第7讲 整式的加减-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年七年级全一册数学

第7讲 整式的加减 情境课堂 柯西(1789一1857)，法国数学家.他的纯数学和应用数学的功力相当深 厚，很多数学定理和公式都以他的名字命名，如柯西不等式，柯西积分公式 等.在数学写作上，他被认为是在数量上仅次于欧拉的人 闭眼打转 1896年，挪威生理学家古德贝通过研究得出结论：人在走路时两条腿的 步长存在差异，导致我们在没有参照物的情况下，沿直线行走时不可能走成 柯西 一条直线，总是偏右或偏左，最终形成一个圆，试分析说明 引入字母，从圆的周长公式寻找圆的半径与步长差的关系. 不坊先假定左步比右步长1毫米，两腿交替行走2000步 后，左腿将比右腿多走1000毫米，即1米，这样，人的两条腿就 不可能走出两条平行直线，而只能走出两个同心圆 假设一个人的步长平均为0.7米，走路的时候左、右两腿的 踏脚线间的距离大约是10厘米，右腿行走的圆圈半径为R,左腿 比右腿每步多迈出x米（如图），那么R是多少呢？他走完一圆 后，他的右腿走的路程是2πR,左腿走的路程是2π(R十0.1)，所以在一图中，左腿比右腿多迈 出了[2π(R+0.1)一2元R]米. 右胸的步钱为左脚电一样，又因为左是比右腿年步多返出x来，所以在一图中左腿 比右腿多迈出来 0.7x,∴R=0.07 ·2x(R+0.1)-2R=2x. 可见，这个圆圆半径R是与左右两腿的步差有关的，假如一个人的左腿比右腿每步多迈出 1毫米，那么右腿行走的圆圈半径R= 0.07 0.001 =70米 典例剖析2 类型1同类项 圆1若单项式一4y与号y-的和仍是单项式，则m十心-(2一2)的值为 【学找切入点】 由同类项的概念，相同字母的指数相同求，n的值或建立m,n的关系式. 45》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 变式11已知单项式2ab2m+与3amb+是同类项，则m十n= 变式12若单项式-号产y与3y的和仍是单项式，则m= 类型2整式的加减>> 圆2先化简，再求值：2x2-[3(-3r+号y-2y]-2(x-+2),其中x,y满足 2 +(y+1)2=0. 【学找切入点】先化简，然后根据非负数的性质求x,y的值，再代入求值， 变式2已知m,y满足条件：①号(r一5P+51m=0:②-2a61与3x:是同类项 求代数式0.375y+5mx-{一6y+[-寻y+(是ry-3475xy）-6.275y] 的值 类型3整式加减中的“无关"问题 例3(2023，武汉东西湖区期末)若代数式(2.x2+a.x-y+6)-(2bx2-3x+5y-1)的值与 字母x的取值无关，求代数式5ab一[a2b十2(ab-3ab)]的值， 【学找切入点】关于x,y的式子的值与字母x的取值无关，意味着整个式子化简后不含字 母x的项，即含有字母x的项合并同类项后系数均为0，据此求出a,b的值. 变式3-1已知P=3xy-8x+1,Q=x-2xy-2.当x≠0时，3P-2Q=7恒成立.求y 的值。 变式3-2已知含字母a,b的多项式是3[a2十2(b2+ab-2)]-3(a2+2)-4(ab-a-1). (1)化简多项式 (2)小红取a,b为互为倒数的一对数值代入化简后的多项式中，恰好计算得多项式的值为0， 《46 第7讲整式的加减 那么小红所取的字母b的值等于多少？ (3)聪明的小刚从化简的多项式中发现，只要字母b取一个固定的值，无论字母α取何值，多 项式的值恒为一个不变的数，那么小刚所取的字母b的值是多少呢？ 类型4整式加减中的整体代入思想，> 例4现有代数式ax3+bx3+cx一5，当x=一2时的值是7，那么当x=2时，该式的值是 【学找切入点】将x的两个值分别代入，寻找两个多项式的联系，将整体代入求值 变式4-1若(2025.x十1)'=a.x+b.x3十cx2+dx十e,则a十c= 变式4-2若(x2-x-1)'=a0.x8十a1x7十a2.x十a.x十a4x十a5x3十a6x2十ax十a6,则 aa十a2十a4十a6十ag 也方法技巧… 利用整体代入思想化简整式的常用技巧 1.“化”整体：根据所要求解的式子及解题需要，对已知式子进行整体化处理 2.“拆”整体：根据已知式子的特点，对所要求解的式子进行拆分，以便对所求式子进行整体 处理. 3.“组”整体：根据已知式子和所要求解的式子特点，把已知式子组合成所要求解的式子，进 而求解 研讨乐园'2 例5如图1，将7张长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片按如 图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩 形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积差为S,当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a,b满足 (). 