18.1.1　平行四边形的性质 同步练习 2023-2024学年 人教版数学八年级下册

十一　平行四边形的性质(第1课时) 【A层 基础夯实】 【知识点1】平行四边形中有关线段和角的计算 1.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段BC的延长线上,若 ∠DCE=128°,则∠A=( ) A.32° B.42° C.52° D.62° 2.(2023·湘潭中考)在□ABCD中(如图),连接AC,已知∠BAC=40°,∠ACB=80°,则 ∠BCD=( ) A.80° B.100° C.120° D.140° 3.(2023·淮安中考)如图,在□ABCD中,CA⊥AB,若∠B=50°,则∠CAD的度数是 .  【知识点2】平行四边形中的有关证明 4.(2023·南充中考)如图,在□ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF. 求证:(1)AE=CF; (2)BE∥DF. 5.如图,在□ABCD中,BD是它的一条对角线. (1)求证:△ABD≌△CDB; (2)尺规作图:作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F(不写作法,保留作图痕迹); (3)连接BE,若∠DBE=25°,求∠AEB的度数. 【知识点3】平行线间的距离 6.已知直线a,b,c在同一平面内,且a∥b∥c,a与b的距离为5 cm,b与c的距离为2 cm,则a与c的距离是( ) A.3 cm B.7 cm C.3 cm或7 cm D.以上都不对 7.如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,EG⊥CD于点G,∠EFG=45°,FG= 6 cm,则AB与CD间的距离为 cm.  8.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,DE∥BC,点A到DE的距离是1,求DE与BC的距离. 【B层 能力进阶】 9.将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上,∠EFG=90°,∠EGF=60°,∠AEF=50°,则∠EGC的度数为( ) A.100°　 B.80°　 C.70°　 D.60° 10.(2023·凉山州中考)如图,□ABCO的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(1,2).则顶点B的坐标是 .  11.如图,在□ABCD中,CE⊥AB,交BA的延长线于点E,若∠BCD=125°,则∠AFC的度数为 .  12.如图,四边形ABCD为平行四边形,AB=2,BC=3.按以下步骤作图:①分别以点C和点D为圆心,大于CD的长为半径作弧,两弧交于M,N两点;②作直线MN.若直线MN恰好经过点A,则平行四边形ABCD的面积是 .  13.(易错警示题)平行四边形一个内角的角平分线分对边为3和4两部分,则平行四边形的周长为 .  14.如图,在平行四边形ABCD中,CB=2AB,∠DCB的平分线交DA于点E,交BA的延长线于点F,连接BE. (1)求证:DE=AE; (2)若∠DAF=70°,求∠BEA的度数. 【C层 创新挑战】(选做) 15.(教材再开发·P50T10拓展)综合与实践 【问题情境】 (1)如图1,在□ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,则EF的长为________;  【知识拓展】 (2)把“问题情境”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变. ①当点E与点F重合时,求AB的长; ②当点E与点C重合时,求EF的长. 【综合运用】 (3)把“问题情境”中的条件“AB=8,AD=5”去掉,其余条件不变,当点E,F在C,D中间,且点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时,如图2,图3所示,求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十一　平行四边形的性质(第1课时) 【A层 基础夯实】 【知识点1】平行四边形中有关线段和角的计算 1.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点E在线段BC的延长线上,若 ∠DCE=128°,则∠A=(C) A.32° B.42° C.52° D.62° 2.(2023·湘潭中考)在□ABCD中(如图),连接AC,已知∠BAC=40°,∠ACB=80°,则 ∠BCD=(C) A.80° B.100° C.120° D.140° 3.(2023·淮安中考)如图,在□ABCD中,CA⊥AB,若∠B=50°,则∠CAD的度数是 　40°　.  【知识点2】平行四边形中的有关证明 4.(2023·南充中考)如图,在□ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF. 求证:(1)AE=CF; (2)BE∥DF. 【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAF=∠BCE, 在△ADF与△CBE中,, ∴△ADF≌△CBE(ASA),∴AF=CE, ∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF; (2)∵△ADF≌△CBE, ∴∠AFD=∠CEB,∴BE∥DF. 5.如图,在□ABCD中,BD是它的一条对角线. (1)求证:△ABD≌△CDB; (2)尺规作图:作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F(不写作法,保留作图痕迹); (3)连接BE,若∠DBE=25°,求∠AEB的度数. 【解析】略 【知识点3】平行线间的距离 6.已知直线a,b,c在同一平面内,且a∥b∥c,a与b的距离为5 cm,b与c的距离为2 cm,则a与c的距离是(C) A.3 cm B.7 cm C.3 cm或7 cm D.以上都不对 7.如图,直线AB,CD被直线EF所截,AB∥CD,EG⊥CD于点G,∠EFG=45°,FG= 6 cm,则AB与CD间的距离为　6　cm.  8.