3.3幂函数教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基本信息 姓 名 学 校 学 科 数学 联系电话或邮箱 年 级 教材版本及章节 人教A（2019）必修第一册3.3 学习领域/模块 代数与几何/函数的概念与性质 单元教学设计 单元学习主题 函数的基本概念、性质与实际应用 1.单元教学设计说明： 函数是贯穿高中数学课程的主线.引入具有一般性的抽象函数符号f(x)，使学生能通过建立函数模型刻画现实问题的数量关系，并通过讨论函数的性质来认识、把握和解释它的运动变化规律，这是学习函数的重要意义。 作为中学阶段数学课程的一条主线，函数内容的安排体现了数学抽象的层次性，是与学生的认识水平相适应的。初中阶段对函数的学习是从变量之间依赖关系的角度入手，引导学生对简单实例中的数量关系和变化规律进行概括，得到函数的概念以及三种表示法，并通过对一次函数、二次函数和反比例函数这些特殊函数，向学生介绍研究一类函数的基本内容与方法。特别是通过二次函数，让学生学习定性刻画函数单调性的方法，以及函数的对称性、最大（小）值、奇偶性等性质。 2.单元学习目标与重点、难点： （1）单元目标 1) 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，了解构成函数的要素; 1) 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用; 2) 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用; 3) 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用和实际意义; 4) 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义; 5) 通过具体实例，了解幂函数，理解它们的变化规律; 6) 体会函数与现实世界的密切联系，初步理解函数模型是描述客观世界中变量关系 7) 和规律的重要数学语言和工具; （2）单元教学重点 1) 会用集合的语言表述函数的概念，培养学生的数学抽象素养; 2) 能判断函数的单调性、奇偶性，利用函数的增减性求函数的最值; 3) 会用定义法证明函数的单调性; 4) 掌握五个幂函数的图象与性质。 （3）单元教学难点: 1) 能从不同情境中找出函数的三要素，抽象概括出函数的概念; 2) 理解实数集合间一对多、多对一的对应关系; 3) 通过五个幂函数的图象概括出它们的共性,利用性质比大小和求参数的取值范围; 4) 应用函数的单调性和奇偶性解决一些综合性问题。 3.单元整体教学思路： 对于函数的研究，其大致框架是:函数的事实-函数概念的定义与表示-函数的性质-基本初等函数. 本章要完成从事实到概念（定义与表示）再到性质的学习，使学生构建函数的一般概念，了解函数的研究内容和基本方法. 教学中应调动学生已有的函数学习经验，同时要防止负迁移;概念内涵、函数要素的发现等，对于大多数学生而言是困难的，特别是用集合语言和对应关系表述概念，是非常数学化的，确保学生领会定义实质，面对具体问题时，可引导学生进行适当的自主探究发现，深化了解。 4.单元作业与拓展学习设计： 单元作业:函数的概念及其表示、函数的基本性质、幂函数、指数与指数函数、对数与对数函数和函数的应用六个小节作业，每个内容都有课后对应的练习题。在本章末复习参考题3用以巩固提升。 拓展学习：计算机绘制函数图像、对勾函数的图像与性质、数学著作文献综述的学习。 5.特色学习资源分析、技术手段应用说明： 多媒体(PPT、实物投影仪、ggb等)辅助教学。学生平板数学画板学习素材辅助教学。 课时教学设计 课题 幂函数 课型 新授课 1. 教学内容分析： (1) 内容的本质：幂函数是一类重要的基本初等函数，很多函数都是由幂函数及其他基本的初等函数经过运算、复合得到的.幂函数是学生进入高中后学习的第一类具体的基本初等函数.学生已学习过正比例函数、反比例函数（）、二次函数（）都是学生很熟悉的.因此幂函数的学习是在学生已有的函数学习经验上的拓展，主要是在归纳五个具体函数共性基础上的数学抽象. (2) 蕴含的思想和方法：通过具体实例抽象出幂函数的定义体现了抽象与概括的思想；五个具体函数性质的研究渗透着分类讨论和数形结合思想. (3) 知识的上下位关系：“幂函数”的内容安排在“函数的概念与性质”一章的第3节，是在学习完一般函数的概念以及函数的基本性质后，选取一类简单的基本初等函数进行研究，使学生明确一类具体函数的研究内容（背景——概念——表示——图象和性质——应用），并体会如何在一般函数的概念及基本性质的指导下展开研究.