2025年中考数学一轮复习——代数式

2025年中考数学一轮复习——代数式 一．选择题（共10小题） 1．（2024•福州模拟）下面的四个问题中，都有a，b两个未知量： ①有两杯水，一杯的水温b是另一杯水温a的3倍低6℃ ②土豆单价a比小米椒单价b的便宜2元 ③某文具店的装订机的价格b比文具盒的价格a的3倍少6元 ④有两根绳子，一根绳子的长度a比另一根绳子的长度b的3倍多6米其中，未知量b可以用3a﹣6表示的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．（2024•重庆模拟）如图，第1图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推…，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（　　） A．7 B．28 C．252 D．63 3．（2024秋•太康县校级月考）小强根据学习“数与式”积累的经验，，则的值为（　　） A．2020 B． C．2021 D． 4．（2024秋•呼兰区校级月考）观察下面点阵图的规律，第9幅点阵图中有（　　）个． A．18 B．28 C．32 D．36 5．（2024•河南模拟）在学习数与代数领域知识时，小明对代数式做如图所示的分类，下列选项符合的是（　　） A． B． C． D．2ab 6．（2023秋•武义县期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结果为（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．5 D．9 7．（2024春•东光县期中）将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，…，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是（　　） A．52 B．67 C．84 D．101 8．（2024秋•武昌区校级月考）点A1、A2、A3…An（n为正整数）都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1O＝1，点A2在点A1的右边，且A2A1＝2，点A3在点A2的左边，且A3A2＝3，…．依照上述规律，点A2024，A2025所表示的数分别为（　　） A．2024，﹣2025 B．﹣2024，2025 C．1012，﹣1013 D．1012，1013 9．（2024秋•沙坪坝区校级月考）有如下的一列等式： ，⋯，其中n为正整数，Tn的各项系数均不为0．交换任意两项的系数得到的新多项式称为“友好多项式”那么以下说法正确的有（　　） ①多项式T3有6个不同的“友好多项式”； ②求多项式T3所有不同的“友好多项式”之和，其中x3的系数为：2a3﹣a2+a1； ③若，那么Tn的所有系数之和为1； ④若，那么当n＝2025时，． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（2024秋•新城区校级月考）一组数据如下：1+m，2﹣m，3+m，4﹣m，5+m，……则第2016个数是（　　） A．2016+m B．2016﹣m C．2015+m D．2015﹣m 二．填空题（共5小题） 11．（2024•德州）观察下列等式： S1＝； S2＝+； S3＝++； … 则S10的值为 　 　． 12．（2024•福州模拟）将大小相同的圆点按一定规律摆成如图所示的图案，则第10个图案中圆点的个数是 　 　． 13．（2024•东湖区校级开学） 照这样画下去，第6个图形中黑色有 　 　块，白色有 　 　块．第n个图形中白色有 　 　块．（用含n的式子表示） 14．（2024•重庆）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　） 15．（2023秋•射阳县期末）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是 　 　． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•清江浦区校级月考）将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形． （1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有 　 　个正方形． （2）继续划分下去，第n次划分后图中共有 　 　个正方形； （3）能否将正方形ABCD划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． 17．（2024春•渠县校级期中）下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第8行的最后一个数是 　 　，它是自然数 　 　的平方，第8行共有 　 　个数； （2）用含n的代数式表示：第n行第一个数是 　 　，最后一个数是 　 　，第n行共有 　 　个数； （3）求第20行各数之和． 18．（2024秋•榆树市校级月考）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9，1≤b≤9），．例如：，． 