18.2.3　正方形 同步练习 2023-2024学年数学人教版八年级下册

十九　正方形 【A层 基础夯实】 【知识点1】正方形的性质 1.下列说法中,是正方形具有而矩形不具有的性质是(B) A.两组对边分别平行 B.对角线互相垂直 C.四个角都为直角 D.对角线互相平分 2.如图,正方形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=6,则四边形EFGH的面积是(C) A.34 B.36 C.40 D.100 3.正方形的一条对角线长为8,则正方形的边长为　4　.  4.如图,正方形ABCD的边长为4,AF=CE. (1)求证:△ABF≌△CBE; (2)若AF=1,求四边形BEDF的面积. 【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=CB,∠A=∠C=90°, ∵AF=CE,∴△ABF≌△CBE(SAS); (2)∵正方形ABCD的边长为4,AF=1, ∴AB=BC=4,CE=AF=1, ∴S四边形BEDF=S正方形ABCD-S△ABF-S△BCE=42-×4×1-×4×1=16-2-2=12. 【知识点2】正方形的判定 5.(2023·深圳质检)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件,能使菱形ABCD成为正方形的是(A) A.AC=BD B.AC⊥BD C.AD=AB D.AC平分∠DAB 6.在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件: ①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是　①③④　.  7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形. 【证明】∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD, ∵BE=DF,∴OE=OF, ∴四边形AECF是菱形. ∵OE=OA=OF, ∴OE=OF=OA=OC, ∴EF=AC, ∴菱形AECF是正方形. 【B层 能力进阶】 8.(2023·成都期末)下列说法不正确的是(A) A.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B.菱形的对角线互相垂直 C.矩形的对角线相等 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 9.如图,正方形ABCD的边长为20,点M在DC上,且DM=5,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值是(B) A.20 B.25 C.30 D.35 10.(2023·无锡中考)如图,正方形ABCD的边长为8,点E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE,BC于点H,G,则BG=　1　.  11. (2023·泰安中考)如图,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,则DP的长度为　2　.  12.(易错警示题)已知四边形ABCD是正方形,以AD为边在正方形ABCD所在平面内作等边三角形PAD,那么∠BPC的度数是　30°或150°　.  13.如图,已知四边形ABCD是正方形,G为线段AD上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.求证:DF=BE+EF. 【解析】略 【C层 创新挑战】(选做) 14. 如图1,点G是正方形ABCD对角线DB的延长线上任意一点,以线段BG为边作一个正方形BEFG,线段CE和AG相交于点H. (1)求证:CE=AG,CE⊥AG. (2)若AB=2,BG=1,求CE的长. 【解析】(1)如图1,设AB与CE交于点O, ∵四边形ABCD和BEFG是正方形, ∴∠ABC=∠EBG=90°,AB=BC,BE=BG, ∴∠ABC+∠ABE=∠EBG+∠ABE, 即∠CBE=∠ABG, 在△ABG和△CBE中,, ∴△ABG≌△CBE(SAS),∴AG=CE,∠BAG=∠BCE.∵∠COB=∠AOH,∴∠AHO=∠CBO=90°,∴CE⊥AG; (2)如图2,连接AC,BD与AC交于点M, ∵AB=BC=2,在Rt△ABC中,AC===2,∴AM=AC==BM, ∴MG=BG+BM=1+,∴CE=AG===. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十九　正方形 【A层 基础夯实】 【知识点1】正方形的性质 1.下列说法中,是正方形具有而矩形不具有的性质是( ) A.两组对边分别平行 B.对角线互相垂直 C.四个角都为直角 D.对角线互相平分 2.如图,正方形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=6,则四边形EFGH的面积是( ) A.34 B.36 C.40 D.100 3.正方形的一条对角线长为8,则正方形的边长为 .  4.如图,正方形ABCD的边长为4,AF=CE. (1)求证:△ABF≌△CBE; (2)若AF=1,求四边形BEDF的面积. 【知识点2】正方形的判定 5.(2023·深圳质检)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件,能使菱形ABCD成为正方形的是( ) A.AC=BD B.AC⊥BD C.AD=AB D.AC平分∠DAB 6.在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件: ①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是 .  7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形. 【B层 能力进阶】 8.(2023·成都期末)下列说法不正确的是( ) A.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B.菱形的对角线互相垂直 C.矩形的对角线相等 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 9.如图,正方形ABCD的边长为20,点M在DC上,且DM=5,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值是( ) A.20 B.25 C.30 D.35 10.(2023·无锡中考)如图,正方形ABCD的边长为8,点E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE,BC于点H,G,则BG= .  11. (2023·泰安中考)如图,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,则DP的长度为 .  12.(易错警示题)已知四边形ABCD是正方形,以AD为边在正方形ABCD所在平面内作等边三角形PAD,那么∠BPC的度数是 .  13.如图,已知四边形ABCD是正方形,G为线段AD上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.求证:DF=BE+EF. 【C层 创新挑战】(选做) 14. 如图1,点G是正方形ABCD对角线DB的延长线上任意一点,以线段BG为边作一个正方形BEFG,线段CE和AG相交于点H. (1)求证:CE=AG,CE⊥AG. (2)若AB=2,BG=1,求CE的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$