精品解析：山东省淄博市张店区第八中学2024--2025学年上学期九年级数学阶段诊断卷（10月份）

初四数学阶段诊断卷10月21日 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各图象中，y是x的函数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果函数是二次函数，那么k等于（ ） A. 3 B. 0 C. －2 D. －1 5. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（ ）米 A. B. C. D. 7. 已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，在x轴上，，点A在函数的图象上，将沿翻折，点B恰好落在此函数图象上的点D处，则k的值为（ ） A. B. C. D. 9. 将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（　　） A. 3 B. 8 C. 2 D. 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，拋物线与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 在中，已知，是锐角，若，则的度数为________． 12. 设函数与的图象的交点坐标为，则的值为_______. 13. 如图，在边长1正网格中，A、B、C都在格点上，AB与CD相交于点D，则sin ∠ADC=_____． 14. 已知实数x，y满足，则的最大值为 _____． 15. 如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且，若△OBC的面积等于3，则k的值为__________． 三、解答题（共8小题，共90分） 16. 已知α、β均为锐角，且满足，求的值． 17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数交于点，两点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数的关系式和点B的坐标； （2）求的面积． 18. 如图，抛物线与直线的两个交点分别为，． （1）求a，b，c的值； （2）连接，求的面积； （3）点P在y轴上，且的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 19. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且． （1）求反比例函数表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 20. 小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为16米，坡面上的影长为8米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度． 21. 项目学习 主题：设计遮阳篷 素材1 武汉是我国火炉城市之一， 夏季高温多雨， 日照时间长， 平均年日照时数2000 小时左右， 大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳篷．北半球在一年中， 冬至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最小； 夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最大． 素材2 图1是武汉市区一家商店， 大门朝南， 设计了遮阳篷．图2是其示意图， 设计了垂直于墙面的遮阳䇰（横截面为直角）．表示大门高度．夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的最大夹角为； 冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的最小夹角为． 任务1 如图2， 设素材2中， 米， 米， 夏至正午太阳光与地面夹角为α，冬至正午太阳光与地面夹角为β， 设遮阳篷为直角．遮阳篷要满足两个条件既让夏天的阳光刚好不射入室内；又能让冬天的太阳光刚好全部射入室内． （1）在中，用含β、m的式子表示遮阳篷高的长： ______． （2）在中，用含α、h、m的式子表示遮阳篷高CB的长： ___． （3）用含α、β、h的式子表示遮阳篷CD的长： _________． 任务2 武汉冬至日正午太阳光与地平面的夹角是， 夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．若素材2中的商店门高为3米，还要求夏天正午时刻， 门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据： 、、； ，，． 任务 3 在任务1， 2的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能， 所以考虑遮阳篷往下倾斜， 如图4， 即把遮阳篷改造为横截面如的样子， 与水平面夹角为， 那么遮阳篷的最小宽度 约是___________．（精确到 米）参考数据：，，． 22. 如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得B、C两处的距离为海里． （1）求A、C两处的距离； （2）突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号） 23. 如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求3m+n的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学阶段诊断卷10月21日 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：因为抛物线， 所以抛物线的顶点坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键． 2. 在下列各图象中，y是x的函数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义：在变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，即可进行判断． 【详解】解：由题意可知，第一、二、三图象y都是x的函数，第四个不是，共三个符合， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是函数定义，掌握函数图象的特征是解题的关键． 3. 若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了计算器的使用方法，牢记计算器的按键顺序是解题的关键； 首先找到的按键符号，即键，然后根据键的使用方法，结合题目，即可得出答案． 