【探究】 （1）计算：①38×32＝1216；②53×57＝3021；③71×79＝5609；④84×86＝　 　． （2）（1）中这组计算蕴含着简算规律：十位数字 　 　，个位数字和为 　 　的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的乘积前几位是十位数字与十位数字加一的乘积． 将上述探究过程补充完整． 【证明】（3）根据【探究】总结的简算规律，我们将十位数字设为a，个位数字分别为b、c． 则＝　 　． ＝100a2+10a（b+c）+bc， ∵b+c＝　 　， ∴原式＝100a2+　 　+bc ＝100a（a+1）+bc． 将上述证明过程补充完整． 【应用】（4）若与100a的差为924，求a的值． 19．（2023秋•兴隆县期末）如图所示是一个长方形． （1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S； （2）若x＝3，求S的值． 20．（2024秋•东昌府区月考）阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3﹣1|＝2；有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7；有理数﹣8与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣8﹣（﹣5）|＝3；… 如图，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|． 解决问题： （1）数轴上有理数﹣10与3对应的两点之间的距离等于 　 　； （2）数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为 　 　； （3）结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|＝3，则x＝　 　； 联系拓广： （4）如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x． ①若点P在点M，N两点之间，则|PM|+|PN|＝|x﹣4|+|x+2|＝　 　； 若|PM|+|PM|＝|x﹣4|+|x+2|＝10，则点P表示的数x为 　 　； ②利用数轴分析，若x是整数，且满足|x﹣4|+|x+2|＝6，则满足条件的所有x的值的和为 　 　． 2025年中考数学一轮复习——代数式 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024•福州模拟）下面的四个问题中，都有a，b两个未知量： ①有两杯水，一杯的水温b是另一杯水温a的3倍低6℃ ②土豆单价a比小米椒单价b的便宜2元 ③某文具店的装订机的价格b比文具盒的价格a的3倍少6元 ④有两根绳子，一根绳子的长度a比另一根绳子的长度b的3倍多6米其中，未知量b可以用3a﹣6表示的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【考点】代数式．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】根据题意列出代数式即可得出答案． 【解答】解：①有两杯水，一杯的水温b是另一杯水温a的3倍低6℃，则b＝3a﹣6， ②土豆单价a比小米椒单价b的便宜2元，则，则b＝3a+6， ③某文具店的装订机的价格b比文具盒的价格a的3倍少6元，则b＝3a﹣6， ④有两根绳子，一根绳子的长度a比另一根绳子的长度b的3倍多6米，则a＝3b+6，则， 综上所述：①③符合， 故选：B． 【点评】本题主要考查了用代数式表示式，理解题意是关键． 2．（2024•重庆模拟）如图，第1图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推…，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（　　） A．7 B．28 C．252 D．63 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】猜想归纳；推理能力． 【答案】B 【分析】根据所给图形，依次求出图形中黑点与白点的个数之差，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形中黑点个数与白点个数之差为：5﹣4＝1； 第2个图形中黑点个数与白点个数之差为：15﹣12＝3＝1+2； 第3个图形中黑点个数与白点个数之差为：30﹣24＝6＝1+2+3； …， 所以第n个图形中黑点个数与白点个数之差为：1+2+3+…+n＝； 当n＝7时， ， 即第7个图形中黑点个数与白点个数之差为28． 故选：B． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现图形中黑点与白点的个数之差的变化规律是解题的关键． 3．（2024秋•太康县校级月考）小强根据学习“数与式”积累的经验，，则的值为（　　） A．2020 B． C．2021 D． 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】规律型；运算能力． 【答案】D 【分析】利用拆项法解答即可求解． 【解答】解：∵， ∴ ＝ ＝ ＝， 故选：D． 