两角和与差的正弦余弦和正切公式学案-2025届高三一轮基础复习

两角和与差的正弦、余弦和正切公式---高三一轮基础复习 学习目标： 1.会用两角和与差的正弦，余弦和正切公式进行简单的三角函数的求值，化简，计算等.（重点） 2.熟悉两角和与差的正弦，余弦和正切公式的常见变形，并能灵活运用.（难点） 【夯实基础，对点训练】 知识点一： cos(α＋β)＝ cos(α－β)＝ 记忆要点： （一）教材例习题对点整合 例题：（1）(教材例2 ) 已知，，，是第三象限角，求的值. 【分析】由平方关系得出，的值，再利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】解：由，，得. 又由，是第三象限角，得. 所以. （2） (教材例3 ) 已知，是第四象限角，求的值. 解：由，是第四象限角，得， ； 练习： 1.（教材利用和（差）角的余弦公式，求下列各式的值： （1） （2） （3） （4）； （5）； （6） 【答案】 （1） （2） （3） （4） (5) 0 （6） 【解析】 （1） （2）利用两角和的余弦公式计算即可求解； （3）解：； （4）解：； （5）由公式，得. （6）结合诱导公式、逆用两角差的余弦公式直接求解即可； ； 2. （教材已知，，求的值． 【答案】 【分析】首先利用平方关系求出，再利用两角差的余弦公式计算可得； 【详解】解：因为，，所以，因为，所以 所以 3. 已知，是第二象限角，求的值. 【答案】 【分析】由平方关系得出，再利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由，是第二象限角，得 所以 4.（教材 已知，，，，求的值. 【答案】 【分析】由平方关系得出，的值，再利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由，，得 由，，得 所以 （二）十年高考真题对点精选 1.（2017·全国·高考真题）已知，tanα=2，则= ． 【答案】 【详解】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以． 2.（2017·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则= . 【答案】 【详解】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），所以. 知识点二： sin(α＋β)＝ sin(α－β)＝ 记忆要点： （1） 教材例习题整合 例题：（教材 已知，是第四象限角，求的值. 解：由，是第四象限角，得， 于是有； 练习： 1.（教材利用和（差）角的正弦公式，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． （6）； （7）； （8）； （9）. 【答案】（1） （2） (3) （4） （5） （6） （7） （8） （9）. 【解析】 （1）. （2）. （3）. （4）； （5） ． （6） ； （7） ； （8） ； （9）. 2.（教材已知，，求的值； 【答案】（1）； 【解析】 【详解】解：（1）因为，，所以，因为，所以，所以 （二）十年高考真题对点精选 1．（2015·全国·高考真题）= A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式= ==，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 知识点三： tan(α＋β)＝ tan(α－β)＝ 记忆要点： 注意使用条件：α，β，α＋β，α－β≠kπ＋ (k∈Z) 常见变形： （一）教材例习题对点整合 例题：（教材 已知，是第四象限角，求的值. 解：由，是第四象限角，得， 所以. . 练习： 1.（教材利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 【答案】 （1） （2） （3） （4）； 【详解】（1）. （2）由公式及，得 . （3）解：； （4）； 3.（教材已知，求值． 【答案】 【详解】解：因为，所以 （二）十年高考真题对点精选 1.（2019·全国·高考真题）tan255°= A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+ 【答案】D 【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】详解：= 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，所以，，所以， 故选：B. 3.（2018·全国·高考真题）已知，则 ． 【答案】 【分析】方法一：利用两角差的正切公式展开，解方程可得. 【详解】［方法一］：直接使用两角差的正切公式展开 因为，所以，解之得． 故答案为：． ［方法二］：整体思想＋两角和的正切公式 ． 故答案为：． 4．（2017·江苏·高考真题）若,则 . 【答案】 【详解】 故答案为. 5.（2017·全国·高考真题）已知，tanα=2，则= ． 【答案】 【详解】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以． 【提升能力，分类训练】 类型一：公式的变形或灵活应用 例题：（教材已如，是第三象限角，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】逆用两角差的正弦公式以及诱导公式得出，根据平方关系得出，结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】∵，∴， ∴，又是第三象限角，∴. 因此. 练习： 1.（多选）下列四个式子中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用诱导公式判断A、B，利用两角差的正切、正弦公式判断C、D. 【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：BCD 2.（教材化简： （1）； （2）； （3）； （4）. （5）； （6）； （7）； （8）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. （5）；（6）；（7）；（8）. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式. （5）； （6）； （7）； （8） 4.（教材 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）； （2）. 解：（1）. 因此，所求周期为，最大值为2，最小值为-2. （2）设，则. 