第十七章 勾股定理 同步练习 2023—2024学年数学人教版八年级下册

第十七章 勾股定理(90分钟　100分) 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.下列各组数,是勾股数的是 (D) A.,, B.0.3,0.4,0.5 C.6,7,8 D.5,12,13 2.我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载,勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的,故又称之为“商高定理”;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释,并给出了另外一个证明,下面四幅图中,不能证明勾股定理的是 (D) 3.在平面直角坐标系中,已知点A(1,-5),B(-3,7),线段AB长为 (C) A.12 B.4 C.4 D.16 4.(2023·廊坊质检)一直角三角形的三边分别为2,3,x,以x为边长的正方形的面积为 (C) A. B.13 C.5或13 D. 或 5.如图,在△ABC中,点D是AB上一点,连接CD,AC=2,BC=2,DB=1,CD=,则AB的长为 (B) A.5 B.4 C.3 D.2 6.如图,在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(2,4),以点O为圆心,OA长为半径画弧,交x轴的正半轴于B点,则点B的坐标是 (A) A.(2,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,2) 7.(规律探索问题)(2023·烟台中考)如图,正方形ABCD边长为1,以AC为边作第2个正方形ACEF,再以CF为边作第3个正方形FCGH,…,按照这样的规律作下去,第6个正方形的边长为 (C) A.(2)5 B.(2)6 C.()5 D.()6 8.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=6,点P是线段AC上一动点,点M在线段AB上,当AM=AB时,PB+PM的最小值为 (B) A.3 B.2 C.2+2 D.3+3 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.如图,在△ABC中,∠C=90°,c=2,则a2+b2+c2=　8　.  10.(数学传统文化)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何?”其意思为:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少?(1丈=10尺,1尺=10寸)如图, 设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为　x2+(x-6.8)2=102　.  11.如图,已知△ABO为等腰三角形,且OA=AB=5,B(-6,0),则点A的坐标为　(-3,4)　.  12.观察以下几组勾股数,并寻找规律:请你写出有以上规律的第⑤组勾股数:　11,60,61　.  ①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41. 13.如图,在离水面高度为5 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13 m,此人以0.5 m/s的速度收绳,10 s后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了　(12-)　m.(假设绳子是直的,结果保留根号)  14.活动探究:已知两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等,已知△ABC中,∠A=30°, AC=3,∠A所对的边为,满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形),则满足已知条件的三角形的第三边长为　2或　.  三、解答题(共52分) 15.(8分)求下列图形中阴影部分的面积. 【解析】(1)∵AB=8,AC=6,∴BC===10,∴BO=5, ∵S△ABC=AB·AC=×8×6=24,S半圆=π×52=,∴S阴影=-24. (2)∵AC=5,CB=12,BE=AF=2,∴AB===13, ∴S阴影=2×13=26. 16.(8分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,四边形ABCD的顶点均在格点上. (1)直接写出线段AC,CD,AD的长; (2)求∠ACD的度数; (3)求四边形ABCD的面积. 【解析】(1)根据题意得:AC==2,CD==,AD==5. (2)∵AC2+CD2=+=25=52=AD2.∴∠ACD=90°. (3)S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×4×4+××2=8+5=13. 17.(8分)(2023·中山期中)如图,小区有一块三角形空地ABC,计划将这块空地种上三种不同的花卉,中间用小路AD,DE隔开,DE⊥AB.经测量,AB=15米,AC=13米,AD=12米,DC=5米. (1)求BD的长; (2)求小路DE的长. 【解析】略 18.(8分)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一.它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人入迷. (1)应用场景——在数轴上画出表示无理数的点. 如图1,在数轴上找出表示3的点A,过点A作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=2,以原点O为圆心,OB长为半径作弧,则弧与数轴的交点C表示的数是________.  (2)应用场景2——解决实际问题. 如图2,秋千静止时,踏板离地的垂直高度BE=1 m,将它往前推6 m至C处时,水平距离CD=6 m,踏板离地的垂直高度CF=4 m,它的绳索始终拉直,求绳索AC的长. 【解析】(1)在Rt△OAB中,OB===,∴OC=, ∴点C表示的数是. 答案: (2)设秋千绳索AB的长度为x m,由题意可得AC=AB=x m, 四边形DCFE为长方形,BE=1 m,DC=6 m,CF=4 m,DE=CF=4 m, ∴DB=DE-BE=3 m,AD=AB-BD=(x-3) m, 在Rt△ADC中,AD2+DC2=AC2,即(x-3)2+62=x2, 解得x=7.5,即AC的长度为7.5 m, 答:绳索AC的长为7.5 m. 19.(10分)如图,A,B两个村庄在河CD的同侧,两村庄的距离为a千米,a2=13,它们到河CD的距离分别是1千米和3千米.为了解决这两个村庄的饮水问题,乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A,B两村输送水. (1)在图上作出向A,B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M.(只需作图,不需要证明) (2)经预算,修建水厂需30万元,铺设水管的所有费用平均每千米为3万元,其他费用需5万元,求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元. 【解析】(1)如图,作点A关于直线CD的对称点A',连接A'B,交CD于点M,点M即为所求. (2)如图,连接A'A,交CD于H点,过点B作BP⊥AH, 由题意可知:AH=A'H=1千米,PH=3千米,AB=千米, ∴PA=PH-AH=2千米,PA'=PH+A'H=4千米, ∴在Rt△APB中,BP===3(千米), ∴在Rt△A'PB中,A'B===5(千米), 由对称性质可知:AM=A'M, 水管长AM+BM=A'M+BM=A'B=5千米,完成这项工程乡政府投入的资金至少为30+5×3+5=50(万元). 