第6章 图形的相似（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（苏科版，江苏专用）

第六章 图形的相似（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 2．（2023·甘肃武威·中考真题）若，则（    ） A．6 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】解：等式两边乘以，得， 故选：A． 3．（2024·安徽芜湖·一模）已知线段是线段，的比例中项，，，则为（）cm. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意得， ∵， ∴ ∴，（舍） ∴． 故选：C． 4．（2024·四川内江·中考真题）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的周长比为， 故选B． 5．（2024·云南昭通·二模）约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A． 6．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 7．（2023·四川南充·中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图所示，    由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 8．（2023·山东·中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：，由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 9．（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 10．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【解析】解：解法一：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 解法二：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（2023·四川甘孜·中考真题）若，则 ． 【解析】解： ， ． 故答案为：1． 12．（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ． 【答案】2 【解析】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 13．（2024·广西柳州·模拟预测）如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是 ． 【解析】解：由题意得两个图形相似， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则 ．    【解析】解： ， ， ， 故答案为：． 15．（2024·海南·中考真题）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 ． 【解析】解：过点B作交的延长线于N，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴另一端B离地面的高度为． 故答案为：80． 16．（2024·云南昆明·三模）如图，在中，点E在边上，已知，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：添加的条件是， ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 17．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．      【解析】解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，， 当在第一象限时，点的坐标为，即； 当在第三象限时，点的坐标为，即； 综上可知，点的坐标为或， 故答案为：或． 18．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 【解析】解：（1）连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点，，，是线段的五等分点， ∴， ∵点，，是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （2）在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（6分）（2023·江西南昌·一模）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长与身高的比值是． (1)求该女士下半身长； (2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到） 【解析】（1）解：； 答：该女士下半身x为； （2）解：设需要穿的高跟鞋是，则 ， 解得：， 答：她应穿的高跟鞋的高度为． 20．（8分）（2024·陕西宝鸡·一模）如图，在中，点D在边上，，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【解析】如图所示，点E即为所求． ∵， ∴， 由作图可得，， ∴， ∴， ∴． 21．（8分）（2023·湖南·中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．    (1)证明：． (2)求线段的长． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 22．（8分）（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【解析】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 23．（8分）（2024·浙江·一模）如图，各图形顶点都在格点上，分别根据下列要求画出图形． (1)在图1中，在上找一点，使得平分面积． (2)在图2中，在上找一点，使得将分成面积比为的两部分（找到一个即可） 【解析】（1）如图所示，就是所求作的点， （2）如图所示，点就是所求作的点， 或 24．（10分）（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 【解析】（1）解：如图所示 作法：①作的垂直平分线交 于点 ②作的垂直平分线交于点 ③连接、相交于点 ④标出点 ，点 即为所求 （2）解：∵是的重心， ∴ ∴ ∵的面积等于， ∴ 又∵是的中点， ∴ 故答案为：． 25．（10分）（2023·广东佛山·二模）如图所示，在学习《图形的位似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)仅借助不带刻度的直尺，在图1中标出与的位似中心M点的位置（保留作图痕迹），并写出点M的坐标________； (2)若以点O为位似中心，仅借助不带刻度的直尺，在图2中画出在y轴左侧的位似图形，且与的相似比为； (3)在（2）中，若边上的一点的坐标为，则点在在上的对应点的坐标为________． 【解析】（1）解：如图，点M为所作，M点的坐标为；    故答案为：； （2）解：如图，为所作．    （3）解：∵若边上的一点的坐标为， ∴点在在上的对应点的坐标为， 故答案为：． 26．（12分）（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【解析】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 27．（12分）（2023·江苏南京·中考真题）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． (1)在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②的长度的最大值为 cm． 【解析】（1）解：设平移到，在地面上形成的影子为． ， ，，， ，，， ， ， ， 沿着方向平移时，长度不变． （2）解：①以为圆心，长为半径画圆， 当与相切于时，此时最大为． 此时所在位置为． ②，， ， ， 设，则， 在中， ， ， ， ，（舍去）， ， 由①， ， ， 即的长度的最大值为， 故答案为：80． 28．（14分）（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【解析】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3）， ， ， ， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 图形的相似（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·甘肃武威·中考真题）若，则（    ） A．6 B． C．1 D． 3．（2024·安徽芜湖·一模）已知线段是线段，的比例中项，，，则为（ ）cm. A． B． C． D． 4．（2024·四川内江·中考真题）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·云南昭通·二模）约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2023·四川南充·中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（    ）    A． B． C． D． 8．（2023·山东·中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 9．（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 10．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（2023·四川甘孜·中考真题）若，则 ． 12．（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ． 13．（2024·广西柳州·模拟预测）如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是 ． 14．（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则 ．    15．（2024·海南·中考真题）如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 ． 16．（2024·云南昆明·三模）如图，在中，点E在边上，已知，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 17．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．      18．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（6分）（2023·江西南昌·一模）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长与身高的比值是． (1)求该女士下半身长； (2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到） 20．（8分）（2024·陕西宝鸡·一模）如图，在中，点D在边上，，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 21．（8分）（2023·湖南·中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．    (1)证明：． (2)求线段的长． 22．（8分）（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 23．（8分）（2024·浙江·一模）如图，各图形顶点都在格点上，分别根据下列要求画出图形． (1)在图1中，在上找一点，使得平分面积． (2)在图2中，在上找一点，使得将分成面积比为的两部分（找到一个即可） 24．（10分）（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 25．（10分）（2023·广东佛山·二模）如图所示，在学习《图形的位似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)仅借助不带刻度的直尺，在图1中标出与的位似中心M点的位置（保留作图痕迹），并写出点M的坐标________； (2)若以点O为位似中心，仅借助不带刻度的直尺，在图2中画出在y轴左侧的位似图形，且与的相似比为； (3)在（2）中，若边上的一点的坐标为，则点在在上的对应点的坐标为________． 26．（12分）（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 27．（12分）（2023·江苏南京·中考真题）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），． (1)在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②的长度的最大值为 cm． 28．（14分）（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$