+∠DPE,∴.∠ADP=90°+∠PEB+a 例2D提示：一条直线分制长方形，有四种分割方法： 9设三角形的三个内角为a,A,Y,且≥Y,则”是三 (1)如图1，两个三角形.则M+N=180°+180°= 角形某两个角的和，显然有+Y≤a十R 360 a-y=24°，① (2)如图2，两个四边形，则M+N=360°+360°= 由题意知 a十3+y=180°，② 720