【点评】本题考查了数字的变化类，掌握拆项法是解题的关键． 4．（2024秋•呼兰区校级月考）观察下面点阵图的规律，第9幅点阵图中有（　　）个． A．18 B．28 C．32 D．36 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】猜想归纳；推理能力． 【答案】B 【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆圈的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1幅点阵图中圆圈的个数为：4＝1×3+1； 第2幅点阵图中圆圈的个数为：7＝2×3+1； 第3幅点阵图中圆圈的个数为：10＝3×3+1； …， 所以第n幅点阵图中圆圈的个数为（3n+1）个， 当n＝9时， 3n+1＝28（个）， 即第9幅点阵图中圆圈的个数为28个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现圆圈的个数依次增加3是解题的关键． 5．（2024•河南模拟）在学习数与代数领域知识时，小明对代数式做如图所示的分类，下列选项符合的是（　　） A． B． C． D．2ab 【考点】代数式．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】根据多项式的定义求解即可． 【解答】解：A.是分式，故A选项不符合题意； B.是多项式，故B选项符合题意； C.是无理式，故C选项不符合题意； D2ab是单项式，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查代数式的分类，熟练掌握代数式分类是关键． 6．（2023秋•武义县期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结果为（　　） A．﹣3 B．﹣5 C．5 D．9 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；运算能力． 【答案】D 【分析】根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【解答】解：由题意可得， （1+4）﹣（2+3）＝5﹣5＝0， （2+4）﹣（﹣2+3）＝6﹣1＝5， （﹣3+5）﹣（﹣1+6）＝2﹣5＝﹣3， ∴（﹣3+5）﹣（﹣1﹣6）＝2+7＝9， 故选：D． 【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，根据图形，发现规律是解题的关键． 7．（2024春•东光县期中）将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，…，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是（　　） A．52 B．67 C．84 D．101 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；猜想归纳；推理能力． 【答案】C 【分析】根据图形的变换规律，即可得到第⑨个图形中，棋子数量为2×10+82，从而可得答案． 【解答】解：第①个图形中，棋子数量为4＝2×2+02； 第②个图形中，棋子数量为7＝2×3+12； 第③个图形中，棋子数量为12＝2×4+22； 以此类推， 第n个图形中，棋子数量为2（n+1）+（n﹣1）2＝n2+3； ∴第⑨个图形中共有棋子的颗数是2×10+82＝84， 故选：C． 【点评】本题考查图形的变化规律问题，需要找出图形之间的联系，得出运算规律，再利用规律解决问题．解决问题的关键是得到第n个图形中，棋子数量为2（n+1）+（n﹣1）2＝n2+3． 8．（2024秋•武昌区校级月考）点A1、A2、A3…An（n为正整数）都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1O＝1，点A2在点A1的右边，且A2A1＝2，点A3在点A2的左边，且A3A2＝3，…．依照上述规律，点A2024，A2025所表示的数分别为（　　） A．2024，﹣2025 B．﹣2024，2025 C．1012，﹣1013 D．1012，1013 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】规律型；运算能力． 【答案】C 【分析】分别计算A1，A2，A3，A4所表示的数，得到规律：当奇数个点时是负数，偶数个点时是正数，且奇数点与后面偶数点数字的绝对值相同，从而A＝1012，A＝1013，进而可得A＝﹣1012． 【解答】解：∵点A1在原点O的左边，且A1O＝1， ∴点A1表示的数是﹣1， ∵点A2在点A1的右边，且A2A1＝2， ∴点A2所表示的数是1， ∵点A3在点A2的左边，且A3A2＝3， ∴点A3表示的数是﹣2， ∵点A4在点A3的右边，且A4A3＝4， ∴点A4表示的数是2， ⋯， ∴当奇数个点时是负数，偶数个点时是正数，且奇数点与后面偶数点数字的绝对值相同， ∴（n为偶数）， ∴A＝1012，A＝1013， ∴A＝﹣1013， 故选：C． 【点评】此题考查数字类规律探究，正确理解规律并解决问题是解题的关键． 9．（2024秋•沙坪坝区校级月考）有如下的一列等式： ，⋯，其中n为正整数，Tn的各项系数均不为0．