专题01 空间向量的线性运算9考点复习指南（讲+练）-【题海探秘】2024-2025学年高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册） 专题01 空间向量的线性运算9考点复习指南 知识1：几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识2：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识3：共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 拓展:对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识4：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 知识5：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识6：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 考点1 空间向量基本概念 1．（22-23高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D．    3．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 4．（22-23高二上·湖南·期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 5．（21-22高二上·福建南平·期中）给出下列命题 ①空间中所有的单位向量都相等； ②方向相反的两个向量是相反向量； ③若满足，且同向，则； ④零向量的方向是任意的； ⑤对于任意向量，必有． 其中正确命题的序号为（    ） A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤ 考点2 空间向量的加减运算 6．（23-24高二上·吉林·期末）在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形中，化简（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·海南·期中）在三棱柱中，（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·湖南永州·期中）如图，已知平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·河南郑州·期中）如图，分别是长方体的棱的中点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 考点3 空间向量的数乘运算 12．（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 14．（21-22高二上·湖北·阶段练习）在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 15．（河南省郑州市第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学（文）试题）空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·天津南开·期中）在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 考点4 空间共线向量定理及应用 17．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．（23-24高二上·福建福州·期中）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 19．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 20．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 考点5 空间共面向量定理及应用 23．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知向量，，共面，则实数t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 24．（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 25．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 26．（22-23高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 27．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 28．（23-24高二下·广东·期中），，，若，，共面，则实数k为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．（23-24高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 考点6 空间向量基本定理及应用 30．（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 31．（9-10高二下·浙江杭州·期中）已知正方体中，点E为的中点，若，（x，）则x，y的值分别为（    ） A．1，1 B．1， C．， D．，1 32．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 33．（23-24高二上·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 34．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 考点7 空间向量数量积的概念 35．（22-23高二上·湖北襄阳·阶段练习）设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（20-21高二上·浙江宁波·期中）下列命题中，为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 37．（21-22高二上·北京·期中）设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（    ） A．、一定共面 B．、、一定不共面 C． D． 考点8 求空间向量数量积 38．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则（    ） A． B． C． D． 39．（18-19高二上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 40．（23-24高二下·江苏淮安·期中）平行六面体 中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高二下·江苏扬州·期中）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示）点P是正方形的中心，则向量 ． 42．（23-24高二下·福建龙岩·期中）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 43．（21-22高二上·福建三明·开学考试）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 考点9 空间向量数量积的应用 44．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 45．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 47．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 48．（15-16高二上·山东潍坊·期末）已知向量，向量， (1)求向量，，的坐标； (2)求与所成角的余弦值. 49．（16-17高二下·山东济宁·期末）如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为 . 50．（21-22高二上·北京海淀·阶段练习）已知空间向量． (1)若，求； (2)若，求的值． 51．（10-11高二下·江西上饶·阶段练习）设． (1)若，求k； (2)若，求k． 52．