【详解】解：按下键，再按键，再按下0.1890即可，A项符合题意 故选：A． 4. 如果函数是二次函数，那么k等于（ ） A. 3 B. 0 C. －2 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数定义．根据题意利用二次函数一般形式：形如“（，a、b、c为常数”的函数为二次函数，即可列方程求解得到本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 5. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 6. 如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（ ）米 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于，过点作于点，由坡度的定义得，求得，再证是等腰直角三角形，得，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡度坡角问题，证明为等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过点作于点， 斜面坡度为， ， ， 在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 解得： 故选：C． 7. 已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵三点都在二次函数的图象上， ∴到对称轴的距离最远，在对称轴上， ∴． 故选：B． 8. 如图，中，，，在x轴上，，点A在函数的图象上，将沿翻折，点B恰好落在此函数图象上的点D处，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据折叠的性质可得，，根据含角的直角三角形的性质可得和的长，设，则点，，根据点和点在同一个反比例函数的图象上，列方程，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： ，， 根据折叠，可得，， ， ， ， 根据勾股定理，可得， ∵中，，，， ∴， 设， 则点，， 点和点在同一个反比例函数的图象上， ， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 9. 将反比例函数y＝的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3），B（，）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（　　） A. 3 B. 8 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点A、B的坐标可求出OA、OB的长，以及OA、OB与x轴的夹角，进而可得到旋转前各个点的对应点的坐标，以及原直线的关系式，进而求出旋转前C′、D′的坐标，画出相应图形，结合反比例函数的图象，可求出面积 【详解】解：连接OA、OB，过点A、B，分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N， ∵点A（－3，3），B（，）， ∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝， ∴OA＝＝6，OB＝＝3， ∵tan∠AOM＝＝， ∴∠AOM＝60°， 同理，∠BON＝30°， 因此，旋转前点A所对应的点A′（0，6），点B所对应的点B′（3，0）， 设直线A′B′的关系式为y＝kx＋b，故有，，解得，k＝－2，b＝6， ∴直线A′B′的关系式为y＝－2x＋6， 由题意得，，解得，， 因此，点C、D在旋转前对应点的坐标为C′（1，4），D′（2，2），如图2所示， 过点C′、D′，分别作C′P⊥x轴，D′Q⊥x轴，垂足为P、Q， 则，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2， ∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2＋4）×（2－1）＝3， 故选：A． 【点睛】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，旋转的性质，求出直线AB在旋转前对应的函数关系式是解决问题的关键． 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，拋物线与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与轴的交点判断，抛物线与轴交点的个数确定． 根据已知条件得到当时，，即，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线，即，得到，故②正确；根据已知条件得到方程有两个相等的实数根，得到，故③正确；根据抛物线的开口向下，得到，于是得到直线与抛物线没交点，即可得到一元二次方程没实数根，故④正确． 【详解】∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵与轴的一个交点在点和之间， ∴当时，，即，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，即， 时，， 即，故②正确； ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ∴，故③正确； ∵抛物线的开口向下， ， ∴直线与抛物线没交点， ∴一元二次方程没实数根，故④正确； 综上，①②③④正确． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 在中，已知，是锐角，若，则的度数为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的三角函数值．根据绝对值和偶次方的非负性可得：，，从而可得，，进而可得，，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 12. 设函数与的图象的交点坐标为，则的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由两函数的交点坐标为（m，n），将x=m，y=n代入反比例解析式，求出mn的值，代入一次函数解析式，得出m+n的值，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算后，把mn及m+n的值代入即可求出值． 【详解】∵函数与y=-x+2的图象的交点坐标是（m，n）， ∴将x=m，y=n代入反比例解析式得：n＝，即mn=-3， 代入一次函数解析式得：n=-m+2，即m+n=2， ∴＝ ， 故答案为：． 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，其中将x=m，y=n代入两函数解析式得出关于m与n的关系式是解题的关键． 13. 如图，在边长1正网格中，A、B、C都在格点上，AB与CD相交于点D，则sin ∠ADC=_____． 【答案】## 【解析】 【分析】将转化成其他相等的角，在直角三角形中，利用正弦函数值的定义求解即可． 【详解】解：延长CD交正方形的另一个顶点为，连接BE，如下图所示： 由题意可知：，， 根据正方形小格的边长及勾股定理可得：，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查了勾股定理和求解正弦值，熟练地找到所求角在的直角三角形，利用正弦函数值的定义进行求解，这是解决该题的关键． 14. 已知实数x，y满足，则的最大值为 _____． 【答案】6 【解析】 【详解】本题考查了二次根式的性质，把原式变形为，然后利用二次函数的性质求解即可． 【分析】用x表示y，将y转化为x的二次代数式即可解决问题． 解：由题知， ， 则 ． 则当时， 有最大值为：6． 故答案为：6． 15. 如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且，若△OBC的面积等于3，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设C（x，y），BC=a．过D点作DE⊥OA于E点．根据DE∥AB得比例线段表示点D坐标；根据△OBC的面积等于3得关系式，列方程组求解． 【详解】设C（x，y），BC=a． 则AB=y，OA=x+a． 过D点作DE⊥OA于E点． ∵OD：DB=1：2，DE∥AB， ∴△ODE∽△OBA，相似比为OD：OB=1：3， ∴DE=AB=y，OE=OA=（x+a）． ∵D点在反比例函数的图象上，且D（（x+a），y）， ∴y•（x+a）=k，即xy+ya=9k， ∵C点在反比例函数的图象上，则xy=k， ∴ya=8k． ∵△OBC的面积等于3， ∴ya=3，即ya=6． ∴8k=6，k=． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共90分） 16. 已知α、β均为锐角，且满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质和特殊角的三角函数值求出，再把特殊角的三角函数值代入代数式，进行计算即可得到答案，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴由题意可得，， 则，， 那么， ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数交于点，两点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数的关系式和点B的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为，， （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式和点坐标即可； （2）先求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 【小问1详解】 解： 点，在反比例函数图象上， ， ，， 反比例函数解析式为，， 【小问2详解】 解：点，在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为， 令，则， ， ． 18. 如图，抛物线与直线的两个交点分别为，． （1）求a，b，c的值； （2）连接，求的面积； （3）点P在y轴上，且的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）3 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设直线与y轴交于点C，先求出点C的坐标，再根据，即可求解； （3）设点P的坐标为，可得，根据的面积是面积的2倍，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， 把，代入得： ，解得：； 【小问2详解】 解：如图，设直线与y轴交于点C， 由（1）得：直线的解析式为， 当时，， ∴点，即， ∴； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴，即， 解得：或6， ∴点P的坐标为或． 19. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过作轴于点，且． （1）求反比例函数表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据直线解析式求点坐标，得的长度；根据三角函数定义可求的长度，得点的横坐标；根据点在直线上可求点的坐标．从而可求的值； （2）根据反比例函数解析式可求点坐标；作点关于轴的对称点，连接与轴的交点就是满足条件的点位置，进而即可求解． 此题考查反比例函数与一次函数的综合应用，三角函数定义，涉及线路最短问题，难度中等． 【小问1详解】 解：由可知，即． ， ． 轴， 点的横坐标为1． 点在直线上， 点的纵坐标为4．即． 点在上， ． ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：存在．过程如下： 过点作关于轴的对称点，连接，交轴于，连接，如图所示： 此时最小． 点在反比例函数上， ，即点的坐标为． 与关于轴的对称， 的坐标为． 设直线的解析式为． 把和代入，得， 解得 直线的解析式为． 令，得． 点坐标为， 20. 小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为16米，坡面上的影长为8米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】要求树的高度，考虑将其放在直角三角形中求解．在中，，则，，求得 （米），（米）．在中，求得（米），从而得 （米）．在中，由求解即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，作于点． 在中，，米， （米），（米）． 在中， 同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，（米），， （米）， （米）． 在中，（米）， 故树的高度是米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、掌握锐角三角函数的概念、熟练运用勾股定理是解题的关键． 21. 项目学习 主题：设计遮阳篷 素材1 武汉是我国火炉城市之一， 夏季高温多雨， 日照时间长， 平均年日照时数2000 小时左右， 大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳篷．北半球在一年中， 冬至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最小； 夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的夹角最大． 素材2 图1是武汉市区一家商店， 大门朝南， 设计了遮阳篷．图2是其示意图， 设计了垂直于墙面的遮阳䇰（横截面为直角）．表示大门高度．夏至这一天的正午时刻， 太阳光线与地平面的最大夹角为； 冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的最小夹角为． 任务1 如图2， 设素材2中， 米， 米， 夏至正午太阳光与地面夹角为α，冬至正午太阳光与地面夹角为β， 设遮阳篷为直角．遮阳篷要满足两个条件既让夏天的阳光刚好不射入室内；又能让冬天的太阳光刚好全部射入室内． （1）在中，用含β、m的式子表示遮阳篷高的长： ______． （2）在中，用含α、h、m的式子表示遮阳篷高CB的长： ___． （3）用含α、β、h的式子表示遮阳篷CD的长： _________． 任务2 武汉冬至日正午太阳光与地平面的夹角是， 夏至日正午太阳光与地平面的夹角是．若素材2中的商店门高为3米，还要求夏天正午时刻， 门前设计能有1米宽的阴影．图3是其示意图，求遮阳篷的长．（精确到米）参考数据： 、、； ，，． 任务 3 在任务1， 2的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能， 所以考虑遮阳篷往下倾斜， 如图4， 即把遮阳篷改造为横截面如的样子， 与水平面夹角为， 那么遮阳篷的最小宽度 约是___________．（精确到 米）参考数据：，，． 【答案】任务1：（1），（2），（3）；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意构造直角三角形是解题的关键． 任务1：利用三角函数解，可得答案； 任务2：过点F作于点H，利用三角函数解，得出，再利用三角函数解，得出，进而得出，列出等式，求出m即可； 任务3：作于点C，结合（2）中结论，利用三角函数解即可． 【详解】解：任务1： 由题意知，，， （1）在中，，即， ； （2）在中，，即， ， ； （3）由（1）（2）可得， ， 即， 故答案为：（1），（2），（3）； 任务2： 由题意知，，设米， 在中，， ， 如图，过点F作于点H，可得， 在中，， ， ， 解得， 即遮阳篷的长为． 任务3： 如图，作于点C，则， 由任务2可得， 在中，，即， ， 故答案为：． 22. 如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得B、C两处的距离为海里． （1）求A、C两处的距离； （2）突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号） 【答案】（1）、两处的距离为20海里； （2）救援船到达处所用的时间为小时． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过作于点，由含角的直角三角形的性质得海里，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）过点作于点，由锐角三角函数定义得海里，海里，则海里，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1，过作于点， 由题意得：海里，，， （海里），是等腰直角三角形， （海里）， 答：、两处的距离为20海里； 【小问2详解】 解：如图2，过点作于点， 在中，海里，， （海里）， （海里）， （海里）， 在中，由勾股定理得：（海里）， （小时）， 答：救援船到达处所用的时间为小时． 23. 如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求3m+n的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 【答案】(1)9；(2)点Q的坐标为(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)；(3)b＝﹣3或﹣． 【解析】 【分析】(1)求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解； (2)分CP＝PQ、CP＝CQ、CQ＝PQ，分别求解即可； (3)分两种情况，分别求解即可． 【详解】解：(1)直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3， 故点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)， 将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得： ， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为(1，0)，顶点P的坐标为(2，1)， 3m+n＝12﹣3＝9； (2) ①当CP＝CQ时， C点纵坐标为PQ中点的纵坐标相同为﹣3， 故此时Q点坐标为(2，﹣7)； ②当CP＝PQ时， ∵PC=， ∴点Q的坐标为(2，1﹣)或(2，1+)； ③当CQ＝PQ时， 过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣， 当x＝2时，y＝﹣，即点Q的坐标为(2，﹣)； 故：点Q的坐标为(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)； (3)图象翻折后的点P对应点P′的坐标为(2，﹣1)， ①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， 此时C、P′、B三点共线，b＝﹣3； ②当直线y＝x+b与翻折后的图象只有一个交点时， 此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点； 即：x2﹣4x+3＝x+b，△＝52﹣4(3﹣b)＝0，解得：b＝﹣． 即：b＝﹣3或﹣． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及的知识点有待定系数法求二次函数解析式，一次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，二次函数的翻折变换及二次函数与一元二次方程的关系.难点在于(3)，关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度较大.本题也考查了分类讨论及数形结合的数学思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $