2025年中考数学一轮复习——一次函数

2025年中考数学一轮复习——一次函数 一．选择题（共10小题） 1．（2024春•荔城区校级期中）对于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（　　） A．函数值y随自变量x的增大而减小 B．函数图象与y轴的交点坐标是 C．函数图象与x轴的正方向成45°角 D．函数图象不经过第四象限 2．（2024•宁波模拟）快、慢两车分别从相距240千米的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时．然后按原路原速返回，快车比慢车早1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示．则在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为1千米的次数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024•福州模拟）已知一次函数y＝（m﹣3）x+n+3的图象如图所示，则点P（m﹣n，2n）所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024•江岸区模拟）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A地的路程S（单位：km）与所用时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为（　　） A． B．15min C．20min D． 5．（2024春•莱阳市期末）如图，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，3），则关于x的一元一次不等式kx+b≤mx+n的解集是（　　） A．x≥3 B．x≥1 C．x≤1 D．x≤3 6．（2024•射洪市校级开学）A、B两地相距2400米，甲、乙两人准备从A地出发去B地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达B地后，停止运动．甲乙之间的距离s（m）与甲运动时间t（min）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．乙每分钟比甲多走20m B．乙出发20min后两人相遇 C．乙到达B地时，甲距离B地还有300m D．相遇前，甲走4min或8min时两人相距240m 7．（2024秋•辽宁月考）在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝kx+b（k＞0）和y2＝mx+n（m＜0）的图象如图所示，则关于x满足y1•y2＜0的取值范围为（　　） A．x＜1 B．x＞2 C．或x＞1 D．或x＞2 8．（2024•舟山一模）已知一次函数y＝kx+3（k≠0），当k≤x≤m时，a≤y≤b，若a+b的最小值为2，则m的值为（　　） A．±2 B．2 C．±4 D．4 9．（2024•峰峰矿区校级二模）如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往B地，甲到达B地后立即以原速沿原路返回，乙到达B地后停止运动，已知运动过程中两人到B地的距离y（km）与出发时间t（h）的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后（　　）小时第一次相遇． A．1 B．1.5 C．2 D．6 10．（2024春•三门县期末）一次函数y＝kx+6（k＞0）上有两点（﹣4，y1），（3，y2），则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 二．填空题（共5小题） 11．（2024•宁波模拟）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 　 　分钟． 12．（2024春•宁江区校级期中）若直线y＝2x+b经过点（﹣1，5），则b＝　 　． 13．（2024•宁波模拟）已知直线y1＝x，y2＝﹣x+b，y3＝2x﹣b（b＞0），若无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值，则当x＝　 　时，y的值最大．（用含b的代数式表示） 14．（2024•西青区一模）将直线y＝kx+3向上平移3个单位长度后经过点（1，4），则k的值是 　 　． 15．（2023秋•莲都区期末）已知直线l1：y＝kx+2+k（k≠0）和直线l2：y＝x+3．若直线l1、l2与y轴所围成的三角形面积记作S． （1）当k＝﹣1时，S的值是 　 　； （2）当2≤S≤3时，k的取值范围是 　 　． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•让胡路区校级月考）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． （1）求A，B两种香料的单价； （2）该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 17．（2024春•船营区校级期中）已知关于x的正比例函数y＝（2m+4）x． （1）已知点A（1，3）在该正比例函数的图象上，求m的值； （2）在（1）的条件下，当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围． 18．（2024•广州模拟）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km﹣10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，请根据相关信息，解答下列问题： （1）求y1，y2关于x的函数解析式． （2）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300m/min，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择 　 　品牌共享电动车更省钱．（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？ 