重难点02《 有理数的运算》十五大重难点题型（知识梳理+题型解读+典例精练+限时测评）-2024-2025学年七年级数学上册期中复习【重点·难点】专练（人教版2024）

重难点02 《有理数的运算》十四大重难点题型 ▲知识点1. 有理数的加法 1、有理数的加法法则： （1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和． （2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． （3）互为相反数的两个数相加得0． （4）一个数与0相加，仍得这个数. 2、有理数的加法运算律: 加法交换律：a+b=b+a. 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c). ▲知识点2. 有理数的减法 1、有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数． 2、数轴上表示两点间的距离 数轴上两点A，B的距离| AB | 与这两点所对应的数a，b的关系为：| AB | ＝ | a－b |. ▲知识点3. 有理数的乘法 1、有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. （2）任何数与0相乘，都得0. 2、有理数的乘法运算律: 乘法交换律：ab=b a; 乘法结合律：(ab)c=a(b c); 分配律：a(b+c)=ab+ac. 3、多个有理数相乘的积的符号法则： 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0. ▲知识点4. 有理数的除法 有理数除法法则： （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商. （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. ▲知识点5. 有理数加减乘除混合运算 有理数加减乘除混合运算顺序： 1.先算乘除，再算加减； 2.同级运算从左往右依次计算； 3.如有括号，先算括号内的； 4.能用运算律的，应利用运算律. ▲知识点6. 乘方 1、乘方：一般地，n个相同的乘数a相乘，记作 an，读作“a的n次方”，求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 2、根据有理数的乘法法则可以得出： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何次幂都是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0. ▲知识点7. 有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. ▲知识点8. 科学记数法 1、科学记数法：把一个大于10的数表示成 a×10n 的形式(其中a 大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记法是科学记数法. 2、用科学记数法表示一个n位整数(n≥2)，其中10的指数是n－1. ▲知识点9. 近似数 1、近似数：是指与准确数相近的一个数. 2、精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示. 【题型1 有理数的加减法】 1．（2024秋•原阳县月考）下列式子可读作“负1，负3，正6，负8的和”的是（　　） A．﹣1﹣3+6﹣8 B．﹣1+（﹣3）+（﹣6）﹣（﹣8） C．﹣1﹣（﹣3）﹣（+6）﹣（﹣8） D．﹣1+（﹣3）+（﹣6）+（﹣8） 2．（2024秋•霍邱县月考）下列运算正确的是（　　） A．﹣（﹣4）+（﹣5）＝﹣1 B．（﹣7）﹣（+4）＝﹣3 C． D．（+3）+（﹣5）＝2 3．（2024秋•顺德区校级月考）已知|x|＝2，|y|＝3，且x﹣y＞0，则x+y的值为（　　） A．﹣5 B．﹣5或﹣1 C．﹣1 D．以上都不对 4．（2024秋•深圳月考）已知|a|＝1，|b|＝6，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为 　 　． 5．（2024秋•青羊区校级月考）计算： （1）12﹣（﹣18）+（﹣7）； （2）； （3）； （4）． 6．（2024秋•白城月考）若，照此规律． （1） 　 　． （2）计算 （3）的值为 　 　． 【题型2 有理数的乘除法】 1．（2024秋•凉州区校级月考）下列各组中两数互为倒数的是（　　） A．0和0 B．4和﹣4 C．﹣3和 D．﹣2和 2．（2024秋•长垣市校级月考）下列各式中积为正数的是（　　） A．2×3×5×（﹣4） B．2×（﹣3）×（﹣4）×（﹣3） C．（﹣2）×0×（﹣4）×（﹣5） D．（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）×（﹣5） 3．下列各式中计算正确的有（　　） ①（﹣24）÷（﹣8）＝﹣3； ②（﹣8）×（﹣2.5）＝﹣20； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024秋•南关区校级期中）计算： （1） （2） 5．（2024秋•鼓楼区校级月考）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，乘积的最大值为 　 　． （2）从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，乘积的最小值为 　 ． （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，商的最小值为 　 　． 【题型3 有理数的简便计算】 1．（2023•邯郸二模）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　） A．24×（﹣100） B．24×（﹣100） C．24×（﹣99） D．24×（﹣99） 2．若（﹣2022）×63＝p，则（﹣2022）×62的值可表示为（　　） A．p﹣1 B．p+2022 C．p﹣2022 D．p+1 3．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． （1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）； （2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5． 4．（2024秋•泰兴市月考）计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） ＝﹣5+6（第三步） ＝1（第四步） 根据小敏的计算过程，回答下列问题： （1）小敏在进行第二步计算时，运用了加法的 　 律、　 　律； （2）请指出她从第 　 　步开始出现错误； （3）请你写出正确的解题过程． 5．简便计算： （1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）； （2）（）×（﹣12）； （3）（﹣19）． （4）（﹣48）×0.125+48 【题型4 有理数的乘方】 1．（2024秋•霍山县月考）下列说法正确的是（　　） A．﹣28表示8个2相乘 B．25表示5个2相加 C．（﹣3）3与﹣33意义相同 D．的底数是2 2．（2024秋•市北区校级月考）下列各数（﹣3）2，0，，，（﹣1）2020，﹣22，﹣（﹣8），中，负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2023春•香坊区校级期中）下列各对数中，不相等的一对数是（　　） A．（﹣3）3与﹣33 B．|﹣33|与|33| C．（﹣3）4与﹣34 D．（﹣3）2与32 4．（2024秋•吴中区校级月考）下列各数中，数值相等的有（　　） ①23与（﹣2）3；②﹣（﹣3）与﹣|﹣3|；③﹣1365与（﹣1）365；④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 5．（2023秋•怀仁市校级期末）设a是任意有理数，下列说法正确的是（　　） A．（a+1）2的值总是正的 B．a2+1的值总是正的 C．﹣（a+1）2的值总是负的 D．a2+1的值中，最大值是1 【题型5 利用有理数的乘方解决实际实际问题】 1．（2023秋•福田区校级期末）面食不仅是中华民族饮食文化的重要组成部分，也是世界的面食之根其中，“拉面”远播世界各地，制作方法是：用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次，这根很粗的面条就被拉成许多细的面条，第一次捏合变2根细面条，第二次捏合变4根细面条，第三次捏合变8根细面条，这样捏合到第n次后可拉出细面条（　　） A．2n﹣1根 B．2n根 C．2n+1根 D．（）n+1根 2．（2023•馆陶县校级模拟）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则十合等于（　　） A．102圭 B．103圭 C．104圭 D．105圭 3．（2023春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　） A．253 B．255 C．257 D．259 4．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍， 每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度 是（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•二七区校级月考）如图是一张长20cm、宽10cm的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（　　） A．200cm2 B．200×（1）cm2 C．200cm2 D．200×（1）3cm2 【题型6 有理数的混合运算】 1．（2023秋•万州区期末）计算：﹣22+（﹣2）3﹣（﹣2）4的值为（　　） A．4 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣28 2．下列各式中．计算结果得0的是（　　） A．﹣22+（﹣2）2 B．﹣22﹣22 C．﹣22﹣（﹣2）2 D．（﹣2）2+22 3．（2023•馆陶县二模）淇淇在计算：时，步骤如下： 解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+66① ＝﹣2022+6+12﹣18………………………② ＝﹣2048…………………………………③ （1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 　 　；（填序号） （2）请给出正确的解题过程． 4．（2023秋•召陵区期末）计算： （1）； （2）． 5．（2023秋•浚县期末）计算： （1）； （2）． 【题型7 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合】 1．（2024秋•南关区校级期中）已知对|x|＝5，|y|＝3，且xy＞0，则x﹣y的值等于（　　） A．2或﹣2 B．8或﹣8 C．2或8 D．﹣2或﹣8 2．（2023秋•陈仓区期末）已知|3a+1|+（b﹣3）2＝0，则（ab）2022的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．3 3．已知a是绝对值最小的有理数，b是倒数等于本身的数，c的平方等于4，求a+b+c的值． 4．（2024秋•江阴市校级月考）若|﹣a|＝|﹣3|，b2＝16，且ab＞0，求a+b的值． 5．已知（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，z是绝对值最小的有理数，求（x+y）y+xyz的值． 【题型8 科学记数法】 1．（2024秋•砚山县校级月考）国庆佳节将至，贵州省为了展现贵州人民热情，让全国各省游客得到更好的体验，相关部门本次预估到访游客500000人．500000人用科学记数法可表示为（　　） A．5×105 B．50×104 C．500×103 D．0.5×106 2．（2024秋•霍山县月考）6月25日14时7分，“嫦娥六号”返回器携带来自月背的月球样品安全着陆，历时53天、38万公里的太空往返之旅，创造了中国航天新的世界纪录．数据38万用科学记数法表示为（　　） A．38×104 B．0.38×105 C．3.8×104 D．3.8×105 3．（2024秋•江阴市校级月考）国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录，观影人次为1.63亿．将数据80.16亿用科学记数法表示为（　　） A．80.16×108 B．8.016×108 C．8.016×109 D．8016×106 4．（2024秋•南岗区校级月考）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为 　 ． 5．（2024秋•姜堰区月考）ChatGPT是一种基于深度学习的自然语言处理模型，它的参数量巨大．截止2024年1月ChatGPT的参数量已经超过200亿．将200亿用科学记数法表示为 　 　． 【题型9 近似数】 1．（2024秋•凉州区校级月考）将8.3954精确到百分位约是（　　） A．8.4 B．8.39 C．8.395 D．8.40 2．（2023秋•舒城县期末）由四舍五入得到的近似数20.23万，是精确到（　　） A．十分位 B．百位 C．百分位 D．十位 3．（2024秋•内乡县校级月考）用四舍五入法对3.14159分别取近似值，其中错误的是（　　） A．3.14（精确到0.01） B．3.141（精确到千分位） C．3.1（精确到十分位） D．3.1416（精确到0.0001） 4．（2024秋•宽城区校级月考）78.9823亿，保留整数是 　 　亿． 5．（2024秋•高新区校级月考）数495640精确到万位是 　 　． 【题型10 有理数的实际应用】 1．（2024秋•谯城区月考）某一天凌晨的温度是﹣6℃，中午的气温是4℃，从凌晨到中午气温上升了（　　） A．4℃ B．8℃ C．10℃ D．2℃ 2．（2024秋•定州市月考）当距离地面高度每上升1km时，温度将降低6℃．某飞机在执行飞行任务时，驾驶舱突现险情，此时舱外气温为﹣40.8℃，则该飞机发生险情时距离地面的高度（假设当时所在位置的地面温度为18℃）为（　　） A．10.8km B．9.8km C．8.8km D．3.8km 3．（2023秋•长春期末）2021年9月28日，第十三届中国航展在广东珠海举行，中国空军航空大学“红鹰”飞行表演队在航展上表演特技飞行，如图所示，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，五次特技飞行高度记录如下：+2.5，﹣1.2，+1.1，﹣1.5，+0.8．（单位：千米） （1）求飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？高了或低了多少千米？ （2）若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，则飞机在这5次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？ 4．（2023秋•商南县校级期末）小虫从某点O出发在一条直线上来回爬行，假设向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：cm）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10． （1）小虫离开出发点O最远是 　 厘米． （2）小虫是否回到了原点O？ （3）在爬行过程中，如果每爬行1cm奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 5．（2024秋•邳州市校级月考）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 +21 +22 +30 +33 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　 　km； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油6升，汽油价9元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.6元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月（按30天计算）的行驶费用比原来节省多少钱？ 【题型11 有理数乘除法规律探究题】 1．观察下列各式： ，； ，； ，； 解答下列各题： （1）尝试并计算：； （2）尝试并计算：； （3）； （4）尝试并计算：． 2．观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 3．（2023秋•成县期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为1，，，，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： （1）+（）+（）+（）＝11． 任务： （1）猜想并写出：　　 ；（n为正整数） （2）①应用上面的方法计算：⋯． ②直接写出下列式子的计算结果：⋯　 　． （3）类比应用上面的方法探究并计算：⋯． 【题型12 含乘方的探究规律题】 1．（2022秋•东西湖区期中）观察下面三行数 ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64… 0，6，﹣6，18，﹣30，66… 1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32… （1）第一行第7个数是 　 　 ，第二行第7个数是 　 ； （2）第3行的第n（n≥1，n是正整数）个数是 　 　； （3）取每行的第8个数求和，计算这三个数的和． 2．观察下列运算过程： S＝1+3+32+33+…+32016+32017，① ①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，② ②﹣①，得2S＝32018﹣1，S． 用上面的方法计算：1+5+52+53+…+52017． 3．已知13＝112×22，13+23＝922×32，13+23+33＝3632×42，…，按照这个规律完成下列问题： （1）13+23+33+43+53＝　 　　 2×　 　2． （2）猜想：13+23+33+…+n3＝　 　． （3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403． 【题型13 有理数的材料阅读问题】 1．阅读下面解题过程： 计算：5÷（22）÷6 解：5÷（22）×6 ＝5÷（）×6…① ＝5÷（﹣25）…② ③ 回答： （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第　 步，错因是　 　，第二处是　 　，错因是　 　． （2）正确结果应是　 　． 2．（2024秋•崇川区校级月考）数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： （1）； （2）． 3．阅读下列材料： 计算：50÷（）． 解法一：原式＝50505050×3﹣50×4+50×12＝550． 解法二：原式＝50÷（）＝5050×6＝300． 解法三：原式的倒数为（）÷50＝（） 故原式＝300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　 　是错误的．在正确的解法中，你认为解法　 　最简捷．然后，请你解答下列问题： 计算：（）÷（）． 【题型14 有理数的程序图运算题】 1．按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2 2．（2024秋•兰山区校级月考）按如图程序计算，如果输入的数是﹣3，那么输出的数是 　 　． 3．如图，按照图中的程序进行计算，如果输入的数字是3，那么输出的结果是 　 　． 4．（2023•襄阳模拟）按照如图所示的计算程序，若输入结果是﹣3，则输出的结果是 　 　． 5．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是　 　． 【题型15 有理数的新定义运算问题】 1．（2023秋•山亭区期末）用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（　　） A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8 2．（2024秋•洪山区校级月考）形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式表示为，依此法则计算的结果为（　　） A．17 B．﹣17 C．1 D．﹣1 3．对于有理数a、b定义运算如下：a*b＝（a+b）2（b﹣a），则﹣10*（﹣4*5）＝　 　． 4．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a，如1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16．则（﹣2）☆3的值为　 　． 5．（2023秋•官渡区期中）【概念学习】 规定：若求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 22，读作“2的圈3次方”，（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）记作 （4）④，读作“﹣4的圈4次方”．一般的，我们把记作a①，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果2③＝　 　，（﹣4）④＝　 　，　 ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： 3⑤＝　 　，（﹣5）⑧＝　 ，⑩＝　 ． （3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是 　 ． 1．（2023•莱阳市二模）下列说法正确的是（　　） A．2的倒数是﹣2 B．3的相反数是 C．绝对值最小的数是1 D．0的相反数是0 2．下列计算结果正确的是（　　） A．﹣3﹣7＝﹣3+7＝4 B．4.5﹣6.8＝6.8﹣4.5＝2.3 C．﹣2﹣（）＝﹣22 D．﹣3﹣（）＝﹣32 3．（2023•南关区一模）北京某天早晨的气温是﹣5℃，中午上升了10℃，半夜又下降了8℃，则半夜的气温为（　　） A．3℃ B．0℃ C．﹣1℃ D．﹣3℃ 4．（2024秋•平山县月考）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，且a+b＜0，，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A，B两点之间，且靠近点A D．A，B两点之间，且靠近点B 5．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个数中负数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024秋•江阴市校级月考）对于有理数x，y，若xy＜0，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 7．（2024秋•皇姑区校级月考）的倒数是 　 ，的绝对值是 　 　，相反数是本身的数是 　 ． 8．（2024秋•南岗区校级月考）2023～2024冰雪季，第二十五届哈尔滨冰雪大世界成功地吸引了大量游客．整个冰雪季共计61天，期间累计接待游客达到了2710000人次．这一成绩展示了哈尔滨冰雪大世界的魅力和影响力．2710000用科学记数法表示为 　 ． 9．（2024秋•安溪县校级月考）在﹣6，2，﹣3，5四个数中，任意两个数之积的最小值为　 　． 10．（2024秋•玄武区校级月考）下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a、b互为倒数，则；③若|a|＝a，则a＞0；④若a+b＝0，则a、b互为相反数，其中错误的有 　　（请填序号）． 11．