于是，，于是，所以. 取，则，. 由可知，所求周期为，最大值为5，最小值为-5. 4.（教材化简： （1）； （2） （3）； （4） 【答案】（1）4；（2）-1（3）-1；（4）1 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 （3）原式 （4）原式 5. (教材 )（1）证明：； （2）求的值； （3）若，求的值. （4）求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2（4） 【详解】（1）证明： =右边， （2）解：. （3）解： . （4）解：， ． 6.（教材（1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）， ． （2）因为，， 所以，， 上述两式相加得 即解得 类型二：角的变换 例题：（教材 已知都是锐角，，求的值.（提示：.） 【答案】 【详解】解：由是锐角，得. 因为是锐角，所以. 又因为，所以， 所以. 练习： 1.（2015·江苏·高考真题）已知，，则的值为 ． 【答案】3 【详解】，故答案为3. 2. 计算下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1）（2） 【详解】 ． （2）＝＝＝. 3.（教材）已知，，求的值. 【答案】. 【详解】，， 又，， 则 . 4. （教材（1）已知都是锐角，，求的值； （2）已知，求的值 （3）已知都是锐角，，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）已知，都是锐角，，． ，， . （2）， ， 又， ，， . . （3）已知，都是锐角，，，，，， ． 40. （2018·江苏·高考真题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值． 【答案】（1）；（2） 详解：解：（1）因为，，所以． 因为，所以， 因此，． （2）因为为锐角，所以． 又因为，所以， 因此． 因为，所以， 因此，． 【综合应用，巩固训练】 1.的值为( ). A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由余弦的差角公式得 ，故选B. 2.（2020·全国·高考真题）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（    ） A．–2 B．–1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】，， 令，则，整理得，解得，即. 故选：D. 3.（2020·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值. 【详解】由题意可得：， 则：，， 从而有：， 即. 故选：B. 4．（2021·全国乙卷·高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值. 【详解】由题，，所以的最小正周期为，最大值为. 故选：C． 5.（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 6．（2022·全国新Ⅱ卷·）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 7.（多选）已知θ是锐角，那么下列各值中，sinθ＋cosθ不能取得的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的范围，从而得出结论. 【详解】解：，， 又 ， ， . 选项A在此范围，其余选项都不在此范围， 故正确答案：BCD. 8.下列计算正确的有（    ） A． B． C．在处取得最大值，则 D．已知，，且，则 【答案】ABD 【分析】A选项根据和两角差的正切公式求解；B选项补上一个后，可反复利用二倍角公式，结合诱导公式求解；C选项利用辅助角公式求解，D选项利用向量的运算化简，然后利用同角的三角函数的平方关系求解. 【详解】对于A， ， 故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，，其中， 当，即时，取得最大值， 此时，故C错误； 对于D，，则， 边同时平方可得：，故，故D正确． 故选：ABD 9.（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 10.（2018·全国·高考真题）已知，，则 ． 【答案】 【分析】方法一：将两式平方相加即可解出． 【详解】［方法一］：【最优解】 两式两边平方相加得，． ［方法二］： 利用方程思想直接解出 ，两式两边平方相加得，则． 又或，所以． 11．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 【答案】 1 【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可. 【详解】∵，∴ ∴ 故答案为：1， 12.（2024·全国新Ⅱ卷·13）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 13.（教材在中，已知是x的方程的两个实根，求. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根与系数关系，结合两角和的正切公式直接求解即可. 【详解】解：是x的方程， 即的两个实根. ， . 由于. 14.已知，且，，求的值． 【答案】 【解】因为，，且， 所以， ， 所以 ． 因为， 所以，所以． 15.（教材）（1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数的最大值和最小值. 【答案】（1）周期为，单调递增区间为. （2）最大值为，最小值为 【分析】 （1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和单调性求解即可； （2）利用辅助角公式直接求解即可. 【详解】解：（1） ，最小正周期为； 由，得 ∴单调递增区间为. （2），其中，的最大值为，最小值为. 15.（教材）如图正方形的边长为,分别为边上的点,当的周长为时,求的大小. 【答案】 【详解】试题分析：分析设出角，然后借助于正方形的性质得到 结合内角和为直角，间接法得到 进而表示所求的角的大小． 设则,则 即 考点：本题主要是考查运用三就爱哦函数表示边长，进而结合两角和差的关系式得到结论． 点评：解决该试题的关键是能根据边表示出的正切值，借助于两角差的正切公式得到结论． 两角和与差的正弦余弦正切公式1 学科网（北京）股份有限公司 $$