19．（2023秋•全椒县期末）如图，直线l1：y1＝kx+a分别交x轴，y轴于点A（﹣2，0），B（0，1）．直线l2：y2＝﹣2x+b分别交x轴，y轴于点C，D，与直线l1相交于点E，已知OB＝OC． （1）求直线l1的表达式； （2）求y1＞y2时，x的取值范围． 20．（2024春•泌阳县月考）法国数学家笛卡尔于1637年发明了现代数学的基础工具——平面直角坐标系．平面直角坐标系的引入，使得我们可以用代数方法研究几何问题． 【初步尝试】如图1，在矩形ABCD中，BC＝8，AB＝6，E为AD的中点，BD和CE相交于点M．求△BMC的面积． 嘉嘉同学的思路如下：建立如图2所示的平面直角坐标系，根据一次函数的知识求出点M的坐标，从而可求出△BMC的面积． 请你根据嘉嘉同学的思路解决下列问题： （1）点E的坐标为 　 　． （2）△BMC的面积为 　 　． 【问题联想】如图3，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝3，DC＝4，对角线AC、BD交于点P，AC＝BC． （3）求△CDP的面积． （4）琪琪同学以点D为原点，分别以AD、CD所在的直线为x轴、y轴，点B在第三象限，若以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点F的坐标． 2025年中考数学一轮复习——一次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024春•荔城区校级期中）对于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（　　） A．函数值y随自变量x的增大而减小 B．函数图象与y轴的交点坐标是 C．函数图象与x轴的正方向成45°角 D．函数图象不经过第四象限 【考点】一次函数的性质．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质逐项判断即可． 【解答】解：A、∵在一次函数的解析式y＝﹣2x+3中k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小，故选项A正确，符合题意； B、当x＝0时，y＝3，则该函数图象与y轴交于点（0，3），故选项B错误，不符合题意； C、该函数图象与x轴的正方向所成的角不是45°，故选项C错误，不符合题意； D、∵k＝﹣2＜0，b＝3＞0， ∴该函数图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限，故选项D错误． 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质并正确运用是解答的关键． 2．（2024•宁波模拟）快、慢两车分别从相距240千米的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时．然后按原路原速返回，快车比慢车早1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示．则在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为1千米的次数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】一次函数的应用．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】在图中画出慢车距快车出发地甲的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系图象FG，观察图象即可求解． 【解答】解：在图中画出慢车距快车出发地甲的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图FG所示， 则在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为1千米的次数为5次． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的应用，观察图象获取信息是解题的关键． 3．（2024•福州模拟）已知一次函数y＝（m﹣3）x+n+3的图象如图所示，则点P（m﹣n，2n）所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】一次函数图象与系数的关系；解一元一次不等式．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】由图象经过第一、三、四象限可知k＞0，b＜0求出m＞3，n＜﹣3，再根据不等式的性质得到m﹣n＞0，2n＜0，即可判断所处象限． 【解答】解：由题意得：m﹣3＞0，n+3＜0， ∴m＞3，n＜﹣3， ∴﹣n＞3， ∴m﹣n＞6，2n＜﹣6， ∴m﹣n＞0，2n＜0， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数图像与系数的关系，解一元一次不等式，点的坐标特征，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．（2024•江岸区模拟）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A地的路程S（单位：km）与所用时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示，则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为（　　） A． B．15min C．20min D． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力． 【答案】A 【分析】根据函数图象中的数据，可以分别写出甲和乙的速度，再设甲乙两地的路程，根据路程＝速度×时间，即可求得两次相遇的时间，再作差即可． 