交换任意两项的系数得到的新多项式称为“友好多项式”那么以下说法正确的有（　　） ①多项式T3有6个不同的“友好多项式”； ②求多项式T3所有不同的“友好多项式”之和，其中x3的系数为：2a3﹣a2+a1； ③若，那么Tn的所有系数之和为1； ④若，那么当n＝2025时，． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点】规律型：数字的变化类；单项式．版权所有 【专题】规律型；运算能力． 【答案】D 【分析】根据“友好多项式”的定义求出多项式T3的“友好多项式”即可判断①； 根据①所求把所得的6个多项式T3的“友好多项式”中的x3的系数相加即可判断②； 令x＝1，可得，据此可判断③； 令x＝1得到，则a2025﹣a2024+a2023﹣a2022+⋯+a3﹣a2+a1﹣a0＝1，令x＝﹣1得到，则，据此可判断④． 【解答】解：由“友好多项式”的定义可得，多项式T3的“友好多项式”有：，，，，，，共6个，故①正确； 多项式T3所有不同的“友好多项式”之和的x3的系数为：﹣a2+a1﹣a0+a3+a3+a3＝3a3﹣a2+a1﹣a0，故②错误； ∵（n为偶数），（n为偶数）， ∴当x＝1时，Tn＝an﹣an﹣1+an﹣2﹣an﹣3+⋯+a2﹣a1+a0（n为偶数）， Tn＝an﹣an﹣1+an﹣2﹣an﹣3+⋯﹣a2+a1﹣a0， 又∵当x＝1时，， ∴若，那么Tn的所有系数之和为1，故③正确； 当x＝1时，， 当x＝﹣1时，， ∴2（a2025+a2023+a2021+⋯+a1） ＝（a2025﹣a2024+a2023﹣a2022+⋯+a3﹣a2+a1﹣a0）﹣（﹣a2025+a2024﹣a2023+a2022﹣⋯﹣a3+a2﹣a1﹣a0）＝1+32025， ∴，故④正确； ∴正确的有3个， 故选：D． 【点评】本题主要考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 10．（2024秋•新城区校级月考）一组数据如下：1+m，2﹣m，3+m，4﹣m，5+m，……则第2016个数是（　　） A．2016+m B．2016﹣m C．2015+m D．2015﹣m 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】规律型；运算能力． 【答案】B 【分析】根据题意得出数字是一组连续的自然数，当是第奇数个时加上m，当是第偶数个时减去m，即可得解． 【解答】解：由题意得可得：数字是一组连续的自然数，当是第奇数个时加上m，当是第偶数个时减去m． 所以第2016个数是2016﹣m． 故选：B． 【点评】本题考查了数字类变化规律，发现规律是关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2024•德州）观察下列等式： S1＝； S2＝+； S3＝++； … 则S10的值为 　10　． 【考点】规律型：数字的变化类；算术平方根．版权所有 【专题】规律型；二次根式；运算能力． 【答案】10． 【分析】先求出S1，S2，S3，...，再根据其规律求出S10即可． 【解答】解：∵＝＝＝1+， ＝＝＝1+， ＝＝＝1+， ...， ∴S1＝1+＝1+1﹣＝2﹣， S2＝1++1+＝2+1﹣+﹣＝3﹣， S3＝1++1++1+＝3+1﹣+﹣+﹣＝4﹣， ...， ∴S10＝11﹣＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查数字变化类规律计算，二次根式化简，能够探究出规律是解题的关键． 12．（2024•福州模拟）将大小相同的圆点按一定规律摆成如图所示的图案，则第10个图案中圆点的个数是 　41　． 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】几何图形；运算能力． 【答案】41． 【分析】根据题意，设第n个图案中，圆点的个数为an，归纳分析可得：an＝4n+1（n为大于0的整数），进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设第n个图案中，圆点的个数为an， 则a1＝4×1+1＝5，a2＝4×2+1＝9，a3＝4×3+1＝13，a4＝4×4+1＝17， 则有an＝4n+1， 故a10＝41，即第10个图案中有41个圆点． 故答案为：41． 【点评】本题考查归纳推理的应用，找到图案中点个数的规律是解题关键． 13．（2024•东湖区校级开学） 照这样画下去，第6个图形中黑色有 　6　块，白色有 　33　块．第n个图形中白色有 　（5n+3）　块．（用含n的式子表示） 【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．版权所有 【专题】猜想归纳；推理能力． 【答案】6，33，（5n+3）． 【分析】根据所给图形，依次求出图形中黑色和白色的块数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形中，黑色的块数为：1，白色的块数为：8＝1×5+3； 第2个图形中，黑色的块数为：2，白色的块数为：13＝2×5+3； 第3个图形中，黑色的块数为：3，白色的块数为：18＝3×5+3； …， 所以第n个图形中，黑色的块数为n块，白色的块数为（5n+3）块． 