第4讲 有理数的乘方与相关应用-【培优竞赛超级课堂】2024-2025学年七年级全一册数学

第4讲 有理数的乘方与相关应用 情境课堂 罗巴切夫斯基(1792-1856),俄罗斯数学家、教育家,自1811年起,他便 在略山大学任教,并曾任校长,他教授了数学、物理和天文等许多课程,以讲 解清晰、详细著称,1893年,嘻山大学树立起世界上第一个数学家塑像,这位 数学家就是罗巴切夫斯基 “玫瑰花诺言”案 罗巴切夫斯基 1797年3月,拿破仑在卢森堡第一国立小学演讲时说了这样一番话:“为 了答谢贵校对我,尤其是对我夫人约瑟芬的盛情款待,我不仅今天会呈上一束玫瑰花,并且在 未来的日子里,只要我们法兰西存在一天,每年的今天我将亲自派人送给贵校一束价值相等的 玫瑰花,作为法兰西与卢森堡友谊的象征,” 1894年底,卢森堡旧事重提,向法国提出违背“玫瑰花诺言”案的索赔,要求从1798年起 用3路易作为一束玫瑰花的本金,以5厘复利(即利滚利)计息全部清偿这笔玫瑰花债,而这是 一个巨大的天文数字 1977年4月22日,时任法国总统德斯坦访问卢森堡,将一张象征巨额财富的支票交给了 卢森堡,以此了结了持续180年的“玫瑰花诺言”案 .典例剖析 类型1乘方的意义 则1已知a,b互为倒数,c,d互为相反数,e<o且lel-1,那么(-ab)2o2ì-(c十d)2022- 22的值为 【学找切入点】 从倒数、相反数的概念入手,利用乘方的意义计算 变式 1-1观察等式:71-7,7--49.7-343,7-2401,7-16807,76-117649.7 823543,78-5764801,7*-40353607,...,它们的个位数字有什么规律?用你发现的规律写出 49②的个位数字是( 。. A.7 B.9 C.3 D.1 变式12 如图,数轴上O,A两点的距离为4,一动点P从点 OA.AA A出发,按以下规律跳动:第1次跳到AO的中点A处,第2次从 点A.处跳到A.O的中点A。处,第3次从点A。处跳到AO的中点A:处,按照这样的规律继续 跳到点A,A,A,..,A.(n3,n是整数)处,那么线段AA的长度为 (n3,n是整数). 3) 培优竞赛超级课堂 7年级数学 变式13 下面是按照一定规律排列的一列数: 第1个数是1+);,第2个数是1+) [1+-1)”]×1+1)*} 第3个数是(1+)×[1)*]×[+)*]×[+1)]×[+(-1)] .____. 以此规律,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是 ). A.第10个数 B.第11个数 C.第12个数 D.第13个数 类型2有理数的混合运算 2计算:--(-2) -3{×[2(--0. 16×(-)]-(-){}+(3){}-(-1)*} 【学找切入点】 注意混合运算的运算顺序,有括号的先算括号里的,先算乘方,再算乘除,最 后算加减. 变式 计算:(1)(2 029-2 2028)-(2 027-2026)(2 025-2024)+ 2-1 (2023 2 022)[{提示:a^{一1(az0). (2)[(-2)×(-)}1]×(-1)×}[(-1)+(-)+1]0}(-8). (3)16×-1#+1+1-11寸)4(2-1#3 (精确到 小数点后八位) 类型3 乘方的应用) 测3一张纸的厚度是0.06cm,地球到月球的距离约等于3.85×10{}km.小明说:“如果将 一张纸裁成两等份,把裁成的两张纸擦起来,再裁成两等份,如此重复下去,第43次后,所有纸的 总厚度便大于地球到月球的距离.”小刚说:“我不相信小明的说法.”你相信小明的说法吗?为什么? 【学找切入点】 每裁一次,厚度便增加一倍 变式3-1康托尔集:1883年,康托尔构造的这个分形 == (如图)称作康托尔集,从数轴上单位长度线段开始,康托尔取 走其中间三分之一而达到第一阶段,然后从每一个余下的三分 之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段,无限地重复IIII I 这一过程,余下的无穷点集就称作康托尔集,如图所示是康托尔集的最初几个阶段,当达到第 个阶段时,余下的所有线段的长度之和为 ). C.(2) D.(2) 《24 第4讲 有理数的乘方与相关应用 变式32 狄摩根的年龄:狄摩根是19世纪的英国数学家,在逻辑研究方面有突出贡献,在 他中年时,有人问他:“您多大年龄了?”狄摩根幽默地说:“我在公元年时是工岁,”你知道狄摩 根的出生年份吗? 类型4 计算机程序问题 刻4(2019,长沙中考)我们常用的数字是十进制数,计算机程序使用的是二进制数(只有数 码0和1),它们两者之间可以互相换算,如将(101)。