计算下列各题： （1）（﹣1）2021﹣|﹣6|×（）+（﹣2）2； （2）﹣7（﹣8）﹣（﹣7.8）×（﹣4）； （3）（﹣2）3×（﹣1）4﹣|﹣12|÷[﹣（）2]； （4）﹣22﹣（﹣2）2﹣（﹣3）2×（）﹣42÷|﹣4|． 12．（2024秋•甘州区月考）已知|a|＝5，|b|＝3． （1）若a﹣b＞0，求a﹣b的值． （2）若ab＜0，求a+b的值； 13．（2024秋•丰满区校级月考）已知|x|＝6，，且xy＞0，x+y＜0． （1）求x、y的值； （2）求x2﹣4y的值． 14．（2024春•东明县校级月考）阅读下列各式：（a•b）2＝a2b2，（a•b）3＝a3b3，（a•b）4＝a4b4… 回答下列三个问题： （1）验证：　 ，　 　； （2）通过上述验证，归纳得出：（a•b）n＝　 ；（abc）n＝　 　． （3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2024×22023×42022． 15．（2023秋•重庆期末）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02 《有理数的运算》十四大重难点题型 ▲知识点1. 有理数的加法 1、有理数的加法法则： （1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和． （2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． （3）互为相反数的两个数相加得0． （4）一个数与0相加，仍得这个数. 2、有理数的加法运算律: 加法交换律：a+b=b+a. 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c). ▲知识点2. 有理数的减法 1、有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数． 2、数轴上表示两点间的距离 数轴上两点A，B的距离| AB | 与这两点所对应的数a，b的关系为：| AB | ＝ | a－b |. ▲知识点3. 有理数的乘法 1、有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. （2）任何数与0相乘，都得0. 2、有理数的乘法运算律: 乘法交换律：ab=b a; 乘法结合律：(ab)c=a(b c); 分配律：a(b+c)=ab+ac. 3、多个有理数相乘的积的符号法则： 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0. ▲知识点4. 有理数的除法 有理数除法法则： （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商. （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. ▲知识点5. 有理数加减乘除混合运算 有理数加减乘除混合运算顺序： 1.先算乘除，再算加减； 2.同级运算从左往右依次计算； 3.如有括号，先算括号内的； 4.能用运算律的，应利用运算律. ▲知识点6. 乘方 1、乘方：一般地，n个相同的乘数a相乘，记作 an，读作“a的n次方”，求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 2、根据有理数的乘法法则可以得出： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何次幂都是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0. ▲知识点7. 有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. ▲知识点8. 科学记数法 1、科学记数法：把一个大于10的数表示成 a×10n 的形式(其中a 大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记法是科学记数法. 2、用科学记数法表示一个n位整数(n≥2)，其中10的指数是n－1. ▲知识点9. 近似数 1、近似数：是指与准确数相近的一个数. 2、精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示. 【题型1 有理数的加减法】 1．（2024秋•原阳县月考）下列式子可读作“负1，负3，正6，负8的和”的是（　　） A．﹣1﹣3+6﹣8 B．﹣1+（﹣3）+（﹣6）﹣（﹣8） C．﹣1﹣（﹣3）﹣（+6）﹣（﹣8） D．﹣1+（﹣3）+（﹣6）+（﹣8） 【分析】根据题意判断各式是否正确即可． 【解答】解：﹣1﹣3+6﹣8，可以读作“负1，负3，正6，负8的和”，则A符合题意； ﹣1+（﹣3）+（﹣6）﹣（﹣8）＝﹣1+（﹣3）+（﹣6）+8，可以读作“负1，负3，负6，正8的和”，则B不符合题意； ﹣1﹣（﹣3）+（﹣6）﹣（﹣8）＝﹣1+3+（﹣6）+8，可以读作“负1，正3，负6，正8的和”，则C不符合题意； ﹣1+（﹣3）+（﹣6）+（﹣8），可以读作“负1，负3，负6，负8的和”，则D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查有理数的加法和减法计算，理解有理数加减法的定义和法则是解题的关键． 2．（2024秋•霍邱县月考）下列运算正确的是（　　） A．﹣（﹣4）+（﹣5）＝﹣1 B．（﹣7）﹣（+4）＝﹣3 C． D．（+3）+（﹣5）＝2 【分析】根据有理数的加减运算法则计算即可求解． 【解答】解：﹣（﹣4）+（﹣5）＝4+（﹣5）＝﹣1，则A符合题意； （﹣7）﹣（+4）＝（﹣7）+（﹣4）＝﹣11，则B不合题意； ，则C不合题意； （+3）+（﹣5）＝﹣2，则D不合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 3．（2024秋•顺德区校级月考）已知|x|＝2，|y|＝3，且x﹣y＞0，则x+y的值为（　　） A．﹣5 B．﹣5或﹣1 C．﹣1 D．以上都不对 【分析】根据绝对值的性质得到x＝±2，y＝±3，然后结合x﹣y＞0得到x＝2，y＝﹣3或x＝﹣2，y＝﹣3，然后分情况代入x+y求解即可． 【解答】解：根据题意可知，|x|＝2，|y|＝3， ∴x＝±2，y＝±3， ∵x﹣y＞0， 故x＞y， ∴x＝2，y＝﹣3或x＝﹣2，y＝﹣3， 当x＝2，y＝﹣3时， x+y＝2+（﹣3）＝2﹣3＝﹣1； x＝﹣2，y＝﹣3时， x+y＝﹣2+（﹣3）＝﹣2﹣3＝﹣5． 综上可得x+y的值为﹣1或﹣5． 故选：B． 【点评】此题考查了有理数的加法和减法、绝对值，掌握有理数的加减法运算法则是关键． 4．（2024秋•深圳月考）已知|a|＝1，|b|＝6，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为 　 　． 【分析】根据绝对值的意义求出a，b的值，再根据|a+b|＝a+b进一步确定a、b的值，然后代入a﹣b计算即可． 【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝6， ∴a＝±1，b＝±6， ∵|a+b|＝a+b， ∴a+b≥0， ∴a＝1，b＝6或a＝﹣1，b＝6， 当a＝1，b＝6时，a﹣b＝1﹣6＝﹣5； 当a＝﹣1，b＝6时，a﹣b＝﹣1﹣6＝﹣7； 综上，a﹣b的值为﹣5或﹣7， 故答案为：﹣5或﹣7． 【点评】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减法，熟知：一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． 5．（2024秋•青羊区校级月考）计算： （1）12﹣（﹣18）+（﹣7）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）（2）（3）小题均利用有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，再进行简便计算即可； （4）先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后进行简便计算即可． 【解答】解：（1）原式＝12+18﹣7 ＝30﹣7 ＝23； （2）原式 ＝0﹣1 ＝﹣1； （3）原式 ＝10﹣10 ＝0； （4）原式 ． 【点评】本题主要考查了实数的加减混合运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减法则和绝对值的性质． 6．（2024秋•白城月考）若，照此规律． （1） 　 　． （2）计算 （3）的值为 　 　． 【分析】（1）根据已知条件，去绝对值即可； （2）先去绝对值，再进行计算即可； （3）先去绝对值，再进行计算即可． 【解答】（1）解：； 故答案为：； （2） ＝1+（）+（）+（） ； （3） ． 【点评】本题考查去绝对值，有理数的加减运算，正确利用运算律解答是解题的关键． 【题型2 有理数的乘除法】 1．（2024秋•凉州区校级月考）下列各组中两数互为倒数的是（　　） A．0和0 B．4和﹣4 C．﹣3和 D．﹣2和 【分析】根据倒数的定义可知，乘积是1的两个数互为倒数． 【解答】解：A．0没有倒数，∴0和0不互为倒数，故不符合题意； B．∵4×（﹣4）≠1，∴4和﹣4不互为倒数，故不符合题意； C．∵﹣31，∴﹣3和不互为倒数，故不符合题意； D．∵﹣2×（）＝1，∴﹣2和互为倒数，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．注意0没有倒数． 2．（2024秋•长垣市校级月考）下列各式中积为正数的是（　　） A．2×3×5×（﹣4） B．2×（﹣3）×（﹣4）×（﹣3） C．（﹣2）×0×（﹣4）×（﹣5） D．（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）×（﹣5） 【分析】根据有理数的乘法法则进行计算，再根据所得的结果的符号进行判断． 【解答】解：A、2×3×5×（﹣4）＝﹣120＜0，故积为负； B、2×（﹣3）×（﹣4）×（﹣3）＝﹣72，故积为负； C、（﹣2）×0×（﹣4）×（﹣5）＝0，积为0； D、（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝120，故积为正； 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法法则的运用，任何数同零相乘，都得0．多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 3．下列各式中计算正确的有（　　） ①（﹣24）÷（﹣8）＝﹣3； ②（﹣8）×（﹣2.5）＝﹣20； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据有理数的乘法和除法法则分别计算即可得出答案． 【解答】解：①原式＝3，故①计算不正确； ②原式＝20，故②计算不正确； ③原式＝1，故③计算正确； ④原式3，故④计算不正确； 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘法和除法法则，注意先确定符号． 4．（2024秋•南关区校级期中）计算： （1） （2） 【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除混合运算法则求解即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 5．（2024秋•鼓楼区校级月考）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，乘积的最大值为 　 　． （2）从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，乘积的最小值为 　 ． （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，商的最小值为 　 　． 【分析】（1）根据绝对值最大的两个有理数的乘积为最大即可得出答案； （2）根据有理数的乘法运算的法则即可得出答案； （3）根据有理数除法的运算法则即可得出答案． 