第17讲 平行线的性质及平移-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年七年级全一册数学

第17讲 平行线的性质及平移 情境课堂 一个数学难题 请你帮忙,植树九棵, 正好十行,不留零头; 每行三棵,没有例外 解决此题,别无他求. 1821年,约翰·杰克逊在一本名为《冬天傍晚的推理游戏》的问题集书 西尔维斯特 中发表了上面这个数学难题,如今,诗歌已不如当初那样流行,一位当代难题的提出者甚至会 把“树”也免除掉,把这个问题陈述为;在一个平面上放置9个点,使它们形成10行,每行3个 点,当一位数学家遇到这样一个问题时,他会产生一种自然的冲动,去推广这个问题,并且把这 个问题进一步精确化,这就引出了下列陈述:给定一个正整数力,如何在一个平面上放置力(3) 个点,其中任何4个点均不在一条直线上,使得那些经过其中3个点的直线数目为最大?我们 把这个最大的数目记为/()). 在19世纪,令人敬畏的数学家西尔维斯特探究了这个令人捉摸不定的1(力) +## 5t 2 -7:-6 f) ( 。 #### 1012 b9t10 -8-7 b11:16 (h) ff (i 上图给出了关于一3,4,...,11的一些植树方式,它们都是最优解,也就是说,经过3个点 的直线达到t())条 典例剖析 类型1 平行线的性质 1如图,在△ABC中,CE1AB于点E,DFIAB于点F,AC/ED,CE是ACB的角平 分线.求证:EDF一 BDF 《1 第17讲 平行线的性质及平移 【学找切入点】 两条直线被第三条直线所截,得到形如“”“之”“[”的基本图形,综合运用角 平分线及垂直的意义、平行线的判定与性质等知识是解题的基础,而分解如下基本图形是证明的 关键. ##### 变式1-1(2024,武汉水果湖中学月考)如图,AD/EF, 1十 2-180{},DG平分 ADC,求证:1- B. 变式12 如图,已知 1十2-180{,3- B,试判断 AED与 ACB的大小关系,并 说明理由 类型2 平行线“断木”问题) 副2如图,AB,CD是两根钉在木板上的平行木条,将一根橡皮筋固定在 A.C两点,点E是橡皮筋上一点,拖动点E,将橡皮筋拉紧后,请你探索/A; C,AEC之间具有怎样的关系?请说明理由. 【学找切入点】这是一道结论开放的探究性问题,由于点E位置的不确定性,可引起对点E 不同位置的分类讨论(如夹在AB,CD之间或之外、内折或外折等),而过折点作平行线是探讨不 同位置下角之间关系的关键 119) 培优竞赛超级课堂 7年级数学 ① ② D 【拓展】 甲、乙两同学从此题证明中发现,问题的实质在于AB/CD.与连接A.C两点之间 的折线段无关.因此,如图1.甲同学将A,A 之间的折线段增加到4条,即A.B,BA,A。B。 BA,仍然有 A 十A 十A=B十B.如图2,乙同学发现 A 十A +..十A= B十B十...十B。-,即向右凸出的角之和等于向左凸出的角之和. A A. A B B_ 图1 图2 你认为他们的想法对吗 变式21(2024,武汉南湖中学月考)已知直线PQ/MN,点C是PQ,MN之间(不在直 线PQ,MN上)的一个动点. (1)若 1与2都是锐角,如图1,请直接写出C与 1,2之间的数量关系 (2)若小明把一块三角板(/A一30{}, C-90})按图2放置,点D.E,F是三角板的边与平行 线的交点,若 AEN一 A,求/BDF的度数 (3)将图2中的三角板进行适当转动,如图3,直角顶点C始终在两条平行线之间,点G在线 段CD上,连接EG,且有CEG一CEM,给出下面两个结论 _的不 ②/GEN一 BDF的值不变 其中只有一个是正确的,你认为哪个是正确的?并求出不变的值是多少 1 图2 《120 第17讲 平行线的性质及平移 类型3 平移的应用 3如图,在矩形ABCD中,AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向平移5个单 位长度,得到矩形A.B.C.D.;第2次平移将矩形A.BC.D.沿A.B. 的方向平移5个单位长度, 得到矩形ABCD;......;第n次平移将矩形A-B C-D-沿A -B-的方向平移5个单 位长度,得到矩形A.B.C.D.(n2) D.CDC .DC 乙 C A.B. A.B .B (1)求AB和AB。的长 (2)若AB.的长为56,求n的值 【学找切入点】 (1)根据平移的性质得出AA -5,A.A=5,AB-A.B -AA-6-5 1.