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,DE∥BC,点A到DE的距离是1,求DE与BC的距离. 【解析】∵在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4, ∴BC===5, ∴点A到BC的距离为=, ∵DE∥BC,∴DE与BC的距离是-1=. 【B层 能力进阶】 9.将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上,∠EFG=90°,∠EGF=60°,∠AEF=50°,则∠EGC的度数为(B) A.100°　 B.80°　 C.70°　 D.60° 10.(2023·凉山州中考)如图,□ABCO的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(1,2).则顶点B的坐标是 　(4,2)　.  11.如图,在□ABCD中,CE⊥AB,交BA的延长线于点E,若∠BCD=125°,则∠AFC的度数为　145°　.  12.如图,四边形ABCD为平行四边形,AB=2,BC=3.按以下步骤作图:①分别以点C和点D为圆心,大于CD的长为半径作弧,两弧交于M,N两点;②作直线MN.若直线MN恰好经过点A,则平行四边形ABCD的面积是　4　.  13.(易错警示题)平行四边形一个内角的角平分线分对边为3和4两部分,则平行四边形的周长为　20或22　.  14.如图,在平行四边形ABCD中,CB=2AB,∠DCB的平分线交DA于点E,交BA的延长线于点F,连接BE. (1)求证:DE=AE; (2)若∠DAF=70°,求∠BEA的度数. 【解析】(1)∵CE是∠DCB的平分线,∴∠DCE=∠BCF,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=DC,∴∠DCE=∠CFB, ∴∠BCF=∠CFB,∴BC=BF, ∵BC=2AB,∴BF=2AB, ∴A为BF的中点,∴AB=AF, ∴AB=DC=AF,在△DEC和△AEF中, ∴△DEC≌△AEF(AAS),∴DE=AE. (2)略 【C层 创新挑战】(选做) 15.(教材再开发·P50T10拓展)综合与实践 【问题情境】 (1)如图1,在□ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,则EF的长为________;  【知识拓展】 (2)把“问题情境”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变. ①当点E与点F重合时,求AB的长; ②当点E与点C重合时,求EF的长. 【综合运用】 (3)把“问题情境”中的条件“AB=8,AD=5”去掉,其余条件不变,当点E,F在C,D中间,且点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时,如图2,图3所示,求的值. 【解析】略 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十二　平行四边形的性质(第2课时) 【A层 基础夯实】 【知识点1】平行四边形对角线互相平分 1.如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,若△BCO的周长为14,则BC的长为( ) A.12 B.9 C.8 D.6 2.(2023·武汉质检)如图,在□ABCD中,AC⊥BC,AC与BD相交于O,若AB=5,BC=3,则BD的长为( ) A.2　 B. C.2　 D. 3.如图,在□ABCD中,AC,BD交于点O,∠BAO=90°,BD=10 cm,AC=6 cm,则AB的长为 .  4.(2023·泉州期中)如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AD=12 cm,CD=10 cm,则△AOD的周长比△OCD的周长多 cm.  5.如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F.求证:AE=CF. 6.如图,已知□ABCD的对角线AC,BD交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F. (1)求证:OE=OF; (2)若∠FEB=90°,BE=6,BD=13,求EF的长. 【知识点2】平行四边形的面积 7.(2023·咸宁期中)如图,点E在□ABCD的边AD上,△ABE的面积记为S1,△CDE的面积记为S2,△BCE的面积记为S3,则下列结论正确的是( ) A.S1+S2=S3 B.S1+S2>S3 C.S1+S2<S3 D.以上结论都不对 8.如图,在□ABCD中,对角线AC和BD交于点O,BC=8,DB=12,AC=20,则四边形ABCD的面积是( ) A.48 B.40 C.24 D.96 9.如图,在□ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,BD⊥AD,AB=10,AD=8,求OB的长度及□ABCD的面积. 【B层 能力进阶】 10.如图,直线EF经过□ABCD的对角线的交点,若四边形ABCD的面积为30 cm2,则四边形EDCF的面积为( ) A.15 cm2　 B.20 cm2 C.25 cm2　 D.30 cm2 11.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD交于点O,若AC=2AB, ∠BAO=94°,则∠AOD的度数为( ) A.157° B.147° C.137° D.127° 12.平行四边形一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为 .  13.如图,已知□ABCD的周长为18,对角线AC和BD相交于点O,AC⊥BC,若AC=3,S△AOD= .  14.如图,EF过□ABCD对角线交点O,分别交AD,BC于点E,F,若□ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为 .  15.在①AE=CF;②OE=OF;③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上,并完成证明过程. 