因此幂函数的学习即是对前面所学内容的巩固，也为后面指数函数、对数函数的学习打下基础. (4) 育人价值：借助对一类函数的研究，使学生理解研究一类函数的内容、基本思路（定义、表示——图象和性质——应用）和方法.围绕函数概念这个核心，从相互联系的观点出发，利用函数与数、代数式、方程、不等式等之间的联系，通过类比、归纳和概括，引导学生从不同角度理解函数概念，发展学生的逻辑推理、数学抽象素养. 2. 学习者分析： (1) 教学问题1：学生在初中已经学习过一些具体的函数，但缺乏研究一类函数的内容和方法的认识。 破解方法：教学时应引导学生梳理初中学习的一次函数、二次函数、反比例函数的研究过程与方法，以及前一单元一般函数的概念和性质的研究过程与方法，让学生尝试构建幂函数的研究过程，从而体会研究一类函数的内容、思路和方法. (2) 教学问题2：学生画出的图象会有一定难度. 破解方法：教学时应该先引导学生观察函数解析式的特点，得出是奇函数 的定义域为非负数的集合等；然后让他们思考如何取点，并利用描点法作图。 (3) 教学问题3：在归纳性质时，学生对从哪方面进行归纳会存在困惑。 破解方法：教师要引导学生思考研究函数的一般方法及所要研究的内容，结合前面函数性质的研究，为这里性质的归纳作好铺垫. 分析五个幂函数图象的共性和差异性而得出性质，同时，还要加强信息技术的应用. 3. 学习目标确定： (1) 通过具体实例，会画第 y=x,y=,y=,y = ,y=的图象，理解它们的性质和变化规律，了解幂函数的定义，提升数学抽象素养。 (2) 能通过5个幂函数的图象概括出它们的共性，提升数学建模，直观想象素养，体会研究一类函数的基本内容与方法。 4. 学习重点和难点： (1) 重点：五个幂函数的图像与性质。 (2) 难点：画y = ,y=的图象，通过5个幂函数解析式概括出它们的共性，抽象幂函数的概念，观察函数图像的内容和方法。 5. 学习评价设计： (1) 能从自变量、函数值，函数解析式的结构等角度归纳共性，抽象出幂出数的一般形式。 (2) 会根据定义识别是否是幂函数。 (3) 会画5个函数的草图，并利用图象得到定义域，值域，单调性，奇偶性。 (4) 能利用幂函数的性质解决一些简单问题，如比较大小等。 (5) 结合对幂函数的研究，体会从“定义，表示一图象与性质一应用”的研究具体函数的方法。 6.学习活动设计 环节一：问题驱动 引导语：前面我们学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的单调性、最值、奇偶性.这节课我们利用这些知识研究一类新的函数. 问题1：请看下面几个实例： （1）如果张红以1元 /kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p = w元，这里p是w的函数； （2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数； （3）如果立方体的边长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长，这里c是S的函数； （5）如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度，即v=，这里v是s的函数. 观察这五个函数的解析式，它们有什么共同特征？ 师生活动：（1）学生思考后回答，根据学生的回答，教师进行必要的补充.最后指明：这几个函数解析式都具有幂的形式，幂的底数是自变量，指数为常数. （2）教师给出幂函数的定义，并进行板书. （3）追问：能否根据幂函数的定义举出一个幂函数的例子？（通过举例理解定义） 学生思考后口答，老师将学生举出的具体幂函数的解析式写到黑板上，进行评价纠错.纠错时要指出不符合定义中的哪个条件。 设计意图：通过学生熟悉的实际问题抽象概括出幂函数；通过追问引导学生抓住幂函数的形式特点，发展学生的数学抽象核心素养. 环节二：项目引领 对于幂函数，我们只研究= 1，2，3时的图象与性质. 问题2：结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数？ 