1 图2 A.a=b B.a=3b C.a=2b D.a=46 甲的探究表示出左上角与右下角阴影部分的面积，求出面积差S,再根据面积差S与BC 无关即可求出a与b的关系式 乙的探究如图2，左上角阴影部分的长为AE,宽为AF=3b,右下角阴影部分的长为PC, 宽为a.因为AD=BC,AE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,所以AE+a=4b+PC,即 47》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 AE-PC=4b一a,所以阴影部分面积差S=AE·AF-PC·CG=3bAE-aPC=3b(PC+4b一a) -aPC=(3b-a)PC+12b-3ab,则3b-a=0,即a=3b. 【研讨1】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图3）不重 G 叠地放在一个底面为长方形（长为mcm,宽为ncm)的盒子底部（如图 4),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图4中两块阴影部分 的周长和是多少？ 图3 图4 丙的探究设图3的长方形长为xcm,宽为ycm,把阴影部分的 长方形边EF,KL移到大长方形的边AG,MC上，于是EF+BM+GD十+KL=AD十BC=2AD, 再求BE,DL,于是阴影部分的周长=2AD+2(BE+DL),因为x十2y=m,BE=n-2y,DL=n 一x,所以阴影部分的周长=2m+2(1一2y十n一x)=2m十2[2n一(.x十2y)]=2m十4n-2m=4n. 【研讨2】若一个长方形能分割成若干个大小不同的正方形，则说这个长方形是完美长方形 1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形. 如图5，有一个完美长方形被分割成11个大小不同的正方形，其中最小正方形的边长是9， 求此长方形的边长， 6.x-18 9x-45 - 3x-9 2+27 2x-45 18-2x.9 图5 图6 丁的探究设与最小的正方形相邻的小正方形的边长为x,如图6，其他9个正方形的边长 依次可用x的代数式表示，又设长方形的边长分别为a,b,则a=11x,b=15x一63，b=6x+81,由 15.x-63=6.x十81，解得x=16,从而a=176,b=177. 【研讨3】如图7所示，1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完 美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形.如果图中标注的正 0 缅 ⑤ 方形①和②的边长分别是x,y,那么你能计算出其他8个正方形的边长吗？ ③ 戊的探究③的边长为①②的边长之和：x十y: ⑧ @ 论 ⑨的边长为②③的边长之和：y十(x十y)=x+2y: 图7 ⑧的边长为②⑨的边长之和：y+(x+2y)=x+3y: ⑦的边长为⑧的边长加上②与①的边长之差：(x十3y)+(y一x)=4y: ⑥的边长为⑦的边长减去①的边长：4y一x: ④的边长为⑥的边长减去①与③的边长之和：(4y一x)一(x十x十y)=3y一3.x: ⑤的边长为④⑥的边长之和：(4y-x)+(3y一3.x)=7y一4.x: ⑩的边长为④⑤的边长之和：(7y-4x)+(3y一3.x)=10y一7x. 《48 第7讲 整式的加减 能力平台 培优训练 建议用时：30分钟 当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说 1.(2023,常德中考)若a2+3a一4=0，则2a2+ 出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆 6a-3=(). 牌现在还剩有的张数是 A.5 B.1 C.-1 D.0 7.已知m2+2m=13,3mm十22=21，则2m2+ 2.4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片，按 13m十6n2一44的值为 如图的方式拼成一个边长为(a十b)的正方 8.规定一种新运算：a※b=a十b,ab=a一b, 形，图中空白部分的面积为S,阴影部分的 其中a,b为有理数，如当a=2,b=1时，a※b 面积为S2.若S1=2S2,则a,b满足(). =2十1=3，a⑧b=2-1=1,根据以上运算 法则化简a2b※3ab+5a2b☒4ab,并求出当 a=5,b=3时，多项式的值 A.2a=5b B.2a=3b C.a=3b D.a-2b 3.(2021,云南中考)按一定规律排列的单项 式：a,4a3,9a,16a5,25a°，…，第n个单项 式是( . A.na" B.na" C.n'a D.(n+1)2a 4.已知圆环内直径为acm,外直径为bcm,将 宽赛训练 建议用时：0分钟 50个这样的圆环一个接一个地套连成一条 9.(2022,华中师大一附中预录)设0<a<b< 锁链，那么这条锁链拉直后的长度为 c,实数x,y(x>y)满足2x十+2y=a十b+c cm. 2.xy=ac,则x,y的取值范围是(). 