当n＝6时， 5n+3＝33（块）， 即第6个图形中，黑色的块数为6块，白色的块数为33块． 故答案为：6，33，（5n+3）． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现黑色和白色个数的变化规律是解题的关键． 14．（2024•重庆）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　） 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】猜想归纳；推理能力． 【答案】B 【分析】根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2+2； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2+2； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2+2； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：10＝4×2+2； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n+2）个， 当n＝10时， 2n+2＝22（个）， 即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个． 故选：B． 【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子的个数依次增加2是解题的关键． 15．（2023秋•射阳县期末）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是 　﹣10　． 【考点】代数式求值．版权所有 【专题】图表型． 【答案】见试题解答内容 【分析】把﹣2按照如图中的程序计算后，若＜﹣5则结束，若不是则把此时的结果再进行计算，直到结果＜﹣5为止． 【解答】解：根据题意可知，（﹣2）×3﹣（﹣2）＝﹣6+2＝﹣4＞﹣5， 所以再把﹣4代入计算：（﹣4）×3﹣（﹣2）＝﹣12+2＝﹣10＜﹣5， 即﹣10为最后结果． 故本题答案为：﹣10． 【点评】此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．解题关键是对号入座不要找错对应关系． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•清江浦区校级月考）将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形． （1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有 　21　个正方形． （2）继续划分下去，第n次划分后图中共有 　（4n+1）　个正方形； （3）能否将正方形ABCD划分成有2022个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． 【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；推理能力． 【答案】（1）21； （2）（4n+1）； （3）不能，理由见解析． 【分析】（1）根据题意找出规律进行计算即可； （2）探究规律，利用规律即可解决问题； （3）构建方程即可解决问题； 【解答】解：（1）∵第1次可得5个正方形，即：1+4＝5（个）， 第2次可得9个正方形，即：1+4×2＝9（个）， 第3次可得13个正方形，即：1+4×3＝13（个）， ∴第4次可得正方形：1+4×4＝17（个）， 第5次可得正方形：1+4×5＝21（个）， 故答案为：21； （2）由（1）得：第n次可得（4n+1）个正方形， 故答案为：（4n+1）； （3）不能， 理由：依题意得：4n+1＝2022， 解得：n＝505.25， ∵n是正整数， ∴当n＝505.25时不符合题意， ∴不能将正方形ABCD划分成2022个正方形的图形． 【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解题的关键是学会并掌握从特殊到一般的探究规律的方法．也考查了一元一次方程的应用． 17．（2024春•渠县校级期中）下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第8行的最后一个数是 　64　，它是自然数 　8　的平方，第8行共有 　15　个数； （2）用含n的代数式表示：第n行第一个数是 　（n﹣1）2+1　，最后一个数是 　n2　，第n行共有 　（2n﹣1）　个数； （3）求第20行各数之和． 【考点】规律型：数字的变化类；列代数式．版权所有 【专题】规律型；运算能力． 【答案】（1）64，8，15；（2）（n﹣1）2+1，n2，（2n﹣1）；（3）14859． 【分析】（1）根据图中的数据，总结规律求解即可； （2）根据图中的数据，总结规律求解即可； （3）根据前面发现的数字的变化特点，计算出第20行第1个数和最后一个数，然后求和即可． 