第5章 二次函数（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版，江苏专用）

第五章 二次函数（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、，当时不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（2024·青海西宁·一模）二次函数的图象向下平移4个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：二次函数的图象向下平移4个单位，再向左平移2个单位， 所得到的函数关系式是， 即， 故选A． 3．（2023·陕西渭南·一模）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】解： 的图象经过点，， 方程的解为，． 故选：A． 4．（2024·贵州毕节·三模）若某函数中的值与对应的值如下表所示，则该函数关系式可能为（    ） 0 1 2 5 2 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据表格数据，当时，值随增大而增大； 当时，值随增大而减少； 可知该函数是二次函数，且顶点坐标为， ∴函数满足所有数据的对应关系， 故选：C． 5．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 6．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 7．（2024·四川达州·中考真题）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：依题意，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为 依题意， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，，即 ∴，故A选项正确，符合题意； 若对称轴为，即， 而，不能得出对称轴为直线， 故B选项不正确，不符合题意； ∵抛物线与坐标轴有2个交点， ∴方程有两个不等实数解，即，又 ∴，故C选项错误，不符合题意； 无法判断的符号，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 8．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 9．（2024·浙江丽水·一模）在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数的图象，请你结合函数解析式的结构，分析他所得到的函数图象是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】A 【解析】解：当时，，即此时是一个开口向上的二次函数， 当时，，即此时是一个开口向下的二次函数， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 10．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（2024·江苏无锡·二模）抛物线与y轴交点的坐标为 ． 【解析】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； 故答案为：． 12．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）写一个满足下列两个条件的二次函数：（1）开口向下；（2）顶点坐标是，可以是 ． 【解析】解：根据题意可得，一个满足下列两个条件的二次函数为， 故答案为：（答案不唯一） 13．（2023·山东济宁·一模）如图是二次函数和一次函数的图像，观察图像写出时，x的取值范围 ． 【解析】解：由图象可知，当时，x的取值范围． 故答案为：． 14．（2024·湖南邵阳·二模）行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离与车速之间的函数关系式是，则在限速的高速公路上，该车的正常刹车距离最大为 ． 【解析】解：由题意，在中， 当时，， 若该车以的速度行驶，则该车的刹车距离为． 故答案为：21． 15．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为 ． 【解析】解：二次函数图象经过第一、二、四象限， 设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得 解得． 故答案为：． 16．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【解析】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 17．（2024·江苏盐城·三模）中，，，则的最小值等于 ．    【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点，    ， ， 在中，设，则， ， 又， ， ， 在中，， 即， 当时，最小，此时， 的最小值为， 故答案为：． 18．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 【解析】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④ 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（6分）（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，求m的值． 【解析】解：∵是y关于x的二次函数， ∴且， 解得：或，且， ∴． 20．（8分）（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数 (1)求开口方向、对称轴及顶点坐标; (2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 【解析】（1）解：， ∵， ∴抛物线的开口向下， 对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）解：∵抛物线的开口向下， ∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大． 21．（8分）（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）用描点法画出二次函数的图象． (1)列表如图，表中______，______，______． x …… 0 1 2 3 …… y …… m n t …… (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 【解析】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：； （2）解：描点、连线得到图形如下： 观察图象知，当时，y的取值范围为． 22．（8分）（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），抛物线满足表达式．为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离，求货车的限高应是多少米？ 【解析】解：∵一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过）， ∴当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离， （米）． 答：货车的限高应是3.15米． 23．（8分）（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）解：将，代入得， 解得： （2）解：对于，令则 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴， 过点P作轴于点E，如图， 设，且点P在第二象限， ∴ ∴ ∵， ∴有最大值， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为. 24．（10分）（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【解析】（1）解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元， 由题意可得，， 解得， 答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； （2）解：设种客房每间定价为元， 则， ∵， ∴当时，取最大值，元， 答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 25．（10分）（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 通过思考，小丽得到以下3种方法： 方法1    方程的两根为，，可得函数的图像与x轴的两个交点横坐标为、，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集． 方法2    不等式可变形为，问题转化为研究函数与的图像关系．