18.2.2　菱形 同步练习 2023-2024学年 人教版数学八年级下册

十七　菱形(第1课时) 【A层 基础夯实】 【知识点1】菱形的性质 1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是( ) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC 2.(2023·河南中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为( ) A.6 B.12 C.24 D.48 3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB=2 cm,AC=4 cm,则BD的长为 cm.  4.(2023·徐州质检)如图,已知E是菱形ABCD的边BC上一点,且∠DAE=∠B=80°,那么∠CDE的度数为 .  5.(2023·南充中考)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N. 求证:(1)△ADE≌△CDF. (2)ME=NF. 6.(2023·西宁中考)如图,四边形ABCD是菱形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F. (1)求证:△ABE≌△ADF; (2)若AE=4,CF=2,求菱形的边长. 【知识点2】菱形性质的实际应用 7.(2023·青岛中考)图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中 ∠ABC的度数是 °.  8.如图,木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成,在A,E,F,C,G,H处安装上、下两排挂钩,可以根据需要改变挂钩间的距离,并在B,M处固定.已知菱形ABCD的边长为20 cm,要使两排挂钩的距离(即AC)为32 cm,求B,M之间的距离. 【B层 能力进阶】 9.如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是菱形,A,B两点的坐标分别是(2,2),(-1,-),点D在第一象限,则点D的坐标是( ) A.(6,2) B.(8,2) C.(6,) D.(8,) 10.如图,在菱形纸片ABCD中,E是BC边上一点,将△ABE沿直线AE翻折,使点B落在B'处,连接DB'.已知∠C=120°,∠BAE=50°,则∠AB'D的度数为( ) A.50° B.60° C.80° D.90° 11.(2023·广安中考)如图,菱形ABCD的边长为2,点P是对角线AC上的一个动点,点E,F分别为边AD,DC的中点,则PE+PF的最小值是( ) A.2 B. C.1.5 D. 12.如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=80°,延长BC到E,在∠DCE内作射钱CM,使得∠ECM=30°,过点D作DF⊥CM,垂足为F.若DF=,则BD的长为 (结果保留根号).  13.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,对角线AC与BD交于点O,E为OB中点,F为AD中点,连接EF.求EF的长. 【C层 创新挑战】(选做) 14.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF. (1)判断四边形OEFG的形状,并说明理由; (2)若CD=34,EF=15,求BG的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十七　菱形(第1课时) 【A层 基础夯实】 【知识点1】菱形的性质 1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是(C) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC 2.(2023·河南中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为(C) A.6 B.12 C.24 D.48 3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB=2 cm,AC=4 cm,则BD的长为　8　cm.  4.(2023·徐州质检)如图,已知E是菱形ABCD的边BC上一点,且∠DAE=∠B=80°,那么∠CDE的度数为　30°　.  5.(2023·南充中考)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N. 求证:(1)△ADE≌△CDF. (2)ME=NF. 【证明】(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴DA=DC,∠DAE=∠DCF,AB=CB, ∵BE=BF,∴AE=CF, 在△ADE和△CDF中, , ∴△ADE≌△CDF(SAS); (2)由(1)知△ADE≌△CDF, ∴∠ADM=∠CDN,DE=DF, ∵DA=DC, ∴∠DAM=∠DCN, ∴∠DMA=∠DNC, ∴∠DMN=∠DNM, ∴DM=DN, ∴DE-DM=DF-DN, ∴ME=NF. 6.(2023·西宁中考)如图,四边形ABCD是菱形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F. (1)求证:△ABE≌△ADF; (2)若AE=4,CF=2,求菱形的边长. 【解析】略 【知识点2】菱形性质的实际应用 7.(2023·青岛中考)图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中 ∠ABC的度数是　60　°.  8.如图,木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成,在A,E,F,C,G,H处安装上、下两排挂钩,可以根据需要改变挂钩间的距离,并在B,M处固定.已知菱形ABCD的边长为20 cm,要使两排挂钩的距离(即AC)为32 cm,求B,M之间的距离. 【解析】如图,连接AC,BD交于点O, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AO=AC=16 cm,AC⊥BD, ∴BO===12(cm), ∴BD=2BO=24 cm, ∴BM=3BD=72 cm. 答:B,M之间的距离是72 cm. 【B层 能力进阶】 9.如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是菱形,A,B两点的坐标分别是(2,2),(-1,-),点D在第一象限,则点D的坐标是(B) A.(6,2) B.(8,2) C.(6,) D.(8,) 10.如图,在菱形纸片ABCD中,E是BC边上一点,将△ABE沿直线AE翻折,使点B落在B'处,连接DB'.已知∠C=120°,∠BAE=50°,则∠AB'D的度数为(C) A.50° B.60° C.80° D.90° 11.(2023·广安中考)如图,菱形ABCD的边长为2,点P是对角线AC上的一个动点,点E,F分别为边AD,DC的中点,则PE+PF的最小值是(A) A.2 B. C.1.5 D. 12.如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=80°,延长BC到E,在∠DCE内作射钱CM,使得∠ECM=30°,过点D作DF⊥CM,垂足为F.若DF=,则BD的长为　2　(结果保留根号).  13.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,对角线AC与BD交于点O,E为OB中点,F为AD中点,连接EF.求EF的长. 【解析】略 【C层 创新挑战】(选做) 14.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF. (1)判断四边形OEFG的形状,并说明理由; (2)若CD=34,EF=15,求BG的长. 