3.2 二次函数函数 专项突破二（二次函数中的几何问题）讲义 2024--2025学年鲁教版九年级数学上册

二次函数函数专项突破二（二次函数中的几何问题） 类型一：已知角的正切求点的坐标 1．抛物线的顶点A在x轴上，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线交抛物线于C，D两点，若，求的面积； (3)如图2，已知（2）中C点坐标，点P是第二象限抛物线上一点，是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与抛物线y＝ax2+bx交于点A（6，0）和点B（1，﹣5）． （1）求这条抛物线的表达式和直线AB的表达式； （2）如果点C在直线AB上，且∠BOC的正切值是，求点C的坐标． 类型二：已知45度角求点的坐标 3．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为． （1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式； （2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标； （3）若点是轴上的点，且，求点的坐标． 4．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．已知点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，连接． （1）求这个抛物线的表达式． （2）点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值． （3）①点在平面内，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点的坐标； ②在①的条件下，点在抛物线对称轴上，当时，求出满足条件的所有点的坐标． 类型三：已知直角三角形求点的坐标 5．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上一点，当的面积为10时，求出的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标． 6．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和t，k的值； (2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值． 类型四：已知等腰三角形求点的坐标 7．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，有最大值，最大值是多少？ (3)试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在（2）的条件下，直线上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转度，使点的对应点恰好落在该抛物线上，则点的坐标是 　 　．（直接写出结果） 8．如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标； （3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．    类型五：已知平行四边形求点的坐标 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点B在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点，连接． (1)求抛物线的表达式及线段的长； (2)若过点O的直线交线段于点P，将的面积分成两部分，请求出点P的坐标； (3)在坐标平面内是否存在点N，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB； （3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标． 类型六：已知相似三角形求点的坐标 11．如图，直线分别交轴、轴于点A，B，过点A的抛物线与轴的另一交点为C，与轴交于点，抛物线的对称轴交于E，连接交于点F． （1）求抛物线解析式； （2）求证：； （3）P为抛物线上的一动点，直线交于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案： 1．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据△=0即可求出m的值，故可求解； （2）分别过点C、D，作轴，交于点E，直线DC交y轴于F点，得到，根据相似三角形对应线段成比例求出CE，DE的长，设，表示出 ，代入二次函数求出t，得到C，D的坐标，故可求出直线CD的解析式，求出F点坐标，进而求出△COD的面积； （3）过点C作轴于点N，直线PC交y轴于Q点，根据三角函数的特点与平行的性质求出，得到，表示出Q点坐标，故可求出n的值，再求出PC的解析式，联立求出交点即可求出P点坐标． 【详解】（1）由题知， ∴， ∴； （2）分别过点C、D，作轴，交于点E，直线DC交y轴于F点， 则， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， 令， 得， ∴， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 又∵D为抛物线上， 解得， ∴，， 设直线，代入C、D得， ∴， ∴， 令x=0，y=3， 则, ∴； （3）过点C作轴于点N，直线PC交y轴于Q点， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， 设直线为，代入得， ∴， 令得：（舍）， ∴． 【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键熟知二次函数的图象与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的方法． 2．（1）y＝x2﹣6x，y＝x﹣6；（2）C（，﹣）． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式； （2）先说明OA=OH=6，则∠OAH=45°，作辅助线，根据正切值证明∠BOC=∠OBE，作OB的垂直平分线交AB于C，交OB于F，解法一：先根据中点坐标公式可得F（），易得直线OB的解析式为：y=﹣5x，根据两直线垂直的关系可得直线FC的解析式为：y，列方程x﹣6，解出可得C的坐标； 解法二：过C作CD⊥x轴于D，连接OC，设C（m，m﹣6），根据OC=BC，列方程可得结论． 【详解】（1）把点A（6，0）和点B（1，﹣5）代入抛物线y=ax2+bx得： ，解得：，∴这条抛物线的表达式：y=x2﹣6x，设直线AB的解析式为：y=kx+b，把点A（6，0）和点B（1，﹣5）代入得：，解得：，则直线AB的解析式为：y=x﹣6； （2）当x=0时，y=6，当y=0时，x=6，∴OA=OH=6． ∵∠AOH=90°，∴∠OAH=45°，过B作BG⊥x轴于G，则△ABG是等腰直角三角形，∴AB=5，过O作OE⊥AB于E，S△AOHAH•OEOA•OH，6•OE=6×6，OE=3，∴BE=AB﹣AE=5，Rt△BOE中，tan∠OBE． ∵∠BOC的正切值是，∴∠BOC=∠OBE，∴OC=CB．作OB的垂直平分线交AB于C，交OB于F，解法一：∵B（1，﹣5），∴F（），易得直线OB的解析式为：y=﹣5x，设直线FC的解析式为：yx+b，把F（）代入得：b，b，∴直线FC的解析式为：yx﹣6，x，当x时，y，∴C（）； 解法二：过C作CD⊥x轴于D，连接OC，设C（m，m﹣6），则AC（6﹣m）． ∵OC=BC，∴m2+（m﹣6）2=[5（6﹣m）]，m，∴C（）． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，综合考查待定系数法求函数解析式，锐角三角函数的意义，等腰直角三角形的性质，画出图形，利用数形结合的思想解决问题． 3．（1），，直线的函数表达式为：；（2）当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；（3）点的坐标为或． 【分析】（1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式； （2）根据题意画出图形，分别表示三点的坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案； （3）根据题意画出图形，分情况讨论：①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为．再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案，②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）令 ，， 设直线的函数表达式为：， 把代入得： 解得： 直线的函数表达式为：． （2）解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为 ，． ， ， 分两种情况： ①当时，得． 解得：，（舍去） 当时，． 点的坐标为 ②当时，得． 解得：，（舍去） 当时， 点的坐标为． 当点是线段的三等分点时，点的坐标为或    （3）解：直线与轴交于点， 点坐标为． 分两种情况： ①如图，当点在轴正半轴上时，记为点． 过点作直线，垂足为．则， ， ． 即 ． 又，， ． 连接，点的坐标为，点的坐标为， 轴 ． ，． ． ． 点的坐标为． ②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为， 则， ，． ． 即 ． 又，， ．． 由①可知，．． ． ． 点的坐标为 点的坐标为或．    【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中线段的长度的计算，同时考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，特别是分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键． 4．（1）；（2）；（3）①或，②或或 【分析】（1）由交点式可求a的值，即可求解； （2）由S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC，即可求解； （3）①分两种情况讨论，通过证明△MAD≌△DOC，可得AM＝DO，∠MAD＝∠DOC＝90°，可求解； ②可证点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，延长M'C交对称轴与N''，可证∠MM'C＝∠MN''C＝45°，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线交轴于点和点， ∴抛物线的表达式为：， 即，解得：，故抛物线的表达式为：；             （2）连接，设点， 则 ， ．故有最大值，当时，的最大值为；                 （3）①如图2，若点在左侧，连接， ，且， ，且，， ∴点坐标，若点在右侧，同理可求点；       ②如图3， ∵抛物线的表达式为：； ∴对称轴为：直线， ∴点在对称轴上，， ∴点是的中点， ， ∴点，点，点在以为直径的圆上， 当点在以为直径的圆上时，，符合题意， ∵点，点，，且点在抛物线对称轴上， ∴点，点，延长交对称轴与， ∵点，点，∴直线解析式为：， ∴当时，，∴点的坐标， ∵点的坐标，点，点，且， ，， ∴点符合题意， 综上所述：点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 5．(1) (2)点的坐标为或 (3)或或 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的面积为10求出D点的纵坐标，将其代入二次函数求得横坐标即可； （3）分两种情况讨论：当时，，点与点重合； 当时，，根据点在点上方时，点在点下方时，分别求得M点坐标． 【详解】（1）将点，点代入， ∴，解得， ∴； （2）设点的坐标为， ∵的面积为10， ，即，解得， 当时，，解得：， ∴或， 当时，，此方程无实数根， 综上所述，点的坐标为或； （3）当时，， ∴点与点重合， ∴； 当时，， 如图1，当点在点上方时，过点作轴的垂线，过点作交于，过点作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得或， ∴或， ∵点在对称轴的左侧， ∴点坐标为； 如图2，当点在点下方时，同理可得， ∴，解得（舍）或， ∴； 综上所述：M点的坐标为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法求解析式、二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 6．