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（23-24高一下·海南海口·期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（20-21高二上·安徽合肥·期末）笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在长方体中，（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·贵州安顺·期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设，则（    ）    A． B． C． D．1 7．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 8．（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知空间向量，，，且，，共面，则实数（    ） A． B． C．0 D．1 11．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 13．（2024·河北·模拟预测）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，分别为的中点，且，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈长度为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·福建龙岩·期中）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则与一定共线 C．若，则AB与CD为同一线段 D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面 16．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知空间向量，，且，则（    ） A． B． C．1 D．17 17．（23-24高二下·福建厦门·期末）在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二下·河南焦作·期末）如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 19．（22-23高二上·山西晋中·期末）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 20．（广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题）如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知向量，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．3 23．（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 24．（2023高二·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 26．（23-24高二上·四川成都·期中）给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·天津南开·期中）在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 29．（23-24高二上·重庆·期中）已知三棱锥，E，F分别是，的中点，G在上且满足：，过E，F，G三点的平面与相交于点H，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 31．（23-24高二下·福建漳州·期末）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）已知平行六面体的底面为矩形，，，，则（   ） A．3 B． C． D． 33．（21-22高二上·浙江金华·期末）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 34．（23-24高一下·吉林·期末）已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 35．（23-24高二下·甘肃白银·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 36．（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）    A．CC1⊥BD B． C．夹角是60° D．直线与直线的距离是 37．（23-24高二下·江苏扬州·期中）下列给出的命题正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B．两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 38．（23-24高二下·江苏连云港·期中）棱长为1的正方体 中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 三、填空题 40．（23-24高二上·江苏·阶段练习）在空间直角坐标系中，请写出一个单位向量的坐标为 .（写出一个符合题意的坐标即可） 41．（23-24高二下·江苏扬州·期中）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示）点P是正方形的中心，则向量 ． 42．（11-12高二上·江苏常州·期中）如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 . 43．（23-24高一下·重庆黔江·阶段练习）由二维平面向量可以类比得到三维空间向量一些公式，比如若， 则，等.非零向量，若.若，，则与、向量垂直的单位向量的坐标是（写出一个即可） 44．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则 . 45．（23-24高一下·河北邢台·期末）如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是 . 四、解答题 46．（23-24高二下·江苏淮安·期中）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 47．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知点 (1)表示出，并求 (2)证明：与四点共面 48．（22-23高二上·河南平顶山·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 49．（23-24高二上·江苏镇江·期末）如图，在平行六面体中，，，，，设，，. (1)用向量，，表示并求 (2)求的值和异面直线与的夹角余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019选择性必修第一册） 专题01 空间向量的线性运算9考点复习指南 知识1：几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识2：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识3：共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 拓展:对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识4：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 知识5：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识6：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 考点1 空间向量基本概念 1．（22-23高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误； 单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误； 向量不能比较大小，故C错误； 相等向量其方向必相同，故D正确； 故选：D. 2．（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可. 【详解】    如图所示，可知是的相反向量. 故选：A 3．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确， 故选：D 4．（22-23高二上·湖南·期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】C 【分析】根据个选项，可判断选项A、B、D正确，选项C，零向量方向是无限的，但是任意向量方向是确定的，故可作出判断. 