【解答】解：∵﹣8＜﹣5＜0＜+3＜+4，|﹣8|＞|﹣5|＞|+4|＞|+3|＞0， （1）当抽取﹣8，﹣5两张卡片时，这两张卡片上数字的乘积最大，最大值是40， 所列的算式是：（﹣8）×（﹣5），乘积的最大值为40， 故答案为：（﹣8）×（﹣5）；40； （2）当抽取﹣8，+4，+3三张卡片时，这三张卡片上数字的乘积最小，最大值是﹣96， 所列的算式是：（﹣8）×（+4）×（+3），乘积的最小值为﹣96， 故答案为：（﹣8）×（+4）×（+3）；﹣96； （3）当抽取﹣8，+4两张卡片时，商最小，最小值是， 所列的算式是：（﹣8）÷（+3），乘积的最小值为， 故答案为：（﹣8）÷（+3）；． 【点评】此题主要考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握有理数的运算法则是解决问题的关键． 【题型3 有理数的简便计算】 1．（2023•邯郸二模）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　） A．24×（﹣100） B．24×（﹣100） C．24×（﹣99） D．24×（﹣99） 【分析】根据有理数的乘法分配律即可得出答案． 【解答】解：∵﹣100（﹣100）， ∴根据有理数的乘法分配律，把变形成最合适的形式为24×（﹣100）＝ ﹣24×100+24，可以简便运算． 故选：A． 【点评】本题考查有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题的关键． 2．若（﹣2022）×63＝p，则（﹣2022）×62的值可表示为（　　） A．p﹣1 B．p+2022 C．p﹣2022 D．p+1 【分析】根据乘法分配律将（﹣2022）×63进行变形，从而分析求解． 【解答】解：（﹣2022）×63 ＝（﹣2022）×（62+1） ＝（﹣2022）×62+（﹣2022）×1 ＝（﹣2022）×62﹣2022， 又∵（﹣2022）×63＝p， ∴（﹣2022）×62﹣2022＝p， ∴（﹣2022）×62＝p+2022， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的乘法运算，掌握乘法分配律（a+b）c=ac+bc是解题关键． 3．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． （1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）； （2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5． 【分析】（1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果； （2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果． 【解答】解：（1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433） ＝[（﹣248）+（﹣752）]+[（﹣433）+433] ＝﹣1000； （2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5 ＝[（﹣0.8）+0.8]+（1.2+3.5）+[（﹣0.7）+（﹣2.1）] ＝0+4.7+（﹣2.8） ＝1.9． 【点评】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算． 4．（2024秋•泰兴市月考）计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） ＝﹣5+6（第三步） ＝1（第四步） 根据小敏的计算过程，回答下列问题： （1）小敏在进行第二步计算时，运用了加法的 　 律、　 　律； （2）请指出她从第 　 　步开始出现错误； （3）请你写出正确的解题过程． 【分析】（1）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解； （2）根据有理数加法法则解答，即可求解； （3）利用有理数的加法的交换律、结合律解答，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可知，小敏在进行第二步计算时，运用了加法的交换律、结合律． 故答案为：交换；结合； （2）小敏在计算过程中，从第三步开始出现错误． 故答案为：三； （3） ＝﹣6+6 ＝0． 【点评】本题主要查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 5．简便计算： （1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）； （2）（）×（﹣12）； （3）（﹣19）． （4）（﹣48）×0.125+48 【分析】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案； （2）运用乘法分配律进行计算即可． （3）根据乘法分配律逆用简便计算． （4）根据乘法分配律逆用简便计算． 【解答】解：（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8） ＝[﹣1.25×（﹣8）]×（﹣5×3） ＝10×（﹣15） ＝﹣150； （2）（）×（﹣12） 121212 ＝﹣5﹣8+9 ＝﹣4； （3）（﹣19） ＝（）×19 19 ＝9． （4）（﹣48）×0.125+48 ＝48×（） ＝0； 【点评】考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【题型4 有理数的乘方】 1．（2024秋•霍山县月考）下列说法正确的是（　　） A．﹣28表示8个2相乘 B．25表示5个2相加 C．（﹣3）3与﹣33意义相同 D．的底数是2 【分析】根据乘方的意义，进行判断即可． 【解答】解：﹣28表示8个2相乘的相反数，则A不符合题意； 25表示5个2相乘，则B不符合题意； （﹣3）3表示3个（﹣3）相乘，﹣33表示3个3相乘的相反数，则C不符合题意； 的底数是2，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握其定义及运算是解题的关键． 2．（2024秋•市北区校级月考）下列各数（﹣3）2，0，，，（﹣1）2020，﹣22，﹣（﹣8），中，负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：（﹣3）2＝9＞0，是正数； 0既不是正数，也不是负数； 0，是负数； 0，是正数； （﹣1）2020＝1＞0，是正数； ﹣22＝﹣4＜0，是负数； ﹣（﹣8）＝8＞0，是正数； 0，是负数； ∴负数有，﹣22，，共3个． 故选：B． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 3．（2023春•香坊区校级期中）下列各对数中，不相等的一对数是（　　） A．（﹣3）3与﹣33 B．|﹣33|与|33| C．（﹣3）4与﹣34 D．（﹣3）2与32 【分析】根据乘方的法则及绝对值的性质计算． 【解答】解：A、（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，∴不符合题意； B、|﹣33|＝27，|33|＝27，∴不符合题意； C、（﹣3）4＝81，﹣34＝﹣81，∴符合题意； D、（﹣3）2＝9，32＝9，∴不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查有理数乘方，掌握乘方的法则及绝对值的性质是解题关键． 4．（2024秋•吴中区校级月考）下列各数中，数值相等的有（　　） ①23与（﹣2）3；②﹣（﹣3）与﹣|﹣3|；③﹣1365与（﹣1）365；④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【分析】根据各组中的数据可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【解答】解：①∵23＝8，（﹣2）3＝﹣8，∴23≠（﹣2）3，故①数值不相等，不符合题意； ②∵﹣（﹣3）＝3，﹣|﹣3|＝﹣3，∴﹣（﹣3）≠﹣|﹣3|，故②数值不相等，不符合题意； ③∵﹣1365＝﹣1，（﹣1）365＝﹣1，∴﹣1365＝（﹣1）365，故③数值相等，符合题意； ④∵，，∴，故④数值不相等，不符合题意； ∴数值相等的有③共1组， 故选：A． 【点评】本题考查有理数的乘方，绝对值意义，相反数意义，解答本题的关键是明确有理数乘方的计算方法． 5．（2023秋•怀仁市校级期末）设a是任意有理数，下列说法正确的是（　　） A．（a+1）2的值总是正的 B．a2+1的值总是正的 C．﹣（a+1）2的值总是负的 D．a2+1的值中，最大值是1 【分析】根据偶次方的非负性，即a2≥0进行判断即可． 【解答】解：（a+1）2≥0，A错误； a2+1＞0，B正确； ﹣（a+1）2，≤0，C错误； a2+1的值中，最小值是1，D错误， 故选：B． 【点评】本题考查的是偶次方的非负性，掌握a2≥0是解题的关键． 【题型5 利用有理数的乘方解决实际实际问题】 1．（2023秋•福田区校级期末）面食不仅是中华民族饮食文化的重要组成部分，也是世界的面食之根其中，“拉面”远播世界各地，制作方法是：用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次，这根很粗的面条就被拉成许多细的面条，第一次捏合变2根细面条，第二次捏合变4根细面条，第三次捏合变8根细面条，这样捏合到第n次后可拉出细面条（　　） A．2n﹣1根 B．2n根 C．2n+1根 D．（）n+1根 【分析】本题可通过题目和图形的结合得出前几组的数，然后进行归纳即可得出答案． 【解答】解：设面条的根数为x， 则依题意得：n＝1，x＝2＝21． n＝2，x＝2×2＝4＝22． n＝3，x＝2×2×2＝8＝23． … 依此类推可知，当n＝n时，x＝2n． 故选：B． 【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 2．（2023•馆陶县校级模拟）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则十合等于（　　） A．102圭 B．103圭 C．104圭 D．105圭 【分析】结合实际问题运用乘方的概念进行求解． 【解答】解：由题意得，1合＝10勺＝102撮＝103抄＝104圭， ∴十合＝10×104圭＝105圭， 故选：D． 【点评】此题考查了运用乘方的概念解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用该知识． 3．（2023春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　） A．253 B．255 C．257 D．259 【分析】根据题意，n个小时后细胞存活的个数是2n+1，求出n＝8时的值即可． 【解答】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1； 2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1； 3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1； …… n个小时后细胞存活的个数是2n+1， 当n＝8时，存活个数是28+1＝257． 故选：C． 【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析，归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题． 4．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍， 每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度 是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分数乘法的意义求得剩下的长度． 【解答】解：由题意，第一次截取后剩余长度为1×（1）， 第二次截取后剩余长度为（1）， 第三次截取后剩余长度为， …， 第n次截取后剩余长度为， ∴第五次截取后剩余长度为， 故选：C． 