【解答】解：设甲乙两地的路程为a km， 由图象可得， 甲的速度为km/min，乙的速度为km/min， 设甲和乙第一次相遇的时间为t1，他们第二次相遇的时间为t2， 由题意可得：， 解得， 则t2﹣t1＝﹣＝（min）， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（2024春•莱阳市期末）如图，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，3），则关于x的一元一次不等式kx+b≤mx+n的解集是（　　） A．x≥3 B．x≥1 C．x≤1 D．x≤3 【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．版权所有 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观． 【答案】C 【分析】观察函数图象得到，当x≤1时，一次函数y＝kx+b的图象不在一次函数y＝mx+n的图象的上方，由此得到不等式kx+b≤mx+n的解集． 【解答】解：如图所示，当x≤1时，一次函数y＝kx+b的图象不在一次函数y＝mx+n的图象的上方， 所以，关于x的一元一次不等式kx+b≤mx+n的解集为x≤1． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 6．（2024•射洪市校级开学）A、B两地相距2400米，甲、乙两人准备从A地出发去B地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达B地后，停止运动．甲乙之间的距离s（m）与甲运动时间t（min）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．乙每分钟比甲多走20m B．乙出发20min后两人相遇 C．乙到达B地时，甲距离B地还有300m D．相遇前，甲走4min或8min时两人相距240m 【考点】一次函数的应用．版权所有 【专题】一次函数及其应用；数据分析观念． 【答案】B 【分析】从图象看，甲5min走的路程为300m，则甲的速度为60m/min，由图象知，乙的速度快，则t＝35min时，乙到达B地，所用时间为35﹣5＝30（min），则乙的速度为：2400÷30＝80m/min，进而求解． 【解答】解：A．从图象看，甲5min走的路程为300m，则甲的速度为60m/min， 由图象知，乙的速度快，则t＝35min时，乙到达B地，所用时间为35﹣5＝30（min）， 则乙的速度为：2400÷30＝80m/min， 故乙每分钟比甲多走20m，正确，不符合题愿意； B．设x min乙追上甲，则x（80﹣60）＝300， 解得：x＝15（min）， 即乙出发15 min时，两人相遇，故B错误，符合题意； C．当t＝35min时，甲运动的路程为：35×60＝2100（m）， 则乙到达B地时，甲距离B地还有300m，故C正确，不符合题意； D．甲开始走4分钟，走的路程为4×60＝240（m）， 此时两人相距240m， 甲走8分钟时，乙走了3分钟，此时两人的距离为60×8﹣80×3＝240（m）， 故D正确，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的应用，通过图象关键点，确定运动速度是求解的关键． 7．（2024秋•辽宁月考）在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝kx+b（k＞0）和y2＝mx+n（m＜0）的图象如图所示，则关于x满足y1•y2＜0的取值范围为（　　） A．x＜1 B．x＞2 C．或x＞1 D．或x＞2 【考点】一次函数的图象．版权所有 【专题】一次函数及其应用；几何直观． 【答案】D 【分析】依据题意，根据图象可得，当x＜时，y1＜0，y2＞0，符合题意；当x＞2时，y1＞0，y2＜0，符合题意，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，根据图象可得，当x＜时，y1＜0，y2＞0，符合题意； 当x＞2时，y1＞0，y2＜0，符合题意， ∴满足y1•y2＜0的取值范围是x＜或x＞2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象，解题时要熟练掌握并能灵活运用图象分析是关键． 8．（2024•舟山一模）已知一次函数y＝kx+3（k≠0），当k≤x≤m时，a≤y≤b，若a+b的最小值为2，则m的值为（　　） A．±2 B．2 C．±4 D．4 【考点】一次函数的性质．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】先分析k＞0和k＜0时导出a+b＝km+k2+6，根据最小值可得km+k2最小值为﹣4，通过配方得到y＝km+k2＝（k+）2﹣，再根据k≤x≤m确定m的取值． 【解答】解：当k＞0时，x＝k，y＝kx+3＝k2+3＝a，当x＝m，y＝km+3＝b， ∴a+b＝km+k2+6， 当k＜0时，x＝k，y＝kx+3＝k2+3＝b，当x＝m，y＝km+3＝a， ∴a+b＝km+k2+6， ∵a+b的最小值为2， ∴km+k2最小值为﹣4， ∴y＝km+k2＝（k+）2﹣， 当k＝﹣时，y取得最小值﹣4，即﹣， ∴m＝±4， 由题意知k≤x≤m，所以k≤m， 当m＝﹣4时，k＝2，k＞m，不符合题意舍去， 当m＝4时，k＝﹣2，满足题意， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键． 9．（2024•峰峰矿区校级二模）如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往B地，甲到达B地后立即以原速沿原路返回，乙到达B地后停止运动，已知运动过程中两人到B地的距离y（km）与出发时间t（h）的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后（　　）小时第一次相遇． A．1 B．1.5 C．2 D．6 【考点】一次函数的应用．版权所有 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【答案】C 【分析】先根据题意求出甲、乙的速度，再设出发后x h甲、乙相遇，根据相遇时甲的路程＝乙的路程+20列出方程，解方程即可． 【解答】解：由图可知：甲10小时所走路程是80×2＝160（km）， ∴甲的速度是160÷10＝16（km/h）， ∵出发时甲距B地80千米，乙距B地60千米， ∴出发时乙在甲前方20km， 由图可得乙的速度是60÷10＝6（km/h）， 设出发后x h甲、乙相遇， 则20+6x＝16x， 解得x＝2， ∴甲乙两人在出发后2小时第一次相遇， 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是理解图象中特殊点的意义，从函数图象获取到有用信息． 10．（2024春•三门县期末）一次函数y＝kx+6（k＞0）上有两点（﹣4，y1），（3，y2），则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】一次函数及其应用；推理能力． 【答案】C 【分析】对于一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0时，y 随x 的增大而增大，当k＜0时，y 随x 的增大而减小，据此求解即可． 【解答】解：∵在一次函数y＝kx+6中，k＞0， ∴y随x增大而增大， ∵点（﹣4，y1），（3，y2）在一次函数y＝kx+6（k＞0）的图象上，且﹣4＜3， ∴y1＜y2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 二．填空题（共5小题） 11．（2024•宁波模拟）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则先到终点的人原地休息了 　4.5　分钟． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【答案】4.5． 【分析】根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解． 【解答】解：由图可得，甲的速度为240÷3＝80米/分， 设乙的速度为x米/分， 由图可得，（15﹣3）x＝240+80×（15﹣3）， 解得x＝100， ∴乙的速度为100米/分， ∴甲到达终点的时间为3000÷80＝37.5分钟， 乙达到终点的时间为3000÷100＝30分钟， ∵甲先出发3分钟， ∴乙先到终点原地休息了37.5﹣3﹣30＝4.5分钟， 故答案为：4.5． 【点评】本题考查了一次函数的应用，看懂函数的图象是解题的关键． 12．（2024春•宁江区校级期中）若直线y＝2x+b经过点（﹣1，5），则b＝　7　． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】7． 【分析】把点（﹣1，5）代入函数解析式y＝2x+b中，即可求得b的值． 【解答】解：∵直线y＝2x+b 经过（﹣1，5）， ∴把点（﹣1，5）代入函数解析式y＝2x+b中，得：2×（﹣1）+b＝5， ∴b＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握此特征是关键． 13．（2024•宁波模拟）已知直线y1＝x，y2＝﹣x+b，y3＝2x﹣b（b＞0），若无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值，则当x＝　b　时，y的值最大．（用含b的代数式表示） 【考点】正比例函数的性质．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】b． 【分析】依据题意求得三条直线的交点，再利用题意求得y值，最后利用一次函数的性质解答即可． 【解答】解：由题意可知三条直线两两相交， 由得：； 由得：； 由得：． ∴三个交点为：A（，），B（b，b），C（b，b），如图， 当x≤b时，y3的值最小， ∵无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值， ∴y＝y3的值， ∵y3的值随x的增大而增大， ∴当x＝b时，y的值最大为b； 当x≥b时，y2的值最小， ∵无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值， ∴y＝y2的值， ∵y3的值随x的增大而减小， ∴当x＝b时，y的值最大为b． 综上，当x＝b时，y的值最大． 故答案为：b． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，正比例函数的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 14．（2024•西青区一模）将直线y＝kx+3向上平移3个单位长度后经过点（1，4），则k的值是 　﹣2　． 【考点】一次函数图象与几何变换．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据直线y＝kx+3向上平移3个单位可知新的解析式为y＝kx+6，再根据新函数解析式经过点（1，4）即可解答． 【解答】解：∵直线解析式为：y＝kx+3， ∴向上平移3个单位后新的函数解析式为y＝kx+3+3＝kx+6， 即向上平移3个单位后新的解析式为y＝kx+6， ∵将直线y＝kx+3向上平移3个单位长度后经过点（1，4）， ∴4＝k+6， ∴k＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了平面直角坐标系与平移，掌握平移的规律是解题的关键． 15．（2023秋•莲都区期末）已知直线l1：y＝kx+2+k（k≠0）和直线l2：y＝x+3．若直线l1、l2与y轴所围成的三角形面积记作S． （1）当k＝﹣1时，S的值是 　　； （2）当2≤S≤3时，k的取值范围是 　5≤k≤7或﹣5≤k≤﹣3　． 【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数图象与系数的关系．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】；5≤k≤7或﹣5≤k≤﹣3． 【分析】（1）将k＝﹣1代入得出l1：y＝2，l2：y＝x+3，作出图形，根据三角形的面积即可求解； （2）依题意得出l1过定点（﹣1，2），则点B（﹣1，2）到y轴的距离为1，根据，结合题意，得出S＝2和S＝3时k的值，结合图象即可求解． 