,(1011)。换算成十进制数应为 (101)-1×2+0×2+1×2-4+0+1-5. $1011)-1×2+0×2+1×2+1×2-8+0+2+1-11 按此方式,将二进制数(1001)。换算成十进制数的结果是 【学找切入点】本题渗透了计算机的基本知识一“二进制数计算”,无论何种进制的数都 可表示为与数位上的数字及进制值有关联的和的形式 变式41计算机使用的是二进制数,它共有0和1两个数码.要将一个十进制数转化为二 进制数,只需把该数写成若于个2”的和,依次写出1或0即可,如19-16+2十1=1×2+ 0×2+0×2+1×2+1-10011为二进制下的5位数,则十进制数2004是二进制下的 ). A.10位数 B.11位数 C.12位数 D.13位数 类型5 等比数列求和 利5阅读下列材料: 小明为了计算1+2+2{}十...+2*+2*的值,采用以下方法; 设S-1+2+2+..+22-+2223. 则2S-2+22+..+22o23+22024. ②-①得2S-S-S-2o21-1. *$-1+2+22+.+22022+2-2023-22024-1. 请仿照小明的方法解决以下问题 (1)1+2+2+..+2一 (2)3+3+...+31- (3)求1十a十a{十...十a”的值(a>0,n是正整数,请写出计算过程). 【学找切入点】 1(1)设S-1+2+2+...+2,两边乘以2得到2S-2+2+2+..+210. 然后把两式相减算出S 25》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 (2)设S-3+3+3+3+..+3,两边乘以3得到3S-3+3+3+..+3l 然后把两式相减算出S. (3)利用(1)(2)的方法求解 变式5-1 计算:2-2-2-2-25-..-218-21+220 研讨乐园 7 探究问题:为解决上面的数学问题,我们运用数形结合的思想方法,通过不断地分割一个面 积为1的正方形,把数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并采取一般问题特殊化的策略来进行 探究. 探究一:去# 第3次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,阴影部分的面积之和为 ..... 第1次分割 第2次分制 第3次分割 第n次分制 11 22 . 《26 第4讲 有理数的乘方与相关应用 第3次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,阴影部分的面积之和为 ## .____. 第2次分割 第1次分割 第3次分制 第次分割 s ._. 根据第n次分割图可得等式: 两边同除以2,得 0 3_ 2×3n 解决问题: 第次分割 ” 面积,并完成以下填空) (1)根据第次分割图可得等式为 n (3)拓展应用:35-150-153-15-1 -的值. 52 5 5 。 第次分 (1){1m111.11- 【解】 n^{②} n n n . (2)1 n-1(n-1)X. 2-1 霜。 1 (3)原式-1-1-1+1-+1-1 5 ##一(1{1) --(#) -4(#). 27)》 培优竞赛超级课堂 7年级数学 能力平台 "优训练 建议用时,30分钟 5.如图,小明在3×3的方格纸上写了九个式 1.(2023,达州中考)生活中常用的十进制是用 子(其中”是正整数),每行的三个式子的和 0~9这十个数字来表示数,满十进一,如 自上而下分别记为A,A,A,每列的三个 $2=1t10+2,212-2t10$10+1t10+$ 式子的和自左至右分别记为B,B,B,其 中,值可以等于732的是( ). 2;计算机常用十六进制来表示字符代码,它 是用0~F来表示0~15,满十六进一,它与 2-2 2-4 2-6 /. 十进制对应的数如下表 2-8 2-10 2-12A. 十进制 9 1011121314151617 十六进制。 9ABCDEF1011 2-16 2-14 2-18A 例:十六进制2B对应十进制的数为2×16 B BB +11-43,10C对应十进制的数为1×16× A.A B.B. C.A D.B 16+0×16+12-268,那么+六进制中14E 6.观察等式:2+2-2-2,2+2+2-2 对应十进制的数为 ). 2,2+2+2+2-2-2...,已知按-定规 A.28 B.62 C.238 D.334 律排列的一组数:2100,210,21{,.,219,若 2.计算:-2-十(-2):02+3×(-2)2*的 2【*=m.则用含n的代数式表示这组数的 值为( ). 