【点评】本题考查分数乘法的应用及乘方的意义，理解求一个数的几分之几是多少用乘法计算，掌握有理数乘方的意义是解题关键． 5．（2024秋•二七区校级月考）如图是一张长20cm、宽10cm的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（　　） A．200cm2 B．200×（1）cm2 C．200cm2 D．200×（1）3cm2 【分析】根据乘方的定义解决此题． 【解答】解：长方形的最初的面积为S＝20×10＝200（cm2）． 第一次剪裁后剩余的面积为． 第二次剪裁后剩余的面积为． 第三次剪裁后剩余的面积为． … 经分析，第六次剪裁后剩余的面积为（cm2）． 故选：A． 【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解决本题的关键． 【题型6 有理数的混合运算】 1．（2023秋•万州区期末）计算：﹣22+（﹣2）3﹣（﹣2）4的值为（　　） A．4 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣28 【分析】原式先算乘方，再算加减即可得到结果． 【解答】解：原式＝﹣4+（﹣8）﹣16 ＝﹣4﹣8﹣16 ＝﹣12﹣16 ＝﹣28． 故选：D． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，其运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行． 2．下列各式中．计算结果得0的是（　　） A．﹣22+（﹣2）2 B．﹣22﹣22 C．﹣22﹣（﹣2）2 D．（﹣2）2+22 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、﹣22+（﹣2）2＝﹣4+4＝0，故本选项正确； B、﹣22﹣22＝﹣4﹣4＝﹣8，不是0，故本选项错误； C、﹣22﹣（﹣2）2＝﹣4﹣4＝﹣8，不是0，故本选项错误； D、（﹣2）2+22＝4+4＝8，不是0，故本选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘方，计算时要注意﹣22与（﹣2）2的区别． 3．（2023•馆陶县二模）淇淇在计算：时，步骤如下： 解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+66① ＝﹣2022+6+12﹣18………………………② ＝﹣2048…………………………………③ （1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 　 　；（填序号） （2）请给出正确的解题过程． 【分析】（1）根据幂的运算即可判断； （2）按照有理数的运算法则，先计算括号内的，再计算括号外的，利用幂运算的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵（﹣1）2022＝1，（﹣2）3＝﹣8，6÷（）＝636， ∴原式＝1﹣（﹣8）+6， ∴开始出现错误的步骤是①， 故答案为：①； （2）原式＝1﹣（﹣8）+6 ＝1+8+6×6 ＝1+8+36 ＝45． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，注意运算顺序． 4．（2023秋•召陵区期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算乘方，同时根据乘法分配律进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算顺序进行计算即可求解． 【解答】（1）解：﹣9﹣16+12﹣15 ＝﹣28． （2）解： ＝4+4﹣8 ＝0． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算顺序以及有理数的运算法则是解题的关键． 5．（2023秋•浚县期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再利用乘法运算律进行简便计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【解答】解：（1） ＝﹣8×（）×6 ＝﹣48×（） ＝﹣48×（）﹣4848×（） ＝8﹣36+4 ＝﹣24； （2） ＝﹣1﹣[2﹣（﹣8）]×（） ＝﹣1﹣10×（） ＝﹣1 ． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【题型7 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合】 1．（2024秋•南关区校级期中）已知对|x|＝5，|y|＝3，且xy＞0，则x﹣y的值等于（　　） A．2或﹣2 B．8或﹣8 C．2或8 D．﹣2或﹣8 【分析】结合有理数乘法的符号法则，同号为正，确定x，y的值，再进行加法运算即可． 【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝3， ∴x＝±5，y＝±3， ∵xy＞0， ∴x，y同号， 则x＝5，y＝3或x＝﹣5，y＝﹣3， 当x＝5，y＝3时， x﹣y＝5﹣3＝2； 当x＝﹣5，y＝﹣3时， x﹣y＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2； 故选：A． 【点评】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，根据绝对值的意义，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键． 2．（2023秋•陈仓区期末）已知|3a+1|+（b﹣3）2＝0，则（ab）2022的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．3 【分析】根据题意得，b＝3，将，b＝3代入（ab）2022，进行计算即可得． 【解答】解：∵|3a+1|+（b﹣3）2＝0， ∴3a+1＝0，b﹣3＝0， 解得，，b＝3， 则， 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值，代数式求值，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 3．已知a是绝对值最小的有理数，b是倒数等于本身的数，c的平方等于4，求a+b+c的值． 【分析】根据有理数与倒数的定义及乘方的运算法则得出a，b，c的值，再分情况求解可得． 【解答】解：根据题意知a＝0，b＝1或b＝﹣1，c＝2或c＝﹣2， 当a＝0，b＝1，c＝2时，原式＝0+1+2＝3； 当a＝0，b＝1，c＝﹣2时，原式＝0+1﹣2＝﹣1； 当a＝0，b＝﹣1，c＝2时，原式＝0﹣1+2＝1； 当a＝0，b＝﹣1，c＝﹣2时，原式＝0﹣1﹣2＝﹣3； 综上，a+b+c的值为±1或±3． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数与倒数的定义及乘方的运算法则，有理数的混合运算顺序和运算法则． 4．（2024秋•江阴市校级月考）若|﹣a|＝|﹣3|，b2＝16，且ab＞0，求a+b的值． 【分析】先计算乘方和绝对值，得到a＝±3，b＝±4，再由ab＞0得到a＝﹣3，b＝﹣4或a＝3，b＝4，据此代值计算即可． 【解答】解：∵|﹣a|＝|﹣3|，b2＝16， ∴a＝±3，b＝±4， ∵ab＞0， ∴a、b同号． ∴a＝﹣3，b＝﹣4或a＝3，b＝4， 当a＝﹣3，b＝﹣4时， a+b＝﹣3+（﹣4）＝﹣7 当a＝3，b＝4时， a+b＝3+4＝7， ∴a+b的值为±7． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方的逆运算，绝对值，有理数的加法计算，正确确定a，b的值是关键． 5．已知（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，z是绝对值最小的有理数，求（x+y）y+xyz的值． 【分析】根据题意z是绝对值最小的有理数可知，z＝0，且互为相反数的两数和为0，注意平方和绝对值都具有非负性． 【解答】解：∵（x+3）2与|y﹣2|互为相反数， ∴（x+3）2+|y﹣2|＝0， ∵（x+3）2≥0，|y﹣2|≥0， ∴（x+3）2＝0，|y﹣2|＝0，即x+3＝0，y﹣2＝0， ∴x＝﹣3，y＝2， ∵z是绝对值最小的有理数，∴z＝0． （x+y）y+xyz＝（﹣3+2）2+（﹣3）×2×0＝1． 故答案为：1 【点评】本题主要考查了非负数的性质． 初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 【题型8 科学记数法】 1．（2024秋•砚山县校级月考）国庆佳节将至，贵州省为了展现贵州人民热情，让全国各省游客得到更好的体验，相关部门本次预估到访游客500000人．500000人用科学记数法可表示为（　　） A．5×105 B．50×104 C．500×103 D．0.5×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：500000＝5×105． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（2024秋•霍山县月考）6月25日14时7分，“嫦娥六号”返回器携带来自月背的月球样品安全着陆，历时53天、38万公里的太空往返之旅，创造了中国航天新的世界纪录．数据38万用科学记数法表示为（　　） A．38×104 B．0.38×105 C．3.8×104 D．3.8×105 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：38万＝380000＝3.8×105． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（2024秋•江阴市校级月考）国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录，观影人次为1.63亿．将数据80.16亿用科学记数法表示为（　　） A．80.16×108 B．8.016×108 C．8.016×109 D．8016×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：80.16亿＝8016000000＝8.016×109． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．（2024秋•南岗区校级月考）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为 　 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：13.6亿＝1360000000＝1.36×109． 故答案为：1.36×109． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．（2024秋•姜堰区月考）ChatGPT是一种基于深度学习的自然语言处理模型，它的参数量巨大．截止2024年1月ChatGPT的参数量已经超过200亿．将200亿用科学记数法表示为 　 　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：200亿＝20000000000＝2×1010． 故答案为：2×1010． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【题型9 近似数】 1．（2024秋•凉州区校级月考）将8.3954精确到百分位约是（　　） A．8.4 B．8.39 C．8.395 D．8.40 【分析】精确到百分位，即对千分位上的数字进行四舍五入，据此求解即可． 【解答】解；8.3954≈8.40（精确到百分位）， 故选：D． 【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答． 2．（2023秋•舒城县期末）由四舍五入得到的近似数20.23万，是精确到（　　） A．十分位 B．百位 C．百分位 D．十位 【分析】根据题目中的数据和最后一个数字所在的位置，可知这个近似数精确到哪一位． 【解答】解：近似数20.23万精确到百位， 故选：B． 