专题01 等差数列及其前n项和（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题01 等差数列及其前n项和 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、等差数列的通项公式 2 题型二、等差数列的证明 3 题型三、等差数列中与的关系 4 题型四、等差数列的前n项和 4 题型五、等差数列通项公式与前n项和的性质及其应用 5 压轴能力测评（16题） 6 一、等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 二、等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 三、等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． 四、等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 五、其他衍生等差数列． 若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 【常用结论】 （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 【题型一 等差数列的通项公式】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．16 D．19 2．（23-24高二下·云南玉溪·开学考试）若数列是等差数列，且，则（ ） A．48 B．50 C．52 D．54 3．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知等差数列的前项和为，满足，，则等于（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．（23-24高二上·河北沧州·期末）在等差数列中，p，，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【题型二 等差数列的证明】 一、解答题 1．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的前项和是的二次函数，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列． 2．（23-24高二下·海南·期末）已知各项均不为零的数列满足：. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； 3．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； 4．（2024·海南·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列； 5．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，证明：是等差数列. 【题型三 等差数列中与与的关系】 一、单选题 1．（22-23高三上·上海静安·期中）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023高三·全国·专题练习）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ） A． B． C．数列为等差数列 D．－5050 二、填空题 3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知数列的前项和为，则数列的通项公式 ． 4．（22-23高二下·辽宁朝阳·阶段练习）若数列的前n项和，则数列的通项公式 . 5．（23-24高三上·上海徐汇·阶段练习）已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 ． 【题型四 等差数列的前n项和】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知等差数列，前项和为，则（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 2．（23-24高二下·吉林·开学考试）等差数列的前项和为.若，则（    ） A．8096 B．4048 C．4046 D．2024 3．（23-24高三下·江苏·阶段练习）各项不为0等差数列中，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 4．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（    ） A．0 B．8 C．10 D．19 5．（24-25高二上·甘肃武威·开学考试）已知是数列的前项和，数列是公差为1的等差数列，则（    ） A．480 B．479 C．291 D．290 【题型五 等差数列通项公式与前n项和的性质及其应用】 一、单选题 1．（22-23高二上·浙江台州·期末）已知等差数列的前项和为，若公差，且，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．35 B．30 C．20 D．15 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D． 4．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（22-23高二下·全国·开学考试）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．36 C．40 D．42 6．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，若存在正整数m，n，p，q满足时有成立，则等于（    ） A．4 B．1 C． D．由等差数列的首项的值决定 一、单选题 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）等差数列的前项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若公差为d的等差数列满足，则下列结论错误的为（    ） A．数列也是等差数列 B． C． D．13是数列中的项 4．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知等差数列，，其前项和为，若，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 5．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 二、填空题 8．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为 ． 9．（24-25高二上·全国·课前预习）《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一个月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织 尺布（不作近似计算）． 10．（22-23高二上·山西阳泉·期末）已知数列的前n项和公式为，则的通项公式为 . 11．（22-23高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则 ． 12．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）数列为等差数列，它的前n项和为，若，则λ的值是 . 三、解答题 13．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）已知数列，，且满足，． (1)证明：数列是等差数列并求出的通项公式； 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 15．（23-24高二上·广东广州·期末）已知数列满足，， (1)求证：数列为等差数列； 16．（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等差数列及其前n项和 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、等差数列的通项公式 2 题型二、等差数列的证明 5 题型三、等差数列中与的关系 7 题型四、等差数列的前n项和 9 题型五、等差数列通项公式与前n项和的性质及其应用 11 压轴能力测评（12题） 15 一、等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 二、等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 三、等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． 四、等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 五、其他衍生等差数列． 若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 【常用结论】 （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 【题型一 等差数列的通项公式】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．16 D．19 【答案】B 【分析】根据条件得出数列是以，的等差数列，即可求出结果. 【详解】由，得到，又， 所以数列是以，的等差数列，得到， 故选：B. 2．（23-24高二下·云南玉溪·开学考试）若数列是等差数列，且，则（ ） A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的下标和性质可求得，而，代入即可得出答案. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列的下标和性质可得：，解得：， 而， 故选：A. 3．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知等差数列的前项和为，满足，，则等于（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】由题设得是公差为1的等差数列，即有，利用关系求通项公式，进而求. 【详解】依题意：，则， 是公差为1的等差数列，且，故，， 当时，显然也满足， 所以，易知的公差为2， . 故选：D 4．（23-24高二上·河北沧州·期末）在等差数列中，p，，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出首项和公差并表示出和，然后表示出公差，最后求出结果即可． 【详解】设等差数列的公差为d，则，， 两式相减得，则， 故选：C． 5．（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一，设出首项，公差为d，代入已知条件即可求解；方法二，根据等差数列性质可求出，代入到已知可求出公差为d，即可求解；方法三，根据韦达定理可求出，是方程的两根，再根据等差数列可求出通项公式. 【详解】方法一（基本量法）设的首项为，公差为d， 则由，得，∴． 代入，整理得，解得． 当时，，； 当时，，． 方法二（等差数列的性质）∵，∴． ， ∴，∴． 当时，； 当时，． 方法三（方程思想）∵，∴， ∴，（由和与积，联想到根与系数的关系） ∴，是方程的两根，∴或 由，，得，∴． 同理，由，，得． 故选： 6．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】利用相减法得出数列的偶数项成等差数列，从而可把用表示，然后利用求得结论． 【详解】由，可得7，且，两式相减可得，即数列的偶数项是以6为公差的等差数列， 则，所以． 故选：B． 【题型二 等差数列的证明】 一、解答题 1．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的前项和是的二次函数，且. (1)求； (2)证明：数列是等差数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由（1）知，利用与的关系式，求得，结合等差数列的定义，即可得证. 【详解】（1）解：设数列的前项和为， 因为， 可得，解得， 所以. （2）证明：由（1）知， 当时，可得； 当时，， 当时，适合上式，所以， 又由，所以数列表示首项为，公差的等差数列. 2．（23-24高二下·海南·期末）已知各项均不为零的数列满足：. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； 【答案】(1)证明见解析， 【分析】（1）通过构造法，利用等差数列的定义和等差数列的概念求解通项公式. 【详解】（1）因为，故由， 可得， 又，所以是以1为首项，3为公差的等差数列， 所以，故. 3．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； 【答案】(1)证明见解析， 【分析】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到，再利用累加法，即可求出结果； 【详解】（1）因为，所以为常数， 又，所以数列是公差为，首项为的等差数列. 所以， 当时，， 所以，又，所以，又，满足， 所以数列的通项公式为. 4．（2024·海南·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）根据给定条件，利用变形给定等式，再利用等差数列定义推理即得. 【详解】（1）由，得，即， 两边同加，得，则，因此数列为常数列， 所以数列为等差数列. 5．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，证明：是等差数列. 【答案】证明见解析 【分析】给两边同时减去1，再化简变形，结合等差数列的定义可证得结论， 【详解】因为，所以， 所以，即 所以是以为首项，为公差的等差数列. 【题型三 等差数列中与与的关系】 一、单选题 1．（22-23高三上·上海静安·期中）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由数列的前项和求出通项，可得数列是等差数列，利用首项和公差求其前项和. 【详解】数列中，前项和， 时，， 时， ，时，也满足， ∴，则有，∴数列中是首项为1公差为4 的等差数列， 则数列中是首项为1公差为8的等差数列，其前项和. 故选：C 2．（2023高三·全国·专题练习）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ） A． B． C．数列为等差数列 D．－5050 【答案】A 【分析】由可得－＝－1，即数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列可判断C，由求出可判断A，B；由等差数列的前n项和公式可判断D. 【详解】是数列的前n项和，且， 则，  整理得－＝－1（常数）， 所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确； 所以，故． 所以当时，－，不适合上式， 故故B正确，A错误； 所以， 故D正确． 故选：A. 二、填空题 3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知数列的前项和为，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】根据求，然后验证即可； 【详解】令，， 当时， 验证，满足题意， 故 ， 故答案为：. 4．（22-23高二下·辽宁朝阳·阶段练习）若数列的前n项和，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】根据的表达式，由可得当时，；检验即可得出数列的通项公式. 【详解】由可得， 两式相减可得，即， 又时，，不符合， 所以， 故答案为： 5．（23-24高三上·上海徐汇·阶段练习）已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的定义以及的关系即可得出结论. 【详解】由知， 当时，； 当时，， 此时，当时，， 当时，，而， 若数列是等差数列，则， 所以，则. 故答案为：. 【题型四 等差数列的前n项和】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知等差数列，前项和为，则（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【分析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则， 化简得， 故选：C. 2．（23-24高二下·吉林·开学考试）等差数列的前项和为.若，则（    ） A．8096 B．4048 C．4046 D．2024 【答案】B 【分析】根据等差数列性质可得，再结合等差数列的求和公式从而可求解. 【详解】由等差数列的性质可得， 所以，所以.故B正确. 故选：B. 3．（23-24高三下·江苏·阶段练习）各项不为0等差数列中，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据题意结合等差数列性质分析可得，进而可得，即可得结果. 【详解】因为为等差数列，且，则， 设等差数列的公差为， 又因为，则， 可得，即， 则，即，可知， 所以. 故选：C． 4．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（    ） A．0 B．8 C．10 D．19 【答案】A 【分析】由等差中项得到数列为等差数列，再由等差数列的性质得到，由等差数列前项和公式结合等差中项得到 【详解】因为即，所以数列为等差数列， 因为且，所以，得， 所以. 故选：A. 5．（24-25高二上·甘肃武威·开学考试）已知是数列的前项和，数列是公差为1的等差数列，则（    ） A．480 B．479 C．291 D．290 【答案】A 【分析】令，根据题意求得，结合，利用等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为是数列的前项和， 且数列是公差为1的等差数列， 令，可得，所以， 所以 . 故选：A. 【题型五 等差数列通项公式与前n项和的性质及其应用】 一、单选题 1．（22-23高二上·浙江台州·期末）已知等差数列的前项和为，若公差，且，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】利用等差数列前n项和二次函数性质及求得，进而求得，最后应用等差数列前n项和公式求结果. 【详解】由，故对称轴为，又， 所以，即，故， 所以. 故选：B 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．35 B．30 C．20 D．15 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 所以，即，解得. 故选：B. 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过等差数列的性质得到，再利用基本不等式中1的妙用来求解最值即可. 【详解】根据等差数列性质可得，则， ， 当且仅当，即时，取“”号. 故选：B. 4．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可. 【详解】在等差数列中， ，，所以， 故构成公差为的等差数列， 所以， 即. 故选：C 5．（22-23高二下·全国·开学考试）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．36 C．40 D．42 【答案】B 【分析】确定为等差数列，得到，代入数据计算得到答案. 【详解】，故为等差数列， 故，故，解得. 故选：B 6．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等差数列的前项和公式，.根据等差数列的性质，若，则，对于本题，我们可以利用时与的关系以及与的关系来求解. 【详解】根据等差数列前项和公式，当时，. 由等差数列性质，所以. 同理，对于数列，当时，. 又因为，所以. 已知，当时，. 而，所以. 故选：C. 7．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合等差数列求和公式可推导证得数列为等差数列，进而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：， . 故选：D. 8．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列和的前项和的性质可得：，，即可得出． 【详解】由等差数列前项和公式可设： ，，， 从而， ， 所以， 故选：C 9．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，若存在正整数m，n，p，q满足时有成立，则等于（    ） A．4 B．1 C． D．由等差数列的首项的值决定 【答案】B 【分析】设的公差为d，则由，可得，由，可得，则，可得． 【详解】设的公差为d，则， 所以，， 因为， 所以， 因为存在正整数m，n，p，q满足， 所以，则， 又，所以，所以． 故选：B. 一、单选题 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）等差数列的前项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列通项公式可得，结合等差数列前n项和公式判断各项是否为常数. 【详解】若等差数列公差为，则为常数， 所以为常数， 而，，均不确定为常数. 故选：C 2．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设，，由，即可求解结果． 【详解】因为，为等差数列，且， 所以可设，， 则， ， . 故选：D. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）若公差为d的等差数列满足，则下列结论错误的为（    ） A．数列也是等差数列 B． C． D．13是数列中的项 【答案】D 【分析】利用条件结合等差数列的定义及通项公式即可判断. 【详解】对于A，由得时， 所以， 所以是等差数列，故A正确； 对于B，由得， 所以，因为是等差数列，所以，故B正确； 由，则，所以，故C正确 即，令，解得n不是整数，故D错误. 故选：D. 4．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知等差数列，，其前项和为，若，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 【答案】A 【分析】借助等差数列求和公式结合题意计算可得的公差，即可得. 【详解】设数列的公差为，则， 故， ， 故，则. 故选：A. 5．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先假设数列是等差数列，结合等差数列的性质设出其首项及公差，计算可得数列亦为等差数列，举出恰当的数列的通项公式，使是等差数列，但不是等差数列即可得. 【详解】若数列是等差数列，可设其首项为，公差为， 则，则， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； 若数列是等差数列，取，则，符合要求， 但数列不为等差数列， 故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A, 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知化简得出，再应用等差数列的通项公式计算得出通项即可. 【详解】由题得， 即，则数列是以5为首项，2为公差的等差数列， 所以，即，则． 故选：A. 7．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】当时，由可得，进一步可得数列是等差数列，并求得其通项公式，即可求出； 【详解】因为为数列的前n项积， 当时，，所以，∴， 当时，，所以， 化简可得：， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 所以. 故选：C. 二、填空题 8．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列前项和公式列方程求得与公差，即可求通项公式. 【详解】设公差为，依题意得 解得 所以 故答案为：. 9．（24-25高二上·全国·课前预习）《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一个月（按30天计）共织390尺布，则每天比前一天多织 尺布（不作近似计算）． 【答案】 【分析】由题可得该女每天的织布尺数构成等差数列，其中，，利用等差数列的前项和求解即可. 【详解】由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列，其中，，设其公差为， 则，解得．故该女子织布每天增加尺． 故答案为： 10．（22-23高二上·山西阳泉·期末）已知数列的前n项和公式为，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式． 【详解】由题意，可知当时，； 当时，. 又因为不满足，所以. 故答案为： 11．（22-23高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则 ． 【答案】40 【分析】根据，，成等差数列，得到方程，求出. 【详解】由于为等差数列，故，，成等差数列， 即成等差数列， 故，解得. 故答案为：40 12．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）数列为等差数列，它的前n项和为，若，则λ的值是 . 【答案】 【分析】根据等差数列前n项和公式的函数特征求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 所以， 又， ，解得. 故答案为：. 三、解答题 13．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）已知数列，，且满足，． (1)证明：数列是等差数列并求出的通项公式； (2)若是数列的前n项和，求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）定义法证明等差数列，再求出首项与公差由等差数列通项公式可得所求； （2）由与关系分类求通项公式即可得. 【详解】（1）由， 则 ， 故数列是等差数列，且首项为，公差为. 则， 即的通项公式为. （2）由，则 由（1）知，所以， 当时，. 当时，时，也适合. 综上所述，数列的通项公式为. 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，即可证得数列是等差数列； （2）由（1）可得，结合累加法，求得，即可求解. 【详解】（1）由正项数列满足， 可得，即， 即， 又由，可得， 故数列是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）可得． 所以， 将以上式子累加，可得， 可得，所以． 15．（23-24高二上·广东广州·期末）已知数列满足，， (1)求证：数列为等差数列； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的定义证明即可； 【详解】（1）由题意可知， 所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 16．（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，利用等差数列的定义证明所给数列是等差数列. （2）根据（1）的结论，转化成由与的关系求通项公式. 【详解】（1）证明：将两边同时除以，得． 当时，， 所以是以1为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）得，则．① 当时，．② ①-②，得，整理得， 则， 也符合，所以． （3）证明：由（2）得， 所以 因为，所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$