和是 A.-22021 B-2 C.0 D.2221 7.计算: 3.已知(+1){}-25,且 0,a+3l+l$+2 (1)[(-){}+(-)#×16+4*][(2) -14,且ab>0,则a十b-( ). -. A.-19 B-9 C. 13 D.3 4.(2021,宜宾中考)在我国远古时期,人们通 (2)-(-3)2+十(-5)×(-3)-18 过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计 1-32. 数”,类似现在我们熟悉的“进位制”.如图所 (3)-1+(0. 25+)-{0.5-(-0. 75)× 示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的 天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打 [(2)#]1).# 结,满五进一,根据图示可知,孩子已经出生 的天数是( 。 A.27 B.42 C.55 D.210 《28 第4讲 有理数的乘方与相关应用 8.如果10三n,那么6为n的劳格数,记为 13.计算: d(n),由定义可知;10=与6=d(n)所表 示的6,n两个量之间具有同一关系 (-19-0.)# 2+ (1)根据劳格数的定义,计算d(10)和 d(10-)的值. (-)#50}# (2)若n,n为正数,则d(m·n)=d(m)十 d(n),d(")-d(m)-d(n).根据运算性 质填空) (1-1)(-0.5)-3#4- (a为正数). 若d(2)-0.3010,则d(4)- [(-2)-2]. d(5)=__,d(0.08)- (3)请你从下表中归纳出1+2+3+4+.. (3)若表中与数x对应的劳格数d(x)有且 +的公式并计算出1+2十3+4 +...十100的值. 仅有两个是错误的,请找出错误的劳格 ))) 数,并将其改正过来. 1.5 3- 1+-3-3 2-6c d(r) 4-2 -6 r。 b一 -3r -2 6-3 5__ 赛训练 5 10 15 20 25 建议用时:30分钟 9.若a,bc均为整数且满足(a-b)士(a一c) -1,则l-b+lb-cl+c-al= ). A.1 C.3 B.2 D.4 3-12 4-16 2015-4×2015' 则100M最接近的整数是( ). A.10 B.11 C.12 D.13 $1.设a-3 },b-4^*,c-5*,则a ,b,c中最大$ 的是 _,最小的是 12.(2023,黄区中学预录)有若干个数,第1个记 为a,第2个记为a,第3个记为a,....... 每个数都等于1与前面那个数的差的倒 数,试计算:a。-__;a :202- :202- 29》培优竞赛超级课堂 7年级数学 第4讲有理数的乘方与相关应用 [1+)]×[1+-P]×…×[1 例10.提示：ab=1,c十d=0,e=-1. 原式=（一1）1一02一(-1)=-1-0+1=0. 2原式=-16-9x{[号×(-)品×(-紧)】]片 所以第10个数、第11个数、第12个数、第13个数分 5+》-1 别为品一是一最一号最大的数为是 =-17-9x[(-15+)÷5+4J] 2国a原式=（是）°-（受）广×8+1 =-17-9x(-罗×号+号) =0-2+1=-器 =-17-9x(-号+9) (2)原式=[(-8》×-1]×5-[-1)×(-3)+ =-17-9×(-是)=31 ×(-8)=-3×5-16×(-8）=-9 16 例3相信.因为第43次后纸的总厚度为2×0.06≈ 5.3×10"cm=5.3×10km.此时所有纸的总厚度大 20+3× 4 =3.2-0.0426+0.001024 于地球到月球之间的距离。 0.00002四25+0.00000091-—0.00000002-0.01673640+ 例49.提示：(1001)：=1×23+0×2+0×2+1×2 0.00000009≈3.14159266. =9. 3C提示：由题意知，第一阶段时，余下的线段的长度 丽120-12"23 之和为号，第二阶段时，余下的线段的长度之和为号 (3)当a=1时，1+a十a2+…+a"=n+1: 当a≠1时，设S=1十a十a2+…十a, ① ×号-（号）广，第三阶段时，余下的线段的长度之和为 则aS-a+a2+…+a十a+l, ⊙ 由②-①可得(a-1)S=*1-1.s-a一」 号×号×号-（层）广八， a-1 【变式题组】 以此类推，当达到第n个阶段时(n为正整数)，余下的 1B提示：7的幂的个位数字规律为每4个为一个循 环，依次为7,9,3,1.