进而求出AB和AB。的长. (2)根据(1)中所求得出数字变化规律,进而得出AB.一(n十1)×5+1,求出n即可 变式3-1如图是一块电脑主板模型,每一个转角处都是直角,其数据如图所示(单位: cm),则该主板的周长是 cm. 16 变式3-2(2024,武汉卓刀泉中学月考)如图,已知AM/BN.A-60{},P是射线AM上 一动点(与点A不重合),BC,BD分别平分/ABP和 /PBN,交射线AM于点C,D (1)求ABN和/CBD的度数 (2)当点P运动时,APB与/ADB之间的数量关系是否随之发生变化?若不变,请写出 它们之间的关系,并说明理由;若变化,请写出变化规律 (3)当点P运动到使ACB一ABD时,求ABC的度数 12》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 C归纳总结 平移的定义与特征 1.乎移的定义 把一个图形整体沿某一直线方向移动叫作平移变换,简称平移 2.乎移的特征 (1)平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同 (2)连接平移后的图形上各点与原图形的对应点的线段平行且相等 研讨乐园 例4探索发现: 如图是一种网红弹弓的示意图,在两头系上皮筋,拉动皮筋可形成平面示意图(如图1、 图2),弹弓的两边可看成是平行的,即AB//CD.各活动小组探索 APC与 A.C之间的数 量关系.已知AB//CD,点P不在直线AB和直线CD上,在图1中,智慧小组发现:APC= A 十C 图) 图3 智慧小组是这样思考的:过点P作PQ/AB,.... 请你按照智慧小组作的辅助线补全推理过程 类比思考: ①在图2中,APC与A.C之间的数量关系为 ②如图3:已知AB//CD,则角。,3:v之间的数量关系为 B #” 图4 图5 解决问题: 善思小组提出:如图4、图5,AB/CD,AF,CF分别平分 BAP,/DCP ①在图4中,求/AFC与/APC之间的关系。 ②在图5中,求AFC与APC之间的关系. 【学找切入点】 , 利用平行线的判定与性质、角平分线的性质、平角的定义等知识解此题 【解】探索发现:.PQ//AB,AB/CD. '.PQ/CD.../APQ-/A./CPQ-C ..APQCPQ-A十C,.APC-A十C 《122 第17讲 平行线的性质及平移 类比思考:① APC十A十C一360{}理由如下; 过点P作PQ//AB,延长BA到点M,延长DC到点N,如图6所示 ..APQ- PAM. _.... ,B ·.PQ/AB,AB/CD. p....... 'PQ//CD../CPQ=/PCN. C D .APQ+CPQ+PAB+P[CD=180*+180*-360* 图6 .APC+A十C-360 ②+--180{理由如下: _1 过点M作MQ/AB,如图7所示. 71D .十QMA-180*, ” 图7 ·.MQ//AB.AB/CD. .MQ/CD,.QMD-2 “:QMA十 QMD-乙:十乙--180” 解决问题:①/AFC-之APC.理由如下: 过点P作PQ/AB,过点F作FM//AB,如图8所示 .. APQ- BAP,AFM-BAF “.AF平分BAP. D ()C 图8 ·PQ/AB,FM/AB,AB/CD. ..PQ/CD.FM//CD. ..CPQ= DCP,CFM-DCF. . APC-BAP+ DCP# AFC-BAP+DCP-(BAP+ DCP), 过点P作PH/AB,过点F作FQ/AB,延长BA到点M,延长DC到点N,如图9所示 :.APH- MAP,AFQ- BAF .AF平分/BAP. M.... ./BAF-PAF. ..2AFQ-B/AP C , .PH/AB,FQ/AB.AB/CD. 图 .'.PH//CD,FQ/CD. .. CPH-NCP./CFQ- DCF 123》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 :CF平分/DCP. .'. /DCF-/PCF .*.2/CFQ-/DCP .'BAP+MAP-180*,DCP+NCP=180*$ :2 AFO+ APH=180{,2 CFQ+CPH=180* '2 AFQ+APH+2CFQ+CPH=360” 即2/AFC+APC-360 . AFC-180”-1 2APC 能力平台 .优|练 建议用时:20分钟 时要发生折射,由于折射率相同,所以在水 1.