【解答】解：（1）第1行的最后一个数是1＝12，它是自然数1的平方，第1行共有1＝2×1﹣1个数； 第2行的最后一个数是4＝22，它是自然数2的平方，第2行共有3＝2×2﹣1个数； 第3行的最后一个数是9＝32，它是自然数3的平方，第3行共有5＝2×3﹣1个数； 第4行的最后一个数是16＝42，它是自然数4的平方，第4行共有7＝2×4﹣1个数； …； ∴第8行的最后一个数是82＝64，它是自然数8的平方，第8行共有2×8﹣1＝15个数； 故答案为：64，8，15； （2）第1行的第一个数是1＝02+1，最后一个数是1＝12，第1行共有1＝2×1﹣1个数； 第2行的第一个数是2＝12+1，最后一个数是4＝22，第2行共有3＝2×2﹣1个数； 第3行的第一个数是5＝22+1，最后一个数是9＝32，第3行共有5＝2×3﹣1个数； 第4行的第一个数是10＝32+1，最后一个数是16＝42，第4行共有7＝2×4﹣1个数； …； ∴第n行的第一个数是（n﹣1）2+1，最后一个数是n2，第n行共有（2n﹣1）个数； 故答案为：（n﹣1）2+1，n2，（2n﹣1）； （3）∵第20行第1个数为（20﹣1）2+1＝362，最后一个数为202＝400，共有2×20﹣1＝39个数， ∴第20行所有数字之和＝362+363+...+400 ＝（362+399）×19+400 ＝14859． 【点评】本题考查了数字的变化规律，发现每行的变化规律是解答此题的关键． 18．（2024秋•榆树市校级月考）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9，1≤b≤9），．例如：，． 【探究】 （1）计算：①38×32＝1216；②53×57＝3021；③71×79＝5609；④84×86＝　7224　． （2）（1）中这组计算蕴含着简算规律：十位数字 　相同　，个位数字和为 　10　的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的乘积前几位是十位数字与十位数字加一的乘积． 将上述探究过程补充完整． 【证明】（3）根据【探究】总结的简算规律，我们将十位数字设为a，个位数字分别为b、c． 则＝　（10a+b）（10a+c）　． ＝100a2+10a（b+c）+bc， ∵b+c＝　10　， ∴原式＝100a2+　100a　+bc ＝100a（a+1）+bc． 将上述证明过程补充完整． 【应用】（4）若与100a的差为924，求a的值． 【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．版权所有 【专题】规律型；推理能力． 【答案】（1）7224； （2）相同；10； （3）（10a+b）（10a+c）；10；100a； （4）a＝3． 【分析】（1）根据题意得到规律，按照规律计算即可求解； （2）根据（1）得到规律，从而可得答案； （3）由，再利用整式的乘法运算进行推导即可； （4）由规律得，由题意得到100a2+100a+24﹣100a＝924，利用平方根的性质解方程即可求解． 【解答】（1）解：计算：①38×32＝（3×4）×100+8×2＝1216； ②53×57＝（5×6）×100+3×7＝3021； ③71×79＝（7×8）×100+1×9＝5609； ④84×86＝（8×9）×100+4×6＝7224； 故答案为：7224； （2）规律：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，积的末两位数是个位数字的乘积，前几位是十位数字与十位数字加一的乘积． 故答案为：相同；10； （3）证明： ＝100a2+10ab+10ac+bc ＝100a2+10a（b+c）+bc， ∵b+c＝10， ∴原式＝100a2+100a+bc ＝100a（a+1）+bc； 故答案为：（10a+b）（10a+c）；10；100a； （4）解：∵， ，∴100a2+100a+24﹣100a＝924， 整理得a2＝9， ∴a＝±3， ∵1≤a≤9， ∴a＝3． 【点评】本题考查的是新定义运算的含义，多项式乘以多项式的运算，平方根解方程，理解题意选择合适的方法解题是关键． 19．（2023秋•兴隆县期末）如图所示是一个长方形． （1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S； （2）若x＝3，求S的值． 【考点】代数式求值；列代数式．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图形可知：阴影部分的面积可用长方形的面积减去两个直角三角形的面积． 【解答】解：（1）由图形可知：S＝4×8﹣×4×8﹣×4（4﹣x） ＝16﹣8+2x ＝（8+2x）cm2． 另解：大三角形面积为：×4×8＝16cm2， 小直角三角形的面积为：×（8﹣4）×（4﹣x）＝（8﹣2x）cm2， ∴S＝8×4﹣16﹣（8﹣2x）＝（8+2x）cm2． （2）将x＝3代入上式，S＝8+2×3＝14cm2． 【点评】本题考查列代数式求值，涉及长方形的面积公式，三角形面积公式，代数式求值等问题． 20．（2024秋•东昌府区月考）阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示：如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3﹣1|＝2；有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7；有理数﹣8与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣8﹣（﹣5）|＝3；… 如图，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|． 