师生活动：教师板书：研究一类具体函数的基本过程： ①根据函数解析式求出函数的定义域； ②画出函数的图象； ③利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等. （1）学生回顾初中学习函数的过程，结合前面研究一般函数的内容回答，教师在学生回答的基础上进行补充。 （2）明确研究一类具体函数的基本过程：①根据函数解析式求出函数的定义域；②画出函数的图象；③利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题. （3）教师讲解研究一类新函数的一般思路：定义、表示——图象与性质——应用. 设计意图：通过回顾已有经验，引导学生体会研究一类函数的方法，给出研究一类函数的一般内容、基本思路和方法，发展学生的数学抽象核心素养. 环节三：合作探究 问题3：这五个幂函数中和的图象是我们熟悉的，如何画出的图象？ （1） 追问：观察这两个函数的解析式，你能说出它们的一些性质吗？ （2） 学生画出和的简图，利用描点法画出图象，教师利用geogebra软件进行画图并演示. 问题4：观察这五个幂函数图象，它们有哪些共同的性质？有哪些不同的性质？ 师生活动： (1) 学生回答，通过交流补充归纳得到五个幂函数的性质，并将这些性质填入表格中. 图象 定义域 值域 奇偶性 单调性 (2) 追问：这些函数图象有公共点吗？ 在获得了上面几条基本性质之后，教师可引导学生关注函数图象所经过的特殊点以及函数图象的变化趋势，进一步得到“函数都过（1,1）点”， 的图象“当x越来越大时，图象无限靠近x轴，且当x趋向与0时，函数图象无限靠近y轴”这样的性质. 提醒学生从函数图象和解析式两个角度认识函数的性质，从解析式中可以获得定义域、奇偶性等性质，这些性质也可以反过来帮助作图，使研究解析式和作函数图象相辅相成.学生思考后板书并画图. 教师根据学生的回答，进行评价纠错. (3) 追问：请举一个幂函数的例子，并画出草图. 学生思考后回答.最后使学生认识到：通过解析式，可以得到的定义域，并可以知道是奇函数既不是奇函数也不是偶函数；而且通过解析式得到函数的性质后，可以简化作图的过程. 问题3设计意图：让学生先观察函数解析式的特点，对函数的定义域、单调性、奇偶性等进行初步判断，这样可以使学生提高取点的目的性，使图象更好地反映函数的特征，而且可以使学生体会高中阶段研究函数性质的新特点，发展学生的数学抽象核心素养. 问题4设计意图：引导学生通过观察函数的图象，得出五个函数各自性质的基础上，归纳共性和差异性，得出幂函数的一些基本性质，培养学生的分类讨论能力；追问（2）由幂函数的性质画出草图，进一步巩固幂函数的性质，发展学生的数学抽象核心素养. 环节三：共享拓展 问题5：利用函数图象我们得到了五个幂函数的上述性质. 事实上，观察得到的结论有时候是不可靠的，我们还应该对其进行严格的证明.你能证明幂函数上是增函数吗？ 问题6: 回顾本节课的学习内容，并回答以下问题： （1）什么是幂函数？结合五个幂函数，你能说说幂函数具有哪些性质吗？ （2）结合对五个幂函数的研究过程，你能归纳一下函数的研究内容和方法吗？ 教师提出问题，学生独立完成，请几位学生板书证明过程.教师对学生的证明过程进行评价纠错. 学生思考后板书并画图. 教师根据学生的回答，进行评价纠错. 问题5设计意图：引导学生对观察得到的性质进行理性思考，利用解析式对结论进行严格证明，通过学生思维的严谨性，同时引导学生认识到用抽象语言表述的单调性定义在证明中的重要作用，发展学生的逻辑推理核心素养. 问题6设计意图：回顾本节课的主要知识和研究过程，总结研究函数的内容、思路和方法. 环节四：评价反思 课堂检测 教材第91页练习1,2,3 课后作业 教科书习题3.3第1,2,3题 课堂检测设计意图：1题考查幂函数定义的应用，2题考查学生幂函数的单调性在比较大小中的应用，3题用定义证明单调性和奇偶性，属于水平一问题. 课后作业设计意图：第1题考查画含有绝对值符号的函数的图象，奇偶性、单调性的应用，第2题考查幂函数定义的应用，第3题考查描点法画幂函数的图象并求定义域、值域，单调性和奇偶性严格的推理证明，第1题属于水平一，水平二题目，第2、3题属于水平二题目. 7.板书设计 幂函数 y=x y= y= y= = y== 一般地，函数y=叫做幂函数， 其中x是自变量，a是常数 8.教学反思与改进 多媒体辅助教学。 教案要写详案，环节完整，活动形式可以多样化，提升学生的参与感。语言要再精炼 备课时要预设学生可能出现问题以及解决方案。 学科网（北京）股份有限公司 $$