(2023,陕西中考)如图,1/AB.A-2B 中平行的光线在空气中也是平行的,如图 1-45{2-120{,则3+4-( 若 1-108{*,则2的度数为 ). ). A.36{ B.46* C.72 D.82* A.165* C.105* B. 155* D.90{ 2.(2023,金华中考)如图,已知1-2-3 5.(2023,缓化中考)将一副三角板按如图所示 50{,则4的度数是( ). 摆放在一组平行线内,1-25^{,2-30* ## 则3的度数为( ). B. 125* A.120” C.130{ D. 135* A.55。 C.70{ B.65{* 3.(2023,荆州中考)在如图所示的“箭头”图形 D.75。 中,AB/CD. B- D-80{},E-F= 6.如图,已知CD//EF,1+2=ABC,求 ). 47{*},则图中/G的度数是( 证:AB/GF A- A.80{ B.76* C.66* D.56* 4.(2023,凉山州中考)光线在不同介质中的传 播速度是不同的,因此光线从水中射向空气 《124 第17讲 平行线的性质及平移 赛训练 建议用时:40分钟 如果这24个长方形的周长的和为24,则原 正方形的面积是( 7.如图,两直线AB,CD平行,则 1十2+ 一 3十4十5十 6的度数为( ). B 3 A.1 D.900* A.630{ B.720{ C.800* C.4 8.已知图中所有的角均为直角,各线段的长度 12.如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使 如图所示,在不测量的前提下,可推知c为 得点C落在点E处,若AD恰好平分 ( ). BDE,则 EBD= D.5 A.2 B.3 C.4 13. 如图,已知DB//FG/FC. ACE=36^$. AP平分 BAC,PAG-12{*},则 ABD 9.如图,已知AB/EF,C-90{*},则q,3, 的 关系为( ). A__ A.-a+7 B.a++-180。 C.+v-a-90” D.a十③-y-90* 14.如图,在长为100m,宽为80m的矩形场地 10.如图:已知在梯形ABCD中,AD/BC.DCl 上修建两条宽度相等且互相垂直的道路部 BC.将梯形沿对角线BD折叠,点A恰好 分进行绿化,要使绿化面积为7644m{},则 落在DC边上的点A处,若 A'BC=20*; 道路的宽为多少?设道跑的宽为xm,则 则 ABD的度数为( ). 可列方程为 A D 80m #. -C -100m- A.15* B.20* C.25* D.30* 15.如图,E,F分别是CABCD的边AB,CE 11.如图所示,一个正方形被5条平行于一组 上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE 对边的直线和3条平行于另一组对边的直 相交于点Q,若Sarp=15cm{,Sx= 25cm{,则阴影部分的面积为 线分成24个(形状不一定相同的)长方形 cm2. 125) 培优竞赛超级课堂 7年级数学 n ABE,/CDF=n/CDE(其中n为 常数且n>1),点P是ABE角平分线 BG 上的一个动点,在P点的运动过程 中,请你确定一个点P的位置,使得 16.对于平面内的/M和/N,若存在一个常 /BPD是/F的系补周角,并直接写 数0,使得 M+ N-360{*则称 N 为 /M的系补周角.如若 /M=90{},N 出比时的不值(用含”的式子表示) -45{*,则 N为 M的6系补周角 图1 图2 (1)若 H-120{},则 H的4系补周角的 度数为 (2)已知平面内AB/CD,点E是平面内一 点,连接BE,DE ①如图1,D=60{},若 B是 E的 3系补周角,求B的度数; ②如图2.ABE和/CDE均为钝角; 点F在点E的右侧:且满足ABF 《126培优竟赛超级课堂 7年级数学 ' AGH-110{$ $CHG-80{$$ ·AC/DE.2-4. . $GH-180{- AGH-180{*-110{- 0$$ 3- 41- 2-4-3- . GHD-180*-$CHG-180*-80*-100$ 即/EDF-/BDF 若 EOP是 BGO的关联角,则 EOP= BGO十 例2可分别得到下列关系: 30-70+30-100°。 ① AEC=A+C;② AEC+A+C=360; :/FOP=/GHD+/OPH=100*+$OPH100$.