【详解】由已知， 选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确； 选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确； 选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误； 选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确. 故选：C. 5．（21-22高二上·福建南平·期中）给出下列命题 ①空间中所有的单位向量都相等； ②方向相反的两个向量是相反向量； ③若满足，且同向，则； ④零向量的方向是任意的； ⑤对于任意向量，必有． 其中正确命题的序号为（    ） A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤ 【答案】C 【分析】根据向量相等的条件否定①；根据相反向量的定义否定②；根据向量不能比较大小否定③；根据零向量的定义和规定判定④；根据向量的加法的几何意义结合向量的模的概念判定⑤正确. 【详解】对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误； 对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误； 对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误； 对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，为任意的，故④正确； 对于⑤，为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确． 综上，正确的命题序号为④⑤， 故选：C. 考点2 空间向量的加减运算 6．（23-24高二上·吉林·期末）在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得，代入即可得出答案. 【详解】 因为点G是CD的中点， 所以， 所以. 故选:C. 7．（23-24高二下·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】, 故选:A    8．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形中，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减运算求解. 【详解】. 故选：B 9．（23-24高二上·海南·期中）在三棱柱中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算向量的减法，然后再计算加法，由此可得结果. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 10．（23-24高二上·湖南永州·期中）如图，已知平行六面体，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量加法公式进行计算. 【详解】． 故选：C． 11．（23-24高二上·河南郑州·期中）如图，分别是长方体的棱的中点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量加减法则判断各项的正误. 【详解】对A，，A正确； 对B，，B错误； 对C，，C错误； 对D，，D错误. 故选：A 考点3 空间向量的数乘运算 12．（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C 13．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】，，， 则． 故选：A． 14．（21-22高二上·湖北·阶段练习）在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，分别是，的中点， 所以，， 所以 . 故选：C 15．（河南省郑州市第一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学（文）试题）空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形和题设条件，利用向量的加减数乘运算即得. 【详解】 如图，连结，因，点为的中点，则， 于是，. 故选：B. 16．（23-24高二上·天津南开·期中）在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】在正四面体中， 因为平面，所以是的中心，连接， 则， 所以 . 故选：B. 考点4 空间共线向量定理及应用 17．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 18．（23-24高二上·福建福州·期中）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】利用空间向量平行证明三点共线即可. 【详解】因为，，若、、三点共线， 则，而无解，故A错误. 因为，若、、三点共线， 则，而无解，故B错误. 因为、、， 所以，即， 所以、、三点共线，故选C正确. 因为、、， 所以，若、、三点共线， 则，而无解，故D错误. 故选：C. 19．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C．10 D．13 【答案】B 【分析】根据三点共线，可得空间向量共线，即存在实数，使得，结合向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得， 解得． 故选：B. 20．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的共线定理即可求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 可得，解得， 所以. 故选：C. 21．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，得，然后利用空间共线平行向量即可求解. 【详解】由题意知，，，且设， 所以得，故，逐项检验后A正确. 故选：A. 22．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 考点5 空间共面向量定理及应用 23．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知向量，，共面，则实数t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用空间共面向量定理，设实数满足，列出方程组求解即可. 【详解】因为，，三向量共面， 所以存在实数，使得， 所以，解得， 故选：B. 24．（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据共面向量定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，，三个向量共面，所以A错误， 对于B，因为，所以，，三个向量共面，所以B错误， 对于C，假设，，三个向量共面，则存在实数，使， 所以三个向量共面， 因为是空间的一个基底，所以三个向量不共面， 所以假设错误，所以，，三个向量不共面，所以C正确， 对于D，因为，所以，，三个向量共面，所以D错误， 故选：C 25．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论. 【详解】由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数使得，且， 显然选项A，C不成立； 对于选项B，由可得， 不合题意，即B错误； 对于D，化简可得， 满足，可得D正确； 故选：D 26．（22-23高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【详解】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 27．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 28．（23-24高二下·广东·期中），，，若，，共面，则实数k为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用空间向量共面定理列式求解即可. 【详解】由于共面，则存在，使得， 又， 故， 故，解得. 故选：D. 29．（23-24高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，根据空间向量的线性运算法则， 可得， 因为，可得， 所以. 故选：B. 考点6 空间向量基本定理及应用 30．（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】设实数使得，从而得到方程组，求出答案. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以存在实数使得，即， 即， 因为是空间的一个基底，则，解得. 故选：B. 31．（9-10高二下·浙江杭州·期中）已知正方体中，点E为的中点，若，（x，）则x，y的值分别为（    ） A．1，1 B．1， C．， D．，1 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性计算再根据平面向量基本定理得出参数. 【详解】, 所以. 故选：C. 32．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解. 【详解】， 又，所以， 所以. 故选：B 33．（23-24高二上·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 故选：C 34．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解即可. 【详解】结合图形可知： 是的中点，,, ， 是的中点，, , 即, ，，. 故选：C. 考点7 空间向量数量积的概念 35．（22-23高二上·湖北襄阳·阶段练习）设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可． 【详解】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若，不共线且不垂直，则，故C不一定正确． 故选：C. 36．（20-21高二上·浙江宁波·期中）下列命题中，为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】B 【解析】对A，D利用反例即可判断；对B，由向量模的坐标运算即可判断；对C，由向量无法比较大小即可判断. 【详解】解：对A，若，则满足，，但不一定满足，故A错误； 对B，由，得：，故B正确； 对C，向量无法比较大小，故C错误； 对D，当时，，故D错误. 故选：B. 37．（21-22高二上·北京·期中）设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（    ） A．、一定共面 B．、、一定不共面 C． D． 【答案】B 【分析】利用共面向量的定义可判断AB选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【详解】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A对； 对于B选项，、、可能共面，也可能不共面，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：B. 考点8 求空间向量数量积 38．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取，，为基底，表示出，，再利用向量数量积的运算求解. 【详解】如图： 取，，为基底，则，， 所以. 又，. 所以. 故选：C 39．（18-19高二上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义即可求解. 【详解】，. 故选：B 40．（23-24高二下·江苏淮安·期中）平行六面体 中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量运算法则得到，再利用数量积公式进行运算得到，从而求出. 【详解】因为六面体是平行六面体， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B 41．（23-24高二下·江苏扬州·期中）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示）点P是正方形的中心，则向量 ． 【答案】1 【分析】根据数量积的定义和运算性质，即可求得答案. 【详解】设中点为，正方形的中心为. ∵ 且 又∵， ∴. 故答案为：1. 42．（23-24高二下·福建龙岩·期中）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共线定理即可表示出，进而再求的坐标即可运算. 【详解】∵，点Q在直线OP上运动， ∴可设. 又向量，， ∴，， 则. 易得当时，取得最小值. 故选：B. 43．（21-22高二上·福建三明·开学考试）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并求点的坐标. 【详解】因为点在直线上运动，， 所以，则，则，则，， 所以， 时，取最小值，此时， 故答案为： 考点9 空间向量数量积的应用 44．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求解模长即可. 【详解】因为空间单位向量两两垂直, 所以， 所以 . 故选：A. 45．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求结论. 【详解】因为 所以， . 故选：B. 46．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 【答案】B 【分析】依题意可得，将两边平方，根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】依题意可得，，，， ，． ， ， ，即的长为. 故选：B． 47．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 48．（15-16高二上·山东潍坊·期末）已知向量，向量， (1)求向量，，的坐标； (2)求与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直、平行的条件即可求解； （2）利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为向量，所以，解得：，， 则，， 又因为，则，解得， 所以 （2）由（1）知， 所以，， 则，，， 即与所成角的余弦值 49．（16-17高二下·山东济宁·期末）如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为 . 【答案】 【分析】利用向量的加法，转化为，直接求模长即可. 【详解】因为. 所以 所以. 故答案为：. 50．（21-22高二上·北京海淀·阶段练习）已知空间向量． (1)若，求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，则得，由向量模的坐标运算求解即可； （2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，则得，由空间向量的夹角公式求解即可． 【详解】（1）空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得，所以， 则． （2）因为，则，解得， 所以， 故． 51．（10-11高二下·江西上饶·阶段练习）设． (1)若，求k； (2)若，求k． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由空间向量线性运算的坐标表示求得，再由向量共线的坐标表示求参数； （2）根据向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】（1）由题设， 若，则，可得； （2）若，则， 所以. 52．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示向量. 【详解】在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点， 则. 故选：A 2．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由空间向量共线的坐标表示建方程组求解即可. 【详解】由，得， 解得，所以， 故选：A. 3．（23-24高一下·海南海口·期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据向量共面的条件对选项逐一分析即可. 【详解】构成空间的一组基底，则不共线， 假设共面，则存在不全为零的实数，使，即， 则，则，与不共线矛盾，故不共面； ，故共面； ，故共面； ，故共面. 故选：. 4．（20-21高二上·安徽合肥·期末）笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图写出点的坐标，然后再利用关于轴对称的点的性质写出对称点的坐标. 【详解】由图可知，点，所以点关于轴对称的点的坐标为. 故选：A. 5．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）在长方体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量加法法则计算出答案. 【详解】. 故选：A 6．（23-24高二上·贵州安顺·期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设，则（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据图形，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】， ， ， ， 即，，， 所以. 故选：B 7．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再借助空间向量基本定理求解即得. 【详解】在四面体中，由分别为线段的中点， 得， 而，由空间向量基本定理得：， 所以. 故选：A 8．（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C 9．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】依题意可得 . 故选：C 10．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知空间向量，，，且，，共面，则实数（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】因为三个向量共面，由向量的基本定理可知存在实数，使得， 代入计算即可. 【详解】因为共面， 所以存在实数，使得， 即 所以，解得. 故选：D. 11．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量四点共面列式即可得解. 【详解】因为， 所以点与，，共面等价于，即. 故选：A. 12．（23-24高二上·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 故选：C 13．（2024·河北·模拟预测）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，分别为的中点，且，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出，同理可得，即可得解. 【详解】依题意，，， 所以，，， 又， 所以 ， 所以，同理可得， 所以丝线缠一圈长度为. 故选：C 14．（23-24高二下·福建龙岩·期中）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共线定理即可表示出，进而再求的坐标即可运算. 【详解】∵，点Q在直线OP上运动， ∴可设. 又向量，， ∴，， 则. 易得当时，取得最小值. 故选：B. 15．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则与一定共线 C．若，则AB与CD为同一线段 D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面 【答案】B 【分析】A，由判断即可；BC，利用共线向量的定义判断即可；D，举例判断即可. 【详解】A.当时，满足，但不是钝角，故A错误； B.当时，，所以与一定共线，故B正确； C.当时，则与共线，但线段与可能只是平行关系，故C错误； D.如图所示： 设， 显然满足与，与，与都是共面向量，但､､不共面，故D错误； 故选：B. 16．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知空间向量，，且，则（    ） A． B． C．1 D．17 【答案】A 【分析】根据空间向量平行的坐标关系运算求解. 【详解】， ，，即， ，解得， . 故选：A. 17．（23-24高二下·福建厦门·期末）在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的夹角公式和数量积的运算律，即可求解异面直线夹角. 【详解】由题知，，令为与所成夹角， 则 . 故选：A 18．（23-24高二下·河南焦作·期末）如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加、减、数乘运算，将所求向量用表示即可求解. 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 因此. 故选：A. 19．（22-23高二上·山西晋中·期末）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且， 所以 ． 故选：C． 20．（广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题）如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 21．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据空间向量共线的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得解. 【详解】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故. 故选：D. 22．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知向量，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据条件得到，再利用向量相等，即可求出结果. 【详解】因为，，三点共线，则，又向量，， 所以，解得， 故选：B. 23．（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助空间向量的线性运算计算即可得. 【详解】 ，故A、B错误； ，故C错误、D正确. 故选：D. 24．（2023高二·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值. 【详解】，， ， ，，，. 故选：A. 25．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 26．（23-24高二上·四川成都·期中）给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误； 对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误； 对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误； 对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确. 故选：B. 27．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，设在基底下的坐标为，根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解. 【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为， 所以， 所以， 所以在基底下的坐标为. 故选：A 28．（23-24高二上·天津南开·期中）在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】在正四面体中， 因为平面，所以是的中心，连接， 则， 所以 . 故选：B. 29．（23-24高二上·重庆·期中）已知三棱锥，E，F分别是，的中点，G在上且满足：，过E，F，G三点的平面与相交于点H，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长交于点P，根据平面基本定理，即可作出过E，F，G三点的平面与的交点H，作，推出，再作，即可推出，即可求得答案. 【详解】由题意，即G为靠近C的四等分点，F为CD的中点， 如图，延长交于点P，则平面，平面， 又平面，连接EP，则平面，而平面， 显然不平行，则二者相交，交点即为过E，F，G三点的平面与的交点H， 作，交于M，F为CD的中点， 则≌，则，结合，则， 由于，故， 作，交于N，则， 而E为AB的中点，即，故， 又，故，即， 故选：C 30．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知正四面体的棱长为1，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】对结合化简得，从而可知点在平面内，所以当平面时，最小，从而可求得结果. 【详解】因为，， 所以， ， 所以， 所以， 因为不共线，所以共面， 所以点在平面内， 所以当平面时，最小， 取的中点，连接，则点在上，且， 所以， 即的最小值为. 故选：B 31．（23-24高二下·福建漳州·期末）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解. 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用球心，将转化为，然后分析点位置即可. 32．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）已知平行六面体的底面为矩形，，，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积计算即得. 【详解】由，得，， 而，则，又， 所以. 故选：A 33．（21-22高二上·浙江金华·期末）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离d，再根据等体积法计算d 【详解】因为， 由空间向量的共面定理可知，点四点共面， 即点E在平面上，所以的最小值为点到平面的距离d， 由正方体棱长为1，可得是边长为的等边三角形， 则，， 由等体积法得，，所以， 所以的最小值为. 故选：C 二、多选题 34．（23-24高一下·吉林·期末）已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BCD 【分析】根据向量共面的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：令，则，解得，即，，共面，故A选项不符合题意； B选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故B选项符合题意； C选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故C选项符合题意； D选项：设，则，此方程组无解，，，不共面，故D选项符合题意； 故选：BCD. 35．（23-24高二下·甘肃白银·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解. 【详解】在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形， ，A正确，B错误； ，D正确，C错误. 故选：AD 36．（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）    A．CC1⊥BD B． C．夹角是60° D．直线与直线的距离是 【答案】ABD 【分析】设，依题得运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项. 【详解】    如图，设， 则 对于A，因， 则，故A正确； 对于B，因，， 则，故B正确； 对于C，，则， 且 设夹角为，则，因，则，即C错误； 对于D,在平行六面体中，易得, 则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离. 因， 且， 则，故D正确. 故选：ABD. 37．（23-24高二下·江苏扬州·期中）下列给出的命题正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B．两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D．对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 【答案】BC 【分析】利用空间向量研究线面、面面关系可判定A、B，利用基底的概念可判定C，利用空间中四点共面的推论可判定D. 【详解】易知，则直线l与平面平行或在面内，故A错误； 易知，则，故B正确； 若不能作为基底， 则存在，使得， 整理得， 又是空间的一组基底，则，显然方程无解，假设不成立，故C正确； 由空间四点共面的推论可知：若，且时， 四点共面，所以D错误. 故选：BC 38．（23-24高二下·江苏连云港·期中）棱长为1的正方体 中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】建立适当空间直角坐标系后，表示出对应向量并逐项计算即可得. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、、， 对A：，，故，故A正确； 对B：，，则，故B错误； 对C：，，则，故C错误； 对D：，，则，故D正确. 故选：AD. 39．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 【答案】AC 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 三、填空题 40．（23-24高二上·江苏·阶段练习）在空间直角坐标系中，请写出一个单位向量的坐标为 .（写出一个符合题意的坐标即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，由单位向量的模长为，即可得到结果. 【详解】因为单位向量的模长为，不妨令， 则可得一个单位向量的坐标为. 故答案为： 41．（23-24高二下·江苏扬州·期中）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示）点P是正方形的中心，则向量 ． 【答案】1 【分析】根据数量积的定义和运算性质，即可求得答案. 【详解】设中点为，正方形的中心为. ∵ 且 又∵， ∴. 故答案为：1. 42．（11-12高二上·江苏常州·期中）如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 . 【答案】1 【分析】结合是的重心，根据向量的线性运算，代入即可得出． 【详解】D为AB中点，连接OD，CD，有， 是的重心，则G在CD上，且， 即，则有， 所以， 可得，则有. 故答案为：1 43．（23-24高一下·重庆黔江·阶段练习）由二维平面向量可以类比得到三维空间向量一些公式，比如若， 则，等.非零向量，若.若，，则与、向量垂直的单位向量的坐标是（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用向量垂直的坐标表示，先求与、向量垂直的向量，然后由可得. 【详解】设向量与、垂直，则，取得， 所以，与共线的单位向量的坐标为或. 故答案为：（答案不唯一） 44．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以为基底，用基向量表示，再空间向量基本定理待定系数即可. 【详解】在平行六面体中, 因为点M是的中点，点是上的点, 所以 . 又， 由空间向量基本定理得，， 则. 故答案为：. 45．（23-24高一下·河北邢台·期末）如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是 . 【答案】 【分析】利用基底表示向量和，利用数量积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，，且， ， ， ， 由题意可知，，所以，所以. 故答案为： 四、解答题 46．（23-24高二下·江苏淮安·期中）如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，. (1)以为基底表示； (2)若，且，，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合题设条件即可求得； （2）先求出平面的基底两两之间的数量积，再根据（1）中的表示式，两边取平方，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）由图可得，; （2）由题意，， 则， 于是，由两边取平方， ， 故. 47．（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知点 (1)表示出，并求 (2)证明：与四点共面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解， （2）根据平面向量基本定理，即可根据坐标运算求解. 【详解】（1）,所以，故， （2）设， 解的， ，则共面 又因为为公共点，所以这四个点共面 48．（22-23高二上·河南平顶山·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得； （2）首先求出与的坐标，再求出，，，最后由夹角公式计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以； （2）因为，， 则，， 所以，， ， 设向量与夹角为，所以， 所以向量与夹角的余弦值为. 49．（23-24高二上·江苏镇江·期末）如图，在平行六面体中，，，，，设，，. (1)用向量，，表示并求 (2)求的值和异面直线与的夹角余弦值. 【答案】(1)，； (2)1，. 【分析】（1）利用空间向量的基底表示，再利用数量积的运算律计算得. （2）利用向量数量积的运算律及夹角公式求解即得. 【详解】（1）在平行六面体中，， 由，，得，， 所以. （2）依题意，，则， ，则， 所以异面直线与的夹角余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$