【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数精确到哪一位，就是看最后一个数字所在的位置． 3．（2024秋•内乡县校级月考）用四舍五入法对3.14159分别取近似值，其中错误的是（　　） A．3.14（精确到0.01） B．3.141（精确到千分位） C．3.1（精确到十分位） D．3.1416（精确到0.0001） 【分析】利用近似数的精确度对各选项进行判断． 【解答】解：A．3.14159≈3.14（精确到0.01），所以A选项不符合题意； B．3.14159≈3.142（精确到千分位），所以B选项符合题意； C．3.14159≈3.1（精确到十分位），所以C选项不符合题意； D．3.14159≈3.1416（精确到0.0001），所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式． 4．（2024秋•宽城区校级月考）78.9823亿，保留整数是 　 　亿． 【分析】根据第一位小数9大于5，进一位，即可作答． 【解答】解：∵78.9823亿的第一位小数9大于5， ∴78.9823亿，保留整数是79亿． 故答案为：79． 【点评】本题考查了近似数和有效数字，掌握四舍五入法是解答本题的关键． 5．（2024秋•高新区校级月考）数495640精确到万位是 　 　． 【分析】先用科学记数法表示，然后把千位上的数字5进行四舍五入即可． 【解答】解：数495640精确到万位是5.0×105． 故答案为：5.0×105． 【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的表示形式． 【题型10 有理数的实际应用】 1．（2024秋•谯城区月考）某一天凌晨的温度是﹣6℃，中午的气温是4℃，从凌晨到中午气温上升了（　　） A．4℃ B．8℃ C．10℃ D．2℃ 【分析】根据题意利用中午的气温减去凌晨的气温即可得到答案． 【解答】解：∵凌晨的温度是﹣6℃，中午的气温是4℃， ∴从凌晨到中午气温上升了4﹣（﹣6）＝10（℃）， 故选：C． 【点评】此题考查了有理数减法的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 2．（2024秋•定州市月考）当距离地面高度每上升1km时，温度将降低6℃．某飞机在执行飞行任务时，驾驶舱突现险情，此时舱外气温为﹣40.8℃，则该飞机发生险情时距离地面的高度（假设当时所在位置的地面温度为18℃）为（　　） A．10.8km B．9.8km C．8.8km D．3.8km 【分析】利用舱外温度减去地表温度，再除以6即可得到答案 【解答】解：根据题意可得，﹣40.8﹣18＝﹣（40.8+18）＝﹣58.8（℃）， ∴飞机飞行时降温58.8℃，距离地面的高度为：58.8÷6＝9.8（km）， ∴飞机发生险情时距离地面的高度为9.8km． 故选：B． 【点评】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，掌握有理数的混合运算法则是关键． 3．（2023秋•长春期末）2021年9月28日，第十三届中国航展在广东珠海举行，中国空军航空大学“红鹰”飞行表演队在航展上表演特技飞行，如图所示，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，五次特技飞行高度记录如下：+2.5，﹣1.2，+1.1，﹣1.5，+0.8．（单位：千米） （1）求飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？高了或低了多少千米？ （2）若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，则飞机在这5次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？ 【分析】（1）直接把各数相加即可得出结论； （2）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）+2.5﹣1.2+1.1﹣1.5+0.8＝1.7（千米）． 答：此时飞机比起飞点高了1.7千米； （2）（2.5+1.1+0.8）×6+（1.2+1.5）×4 ＝4.4×6+2.7×4 ＝26.4+10.8 ＝37.2（升）． 答：一共消耗37.2升燃油． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正负数在实际生活中的应用，熟知有理数混合运算的法则是解题关键． 4．（2023秋•商南县校级期末）小虫从某点O出发在一条直线上来回爬行，假设向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：cm）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10． （1）小虫离开出发点O最远是 　 厘米． （2）小虫是否回到了原点O？ （3）在爬行过程中，如果每爬行1cm奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【分析】（1）分别计算每次距O地的距离，进行比较即可； （2）直接将所有数据相加得出答案； （3）所有记录数的绝对值的和，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，第一次距O点5cm；第二次距O点5﹣3＝2（cm）； 第三次距O点2+10＝12（cm）；第四次距O点12﹣8＝4（cm）； 第五次距O点|4﹣6|＝2（cm）；第六次距O点|2﹣12|＝10（cm）； 第七次距O点|10﹣10|＝0（cm）； 所以在第三次小虫距O点最远，为12cm； 故答案为：12； （2）+5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10＝0， 故小虫最后回到出发点O； （3）由题意可得：5+3+10+8+6+12+10＝54（cm）， 54×1＝54（粒）， 则小虫一共可以得到54粒芝麻． 【点评】此题主要考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 5．（2024秋•邳州市校级月考）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 +21 +22 +30 +33 （1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 　 　km； （2）请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ （3）已知汽油车每行驶100km需用汽油6升，汽油价9元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.6元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月（按30天计算）的行驶费用比原来节省多少钱？ 【分析】（1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）50km的标准所行驶的路程，再求七天的平均行驶的路程，即可求解； （3）分别求出汽油费和电费，即可求解． 【解答】解：（1）由表格得：（+33）﹣（﹣16）＝49（km），即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走49km， 故答案为：49； （2）（﹣8）+（﹣12）+（﹣16）+（+21）+（+22）+（+30）+（+33）＝﹣36+106＝70（km）， 70÷7+50＝60（km）； 答：小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了60km． （3）用汽油的费用：60×30÷100×6×9＝972（元）， 用电的费用：60×30÷100×15×0.6＝162（元）， 972﹣162＝810（元）， 答：估计小明家换成新能源汽车后1个月的行驶费用比原来节省810元． 【点评】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【题型11 有理数乘除法规律探究题】 1．观察下列各式： ，； ，； ，； 解答下列各题： （1）尝试并计算：； （2）尝试并计算：； （3）； （4）尝试并计算：． 【分析】（1）利用计算的规律，直接拆分计算即可； （2）利用计算的规律，直接拆分计算即可； （3）先去绝对值，再抵消法计算即可求解； （4）利用计算的规律，两次拆分计算即可． 【解答】解：（1） ＝1 ＝1 ； （2） （1） （1） ； （3） ＝1 ＝1 ； （4） （） （） ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【分析】（1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母； （2）原式括号中变形计算后，约分即可得到结果； （3）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）∵ … ∴ 故答案为：； （2）①原式（）×（）×…×（）×（） ； ②由题意得，2016×（1）×（1）×…×（1）＝2016 ＝1． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2023秋•成县期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为1，，，，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： （1）+（）+（）+（）＝11． 任务： （1）猜想并写出：　　 ；（n为正整数） （2）①应用上面的方法计算：⋯． ②直接写出下列式子的计算结果：⋯　 　． （3）类比应用上面的方法探究并计算：⋯． 【分析】（1）根据题干给出的规律直接判断即可； （2）与（1）一样得到1，然后进行合并； （3）把原式变形为（2）中的形式得到[（1）+（）+（）+…+（）]，然后利用（2）中的方法计算． 【解答】解：（1）通过观察可得：； （2））①⋯ ＝1••• ＝1 ． ②根据规律可得：原式＝1． 故答案为：1． （3）原式[（1）+（）+（）+…+（）]（1）． 【点评】本题考查有理数的混合运算，正确记忆先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算有括号先算括号是解题关键． 【题型12 含乘方的探究规律题】 1．（2022秋•东西湖区期中）观察下面三行数 ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64… 0，6，﹣6，18，﹣30，66… 1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32… （1）第一行第7个数是 　 　 ，第二行第7个数是 　 ； （2）第3行的第n（n≥1，n是正整数）个数是 　 　； （3）取每行的第8个数求和，计算这三个数的和． 【分析】（1）通过观察发现﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，后面一个数都是前面一个数的﹣2倍，第二行数字都是由第一行数字的每一个数加上2； （2）通过观察得到：第三行数字都是由第一行数字的每一个数除以（﹣2）； （3）根据（1）（2）得到的规律，分别写出这三个数，再求和． 【解答】解：（1）第一行数的第7个数是（﹣2）7＝﹣128，第二行数的第7个数是﹣126， 故答案为：﹣128，﹣126； （2）第三行数的第n个数都是第一行的第n个数除以（﹣2），所以为（﹣2）n﹣1； 故答案为：（﹣2）n﹣1； （3）取每行的第8个数分别为：256，258，﹣128， ∴256+258﹣128＝386， ∴取每行的第8个数的和为386． 【点评】本题考查了数字的变化类：寻找三行数间的关系是解题的关键． 2．观察下列运算过程： S＝1+3+32+33+…+32016+32017，① ①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，② ②﹣①，得2S＝32018﹣1，S． 用上面的方法计算：1+5+52+53+…+52017． 