而49@1=（7)1=71，因此 线段的长度之和为（号）广 49的个位数字符合7的幂的个位数字的规律，利用 32狄摩根在x年是x岁，即他岁数的平方应是18××年， 4042÷4=1010余2，说明4922的个位数字与7的 42=1764,不合题意：43=1849，符合题意.即他43岁 个位数字相同. 时是1849年，则他的出生年份是1849一43=1806年. 回一2一，提示：由于OA=4,所以第一次跳动到 4-1B提示：21=2048,20=1024， ,最高位应该是1×20，故共有10+1=11位数。 0A的中点A处时，0A=20A=号×4=2 56.提示：设S=2十2+2十…十2 同理，第二次从点A跳动到点A处，离原点距离OQ4= 则2S=2十2+25十…+2， .S=22-22. (合）广×4…，01=(2)广×4=2。 ∴.2-22-28-2--2°+20=2-(2m-22)+220 “AA=4-2(>3且n是整数). =2-20十2+20=2+4=6. 【能力平台】 图A提示：第n个数为南-（1+2)× 1D EC BA 4B SD 3mm. 参考答案与提示 日a-02-63)-子 20206205X20）-品-×(20m20m丽 1 8(1)d(10)=1,d(102)=-2. (2)3,0.6020,0.6990,-1.0970.提示：d(a)= +2015X2017/1 d(a2·a)=d(a)+d(a)=d(a·a)+d(a)=d(a)+ 品×10≈1.46,10M最接近整数， d(a)+d(a)=3d(a), 1日b:6.提示：，a=3=(3)m=243",b=4"=(4)0 需温 =256",c=5”=(52)0=1251",故最大的是b,最小的 d(2)=0.3010,d(10)=1, 是c. ∴.d(4)=d(2×2)=d(2)+d(2)=2d(2)=0.6020, 四2，-1：22：-1 d5)=d(2）-d10)-d2)=1-0.3010=0.6990. 因-一是 (2)-80. d(0.08)=d(8×10)=d(8)+d(10)=3d(2)+ (3)13+2=1+8=(1+2)2,11+2+3=1+8+27 (-2)=0.9030-2=-1.0970. =(1+2+3)°.13+22十33+43=1+8+27+64=100 (3)若d(3)≠2a-b,则d(9)=2d(3)≠4a-2b,d(27) =3d(3)≠6a一3b,即有三个劳格数错误与题设矛盾， =(1十2+3+4)2，…，.11+2十33+43++m2= 故d(3)=2a-b: +2+3+4++w=[21+m]= 若d(5)≠a十c,则d(2)=1一d(5)≠1-a-c,d(8)= 3d(2)≠3-3a-3c, 1D只.此时，1+2+3++103=×100×(100+ d(6)=d(2)+d(3)≠1+a一b一c,即有三个劳格数错 1)=25502500. 误与题设矛盾， 第5讲数字规律型问题 故d(5)=a+c 例1由于图形①②③①…相应矩形的周长分别为6,10， 综上所述，d(1.5)与d(12)两个值是错误的，应该更正 16,26,…,从第三个数起，后一个数都等于它前面两个 为d(1.5)=d(3)-d(2)=3a-b+-1d(12)=d(3)+ 数的和，因此图形®⑥⑦⑧⑨@相应矩形的周长为 2d(2)=2-b-2c. 16+26=42.26+42=68.42+68=110,68+110=178, 日B提示：，a,h,c均为整数， 110+178=288,178+288=466.故序号为@的矩形的 u一b与a一c均为整数. 周长为466. 从而由(a-b)0+(a一c)o=1,可得引a-b|=1, 例2127.提示：方法一由图可知，七层二叉树的结点 a-c=0或a-b=0,|a一c=1. 总数为1+2+4+8+16+32+64=127. 当a-b=l.a-c=0时，a=c 一义树的层数 234… ∴.原式=a-b1+|b-a+|a-a=2la-b1=2. 针点总数 15… 当la-b=0,a-c=1时，a=b. 阳邻两层钻点总数的 .原式=a-a+|a-c十c-a=2a-c=2. 方法二观察图形会发现，除第一层的一个结点外，接 ∴.a-b1+16-cl+lc-a=2. 下来的数据具有对称性，故七层二叉树结点总数为1+ 1 回B提示：“-农一0(k一2)·k·十习 2×(1+2+4+8+16+32)=127. 例羽C提示：图1中第n个图表示的数是1十2十3十·十 n="D,图2中第n个图表示的数是m. 2 M=子×（☆8-太十+…+ 因为1225=49X50.1225=35. 2 203X20丽20520丽）=片×（☆8+ 例A85.