画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是、3；的图像在的图像下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集． 方法3    当时，不等式一定成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．问题转化为研究函数与的图像关系… 任务： (1)不等式的解集为_____________； (2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）； A.分类讨论    B.转化思想    C.特殊到一般        D.数形结合 (3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答． 【详解】（1）解：如图1，作的图像，    由方法1可知，不等式的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法， 故选：D； （3）解：如图2，作函数与的图像，    由图像可得，的解集为，或， 综上，的解集为． 26．（12分）（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【解析】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到； （3）， 当时，有最大值． 27．（12分）（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【解析】（1）解：该抛物线经过点 解得 顶点坐标为 （2）解： 对称轴为，函数图象开口向上 ， 当时，取最大值4 解得， （3）解： 当， 当时， 当交点在线段之间时，当时， 解得； 当时， 解得； 综上，或． 28．（14分）（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当时，求点P的坐标； (4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由． 【解析】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解:如图所示，过点P作于T， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，取，连接， ∵、，， ∴， ∴， ∴线段与抛物线的交点即为所求； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 如图所示，取，连接， 同理可得， ∴直线与抛物线的交点即为所求； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 综上所述，符合题意的点P的坐标为或； （4）解：是等边三角形，理由如下： ∵三点共圆，且， ∴为过三点的圆的直径， 如图所示，取中点R，连接， ∵， ∴， ∴； 设与抛物线交于， 联立得， ∴， 解得， 在中，当时， 当时， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 二次函数（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·青海西宁·一模）二次函数的图象向下平移4个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西渭南·一模）若二次函数的图象经过点，，则关于x的方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 4．（2024·贵州毕节·三模）若某函数中的值与对应的值如下表所示，则该函数关系式可能为（    ） 0 1 2 5 2 1 2 5 A． B． C． D． 5．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川达州·中考真题）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2024·浙江丽水·一模）在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数的图象，请你结合函数解析式的结构，分析他所得到的函数图象是（    ） A．    B．   C．   D．   10．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（2024·江苏无锡·二模）抛物线与y轴交点的坐标为 ． 12．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）写一个满足下列两个条件的二次函数：（1）开口向下；（2）顶点坐标是，可以是 ． 13．（2023·山东济宁·一模）如图是二次函数和一次函数的图像，观察图像写出时，x的取值范围 ． 14．（2024·湖南邵阳·二模）行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离与车速之间的函数关系式是，则在限速的高速公路上，该车的正常刹车距离最大为 ． 15．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为 ． 16．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 17．（2024·江苏盐城·三模）中，，，则的最小值等于 ．    18．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（6分）（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）已知是y关于x的二次函数，求m的值． 20．（8分）（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数 (1)求开口方向、对称轴及顶点坐标; (2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 21．（8分）（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）用描点法画出二次函数的图象． (1)列表如图，表中______，______，______． x …… 0 1 2 3 …… y …… m n t …… (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 22．（8分）（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，一辆宽为2米的货车要通过跨度为8米，拱高为4米的单行抛物线隧道（从正中通过），抛物线满足表达式．为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离，求货车的限高应是多少米？ 23．（8分）（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．    (1)求抛物线的解析式． (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 24．（10分）（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 25．（10分）（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 通过思考，小丽得到以下3种方法： 方法1    方程的两根为，，可得函数的图像与x轴的两个交点横坐标为、，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集． 方法2    不等式可变形为，问题转化为研究函数与的图像关系．画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是、3；的图像在的图像下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集． 方法3    当时，不等式一定成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．问题转化为研究函数与的图像关系… 任务： (1)不等式的解集为_____________； (2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）； A.分类讨论    B.转化思想    C.特殊到一般        D.数形结合 (3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答． 26．（12分）（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 27．（12分）（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 28．（14分）（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当时，求点P的坐标； (4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$