精品解析：安徽省合肥市部分学校2024—2025学年高一上学期第二次教学质量检测数学试题

2024—2025学年高一（上）第二次教学质量检测 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：集合、逻辑用语、不等式、函数、导数、概率统计、三角函数、平面向量. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用并集概念计算即可. 【详解】，，则. 故选：A. 2. 下列函数与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】定义域和对应关系均相同才是同一函数，从而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，，对应关系不同，与函数不是同一函数； 对于B，，与函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数； 对于C，，对应关系不同，与函数不是同一函数； 对于D，，与函数的定义域不同，所以与函数不是同一函数. 故选：B 3. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题，再将结论变为否定即可. 【详解】，的否定是：，， 故选：C. 5. 已知，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】因，则， 则. 当且仅当，结合，， 即，时取等号. 故选：A 6. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由为奇函数得对称中心为，结合为偶函数，求周期为，从而求出，即可得到的值. 【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即， 因为为偶函数，所以，则， 所以，，所以，故的周期为， 因为， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛： 由为奇函数，为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期. 7. 已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（ ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合之间的关系作出图，逐项判断即可. 【详解】， 由，，，，， 作出图，如图所示， 由图可知，，，故A，正确； 集合的子集个数为个，故B正确； 因为，所以，错误. 故选：D 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“函数”的定义可得值域为，再求分段函数的值域，由集合的包含关系列出不等式组，求解即可. 【详解】由题意可知的定义域为，值域为， 而，，所以的值域为. 当时，单调递增，此时值域为； 当时，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 故此时单调递增，值域为. 因此，解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次函数和一元二次不等式的关系，可以确定，且，1是方程的两个根，再利用根与系数的关系可得，，再分析选项，即可判断出它们的真假. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，且，1是方程的两个根， 由根与系数的关系可得：，解得，， 所以，，故A错误； 对于B，由，即，而，则，即， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由，则， 而，则，解得， 即不等式的解集是，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知全集，是的非空子集，当时，且，则称为的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（ ） A. 若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素 B. 若中不含孤立元素，则中最少有个元素 C. 若中元素均为孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个 D. 若中不含孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合新定义说明中元素个数不可能大于，再说明可能有个元素； 对于B，结合定义举例说明， 对于C，列出符合条件的集合，即可判断； 对于D，列出符合条件的集合，再判断结论. 【详解】对于A，因为集合，，的并集为， 且集合，，中任意两个集合的交集都为空集， 若中的元素个数大于，则必有两个元素来自集合，，中的一个， 此时，集合中存在不是孤立元素的元素， 故若中元素均为孤立元素，则中的元素个数小于等于， 又时，中元素均为孤立元素， 所以若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素， 对于B，若中只有1个元素，则必为孤立元素， 又集合时，中不含孤立元素，故B正确； 对于C，易知这样的集合有，，，；， ，；，；共个，故C错误； 对于D，，其中不含“孤立元素”且包含有四个元素的集合有 ，，，，，共6个，故D正确. 故选：ABD. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最大值为1，没有最小值 C. D. 在上是增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的定义，结合的解析式，作出函数图象，即可结合选项逐一进行判断即可． 【详解】因为， 画出的图象如下： A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于轴对称，A错误； B选项，无最大值，有最小值0，B错误； C选项，因为， 故， ， 因为， 所以，故，C正确； D选项，由图象可知在上不是增函数，D错误. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得到，由题设有，再分和两种情况，求出的最小值，即可求解. 【详解】因为，，所以， 又对于任意的，存在，使得，则， 又，， 当时，，所以，解得， 当时，，所以，解得， 综上，的取值范围是， 故答案为：. 13. 已知集合，若，且，则实数m所取到的值为______或______． 【答案】 ①. 2 ②. 1 【解析】 【分析】由，确定集合或，代入，即可求解. 【详解】， 因为，且， 所以或， 当时，可得：，得：， 当时，可得：，得：， 所以实数m所取到的值为2或1. 故答案为：2或1 14. 已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用换元法和基本不等式，求得的最小值为，再利用一元二次方程的根与系数的关系，转化为不等式成立，即可求解. 【详解】设，则，且， 则， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 又由方程的两根分别为且， 可得，所以，且， 因为对于，都有成立，即不等式成立， 解得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，全集，试求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解不等式，得到对应集合；由集合的并集得到全集，再求出集合B的补集，然后用交集即可得到结果； （2）由（1）可知两个集合，集合交集为空集说明两个集合之间没有共同的元素，得出对应不等式便可求出取值范围； （3）由（1）可知两个集合，集合交集为集合说明两个集合之间存在，得出对应不等式便可求出取值范围； 【小问1详解】 解不等式得，∴， 解得，∴， 当时，， ∴，∴， ∴. 