【分析】仿照题目中的例子，可以设S＝1+5+52+53+…+52017，然后得到5S，再作差，整理即可得到所求式子的值． 【解答】解：设S＝1+5+52+53+…+52017， 则5S＝5+52+53+…+52018， 5S﹣S＝52018﹣1， 4S＝52018﹣1， 则S， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 3．已知13＝112×22，13+23＝922×32，13+23+33＝3632×42，…，按照这个规律完成下列问题： （1）13+23+33+43+53＝　 　　 2×　 　2． （2）猜想：13+23+33+…+n3＝　 　． （3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403． 【分析】（1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到13+23+33+43+53的结果； （2）根据上面的四个算式总结得到规律13+23+33+…+n3n2×（n+1）2； （3）113+123+313+143+153+163+…+393+403转化为13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）后利用总结的规律即可求得答案． 【解答】解：（1）13+23+33+43+53＝22552×62 （2）猜想：13+23+33+…+n3n2×（n+1）2 （3）利用（2）中的结论计算： 113+123+133+143+153+163+…+393+403． 解：原式＝13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103） 402×412102×112 ＝672400﹣3025 ＝669375 【点评】本题考查了数字的变化类问题，仔细的观察题目提供的算式并找到规律是解决此题的关键． 【题型13 有理数的材料阅读问题】 1．阅读下面解题过程： 计算：5÷（22）÷6 解：5÷（22）×6 ＝5÷（）×6…① ＝5÷（﹣25）…② ③ 回答： （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第　 步，错因是　 　，第二处是　 　，错因是　 　． （2）正确结果应是　 　． 【分析】（1）根据除以一个数相当于乘以这个数的倒数和同级运算应从左到右的顺序依次进行计算，即可得出答案； （2）根据有理数的乘除法则进行计算即可． 【解答】解：（1）第一处是第①步，错因是除以一个数相当于乘以这个数的倒数，第二处是②，错因是同级运算应从左到右的顺序依次进行计算； 故答案为：①，除以一个数相当于乘以这个数的倒数；②，同级运算应从左到右的顺序依次进行计算； （2）5÷（22）÷6 ＝5÷（） ＝5×（） ． 故答案为：． 【点评】此题考查了有理数的乘除法，掌握有理数的乘除法则是本题的关键，是一道基础题． 2．（2024秋•崇川区校级月考）数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： （1）； （2）． 【分析】根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝1+（﹣1） ＝0． 【点评】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法． 3．阅读下列材料： 计算：50÷（）． 解法一：原式＝50505050×3﹣50×4+50×12＝550． 解法二：原式＝50÷（）＝5050×6＝300． 解法三：原式的倒数为（）÷50＝（） 故原式＝300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　 　是错误的．在正确的解法中，你认为解法　 　最简捷．然后，请你解答下列问题： 计算：（）÷（）． 【分析】上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三最简捷； 利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值． 【解答】解：上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三最简捷； 故答案为：一；三； 原式的倒数为（）÷（）＝（）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣14， 则原式． 【点评】此题考查了有理数的除法，弄清题意是解本题的关键． 【题型14 有理数的程序图运算题】 1．按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2 【分析】把各选项中的数值代入按运算规则运算即可． 【解答】解：A．依题意有﹣1+4﹣（﹣3）﹣5＝1＜2， 1+4﹣（﹣3）﹣5＝3＞2，输出； B．依题意有﹣2+4﹣（﹣3）﹣5＝0＜2， 0+4﹣（﹣3）﹣5＝2； 2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出； C．依题意有0+4﹣（﹣3）﹣5＝2， 2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出； D.2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出； 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握图中程序运算是解本题的关键． 2．（2024秋•兰山区校级月考）按如图程序计算，如果输入的数是﹣3，那么输出的数是 　 　． 【分析】根据有理数的乘法计算即可． 【解答】解：﹣3×（﹣3）＝9，9×（﹣3）＝﹣27，﹣27×（﹣3）＝81，81×（﹣3）＝﹣243， ∵9，﹣27，81的绝对值均小于100，|﹣243|＝243＞100， ∴输出的数是﹣243， 故答案为：﹣243． 【点评】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 3．如图，按照图中的程序进行计算，如果输入的数字是3，那么输出的结果是 　 　． 【分析】利用程序图中的程序进行操作即可得出结论． 【解答】解：输入的数字是3，由题意得： 2×（﹣5）＝﹣15， ∵|﹣15|＝15＜40， ∴将﹣15重新输入，则得： ﹣15×（﹣5）＝75， ∵|75|＝75＞40， ∴输出的结果是：75； 故答案为：75． 【点评】本题主要考查了有理数的运算，本题是操作型题目，依据程序图中的程序进行运算是解题的关键． 4．（2023•襄阳模拟）按照如图所示的计算程序，若输入结果是﹣3，则输出的结果是 　 　． 【分析】认真读懂题意，根据题目的计算程序进行计算，然后判断即可． 【解答】解：当x＝﹣3时，10﹣（﹣3）2＝1， 1＞0， ∴根据题意继续计算10﹣12＝9， 9＞0， ∴根据题意继续计算10﹣92＝﹣71， ﹣71＜0， ∴输出结果为﹣71． 故答案为：﹣71． 【点评】本题考查了代数求值，解题的关键要读懂题意，能根据题意进行代数计算，最后得到符合题意的结果． 5．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是　 　． 【分析】根据题中的程序流程图，将x＝﹣2代入计算得到结果为1，将x＝1代入计算得到结果大于1，即可得到最后输出的结果． 【解答】解：把x＝﹣2代入可得：， 再把x＝1代入可得：， 所以y， 故答案为： 【点评】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 【题型15 有理数的新定义运算问题】 1．（2023秋•山亭区期末）用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（　　） A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：根据题中的新定义得： ﹣4※2 ＝﹣4×2+22 ＝﹣8+4 ＝﹣4． 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 2．（2024秋•洪山区校级月考）形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式表示为，依此法则计算的结果为（　　） A．17 B．﹣17 C．1 D．﹣1 【分析】根据新定义可得，据此计算求解即可． 【解答】解：∵， ∴ ＝2×4﹣1×（﹣9） ＝8+9 ＝17， 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 3．对于有理数a、b定义运算如下：a*b＝（a+b）2（b﹣a），则﹣10*（﹣4*5）＝　 　． 【分析】根据新定义运算法则列出算式，然后按照有理数混合运算的运算顺序和计算法则进行计算． 【解答】解：原式＝﹣10*[（﹣4+5）2×（5+4）] ＝﹣10*（1×9） ＝﹣10*9 ＝（﹣10+9）2×[9﹣（﹣10）] ＝（﹣1）2×（9+10） ＝1×19 ＝19， 故答案为：19． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义运算法则，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键． 4．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+2ab+a，如1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16．则（﹣2）☆3的值为　 　． 【分析】利用题中所定义的运算规则得出算式，按照有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】解：∵a☆b＝ab2+2ab+a， ∴（﹣2）☆3 ＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2） ＝﹣18﹣12﹣2 ＝﹣32． 【点评】本题考查了新定义在有理数的混合运算中的简单应用，正确按照定义得出算式是解题的关键． 5．（2023秋•官渡区期中）【概念学习】 规定：若求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）等．类比有理数的乘方，我们把 2÷2÷2 记作 22，读作“2的圈3次方”，（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）记作 （4）④，读作“﹣4的圈4次方”．一般的，我们把记作a①，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果2③＝　 　，（﹣4）④＝　 　，　 ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： 3⑤＝　 　，（﹣5）⑧＝　 ，⑩＝　 ． （3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是 　 ． 【分析】依据题意，由a的圈n次方的意义：一般的，我们把（a≠0）记作aⓝ，进而逐个进行计算可以得解． 【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2；（﹣4）④＝（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）；（）÷（）÷（）÷（）＝4． 故答案为：；；4． （2）3⑤＝3÷3÷3÷3÷3；（﹣5）⑧＝（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）；⑩＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）（﹣2）8． 故答案为：；；（﹣2）8． （3）由题意，根据（2）中规律可得，aⓝ． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算、正数和负数、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答本题． 1．（2023•莱阳市二模）下列说法正确的是（　　） A．2的倒数是﹣2 B．3的相反数是 C．绝对值最小的数是1 D．