20.(10分)(2023·亳州期末)细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题. O=+1=2,S1=; O=12+=3,S2=; O=12+=4,S3=;…. (1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述规律:O=________,Sn=________　;  (2)若一个三角形的面积是,计算说明是第几个三角形? (3)求出+++…+的值. 【解析】(1)结合已知数据,可得:O=n;Sn=; 答案:n　 (2)若一个三角形的面积是,根据Sn==,∴=2=, ∴是第20个三角形; (3)+++…+=+++…+= ==. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理(90分钟　100分) 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.下列各组数,是勾股数的是 ( ) A.,, B.0.3,0.4,0.5 C.6,7,8 D.5,12,13 2.我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载,勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的,故又称之为“商高定理”;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释,并给出了另外一个证明,下面四幅图中,不能证明勾股定理的是 ( ) 3.在平面直角坐标系中,已知点A(1,-5),B(-3,7),线段AB长为 ( ) A.12 B.4 C.4 D.16 4.(2023·廊坊质检)一直角三角形的三边分别为2,3,x,以x为边长的正方形的面积为 ( ) A. B.13 C.5或13 D. 或 5.如图,在△ABC中,点D是AB上一点,连接CD,AC=2,BC=2,DB=1,CD=,则AB的长为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 6.如图,在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(2,4),以点O为圆心,OA长为半径画弧,交x轴的正半轴于B点,则点B的坐标是 ( ) A.(2,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,2) 7.(规律探索问题)(2023·烟台中考)如图,正方形ABCD边长为1,以AC为边作第2个正方形ACEF,再以CF为边作第3个正方形FCGH,…,按照这样的规律作下去,第6个正方形的边长为 ( ) A.(2)5 B.(2)6 C.()5 D.()6 8.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=6,点P是线段AC上一动点,点M在线段AB上,当AM=AB时,PB+PM的最小值为 ( ) A.3 B.2 C.2+2 D.3+3 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.如图,在△ABC中,∠C=90°,c=2,则a2+b2+c2= .  10.(数学传统文化)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何?”其意思为:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少?(1丈=10尺,1尺=10寸)如图, 设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 .  11.如图,已知△ABO为等腰三角形,且OA=AB=5,B(-6,0),则点A的坐标为 .  12.观察以下几组勾股数,并寻找规律:请你写出有以上规律的第⑤组勾股数: .  ①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41. 13.如图,在离水面高度为5 m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13 m,此人以0.5 m/s的速度收绳,10 s后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了 m.(假设绳子是直的,结果保留根号)  14.活动探究:已知两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等,已知△ABC中,∠A=30°, AC=3,∠A所对的边为,满足已知条件的三角形有两个(我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形),则满足已知条件的三角形的第三边长为 .  三、解答题(共52分) 15.(8分)求下列图形中阴影部分的面积. 16.(8分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,四边形ABCD的顶点均在格点上. (1)直接写出线段AC,CD,AD的长; (2)求∠ACD的度数; (3)求四边形ABCD的面积. 17.(8分)(2023·中山期中)如图,小区有一块三角形空地ABC,计划将这块空地种上三种不同的花卉,中间用小路AD,DE隔开,DE⊥AB.经测量,AB=15米,AC=13米,AD=12米,DC=5米. (1)求BD的长; (2)求小路DE的长. 18.(8分)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一.它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人入迷. (1)应用场景——在数轴上画出表示无理数的点. 如图1,在数轴上找出表示3的点A,过点A作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=2,以原点O为圆心,OB长为半径作弧,则弧与数轴的交点C表示的数是________.  (2)应用场景2——解决实际问题. 如图2,秋千静止时,踏板离地的垂直高度BE=1 m,将它往前推6 m至C处时,水平距离CD=6 m,踏板离地的垂直高度CF=4 m,它的绳索始终拉直,求绳索AC的长. 19.(10分)如图,A,B两个村庄在河CD的同侧,两村庄的距离为a千米,a2=13,它们到河CD的距离分别是1千米和3千米.为了解决这两个村庄的饮水问题,乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A,B两村输送水. (1)在图上作出向A,B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M.(只需作图,不需要证明) (2)经预算,修建水厂需30万元,铺设水管的所有费用平均每千米为3万元,其他费用需5万元,求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元. 20.(10分)(2023·亳州期末)细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题. O=+1=2,S1=; O=12+=3,S2=; O=12+=4,S3=;…. (1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述规律:O=________,Sn=________ ;  (2)若一个三角形的面积是,计算说明是第几个三角形? (3)求出+++…+的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$