【小问2详解】 由（1）可知，， ∵，∴， ∴实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）可知，， ∵，∴，∴， ∴实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）若，，函数的最小值为0，求a的值； （2）若，不等式有且仅有四个整数解，求实数的取值范围； （3）当时，对，，若存在实数m使得成立，求m的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入已知条件，分类讨论的取值情况，利用判别式法即可得解； （2）先分析得的两个实根满足，进而得到，从而利用二次函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解； （3）根据题意分析得，，进而得到，再多次利用换元法，结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 当，时，， 由题意得，函数的值域， （i）时，不符合题意； （ii）时，，即；此时满足题意， 综上，. 【小问2详解】 因为，不等式转化为， 因为有四个整数解， 则必有两个不相等实数根，记为，且， 又因为当时，， 当时，， 的图象开口向上，对称轴为，所以， 故不等式的解集中的四个整数解为，所以， 所以，故. 【小问3详解】 因为当时，对，， 由题设，有，则， 又，， 故存在使成立，则， 所以， 令，则，， 令，则，且， 故， 当且仅当，即，，时，等号成立， 所以，即的最小值为. 17. 已知，且 （1）求最大值 （2）求最小值 （3）若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可求解. （2），再结合基本不等式“1”的应用，即可求解. （3）先利用基本不等式求出不等式，从而可得，即可求解. 【小问1详解】 已知，且， ，， 当且仅当即，，取“=”. 所以最大值为. 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时取“=”， 所以最小值为. 【小问3详解】 ， 当且仅当，即，时取“=”， ，解得， 所以实数m的取值范围为. 18. 已知方程 （1）若，，求方程的解； （2）若对任意实数，方程恒有两个不相等的实数解，求实数的取值范围； （3）若方程有两个不相等的实数解，且，求的最小值． 【答案】（1）或； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，求出方程的根； （2）由根的判别式大于0得到，求出，从而得到； （3）由韦达定理得到，代入中得到，结合立方和公式化简得到，令，由单调性得到，结合基本不等式求出，得到答案. 【小问1详解】 ，时，，解得或； 【小问2详解】 ， 故，所以， 其中，当且仅当时，等号成立， 故； 【小问3详解】 有两个不相等的实数解， ， 由韦达定理得， 故，所以，此时， 所以 ， 因为， 所以， 令，其在上单调递增，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：变形得到，换元后，由函数单调性和基本不等式求最值. 19. 若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由： （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1）是，不是， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据增长函数的定义进行验证即可； （2）将增长函数问题转换为不等式在区间恒成立问题进行解决即可； （3）作出的图象，然后利用函数平移求解． 【小问1详解】 是：因为，，； 不是，反例：当时，． 【小问2详解】 由题意得，对于恒成立， 等价于，即对恒成立， 令，因为，所以是区间上单调递增的一次函数， 要保证对恒成立，则， 即， 解得， 所以满足题意的最小正整数为9． 【小问3详解】 根据题意， 当时，，当时，， 因为的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示： 所以， 若是R上的增长函数，则对任意的，都有， 因为是将向左平移四个单位得到，如下图所示， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】思路点睛：在解决对恒成立的问题时，利用了主参换位法，可以将看成关于单调递增的一次函数，即转化为对恒成立，这样求解方便快捷. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高一（上）第二次教学质量检测 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：集合、逻辑用语、不等式、函数、导数、概率统计、三角函数、平面向量. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数与函数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（ ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集是 10. 已知全集，是的非空子集，当时，且，则称为的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（ ） A. 若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素 B. 若中不含孤立元素，则中最少有个元素 C. 若中元素均为孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个 D. 若中不含孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最大值为1，没有最小值 C. D. 在上是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是______． 13. 已知集合，若，且，则实数m所取到的值为______或______． 14. 已知方程的两根分别为，若对于，都有成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，全集，试求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围； 16. 已知函数. （1）若，，函数的最小值为0，求a的值； （2）若，不等式有且仅有四个整数解，求实数的取值范围； （3）当时，对，，若存在实数m使得成立，求m的最小值. 17. 已知，且 （1）求最大值 （2）求最小值 （3）若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 18. 已知方程 （1）若，，求方程的解； （2）若对任意实数，方程恒有两个不相等的实数解，求实数的取值范围； （3）若方程有两个不相等的实数解，且，求的最小值． 19. 若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，判断和是否为区间上的增长函数，并说明理由： （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $