精品解析：山东省聊城市临清市实验高级中学2024-2025学年高三上学期期中考前考试一（10月）数学试题

2024-2025学年高三年级第一学期期中考前考一数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 无数个 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（ ） A B. C. D. 6. 若函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设，用表示不超过的最大整数.已知数列满足，若，数列的前项和为，则（ ） A. 4956 B. 4965 C. 7000 D. 8022 8. 若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量，的夹角是 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 直线与的图象所有交点的横坐标之和为 11. 已知，且.若，，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知，点是边上一点，若，则__________. 13. 等比数列的前项和记为，若，则__________. 14. 已知曲线，若曲线恰有一个交点，则实数的取值范围__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求的值； （2）若，且的面积为，求的周长. 16. 设函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数） 17. 在数列中，. （1）求证：数列为等比数列； （2）设数列满足，求数列前项和的最小值. 18 已知函数. （1）当时，求曲线在处切线方程； （2）若函数，求函数极值点的个数； （3）当时，若在上恒成立，求证：. 19. 已知数列的首项为为数列的前项和，，其中. （1）若是和的等差中项，求数列的通项公式； （2）在（1）的条件下，记集合，若将所有元素从小到大依次排列构成一个新数列为数列的前项和，求使得成立的的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高三年级第一学期期中考前考一数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法和乘法运算化简，再根据几何意义确定复数所在象限即可. 【详解】由题意可得， 则复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D. 2. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，建立不等式，求出不等式的整数解个数即可. 【详解】依题意，， 即，且， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递增 当时，，函数在上单调递减， ， 显然当时，， 所以，中元素的个数为. 故选：B 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出时的范围，再根据充分条件，必要条件的定义即可求解. 【详解】由，解得或， 又“或”“”， “” “或”， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 4. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的解集得出系数的关系及的正负，然后由基本不等式求得范围． 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以且，即且， ， ，则，，当且仅当时等号成立， 所以， 故选：D． 5. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出，再利用导数求出单调递减区间. 【详解】函数，求导得，则， 由曲线在点处的切线方程为，得，解得， 于是，由，得，而，解得， 所以函数在内的单调递减区间是. 故选：A 6. 若函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出函数的导数并且通过导数求出原函数的单调区间，进而得到函数的极值，从而求出的范围． 【详解】由题意可得：． 令，则或，令，则， 所以函数的单调增区间为和，减区间为， 所以当时函数有极大值，当时函数有极小值， 若函数的图象与函数的图象恰有三个不同的交点， 所以实数的取值范围是． 故选：B． 7. 设，用表示不超过的最大整数.已知数列满足，若，数列的前项和为，则（ ） A. 4956 B. 4965 C. 7000 D. 8022 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出数列的通项公式，再根据求出的各项值，最后计算. 【详解】当时，，因为，所以. 当时，，. 两式相减得：，即. 当时，. 那么（）. 当时，也满足.当时，也满足. 所以. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 当时，，. 可以发现当时，，共个. 当时，，所以，共有个. 当时，，所以，共有个. 当时，，所以，共有个. 则. 故选：B. 8. 若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知不等式的解集是不等式的解集的子集，根据集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设不等式的解集，不等式的解集， 由题意知，， 又不等式，解得，或， 即， 又不等式， 当，即时，解得，即，满足， 当时，解得，即，满足， 当，即时，解得，即， 要使，则，解得 综上知，， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是将问题转化为集合包含关系求参数的范围，再解含参数的不等式讨论什么时候符合条件. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量，的夹角是 【答案】BD 【解析】 【分析】AB选项，由向量平行和垂直得到方程求出答案；C选项，先计算出，利用模长得到方程，求出的值；D选项，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】A选项，由，得，解得，则A错误， B选项，由，得，解得，则B正确， C选项，由， 因为，所以，解得或，则C错误． D选项，由，得，， 则， 因为，所以， 从而向量，的夹角是，故D正确． 故选：BD 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 若，则的最小值为 D. 直线与的图象所有交点的横坐标之和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由图象可知函数中的值，利用周期可求得可判断A选项；利用图象中的点坐标可求出函数的表达式，进而可求得函数的表达式，结合三角函数的图象与性质可判断B、C选项；把代入函数的表达式建立方程，把区间内的的值求出来相加即可判断D选项. 【详解】由图象可知，，解得，，故A正确； 又因为，所以，则，， 又因为，所以， 所以函数的表达式为， 则将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 ， 对于B，令，，可得，， 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，因为，所以的最大、最小值分别为和， 最小正周期为，当时，则、分别为函数最大、最小值， 所以，故C错误； 对于D，令，得，或，， 解得，或，， 又因为，所以或或或， 所以直线与的图象所有交点的横坐标之和为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知，且.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数分别求出函数单调性与最值，结合合理转化，转化为 函数，利用的单调性与最值，逐项判断，即可求解. 