17.1 勾股定理 同步练习 2024-2025学年人教版八年级数学下册

七　勾股定理(第1课时) 【A层 基础夯实】 【知识点1】勾股定理 1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,若∠B=90°,a=6,b=8,则c的长度是( ) A.10 B.2 C.2 D.14 2.如图,正方形ABCD的面积为15,Rt△BCE的斜边CE的长为8,则BE的长为 ( ) A.17 B.10 C.6 D.7 3.若直角三角形的一个锐角是60°,斜边长为1,则此直角三角形周长是 .  4.如图,在△ABC中,AB=13,AC=15,BC边上的高AD=12,求BC的长. 【知识点2】利用勾股定理求面积 5.下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的.每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积,其中S的值恰好等于5的是 ( ) 6.公元3世纪初,中国古代数学家赵爽对《周髀算经》作注释时,创造了“赵爽弦图”.如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是 .  7.如图,所有阴影部分四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形A,C,D的面积依次为4,6,18,则正方形B的面积为 .  8.直角三角形的两直角边分别为7和18,把四个相同的直角三角形拼成如图的正方形,求里面小正方形的面积. 【B层 能力进阶】 9.如果一个直角三角形的两条直角边长分别为 cm和2 cm,则斜边上的高 为 ( ) A. cm B. cm C. cm D.2 cm 10.如图,在长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在点D'处,则重叠部分△AFC的面积为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12 11.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,b的面积分别为5和11,则c的面积为 .  12.(易错警示题)(2023·黄冈质检)直角三角形两边长分别为5和12,则第三边长为 .  13.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求AB的长. 14.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,M为BC的中点,MN⊥AC于点N,求MN的长. 【C层 创新挑战】(选做) 15.已知:在平面直角坐标系中,两点的横向(或纵向)距离可以用两点横坐标(或纵坐标)的差的绝对值来表示. (1)如图,平面内点A坐标为(2,3),点B坐标为(-1,-1),则AB两点的横向距离BC=________,纵向距离AC=________,最后,可得AB=________;  (2)平面内有点M(1,),点N(m,-)(m>0),请参考(1)中方法求线段MN的长.(用含m的式子表示) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七　勾股定理(第1课时) 【A层 基础夯实】 【知识点1】勾股定理 1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,若∠B=90°,a=6,b=8,则c的长度是(B) A.10 B.2 C.2 D.14 2.如图,正方形ABCD的面积为15,Rt△BCE的斜边CE的长为8,则BE的长为 (D) A.17 B.10 C.6 D.7 3.若直角三角形的一个锐角是60°,斜边长为1,则此直角三角形周长是.  4.如图,在△ABC中,AB=13,AC=15,BC边上的高AD=12,求BC的长. 【解析】∵AD⊥BC, ∴∠ADC=∠ADB=90°, 在Rt△ACD中,AC=15,AD=12, ∴CD===9, 在Rt△ABD中,AB=13,AD=12, ∴BD===5, ∴BC=CD+BD=9+5=14. 【知识点2】利用勾股定理求面积 5.下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的.每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积,其中S的值恰好等于5的是 (B) 6.公元3世纪初,中国古代数学家赵爽对《周髀算经》作注释时,创造了“赵爽弦图”.如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是　4　.  7.如图,所有阴影部分四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形A,C,D的面积依次为4,6,18,则正方形B的面积为　8　.  8.直角三角形的两直角边分别为7和18,把四个相同的直角三角形拼成如图的正方形,求里面小正方形的面积. 【解析】设直角三角形中斜边长为c,则小正方形面积为c2,由勾股定理:c2=72+182, 故里面小正方形的面积为182+72=373. 【B层 能力进阶】 9.如果一个直角三角形的两条直角边长分别为 cm和2 cm,则斜边上的高 为 (C) A. cm B. cm C. cm D.2 cm 10.如图,在长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在点D'处,则重叠部分△AFC的面积为 (C) A.6 B.8 C.10 D.12 11.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,b的面积分别为5和11,则c的面积为 　6　.  12.(易错警示题)(2023·黄冈质检)直角三角形两边长分别为5和12,则第三边长为 　13或　.  13.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求AB的长. 