$ ③ AEC=C-乙A:④ AFC= A-C; .. F0P-100(舍去) AEC= A-C; AFC=C- A 若 EOP是DPO的关联角,则/EOP=DPO+ 对于①,证明如下: 30 -100{*+180*-F0P+30{=310{*-FOP. 过点E作EF//AB. F0P-155”. *'AB//CD.FF//AB (1)同位角共有5对,分别是 1和5,2和3,3 ..EF//CD..AEF=A.CEF=C 和7,4和6,4和9 '. AFC= AEF十/CEF=/A十/C (2) 4和5是同旁内角,6和8也是同旁内角; 【拓展】对. 故 6和8之间的位置关系与 4和5的位置关系 (1).AB-6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方 相同. 向平移5个单位长度,得到矩形A.B.C.D. BD 提示:过点B作GB//AE//CF,..ABG=A 第2次平移将矩形A.B.CD 沿A.B 的方向平移 $$ 0°.又· ABC=150{。'.GBC-30。又'·BG/ 5个单位长度,得到矩形AB.CD, '$AA -5AA-5,AB-AB-AA-6-51 CF..GBC+C-180”.C=150 D4. 提示:当岗哨设置在N,D.Y,F时,岗哨们能看到 '$AB-AA +AA+AB-5+5+1-1$ *.AB的长为5+5+5+1-16 小区的所有街道,故最少要设4个岗哨 (2) AB-2$5+1-11,AB-3$5+1-16; (1)如图,这三组平行线即为所求. '.AB-(n+1)×5+1-56,解得n-10. (2)由于每组平行直线的条数(注 【变式题组】 意:不是平行线的“对”数)不同,可 11:AD/EF(已知). 有下面的一些解答,相应每种情况组内的平行直线条 2. 2十3-180”(两直线平行,同旁内角互补). ()# 数分别是(1,2,3,3,8),(2,3,5,7),(1,5,5,6),(1,1. 又1十2-180(已知) 1.2,4.8). .1-乙3(等式性质). ·1一4(角平分线的定义) ..3-4(等量代换). '.AB/DG(内错角相等,两直线平行). '. 1一乙B(两直线平行,同位角相等) 12/AED=/ACB.理由如下; ·1+4-180”(平角定义).1+2-180(已 知).2-乙4. '.EF/AB(内错角相等,两直线平行). .. 3一乙ADE(两直线平行,内错角相等) 上图中的四种情况即为所求答案的一部分, .3= B(已知),'.B=乙ADE(等量代换). 第17讲 平行线的性质及平移 ·.DE//BC(同位角相等,两直线平行) :CE AB.DF1AB . AED一ACB(两直线平行,同位角相等). '.CE/DF,1=2.3=5. (1)C-1+2.理由如下: 42 参考答案与提示 如图1.过点C作CD/PQ 0 【能力平台】 ----D ■AEC EC 提示:延长AB交EG于点M.延长CD交FG于点N. 图1 过点G作GK//AB.' AB//CD.'.GK/CD. .PO//MN.'.CD//MN. *. KGM= EMB.KGN= DNF *. 1- ACD.2=BCD. '. KGM+KGN=/EMB+DNF$ *ACB= ACD+ BCD= 1+2 '. EGF- EMB+DNF. (2). AEN- A-30..MFC-30 . ABE-80”.E-47. 由(1)可得,C= MEC+PDC=90* '. EMB- ABE- E-33*$,同理,DNF-33$ 'PDC-90*-MEC-60, ' EGF= $EMB+ $$DNF=33^$+33^{$=6 6 $$$ . BDF= PDC=60°。 E (3)结论①_CD的值不变是正确的, 设 CEG-CEM-,则 GEN-180*-2 由(1)可得,C-CEM+CDP, ' CDP=90*-CEM-90*-. 4C5C .BDF-90*-.. E作CK//FG,延长GF,CD交于点H,则 H十2十 .1802-2(0定值),即的值不变, BCK-180{},因为 1+2- ABC,故 ABC+ 90- BCK=180{*}$即CK//AB,所以 AB//GF 值为2. 7D B-96. 提示:主板周长-4×4+16X2+24×2-96 cm. BD 提示:由1+1+1+2+x-1+2+1+6,得x=5. 2(1)':AM//BN..A+ABN-180” D 提示:分别过点C.D作CC',DD与AB平行,则 “.A-60.ABN-120{。 