【解析】略 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十八　菱形(第2课时) 【A层 基础夯实】 【知识点1】菱形的判定 1.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( ) A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60° 3. (2023·齐齐哈尔中考)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件: ,使四边形ABCD成为菱形.  4.(2023·永州中考)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O, OA=3,BD=8,AB=5. (1)△AOB是直角三角形吗?请说明理由; (2)求证:四边形ABCD是菱形. 【知识点2】菱形性质与判定的综合应用 5.如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD⊥CE于点O,点M,N分别是OB,OC的中点,若OB=8,OC=6,则四边形DEMN的周长是( ) A.14 B.20 C.22 D.28 6.如图,①以点A为圆心、2 cm长为半径画弧,分别交∠MAN的两边AM,AN于点B,D;②以点B为圆心,AD长为半径画弧,再以点D为圆心,AB长为半径画弧,两弧相交于点C;③分别连接BC,CD,AC,若∠MAN=60°,则∠ACB的大小为 .  7.(2023·长沙中考)如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD. (1)求证:AC⊥BD; (2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF=,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长. 【B层 能力进阶】 8.(2023·承德质检)如图,在□ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,要使四边形AECF为菱形,现有甲、乙、丙三种方案: 甲:只需要满足∠ABE=∠CBE; 乙:只需要满足AE=CF; 丙:只需要满足AC⊥EF. 则正确的方案是( ) A.甲、乙、丙 B.甲、丙 C.甲、乙 D.乙、丙 9.如图,点F在正五边形ABCDE的内部,四边形ABFE是平行四边形,则∠DAF= ( ) A.18° B.24° C.30° D.36° 10.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形,这个条件可以是 (写出一个即可).  11.(2023·天津期中)如图,四边形ABCD的对角线相交于O,且点O是BD的中点,AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为 .  12.(2023·连云港中考)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使DE=AD,且BE⊥DC. (1)求证:四边形DBCE为菱形; (2)若△DBC是边长为2的等边三角形,点P,M,N分别在线段BE,BC,CE上运动,求PM+PN的最小值. 【C层 创新挑战】(选做) 13.(2023·安徽中考)已知四边形ABCD中,BC=CD,连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE. (1)如图1,若DE∥BC,求证:四边形BCDE是菱形; (2)如图2,连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC. (i)求∠CED的大小; (ii)若AF=AE,求证:BE=CF. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十八　菱形(第2课时) 【A层 基础夯实】 【知识点1】菱形的判定 1.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是(B) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是(A) A.AB=BC B.AC=BC C.∠B=60° D.∠ACB=60° 3. (2023·齐齐哈尔中考)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件:　AD∥BC(或AB=CD或OB=OD或∠ADB=∠CBD等)　,使四边形ABCD成为菱形.  4.(2023·永州中考)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O, OA=3,BD=8,AB=5. (1)△AOB是直角三角形吗?请说明理由; (2)求证:四边形ABCD是菱形. 【解析】略 【知识点2】菱形性质与判定的综合应用 5.如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD⊥CE于点O,点M,N分别是OB,OC的中点,若OB=8,OC=6,则四边形DEMN的周长是(B) A.14 B.20 C.22 D.28 6.如图,①以点A为圆心、2 cm长为半径画弧,分别交∠MAN的两边AM,AN于点B,D;②以点B为圆心,AD长为半径画弧,再以点D为圆心,AB长为半径画弧,两弧相交于点C;③分别连接BC,CD,AC,若∠MAN=60°,则∠ACB的大小为　30°　.  7.(2023·长沙中考)如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD. (1)求证:AC⊥BD; (2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF=,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长. 【解析】略 【B层 能力进阶】 8.(2023·承德质检)如图,在□ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,要使四边形AECF为菱形,现有甲、乙、丙三种方案: 甲:只需要满足∠ABE=∠CBE; 乙:只需要满足AE=CF; 丙:只需要满足AC⊥EF. 则正确的方案是(B) A.甲、乙、丙 B.甲、丙 C.甲、乙 D.乙、丙 9.如图,点F在正五边形ABCDE的内部,四边形ABFE是平行四边形,则∠DAF= (A) A.18° B.24° C.30° D.36° 10.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形,这个条件可以是　AF=AE(答案不唯一)　(写出一个即可).  11.(2023·天津期中)如图,四边形ABCD的对角线相交于O,且点O是BD的中点,AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为　24　.  12.(2023·连云港中考)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使DE=AD,且BE⊥DC. (1)求证:四边形DBCE为菱形; (2)若△DBC是边长为2的等边三角形,点P,M,N分别在线段BE,BC,CE上运动,求PM+PN的最小值. 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∵DE=AD,∴DE=BC, ∵点E在AD的延长线上,∴DE∥BC, ∴四边形DBCE是平行四边形, ∵BE⊥DC,∴平行四边形DBCE是菱形; (2)略 【C层 创新挑战】(选做) 13.(2023·安徽中考)已知四边形ABCD中,BC=CD,连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE. (1)如图1,若DE∥BC,求证:四边形BCDE是菱形; (2)如图2,连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC. (i)求∠CED的大小; (ii)若AF=AE,求证:BE=CF. 【解析】略 学科网（北京）股份有限公司 $$