已知,如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,________(填写序号).  求证:BE=DF. 【C层 创新挑战】(选做) 16.如图,在□ABCD中,BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,交AC于点E,G. (1)求证:BE∥DG,BE=DG; (2)过点E作EF⊥AB,垂足为F.若□ABCD的周长为56,EF=6,求△ABC的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十二　平行四边形的性质(第2课时) 【A层 基础夯实】 【知识点1】平行四边形对角线互相平分 1.如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,若△BCO的周长为14,则BC的长为(D) A.12 B.9 C.8 D.6 2.(2023·武汉质检)如图,在□ABCD中,AC⊥BC,AC与BD相交于O,若AB=5,BC=3,则BD的长为(A) A.2　 B. C.2　 D. 3.如图,在□ABCD中,AC,BD交于点O,∠BAO=90°,BD=10 cm,AC=6 cm,则AB的长为　4 cm　.  4.(2023·泉州期中)如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AD=12 cm,CD=10 cm,则△AOD的周长比△OCD的周长多　2　 cm.  5.如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为点E,F.求证:AE=CF. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO.∵AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠AEO=∠CFO=90°.在△AEO和△CFO中,, ∴△AEO≌△CFO(AAS),∴AE=CF. 6.如图,已知□ABCD的对角线AC,BD交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F. (1)求证:OE=OF; (2)若∠FEB=90°,BE=6,BD=13,求EF的长. 【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB∥CD,OA=OC,∴∠EAO=∠FCO, 在△AOE和△COF中, , ∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF. (2)在□ABCD中,OB=OD=BD=6.5, 在Rt△BOE中,∠BEO=90°,OB=6.5,BE=6, 由勾股定理知:OE===2.5,由(1)知,OE=OF,故EF=2OE=5. 【知识点2】平行四边形的面积 7.(2023·咸宁期中)如图,点E在□ABCD的边AD上,△ABE的面积记为S1,△CDE的面积记为S2,△BCE的面积记为S3,则下列结论正确的是(A) A.S1+S2=S3 B.S1+S2>S3 C.S1+S2<S3 D.以上结论都不对 8.如图,在□ABCD中,对角线AC和BD交于点O,BC=8,DB=12,AC=20,则四边形ABCD的面积是(D) A.48 B.40 C.24 D.96 9.如图,在□ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,BD⊥AD,AB=10,AD=8,求OB的长度及□ABCD的面积. 【解析】在□ABCD中,BC=AD=8, AD∥BC,∵BD⊥AD,AB=10, ∴BD===6. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=BD=3,S□ABCD=AD·BD=8×6=48. 【B层 能力进阶】 10.如图,直线EF经过□ABCD的对角线的交点,若四边形ABCD的面积为30 cm2,则四边形EDCF的面积为(A) A.15 cm2　 B.20 cm2 C.25 cm2　 D.30 cm2 11.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD交于点O,若AC=2AB, ∠BAO=94°,则∠AOD的度数为(C) A.157° B.147° C.137° D.127° 12.平行四边形一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为　14<a<26　.  13.如图,已知□ABCD的周长为18,对角线AC和BD相交于点O,AC⊥BC,若AC=3,S△AOD=　3　.  14.如图,EF过□ABCD对角线交点O,分别交AD,BC于点E,F,若□ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为　12　.  15.在①AE=CF;②OE=OF;③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上,并完成证明过程. 已知,如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,________(填写序号).  求证:BE=DF. 【解析】略 【C层 创新挑战】(选做) 16.如图,在□ABCD中,BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,交AC于点E,G. (1)求证:BE∥DG,BE=DG; (2)过点E作EF⊥AB,垂足为F.若□ABCD的周长为56,EF=6,求△ABC的面积. 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ABC=∠ADC,AD∥BC,AD=BC, ∴∠DAC=∠BCA, ∵BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC, ∴∠ADG=∠CBE, 在△ADG和△CBE中, , ∴△ADG≌△CBE(ASA), ∴DG=BE,∠AGD=∠CEB, ∴∠DGC=∠BEG,∴BE∥DG. (2)略 学科网（北京）股份有限公司 $$