AB//CC'/DD /EF,则 BCC'=a.EDD=¥, .BC,BD分别平分ABP,PBN. DDC=CCD=-.又 BCD= BCC'+$$ .. ABP=2CBP.PBN-2DBP C'CD-90.+-y-90。 $.2 CBP+2/DBP-120*. DC 提示:: A'BC=20{.BA'C-70{ '. CBD=CBP+/DBP=60. .DA'B-110*。 .DAB-110{.ABC= (2)APB与之ADB之间的数量关系不变,APB $ 0 .ABA'= ABC- A'BC=70$-2 0*=$$$ 2ADB.理由如下 50{..A'BD- ABA'-25” .:AM/BN. D 提示:设正方形的边长为x,因为24个长方形的周 . APB- PBN. ADB- DBN 又·BD平分 PBN...PBN-2DBN 长的和为24,又因为除了原正方形四个边之外分割的 8条与边长相等的线段分别被用过2次,所以4r+2× . /APB-2/ADB (3).AM//BN.'.ACB-CBN. 8x-24,所以-- “.ACB- ABD. 230{ 提示:显然 CBD=EBD.又·.AD平分 :. CBN=ABD.即 ABC十CBD= CBD+ BDE.'.ADB=ADE.又':AD//BC. DBN...ABC- DBN. .ADB=CBD. ..ADE=CBD.在Rt△ABF .BC,BD分别平分ABP,PBN. 和Rt△EDF 中.AFB=EFD.A=E. 43 培优竞赛超级课堂 7年级数学 *. ABF=EDF, .ABF=EBD=CBD 整数(0.v9.-8,-6);分数-20.13.33. 1×90-30。 -0.35.3.142;正数0.13.3v..3. 142. E60°提示:'FG//EC..'CAG= ACE=36° 0.020 020 00.)数一- 0. .5-,-8, 又:PAG-12*$..PAC- CAG+ PAG 36 *+12*-48.AP平分 BAC.'.PAB= -6{有理数-.0.0. 13.3.-0. 35.v5.-78. PAC-48 $'BAG- PAB+PAG-48$+12" -6 6{$又*:DB/FG$.'.ABD- BAG-60$$$ 6.3.142):无理数 5.吾o0.02 0200.. (100-x)(80-x)-7644.提示:将两条路向左向下 平移,再计算新长方形的面积 C 提示:(-1)+vy+4-0. 40. 提示:连接E,F两点,.四边形ABCD是平行 -1-0,y+4-0,解得x-1,y=-4. 四边形,'.AB//CD'.△EFC的FC边上的高与 .(xy)-(-4)-4. △BCF的FC边上的高相等...Sr=SxF 4(1)原式-9+2v2-2-2v2-7. '.Sm=Sa.同理,Sm=S△. (2)原式--2-V-2+4--3. .Sm-Spe. .S=15 cm,S=25 cm}. (1)4;v17-4提示:.4<v17<5. *.Sgumzo=40cm,故阴影部分的面积为40cm}. 2.17的整数部分是4,小数部分是v17-4. (1)60.提示:设 H的4系补周角的度数为工*,根 (2):2<5<3.'=5-2·.3<134. 据新定义得120+4r-360,解得x-60. $6=3,a+b-5-/5-2+3-5=1 即 H的4系补周角的度数为60^{} (3)1<3<4.1<③<2.'11<10+③<12 (2)①过点E作EF/AB,如图所示 ·10+y③-x十y.其中x是整数,且0<y1. A '=11,=10+ 3-11-3-1. '-=11-(③-1-12-/3. 'x-y的相反数是-12+③ '. B- BEF. -02 提示:'一1寸+1+1. :AB//CD..$EF//CD.D=60. 'D-/DEF-60”。 . B+60*=BEF+/DEF ##-1-1-1# 即B十60*- BED . B是 BED的3系补周角 ..... '. BED-360*-3 B. 'x+x++.+-2021 '. B+60-360*-3 B 1 .乙B-75°. ②当BG上的动点P为 CDE的角平分线与BG的 交点时,满足 BPD是 F的系补周角,此时k-2n. -202 第18讲 实数 阅2. 提示:由题意得2-1十万+4-0,解得b--1. 【变式题组】 b+4--1+4-3,'a-9. D 2C (13(x-2)-27. '.a+b-9十(-1)-8,'a+b的立方根为2. .(x-2)?-9. 44