解决问题： （1）数轴上有理数﹣10与3对应的两点之间的距离等于 　13　； （2）数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为 　|x+5|　； （3）结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|＝3，则x＝　﹣4或2　； 联系拓广： （4）如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x． ①若点P在点M，N两点之间，则|PM|+|PN|＝|x﹣4|+|x+2|＝　6　； 若|PM|+|PM|＝|x﹣4|+|x+2|＝10，则点P表示的数x为 　﹣4或6　； ②利用数轴分析，若x是整数，且满足|x﹣4|+|x+2|＝6，则满足条件的所有x的值的和为 　7　． 【考点】列代数式；数轴；绝对值．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）13；（2）|x+5|；（3）﹣4或2；（4）①6；﹣4或6；②7． 【分析】（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得在数轴上表示x的数与表示﹣1的数的距离为3，据此根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （4）①直接根据题意化简绝对值即可得到答案；分x＜﹣2，﹣2≤x≤4，x＞4，三种情况去绝对值后解方程即可；②由绝对值的几何意义可知，数轴上表示x的数到表示﹣2的数和表示到4的数的距离之和为6，而表示﹣2的数和表示到4的数的距离为6，则只有当表示x的数在﹣2和4之间才满足题意，据此计算求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，数轴上有理数﹣10与3对应的两点之间的距离等于|3﹣（﹣10）|＝|3+10|＝13， 故答案为：13； （2）由题意得，数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x﹣（﹣5）|＝|x+5|， 故答案为：|x+5|； （3）由题意可知|x+1|表示的是数轴上表示x的数与表示﹣1的数的距离， ∵|x+1|＝3， ∴在数轴上表示x的数与表示﹣1的数的距离为3， ∴x表示的数为﹣1﹣3＝﹣4或﹣1+3＝2， 故答案为：﹣4或2； （4）①∵点P在点M，N两点之间， ∴﹣2≤x≤4， ∴|PM|+|PN|＝|x﹣4|+|x+2|＝4﹣x+x+2＝6； 若|PM|+|PM|＝|x﹣4|+|x+2|＝10， 则当x＜﹣2时，﹣x﹣2+4﹣x＝10，解得x＝﹣4； 当﹣2≤x≤4时，则x+2+4﹣x＝10，则6＝10，不符合题意； 当x＞4时，则x﹣4+x+2＝10，解得x＝6； 综上所述，x＝﹣4或x＝6； 故答案为：6；﹣4或6． ②|x﹣4|+|x+2|表示的是数轴上表示x的数到表示﹣2的数和表示到4的数的距离之和， ∵|x﹣4|+|x+2|＝6， ∴数轴上表示x的数到表示﹣2的数和表示到4的数的距离之和为6， 又∵表示﹣2的数和表示到4的数的距离为|4﹣（﹣2）|＝6， ∴只有当表示x的数在﹣2和4之间才满足题意， ∴符合题意的x的值为﹣2和4之间的所有整数， ∴满足条件的所有x的值的和为﹣2﹣1+0+1+2+3+4＝7， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算，有理数的加法计算，一元一次方程的应用：熟练掌握以上知识点是关键． 考点卡片 1．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 2．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 3．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 4．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 5．代数式 代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈． ②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等． 6．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 7．代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 8．规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 9．规律型：图形的变化类 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 10．单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$