【详解】由，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为. 因为，，， 所以， 由，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为. 因为，，， 所以， A：要证，即证， 又在上单调递减，所以， 由，即证，即证， 设，则， 令，得， 所以函数单调递减，且，所以，即， 所以在上单调递减，得，即，所以，故A正确； B：由题意知，，所以， 得，又在上单调递增，所以，即，故B错误； C：由，，所以， 又在上单调递减，所以，即，故C正确； D：令， 得，所以函数在上单调递减，且， 又，得，即， 所以，得，所以，即，故D错误.. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数求出函数的单调性与最值后，注意到，进而合理转化为函数的最值问题. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知，点是边上一点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得，再代入，即可求得. 【详解】 由题意，， 所以 . 故答案为：. 13. 等比数列的前项和记为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知公比，设首项为，根据等比数列公式，由求出，再代入求出，由此求得. 【详解】设首项为， 因为，显然， 所以， 所以，即， 所以，解得， 又因为，所以， 当时，，， 当时，，此时 故答案为：. 14. 已知曲线，若曲线恰有一个交点，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】将交点问题转化为函数零点问题，导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解． 【详解】曲线，，若曲线，恰有一个交点． 即只有一个零点，， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，此时函数无零点，不合题意； 则当时，；则，即, 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；又， 由得，即，所以， 当时，， 则存在，使得， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；此时， 由得当时，，，所以， 此时， 存在，使得， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求的值； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式化简求解； （2）由，得到，再由的面积为，得到，然后利用余弦定理求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，所以. 因为的面积为，所以， 所以，则. 由余弦定理可得， 即，所以，则. 故的周长为. 16. 设函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数） 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导可得，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，构造函数，其中，转化为最值问题，即可求解. 【小问1详解】 当时，的定义域为， ， 令，则，解得， 令，则，解得. 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 令，则. 令，其中， 则. 令，解得，令，解得. 的单调递减区间为，单调递增区间为， . 又，函数在上有两个零点， 的取值范围是. 17. 在数列中，. （1）求证：数列为等比数列； （2）设数列满足，求数列的前项和的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对式子变形可得，即可取对数，根据等比数列的定义求证， （2）根据式子变形可得，即可利用裂项相消法求和，结合数列的单调性即可求解最值. 【小问1详解】 证明：因为， 整理得，，通分，. 由于，故， ， ， ，而，则， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，则， ，所以. ， 由于单调递增，故单调递增， 则，所以数列的最小值为. 18 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数，求函数极值点的个数； （3）当时，若在上恒成立，求证：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线斜率，进而可得切线方程； （2）求导，结合二次方程解的情况分情况讨论函数单调性，进而可得极值点情况； （3）由在上恒成立，得在上恒成立，构造函数，可转化为，根据导数可求得，即可转化为，证明成立，即证明，可转化为，构造新函数，结合函数单调性及最值情况可得证. 【小问1详解】 当时，，则， 所以切线斜率， 又， 则切线方程为； 【小问2详解】 由已知， 则， 对于方程，， ①当时，，则，在上单调递增，此时没有极值点； ②当时，设方程的两根为，，不妨设， 则，， 即， 所以当或时，， 当时，， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 此时，是函数的两个极值点； ③当时，设方程的两根为，， 则，， 故，， 所以当时，，单调递增，此时没有极值点； 综上所述，当时，函数有两个极值点； 当时，函数没有极值点； 【小问3详解】 由在上恒成立， 得在上恒成立， 设，， 当时，，在上单调递增，此时显然不恒成立. 当时，若，则，在上单调递增， 若，则，在上单调递减， 所以， 所以， 要证成立，因为，即证明 因为， 令，，， 令得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以， 所以成立. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 19. 已知数列首项为为数列的前项和，，其中. （1）若是和的等差中项，求数列的通项公式； （2）在（1）的条件下，记集合，若将所有元素从小到大依次排列构成一个新数列为数列的前项和，求使得成立的的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，递推一项两式相减可得，即可得出是以为首项，2为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式. （2）将与中的项从小到大排列，再通过列举法推算出所处位置在到之间的某个位置，在到之间分别算出与对比找到满足条件最小的. 【小问1详解】 由①知，当时②， 两式相减可得，因为， 若，可得，依次递推可得， 则可得，与已知矛盾， 故， 所以从第二项开始是公比为的等比数列，当时， 代入可得，即， 所以是公比为等比数列，又是和的等差中项， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 ， 则新数列为， 由上可得规律： 新数列中元素2前只有1个元素，且到之间有1个元素，到之间有2个元素， 到之间有4个元素，到之间有8个元素，到之间有16个元素，依次类推， 2､数列中.外，其它元素均来自集合， 由上，元素之前（含），新数列共有元素个数为个，其中个来自个来自， 则， 元素之前（含），新数列共有元素个数为个，其中个来自个来自， 则， 所以成立的的最小值出现在到之间的某个位置， 其中间元素有， 则 而， ， ， 综上，，而，所以使得成立的的最小值为. 【点睛】关键点点睛：（1）需要求出，代入递推公式即可求解； （2）需要算出新组成数列中中的元素以及中的元素，罗列出满足的最小值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$