【解析】延长AD,BC交于点E,在Rt△ABE中,∠A=60°,∴∠E=30°,在Rt△CDE中,CD=4, ∴CE=2CD=8,BE=BC+CE=6+8=14, 设AB=x,则有AE=2x, 根据勾股定理得:x2+142=(2x)2, 解得x=,即AB=. 14.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,M为BC的中点,MN⊥AC于点N,求MN的长. 【解析】如图,连接AM, ∵AB=AC,点M为BC中点, ∴AM⊥CB(三线合一),BM=CM, ∵AB=AC=5,BC=6,∴BM=CM=3, 在Rt△ABM中,AB=5,BM=3,根据勾股定理得:AM===4, ∵S△AMC=MN·AC=AM·MC, ∴MN==. 【C层 创新挑战】(选做) 15.已知:在平面直角坐标系中,两点的横向(或纵向)距离可以用两点横坐标(或纵坐标)的差的绝对值来表示. (1)如图,平面内点A坐标为(2,3),点B坐标为(-1,-1),则AB两点的横向距离BC=________,纵向距离AC=________,最后,可得AB=________;  (2)平面内有点M(1,),点N(m,-)(m>0),请参考(1)中方法求线段MN的长.(用含m的式子表示) 【解析】略 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八　勾股定理(第2课时) 【A层 基础夯实】 【知识点1】勾股定理在实际问题中的应用 1.两只小鼹鼠在地下同一水平面打洞,一只朝正北方向挖,每分钟挖8 cm,另一只朝正东方向挖,每分钟挖6 cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距 (D) A.50 cm B.120 cm C.140 cm D.100 cm 2.一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口1.5小时后,则两船相距(B) A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里 3.如图,A,C之间隔有一湖,在与AC方向成90°角的CB方向上的点B处测得AB= 50 m,BC=40 m,则A,C之间的距离为　30 m　.  4.(2023·淄博期末)松松同学学习了“勾股定理”之后,为了测量如图所示的风筝的高度CE,测得如下数据: ①测得BD的长度为8米(注:BD⊥CE); ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米; ③牵线放风筝的松松身高1.6米. (1)求风筝的高度CE; (2)若松松同学想风筝沿CD方向下降9米,则他应该往回收线多少米? 【解析】略 【知识点2】利用勾股定理解决立体图形中的最短路线问题 5.如图,长方体木箱的长、宽、高分别为12 m,4 m,3 m,则能放进木箱中的直木棒最长为 (C) A.11 m B.12 m C.13 m D.24 m 6.如图,圆柱形玻璃容器高21 cm,底面周长为48 cm,在容器外侧距下底1 cm的点A处有一只蚂蚁,在蚂蚁正对面距容器上底2 cm的点B处有一滴蜂蜜,则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为　30　cm.  7.如图,在一个长AB为6 m,宽AD为4 m的矩形草地上放着一根长方体木块,已知该木块的较长边和场地宽AD平行,横截面是边长为1 m的正方形,一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是　4　m.  【B层 能力进阶】 8.(数学文化)我国古代数学专著《九章算术》里记载了这样一个问题“今有垣高一丈.倚木于垣,上与垣齐,引木却行一尺,其木至地.问木长几何?”其内容可以表述为:“有一面墙,高1丈,将一根木杆斜靠在墙上,使木杆的上端与墙的上端对齐,下端落在地面上.如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺,则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上,问木杆长多少尺?”(说明:1丈=10尺),此木杆的长度为 (D) A.49尺 B.49.5尺 C.50尺 D.50.5尺 9.(2023·长沙质检)如图,一辆自行车竖直摆放在水平地面上,右边是它的部分示意图,现测得∠B=60°,AB=6,则点A到BC的距离为 (A) A.3 B.3 C.2 D.3 10.(易错警示题)一个圆桶底面直径为16 cm,高为18 cm,有一只小虫从底部点A处爬到上底点B处,则小虫所爬的最短路径长约是　30 cm　.(π取3)  11.如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向与灯塔P的距离为80海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离.(结果保留根号) 【解析】作PC⊥AB于C点,如图, 由题意可得:∠APC=30°,∠BPC=45°,AP=80海里,在Rt△APC中,∠APC=30°,AP=80海里,∴AC=PA=40(海里),PC==40(海里), 在Rt△PCB中,PC=40海里,∠BPC=45°, ∴BC=PC=40海里, ∴PB==40(海里). 【C层 创新挑战】(选做) 12.超速行驶是引发交通事故的主要原因.小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图,观测点设在到街道(直线AO)的距离(线段PO)为120米的点P处.这时,一辆小轿车由点A向点O匀速行驶,测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒,且∠APO=60°,∠BPO=45°.(参考数据:≈1.414,≈1.732) (1)求点A,B之间的距离;(精确到0.1米) (2)请判断此车是否超过了该街道每小时60千米的限制速度,并说明理由. 【解析】(1)在Rt△APO中,∠APO=60°, ∴∠PAO=30°, ∵PO=120米,∴AP=2PO=240米, 根据勾股定理得:AO==120(米) , 在Rt△BPO中,∠BPO=45°,∴∠PBO=45°, ∴BO=PO=120米, ∴AB=AO-BO=120-120≈87.8(米); (2)超过了. 理由:车速为=17.56(米/秒), 限速为≈16.67(米/秒).　　 ∵17.56>16.67, ∴此车超过该街道每小时60千米的限制速度. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八　勾股定理(第2课时) 【A层 基础夯实】 【知识点1】勾股定理在实际问题中的应用 1.两只小鼹鼠在地下同一水平面打洞,一只朝正北方向挖,每分钟挖8 cm,另一只朝正东方向挖,每分钟挖6 cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距 ( ) A.50 cm B.120 cm C.140 cm D.100 cm 2.一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口1.5小时后,则两船相距( ) A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里 3.如图,A,C之间隔有一湖,在与AC方向成90°角的CB方向上的点B处测得AB= 50 m,BC=40 m,则A,C之间的距离为 .  4.(2023·淄博期末)松松同学学习了“勾股定理”之后,为了测量如图所示的风筝的高度CE,测得如下数据: ①测得BD的长度为8米(注:BD⊥CE); ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米; ③牵线放风筝的松松身高1.6米. (1)求风筝的高度CE; (2)若松松同学想风筝沿CD方向下降9米,则他应该往回收线多少米? 【知识点2】利用勾股定理解决立体图形中的最短路线问题 5.如图,长方体木箱的长、宽、高分别为12 m,4 m,3 m,则能放进木箱中的直木棒最长为 ( ) A.11 m B.12 m C.13 m D.24 m 6.如图,圆柱形玻璃容器高21 cm,底面周长为48 cm,在容器外侧距下底1 cm的点A处有一只蚂蚁,在蚂蚁正对面距容器上底2 cm的点B处有一滴蜂蜜,则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 cm.  7.如图,在一个长AB为6 m,宽AD为4 m的矩形草地上放着一根长方体木块,已知该木块的较长边和场地宽AD平行,横截面是边长为1 m的正方形,一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是 m.  【B层 能力进阶】 8.(数学文化)我国古代数学专著《九章算术》里记载了这样一个问题“今有垣高一丈.倚木于垣,上与垣齐,引木却行一尺,其木至地.问木长几何?”其内容可以表述为:“有一面墙,高1丈,将一根木杆斜靠在墙上,使木杆的上端与墙的上端对齐,下端落在地面上.如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺,则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上,问木杆长多少尺?”(说明:1丈=10尺),此木杆的长度为 ( ) A.49尺 B.49.5尺 C.50尺 D.50.5尺 9.(2023·长沙质检)如图,一辆自行车竖直摆放在水平地面上,右边是它的部分示意图,现测得∠B=60°,AB=6,则点A到BC的距离为 ( ) A.3 B.3 C.2 D.3 10.(易错警示题)一个圆桶底面直径为16 cm,高为18 cm,有一只小虫从底部点A处爬到上底点B处,则小虫所爬的最短路径长约是 .(π取3)  11.如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向与灯塔P的距离为80海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离.(结果保留根号) 【C层 创新挑战】(选做) 12.超速行驶是引发交通事故的主要原因.小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图,观测点设在到街道(直线AO)的距离(线段PO)为120米的点P处.这时,一辆小轿车由点A向点O匀速行驶,测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒,且∠APO=60°,∠BPO=45°.(参考数据:≈1.414,≈1.732) (1)求点A,B之间的距离;(精确到0.1米) (2)请判断此车是否超过了该街道每小时60千米的限制速度,并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九　勾股定理(第3课时) 【A层 基础夯实】 【知识点1】在数轴上表示无理数 1.如图,边长为1的正方形ABCD,A,B在数轴上,点A在原点,点B对应实数1,以A为圆心,AC长为半径逆时针画弧交数轴于点E,则点E对应的实数是 (B) A.-1- B.- C. D.-2+ 2. (2023·邢台期末)如图,长方形ABCD的边AD在数轴上,若点A与数轴上表示数-1的点重合,点D与数轴上表示数-4的点重合,AB=1,以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E,则点E表示的数为　-1-　.  3.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的坐标为(-,0),点P的纵坐标为-1,则P点的横坐标为　-4　.  4.在数轴上作出与-所对应的点. 【解析】略 【知识点2】网格中的勾股定理 5.如图是单位长度为1的正方形网格,格点上A,B两点间的距离为 (C) A.4 B.4.5 C.5 D.6 6.如图,边长为1的网格图中,点A,B都在格点上,若AC=,则BC的长为 (A) A. B. C.2 D.3 7.如图,在2×2的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C均为格点,以点A为圆心,AB长为半径作弧,交格线于点D,则CD的长为　2-　.  8.如图1,在6×6网格中,正方形ABCD是格点正方形(顶点是网格线的交点). (1)求正方形ABCD的面积; (2)求正方形ABCD的边长; (3)在数轴上,以原点为圆心,以AB的长为半径画弧,交负半轴于点P,如图2,则点P表示的实数是________.  【解析】略 【B层 能力进阶】 9.如图网格中,每一小格的边长为1.网格内有△PAB,则∠PAB+∠PBA的度数 是 (B) A.30° B.45° C.50° D.60° 10.(易错警示题)如图,已知点A(2,3)和点B(4,1),在坐标轴上有一点P,且点P到点A和点B的距离相等,则点P的坐标为 (C) A.(1,0) B.(0,-1) C.(1,0)或(0,-1) D.(2,0)或(0,1) 11.如图,点O为数轴的原点,点A和B分别对应的实数是-1和1.过点B作 BC⊥AB,以点B为圆心,OB长为半径画弧,交BC于点D;以点A为圆心,AD长为半径画弧,交数轴的正半轴于点E,则点E对应的实数是 -1　.  12.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1.每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形. (1)在图1中,画一个三角形,使它的三边长都是无理数; (2)在图2中,画一个三角形,使它的三边长分别为3,2,. 【解析】答案不唯一.(1)三边长分别为,,,如图所示; (2)三边长分别为3,2,,如图所示. 【C层 创新挑战】(选做) 13.(2023·杭州期中)如图为五个边长为1的小正方形组成的图形纸,我们可把它剪开拼成一个正方形. (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少? (2)如图所示,以数轴的单位长度的线段为一直角边作直角三角形,以数轴的-1点为圆心,直角三角形的最大边为半径画弧,交数轴正半轴于点A,那么点A表示的数是多少?点A表示的数的相反数是多少? (3)你能把十个小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形吗?若能,请画出示意图,并求它的边长是多少? 【解析】略 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九　勾股定理(第3课时) 【A层 基础夯实】 【知识点1】在数轴上表示无理数 1.如图,边长为1的正方形ABCD,A,B在数轴上,点A在原点,点B对应实数1,以A为圆心,AC长为半径逆时针画弧交数轴于点E,则点E对应的实数是 ( ) A.-1- B.- C. D.-2+ 2. (2023·邢台期末)如图,长方形ABCD的边AD在数轴上,若点A与数轴上表示数-1的点重合,点D与数轴上表示数-4的点重合,AB=1,以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E,则点E表示的数为 .  3.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的坐标为(-,0),点P的纵坐标为-1,则P点的横坐标为 .  4.在数轴上作出与-所对应的点. 【知识点2】网格中的勾股定理 5.如图是单位长度为1的正方形网格,格点上A,B两点间的距离为 ( ) A.4 B.4.5 C.5 D.6 6.如图,边长为1的网格图中,点A,B都在格点上,若AC=,则BC的长为 ( ) A. B. C.2 D.3 7.如图,在2×2的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A,B,C均为格点,以点A为圆心,AB长为半径作弧,交格线于点D,则CD的长为 .  8.如图1,在6×6网格中,正方形ABCD是格点正方形(顶点是网格线的交点). (1)求正方形ABCD的面积; (2)求正方形ABCD的边长; (3)在数轴上,以原点为圆心,以AB的长为半径画弧,交负半轴于点P,如图2,则点P表示的实数是________.  【B层 能力进阶】 9.如图网格中,每一小格的边长为1.网格内有△PAB,则∠PAB+∠PBA的度数 是 ( ) A.30° B.45° C.50° D.60° 10.(易错警示题)如图,已知点A(2,3)和点B(4,1),在坐标轴上有一点P,且点P到点A和点B的距离相等,则点P的坐标为 ( ) A.(1,0) B.(0,-1) C.(1,0)或(0,-1) D.(2,0)或(0,1) 11.如图,点O为数轴的原点,点A和B分别对应的实数是-1和1.过点B作 BC⊥AB,以点B为圆心,OB长为半径画弧,交BC于点D;以点A为圆心,AD长为半径画弧,交数轴的正半轴于点E,则点E对应的实数是  .  12.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1.每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形. (1)在图1中,画一个三角形,使它的三边长都是无理数; (2)在图2中,画一个三角形,使它的三边长分别为3,2,. 【C层 创新挑战】(选做) 13.(2023·杭州期中)如图为五个边长为1的小正方形组成的图形纸,我们可把它剪开拼成一个正方形. (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少? (2)如图所示,以数轴的单位长度的线段为一直角边作直角三角形,以数轴的-1点为圆心,直角三角形的最大边为半径画弧,交数轴正半轴于点A,那么点A表示的数是多少?点A表示的数的相反数是多少? (3)你能把十个小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形吗?若能,请画出示意图,并求它的边长是多少? 学科网（北京）股份有限公司 $$