【解答】解：（1）当k＝﹣1时，l1：y＝2，l2：y＝x+3， 如图所示，设l1、l2交于点B，l2与y轴交于点A，l1与y轴交于点C，则C（0，2）， ∴2＝x+3，解得：x＝﹣1，则B（﹣1，2）， 当x＝0时，y＝3，∴A（0，3）， ∴AC＝BC＝1， ∴， （2）∵l1：y＝kx+2+k＝k（x+1）+2，l2：y＝x+3， ∴l1过定点（﹣1，2），则点B（﹣1，2）到y轴的距离为1， 设l1与y轴交于点D，则D（0，2+k），则AD＝|2+k﹣3|， ∴， 当S＝2时，， 解得：k＝5或k＝﹣3， 当S＝3时，， 解得：k＝﹣5或k＝7， ∵2≤S≤3， ∴5≤k≤7或﹣5≤k≤﹣3， 故答案为：5≤k≤7或﹣5≤k≤﹣3． 【点评】本题考查了两直线与坐标轴围成的三角形的面积问题，熟练掌握一次函数与坐标轴交点坐标求法是关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•让胡路区校级月考）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． （1）求A，B两种香料的单价； （2）该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元；（2）购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元． 【分析】（1）设A，B两种香料的单价分别为x元，y元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A种香料a千克，则购买B种香料（20﹣a）千克，总费用为w元．根据题意列不等式可求得a≤15，再列出函数关系式w＝﹣20a+800，然后根据一次函数的性质即可解答． 【解答】解：（1）设A，B两种香料的单价分别为x元，y元， 根据题意得：，解得：． 答：A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元． （2）设购买A种香料a千克，则购买B种香料（20﹣a）千克，总费用为w元． 由题意可得：a≤3（20﹣a）， ∴a≤15， 由题意可得w＝20a+40（20﹣a）＝﹣20a+800， ∵﹣20＜0，∴w随a的增大而减小， ∴当a＝15时，w最小，wmin＝﹣300+800＝500（元）． 答：购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程组、不等式以及一次函数的解析式成为解题的关键． 17．（2024春•船营区校级期中）已知关于x的正比例函数y＝（2m+4）x． （1）已知点A（1，3）在该正比例函数的图象上，求m的值； （2）在（1）的条件下，当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）﹣6＜y≤9． 【分析】（1）直接把点A（1，3）代入正比例函数y＝（2 m+4）x，求出m的值； （2）根据正比例函数的增减性与系数的关系找出y的取值范围． 【解答】解：（1）∵点在该正比例函数y＝（2 m+4）x的图象上， ∴2m+4＝3， 解得：； （2）由（1）知：， ∴正比例函数的表达式为：y＝3x， ∵在y＝3x中，k＝3＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝﹣2时，y＝﹣6，当x＝3时，y＝9， ∴y的取值范围为：﹣6＜y≤9． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，准确理解正比例函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键． 18．（2024•广州模拟）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km﹣10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，请根据相关信息，解答下列问题： （1）求y1，y2关于x的函数解析式． （2）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300m/min，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择 　B　品牌共享电动车更省钱．（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【答案】（1）y1＝0.4x（x＞0）；y2＝；（2）①B；②当x的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①先分段求出y2关于x的函数解析式，再根据“时间＝路程÷速度”求出小明从家骑行到工厂所需时间，再分别求出选择A和B品牌共享电动车所需费用，比较即可求解； ②分两种情况讨论：当0＜x≤10时，y2﹣y1＝3；当x＞10时，y2﹣y1＝3或y1﹣y2＝3．以此列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）由图象可得，P（20，8）， 设y1＝k1x， 将点（20，8）代入得，20k1＝8， 解得：k1＝0.4， ∴y1＝0.4x（x＞0）， ∴y1关于x的函数解析式为y1＝0.4x（x＞0）； 由图象可知，当0＜x≤10时，y2＝6， 设当x＞10时，y2＝k2x+b， 将点（10，6），（20，8）代入得，， 解得， ∴当x＞10时，y2＝0.2x+4， ∴y2＝； （2）①由图象可知，当0＜x≤10时，y2＝6， 小明从家骑行到工厂所需时间为＝30（min）， A品牌所需费用为0.4×30＝12（元）， B品牌所需费用为0.2×30+4＝10（元）， ∵12＞10， ∴选择B品牌共享电动车更省钱； 故答案为：B； ②当0＜x≤10时，y2﹣y1＝3， ∴6﹣0.4x＝3， 解得：x＝7.5， 当x＞10时，y2﹣y1＝3或y1﹣y2＝3， ∴0.2x+4﹣0.4x＝3或0.4x﹣（0.2x+4）＝3， 解得：x＝5（舍去）或x＝35， 综上，当x的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 【点评】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程，利用待定系数法正确求出函数解析式，并学会利用分类讨论思想解决问题． 19．（2023秋•全椒县期末）如图，直线l1：y1＝kx+a分别交x轴，y轴于点A（﹣2，0），B（0，1）．直线l2：y2＝﹣2x+b分别交x轴，y轴于点C，D，与直线l1相交于点E，已知OB＝OC． （1）求直线l1的表达式； （2）求y1＞y2时，x的取值范围． 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【专题】一次函数及其应用；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用待定系数法求直线l1的表达式； （2）先求出C点坐标得到b的值，则y2＝﹣2x+6，然后解不等式x+1＞﹣2x+6即可． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得， ∴直线l1的表达式为y1＝x+1； （2）∵B（0，1）， ∴OB＝1， ∵OB＝OC， ∴OC＝3OB＝3， ∴C（3，0）， 把C（3，0）代入y2＝﹣2x+b得﹣6+b＝0， 解得b＝6， ∴y2＝﹣2x+6， 解不等式x+1＞﹣2x+6得x＞2， 即y1＞y2时，x的取值范围为x＞2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：通过比较函数值大小得到一元一次不等式，然后解一元一次不等式得到x的取值范围．也考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数的性质． 20．（2024春•泌阳县月考）法国数学家笛卡尔于1637年发明了现代数学的基础工具——平面直角坐标系．平面直角坐标系的引入，使得我们可以用代数方法研究几何问题． 【初步尝试】如图1，在矩形ABCD中，BC＝8，AB＝6，E为AD的中点，BD和CE相交于点M．求△BMC的面积． 嘉嘉同学的思路如下：建立如图2所示的平面直角坐标系，根据一次函数的知识求出点M的坐标，从而可求出△BMC的面积． 请你根据嘉嘉同学的思路解决下列问题： （1）点E的坐标为 　（4，6）　． （2）△BMC的面积为 　16　． 【问题联想】如图3，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝3，DC＝4，对角线AC、BD交于点P，AC＝BC． （3）求△CDP的面积． （4）琪琪同学以点D为原点，分别以AD、CD所在的直线为x轴、y轴，点B在第三象限，若以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点F的坐标． 【考点】一次函数综合题．版权所有 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【答案】（1）（4，6）． （2）16． （3）△CDP的面积＝． （4）F坐标为（﹣2，﹣4）或（2，4）或（﹣8，﹣4）． 【分析】（1）由AD＝8，E为AD中点得AE＝4，故E（4，6）． （2）过M作PQ⊥BC，交BC于Q，交AD于P．由矩形ABCD得AD∥BC，故△EDM∽△CBM，得出＝＝＝，又MQ+PM＝AB＝6，得出MQ＝4．故△BMC的面积为×8×4＝16． （3）过P作GH⊥BC，交BC于H，交AD于G．BC＝AC＝＝5．同（2）得＝＝，又GP+PH＝4，故PH＝，故△CDP的面积＝△BCD面积﹣△PBC面积＝×5×4﹣×5×＝． （4）过D作F1F2∥AB，过AF2F3∥BD．由BF1＝AD＝3得CF1＝2，故F1（﹣2，﹣4）．由F1与F2关于原点对称，得F2（2，4）．由平行四边形边相等得BF3＝BF1＝3，故F3（﹣8，﹣4）． 【解答】解（1）∵AD＝8，E为AD中点， ∴AE＝4， ∴E（4，6）． （2）过M作PQ⊥BC，交BC于Q，交AD于P． ∵矩形ABCD， ∴AD∥BC， ∴△EDM∽△CBM， ∴＝＝＝， 即MQ＝2PM． 又MQ+PM＝AB＝6， ∴MQ＝4． ∴△BMC的面积为×8×4＝16． （3）过P作GH⊥BC，交BC于H，交AD于G． BC＝AC＝＝5． 同（2）得＝＝， 又GP+PH＝4， ∴PH＝， ∴△CDP的面积＝△BCD面积﹣△PBC面积＝×5×4﹣×5×＝． （4）过D作F1F2∥AB，过AF2F3∥BD． ∴BF1＝AD＝3， ∴CF1＝2， ∴F1（﹣2，﹣4）． ∵F1与F2关于原点对称， ∴F2（2，4）． ∵BF3＝BF1＝3， ∴F3（﹣8，﹣4）． 综上所述，F坐标为（﹣2，﹣4）或（2，4）或（﹣8，﹣4）． 【点评】本题考查了一次函数综合题，利用矩形的性质，以及构造相似是解题关键． 考点卡片 1．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 2．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 3．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 4．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 5．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 6．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 7．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 8．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 9．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 10．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 11．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 12．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 13．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 14．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$