(1)，，t=3， (2)点 (3) 【分析】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解； （2）作轴于点，根据题意可得，从而得到，，再根据，可求出m，即可求解； （3）作轴交于点，过点作轴于点，则，再根据，可得，，然后根据，可得，从而得到，在根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴，（舍）， ∴． ∵在直线上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． （2）解：如图，作轴于点， 对于，令x=0，则y=-6， ∴点C（0，-6），即OC=6， ∵A（3，0）， ∴OA=3， ∵点P的横坐标为m． ∴， ∴，， ∵∠CAP=90°， ∴， ∵， ∴， ∵∠AOC=∠AMP=90°， ∴， ∴， ∴，即， ∴（舍），， ∴， ∴点． （3）解：如图，作轴交于点，过点作轴于点， ∵， ∴点， ∴， ∵PN⊥x轴， ∴PN∥y轴， ∴∠PNQ=∠OCB， ∵∠PQN=∠BOC=90°， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵EN⊥y轴， ∴EN∥x轴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题． 7．(1) (2)，当时，有最大值 (3)存在，点坐标为或 (4)或 【分析】（1）将，代入抛物线，用待定系数法即可求解； （2）由（1）的抛物线解析式可求出点的坐标，直线的解析式，点的坐标为，，可用含的式子表示，，从而表示出的值，求出的值； （3）设，，则可用含的式子表示，，分类讨论：当；当；当，由此即可求解； （4）如图所示（见详解），过点作轴交于点，过点作交于点，可证，设，则，，则，由此即可求解． ∵点在抛物线上， 【详解】（1）解：将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， ∵点的坐标为，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值． （3）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形， 设， ∴，，， 当时，，解得（舍）或； ∴， 当时，，解得或（舍）； ∴， 当时，，解得（舍）； 综上所述：点坐标为或． （4）解：如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴，解得或， ∴或， 故答案为：或． 8．（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD＝AD或AC＝AD两种情况，分别求解即可； （3）根据S1＝AE×yM，2S2＝ON•xM，即可求解． 【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3， 当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）； （2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a）， 由点A、C、D的坐标得，AC＝， 同理可得：AD＝，CD＝， ①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1； ②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）； 故点D的坐标为（1，1）或（1，）； （3）∵E（m，0），可设点M（m，﹣m2＋2m＋3）， 设直线BM的表达式为y＝sx＋t，则， 解得：， 故直线BM的表达式为y＝﹣x＋， 当x＝0时，y＝，故点N（0，），则ON＝； S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3）， 2S2＝ON•xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3）， 解得m＝﹣2±（舍去负值）， 经检验m＝﹣2是方程的根， 故m＝﹣2． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 9．(1)抛物线的表达式为，， (2)点坐标为或 (3)或或 【分析】（1）用待定系数法抛物线的表达式，过点作轴于点D，根据勾股定理可得线段的长； （2）先用待定系数法求出直线的函数解析式，过作轴于，过作轴于，分两种情况：①当时，，可求，从而求得坐标，②当时，，同理可求坐标； （3）设，利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得： ，解得， 抛物线的解析式为， 过点作轴于点D，    ， ∴，，． ， ，． 在中，． 在中，． ∴． （2）解：， ， ， ，， 设直线的函数解析式解析式为，将、代入得： ，解得， 直线的函数解析式解析式为， 过点的直线交线段于点，将三角形的面积分成的两部分， 过作轴于，过作轴于，分两种情况： ①当时，如图：    ， ， 而，即， ，即， 在中，令得， ， ； ②当时，如图：    ， ， ， ，即， 在中，令得， ， ； 综上所述，点坐标为或； （3）解：点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，设，分三种情况： ①以、为对角线，此时中点与中点重合， 、，， 的中点为，，中点为，， ，解得， ， ②以、为对角线，此时中点与中点重合， 同理可得：， 解得， ， ③以、为对角线，此时中点与中点重合， 同理可得：， 解得， ， 综上所述，的坐标为：或或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合知识，涉及解析式、与坐标轴交点、三角形面积、平行四边形等，解题的关键是根据已知列方程组求解． 10．（1）y＝x2；（2）见解析；（3）P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． （3）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题． 【详解】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2， 得到＝9a， ∴a＝， ∴抛物线的解析式为y＝x2． （2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有， 解得， ∴直线l的解析式为y＝﹣x+， 令x＝0，得到y＝， ∴C（0，）， 由，解得或， ∴B（1，）， 如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1， ∴＝＝＝，＝＝＝， ∴＝， 即MC2＝MA•MB． （3）如图2中，设P（t，t2） ∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形， ∴PD∥OC，PD＝OC， ∴D（t，﹣t+）， ∴|t2﹣（﹣t+）|＝， 整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0， 解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃）， ∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例的性质． 11．（1）；（2）证明见解析；（3）存在，点P 的横坐标为或±． 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后再利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线AD的解析式为y=-x+3，进而得到点E的坐标为（1，2），运用三角函数定义可得即∠OAB=∠OEG=90°即可证得结论； （3）先求出直线CD解析式为y=3x+3，再根据以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似，分两种情况：①当△AOM ∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，从而得出OM//CD，进而得出直线OM的解析式为y=3x，再结合抛物线的解析式即可确定点P的横坐标；②当△AMO∽△ACD时，利用，求出AM，进而求得点M的坐标，求得直线AM的解析式，进而完成解答． 【详解】解：（1）∵直线分别交轴、轴于点A，B ∴A（3,0），B（0，）， ∵抛物线经过A（3，0），D（0，3）， ∴，解得 ∴该抛物线的解析式为； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， 设直线AD的解析式为y=kx+a， 将A（3，0），D（0，3）代入得： ，解得 ∴直线AD的解析式为y=-x+3， ∴E（1，2），G（1，0）， ∵∠EGO=90°， ∴ ∵OA=3，OB=，∠A0B=90°， ∴ ∴ ∴∠OAB=∠OEG， ∵∠OEG+∠EOG=90°， ∴∠OAB+∠EOG=90°， ∴∠AFO=90°， ∴OE⊥AB； （3）存在. ∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1， ∴C（-1，0）， ∴AC=3-（-1）=4， ∵OA=OD=3，∠AOD=90°， ∴， 设直线CD解析式为y=mx+n，则： ，解得 ∴直线CD解析式为y=3x+3， ①当△AOM∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，如图2所示， ∴OM//CD， ∴直线OM的解析式为y=3x， ∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3， ∴3x=-x2+2x+3，解得：； ②当△AMO∽△ACD时，如图3所示， ∴ ∴， 过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM=90°， ∵∠OAD=45°， ∴ ∴OG=OA-AG=3-2=1， ∴M（1，2）， 设直线OM解析式为y=m1x，将M（1，2）代入，得：m1=2， ∴直线OM解析式为y=2x， ∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3 ∴2x=-x2+2x+3，解得：x=±． 综上，点P的横坐标为或±． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象和性质、待定系数法求函数解析式、三角函数定义、相似三角形的判定和性质等知识点，考查知识点较多、综合性较强、难度较大，灵活运用待定系数法、相似三角形的判定和性质以及数形结合思想成为解答本题的关键． 12．（1）；（2）；（3）在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或． 【分析】（1）直接将和点代入，解出a，b的值即可得出答案； （2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标； （3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案． 【详解】（1）抛物线过点和点 抛物线解析式为： （2）当时， 直线BC解析式为： 过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F 设 即 （3） 为等腰直角三角形 抛物线的对称轴为 点E的横坐标为3 又点E在直线BC上 点E的纵坐标为5 设 ①当MN=EM，,时 解得或（舍去） 此时点M的坐标为 ②当ME=EN，时 解得：或（舍去） 此时点M的坐标为 ③当MN=EN，时 连接CM，易知当N为C关于对称轴l的对称点时，， 此时四边形CMNE为正方形 解得：（舍去） 此时点M的坐标为 在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或． 【点睛】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线 ( 1 )教师寄语：当一个小小的心念变成行为时，便能成了习惯，从而形成性格，而性格就决定你一生的成败！ 学科网（北京）股份有限公司 $$