0的相反数是0 【分析】乘积是1的两数互为倒数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，有理数的绝对值都是非负数，由此即可得到答案． 【解答】解：A、2的倒数是，故A不符合题意； B、3的相反数是﹣3，故B不符合题意； C、绝对值最小的数是0，故C不符合题意； D、0的相反数是0，正确，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查倒数，相反数，绝对值，关键是掌握倒数、相反数的定义，绝对值的意义． 2．下列计算结果正确的是（　　） A．﹣3﹣7＝﹣3+7＝4 B．4.5﹣6.8＝6.8﹣4.5＝2.3 C．﹣2﹣（）＝﹣22 D．﹣3﹣（）＝﹣32 【分析】根据有理数的减法法则，可以计算出各个选项中式子的正确结果，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：﹣3﹣7＝﹣3+（﹣7）＝﹣10，故选项A错误，不符合题意； 4.5﹣6.8＝﹣（6.8﹣4.5）＝﹣2.3，故选项B错误，不符合题意； ﹣2﹣（）＝﹣21，故选项C错误，不符合题意； ﹣3﹣（）＝﹣32，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．（2023•南关区一模）北京某天早晨的气温是﹣5℃，中午上升了10℃，半夜又下降了8℃，则半夜的气温为（　　） A．3℃ B．0℃ C．﹣1℃ D．﹣3℃ 【分析】直接利用有理数的加减混合运算法则分别计算得出答案． 【解答】解：∵北京某天早晨的气温是﹣5℃，中午上升了10℃，半夜又下降了8℃， ∴半夜的气温为：﹣5+10﹣8＝﹣3（℃）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．（2024秋•平山县月考）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，且a+b＜0，，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A，B两点之间，且靠近点A D．A，B两点之间，且靠近点B 【分析】利用有理数的乘法，加法法则判断即可． 【解答】解：根据图形可知，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0， 所以a与b异号且b绝对值大，即a＞0，b＜0，|b|＞|a|， 则原点O的位置在A、B两点之间，且靠近点A． 故选：C． 【点评】此题考查了有理数的除法，有理数的加法，数轴，掌握有理数的运算法则是解本题的关键． 5．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个数中负数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先根据相反数的意义，确定原点，再根据各数在原点的位置确定数的正负． 【解答】解：∵n+q＝0 ∴n与q互为相反数． ∴原点为O． 则在原点左侧的数有三个． 即m，n，p，q四个数中负数有3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了数轴和正负数，根据相反数的意义确定原点的位置是解决本题的关键． 6．（2024秋•江阴市校级月考）对于有理数x，y，若xy＜0，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【分析】先判断绝对值里面的代数式的正负再计算． 【解答】解：∵xy＜0， ∴x，y异号． 当x＞0，y＜0时，则； 当x＜0，y＞0时，则； 综上，的值是﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查有理数的乘法，绝对值的计算，正确确定x，y的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键． 7．（2024秋•皇姑区校级月考）的倒数是 　 ，的绝对值是 　 　，相反数是本身的数是 　 ． 【分析】根据倒数的定义、绝对值的定义及相反数的定义，即可作答． 【解答】解：的倒数是， 的绝对值是2， 0的相反数是0． 故答案为：；2；0． 【点评】本题主要考查倒数、绝对值及相反数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8．（2024秋•南岗区校级月考）2023～2024冰雪季，第二十五届哈尔滨冰雪大世界成功地吸引了大量游客．整个冰雪季共计61天，期间累计接待游客达到了2710000人次．这一成绩展示了哈尔滨冰雪大世界的魅力和影响力．2710000用科学记数法表示为 　 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：2710000＝2.71×106． 故答案为：2.71×106． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 9．（2024秋•安溪县校级月考）在﹣6，2，﹣3，5四个数中，任意两个数之积的最小值为　 　． 【分析】根据有理数的大小比较和有理数的乘法运算法则确定出两个异号且绝对值尽可能大的因数相乘即可得到乘积最小值． 【解答】解：两个数之积的最小值为：（﹣6）×5＝﹣30． 故答案为：﹣30． 【点评】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的大小比较和有理数的乘法运算法则是关键． 10．（2024秋•玄武区校级月考）下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a、b互为倒数，则；③若|a|＝a，则a＞0；④若a+b＝0，则a、b互为相反数，其中错误的有 　　（请填序号）． 【分析】根据有理数的加除法法则，相反数的定义，绝对值性质，倒数性质进行逐项判断即可． 【解答】解：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，故该项不正确； ②若a、b互为倒数，则ab＝1，故该项不正确； ③|a|＝a，则a≥0，故该项不正确； ④若a+b＝0，则a、b互为相反数，故该项正确． 故错误的为①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查有理数的加除法，相反数，绝对值，倒数．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 11．计算下列各题： （1）（﹣1）2021﹣|﹣6|×（）+（﹣2）2； （2）﹣7（﹣8）﹣（﹣7.8）×（﹣4）； （3）（﹣2）3×（﹣1）4﹣|﹣12|÷[﹣（）2]； （4）﹣22﹣（﹣2）2﹣（﹣3）2×（）﹣42÷|﹣4|． 【分析】（1）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值； （2）原式变形后，逆用乘法分配律计算即可求出值； （3）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值； （4）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值． 【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣6×（）+4 ＝﹣1+2+4×2 ＝9； （2）原式＝﹣7.8×（﹣8）﹣（﹣7.8）×（﹣4）7.8 ＝7.8×（844） ＝7.8×（844） ＝7.8×0 ＝0； （3）原式＝（﹣8）×1﹣12÷（） ＝﹣8﹣12×（﹣4） ＝﹣8+48 ＝40； （4）原式＝﹣4﹣4﹣9×（）﹣16÷4 ＝﹣4﹣4+6﹣4 ＝﹣6． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键． 12．（2024秋•甘州区月考）已知|a|＝5，|b|＝3． （1）若a﹣b＞0，求a﹣b的值． （2）若ab＜0，求a+b的值； 【分析】（1）根据题意得a＝±5，b＝±3，再由a﹣b＞0可确定a与b的值，从而求得结果； （2）由（1）及ab＜0，可确定a与b的值，从而求得结果． 【解答】解：（1）∵|a|＝5，|b|＝3， ∴a＝±5，b＝±3； 由a﹣b＞0，则a＞b， ∴a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3； 当a＝5，b＝3时，a﹣b＝5﹣3＝2； 当a＝5，b＝﹣3时，a﹣b＝5﹣（﹣3）＝8； 综上，a﹣b的值为2或8； （2）由条件可知a＝5，b＝﹣3或a＝﹣5，b＝3； 当a＝5，b＝﹣3时，a+b＝5+（﹣3）＝2； 当a＝﹣5，b＝3时，a+b＝﹣5+3＝﹣2； 综上，a+b的值为2或﹣2． 【点评】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减，熟练掌握以上知识点是关键． 13．（2024秋•丰满区校级月考）已知|x|＝6，，且xy＞0，x+y＜0． （1）求x、y的值； （2）求x2﹣4y的值． 【分析】（1）根据绝对值的定义得到x＝±6，，再根据已知条件即可得到答案； （2）根据（1）所求代值计算即可． 【解答】解：（1）∵|x|＝6，， ∴x＝±6，， ∵xy＞0，x+y＜0， ∴； （2）∵， ∴． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法，绝对值，有理数的加法，解题的关键是掌握相关法则计算． 14．（2024春•东明县校级月考）阅读下列各式：（a•b）2＝a2b2，（a•b）3＝a3b3，（a•b）4＝a4b4… 回答下列三个问题： （1）验证：　 ，　 　； （2）通过上述验证，归纳得出：（a•b）n＝　 ；（abc）n＝　 　． （3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2024×22023×42022． 【分析】（1）先算括号内的乘法，再算乘方；先乘方，再算乘法； （2）根据有理数乘方的定义求出即可； （3）根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案． 【解答】解：（1）； 故答案为：1，1； （2）（a•b）n＝anbn，（abc）n＝anbncn； 故答案为：anbn，anbncn； （3）（﹣0.125）2024×22023×42022 ＝（﹣0.125）2022×22022×42022×[（﹣0.125）×（﹣0.125）×2] ． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法和积的乘方，掌握运算法则是解答此题的关键． 15．（2023秋•重庆期末）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方； （2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可； （3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量． 【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20， ∴B地在A地的东边20千米； （2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为： 14千米；14﹣9＝5千米； 14﹣9+8＝13千米； 14﹣9+8﹣7＝6千米； 14﹣9+8﹣7+13＝19千米； 14﹣9+8﹣7+13﹣6＝13千米； 14﹣9+8﹣7+13﹣6+12＝25千米； 14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20千米． ∴最远处离出发点25千米； （3）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12|+|﹣5|＝74千米， 应耗油74×0.5＝37（升）， 故还需补充的油量为：37﹣28＝9（升）． 【点评】本题考查的是正数与负数的定义，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值的和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$