5.设a,b,c,d,e的值均为0,1,2中之一，且 A.a<x<b,0<y<a a+b+c+dte=6,a2+62+c2+d+e2= B.b<<c,<y<a 10,则a3+b十c3十d十e的值为 C.a<x<c,0<y<a 6.小明背对小亮按下列四个步骤操作： D.K<x<c,a<y<c (1)分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两 10.(2023,长沙雅礼中学自 张，且各堆牌现有的张数相同. 主招生)如图为某三岔路 (2)从左边一堆拿出两张，放人中间一堆。 口交通环岛的简化模型。 (3)从右边一堆拿出两张，放入中间一堆. 在某高峰期时段，单位时 (4)左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出 间进出路口A,B,C的机动车辆数如图所 几张牌放入左边一堆， 示，图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时 49》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 间通过路段AB,BC,CA的机动车辆数（假 15.在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一 设单位时间内在上述路段中，同一路段上 个三位数abc(a,b,c依次是这个数的百 驶人与驶出的机动车辆数相等)，则有 位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个 (). 数acb,bac,ba,cab与cba的和V,把N的 A.x1>x2>x8 B.x1>x3>% 值告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这 C.n>x>x D.>a> 个人所想的数ab.现在设V=3194,请你 11.已知a+a2=1,a2+a3=2,a3+a=3,…, 当魔术师，求出abx的值. a9+a1w=99,a0+a=100,那么a+ a2+a3+…+a1w 12.已知多项式2ax+5a.x3-13x2-x+ 2019+2x+b.x3-bx-13.x2是二次多项 式.则a2++2007= 13.设f(x)=a.x2o21+bx0o1+cx-5,其中a, b,c为常数，已知f(一7)=7，则f(7)的值 为 14.已知关于x的二次多项式a(x3一x2+3x)+ b(2x2+x)十x3一5.当x=2时的值为 一17，求当x=一2时，该多项式的值， 《50培优竞赛超级课堂、 7年级数学 第7讲整式的加减 =3a2+6bW+6ab-12-3a2-66-4ab+4a+4 例1L.提示：依题意得m-2=3,7-21=3. =2ab+4a-8. ,.m=5,n=2. (2)",a.b互为倒数，.ab= ∴.m+n2-(2m-2")=5+2-(2-2) g2X1+4a-8=0,4a-6=0a=号， =25+4-(32-40=29-28=1. 例2原式=2x2+x2-2xy十2y2-2x2+2xy-4y ∴号×6=16=号 =2-2y (3)2ab+4a-8=2a(b+2)-8. :-+(+0=0,= 2y=-1. 当b十2=0时.b=一2.原式=一8. 故小刚所取的字母b=一2. 原式=-2=-1导 42026+多024-2.提示：当x=0时.e=1 2 例3(2.x2+a.x-y+6)-(2bx2-3.x+5y-1) 当x=1时，a十b+c+d+e=2026. ① =2x+a.x-y+6-2hx2+3.x-5y+1 当x=-1时，a-b+c-d+e=2024'. ② =2(1-b)x2+(a+3).x-6y+7. 由①+②得2a+2+2e=2026+2024' 代数式的值与字母x的取值无关，所以1一b=0, a十3=0，所以a=-3,b=1. a+c+e=2026+2024). 5alf-La b2(ab-3alf)=5alf-(a b2a'b-6l) .'e=1, =5ul-(3a2b-6aln)=5al-3b+6al=11a-32b a+c=2026+2024-1=2026+2024-2 2 当a=-3,b=1时， 421.提示：当x=-1时，a一a十ag一ag十a一a+ 原式=11×(-3)×1-3×(-3)2×1 as一a,十aa=1;当x=1时，au十a1十a2十a十a,十a =-33-27=-60. 十a6十a;十aw=l.以上两式相加，整理得a。十a:十a, 例4-17.提示：当x=-2时，，a(-2)°+b(-2)2+ +ds十as=1. c(-2)-5=7,∴.-2a-2b-2c-5=7, 【能力平台】 ,.2a+2b+2c=-12. IA 当x=2时，a×23+b×2+c×2-5=2a+2b+2e 5=-12-5=-17. 日D提示：S=号a+6×2+号ab×2+(a-b= 【变式题组】 ab+b+ab+a-2ab+b=a+2. 13.1212. S=(a+b)2-(a2+2f）=a2+2ah+-a2-2n= 2-由①得x=5,m=0. 2ab-b. 由②得y+1=3,y=2. S=252. 原式-0.375y+5mx+话ry+y+是ry叶 .a2+2=2(2ab-),a+2=4ab-2,a2 4ab+4b=0,(a-2h)2=0,a-2b=0,a=2b. 3.475.xy+6.275.xy2=xy+5m2x+10.xy2=5×2+ 3A提示：：第1个单项式d=12·a+, 0+10×5×22=250 第2个单项式4a=2·a+1, 3-13P-2Q=7, 第3个单项式9a=3·a+1, ,.3(3.xy-8x+1)-2(x-2xy-2)=7 第4个单项式16a=4·a+1, ∴.9xy-24.x+3-2x+4xy+4=7, .13.xy-26.x=0,.13x(y-2)=0, ,第n(n为正整数)个单项式为na+ x≠0，y=2 449a十h.提示：如图，当圆环为3个时，链长为3a十 32(1D3[a+2(+ab-2)]-3(ad+2)-4(ab-a-1D =3(a2+2f+2ab-4)-3a2-66-4ab+4a+4 4×2=(2a+b)cm,∴.当圆环为50个时，链长为 2 参考答案与提示 50u+2x2=(40a+b0em ∴.a×721十bX70+7e=-12, .f7)=a×72e1+b×71+7c-5=-12-5=-17. 14a(x2-x2+3x)+b(2.r+x)+2-5 =ax-ar+3ax+2bx+br+x-5 =(a十1)x十(2%-a)x2十(3a十b)r一5是二次多项式 ∴，a=-1. 518.提示：由题意可得，a+b+c+d十e=6a2+?+ 当x=2时，4(26+1)+2(6-3)-5=-17， 2十十e=10,有且只有一种情况可满足上述两式， .b=-1. 即a,b,c,d,e中有2个2.2个1,1个0， .a3+P+3+d8+2=2+2+1+1+0=18. 当x=-2时，4(2b+1)-2(6-3)-5=-4+8-5 66.提示：设第一步时，每堆牌的数量都是x(x>2): -1. 第二步时，左边x一2，中间x十2，右边x:第三步时，左 因将ac也加到和V上，由于a,b,c在每一位上都恰好 边x一2，中间x十4，右边x一2：第四步开始时，左边有 出现两次，所以abc+N=222(a+b十c). ⑦ (x一2)张弹，从中间拿走(x一2)张，则中间所剩牌数 从而1000+3194>222(a+b十c)>3194, 为(x+4)一(x一2)=6，所以中间一堆牌此时有6张. 于是15≤a+b+c≤18. 745.提示：2m2+4m=26,9m+6n=63, 因为222×15-3194=136.222×16-3194=358.222× 两式相加得2m+13mm十6n=89, 17-3194=580,222×18-3194=802.其中只有 原式=89-44=45. 3+5+8=16,满足要求，即能使①式成立，故a=358. 日：a※b=a+b,a@b=a-b, 第8讲数式规律型问题 ,.a2b※3ab+5a°4ab.=a2b+3ab十5a2b-4ab =6ab-ab. 团（一1）提示：-2+学-+十 当a=5,b=3时，原式=435. 9B提示：可采用特值法，当a=4,b=5,c=9时，2x十 (-1)+2=(-1)+n+D 2 2y=4+5+9, 例2第六层几何点数：6：11：16：21. ∴x十y=9,2xy=4×9,则xy=18.又x>y,.x 第n层几何点数：：2m-1:3n-2:4n-3. 6.y=3,即符合bx<c,0<ya. 例31040. 10C提示：x1=50+-55=西-5，…x<x. 例4(1)2021.2021422310.提示：由题图2可得 同理=30十x1一20=m1十10，<， 同理=30十x2-35=x2-5,∴x<2. A,=2a1+2ag+2aa+2a4+2ag+2a4=32X 团2525.提示：将这100个式子左，右两边分别相加得 0+16×1+8×0+4×1+2×0+1×0=20, 2(a+a2+a+…+aw)=1+2十3+…十100= A2=2a2i+2'a22+28a2a十2d4十2a2s+2d%=32X 1+100)X100=5050.因此原式=5050=2525. 0+16×1+8×0+4×1+2×0+1×1=21, 2 2 A=2a1+2ag+2as+2a14+2a5+2a%=32X 22020.提示：原多项式整理为(2a一1一b)x+(5u+ 0+16×0+8×0+4×1+2×0+1×0=4, 12a-1-b=0, b-13)x-13.e+2x+2019.依题意有 A1=2au+2'ag+2a8+2a+2as+2a6=32X 5a+b-13=0. /a2. 0+16×0+8×0+4×0+2×1+1×0=2. ,.a2++2007=4+9+2007=2020. b=3. A=2a+2'a2+23aa+2a4+2'as+2°aw=32X 3-17.提示：f(x)=ax十arw十cx-5, 0+16×1+8×0+4×1+2×1+1×1=23. f(-7)=7, As=2as+2'a62+2a63+2a+2as+2as=32X ∴.a(-7)2+b(-7)1w1-7c-5=7, 0+16×0+8×1+4×0+2×1+1×0=10, 15