2025年中考数学一轮复习——相交线与平行线

2025年中考数学一轮复习——相交线与平行线 一．选择题（共10小题） 1．（2024春•项城市校级期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②FD平分∠HFB；③2∠D+∠EHC＝90°；④FH平分∠GFD．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 2．（2024秋•沙坪坝区校级月考）如图，已知直线a∥b，直线l与直线a、b分别交于点A、B，AC⊥AB交直线b于点C．若∠2＝50°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．40° C．60° D．30° 3．（2024•河南模拟）图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2所示的数学问题：已知AB∥CD，∠A＝72°，∠E＝33°，则∠ECD的度数是（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 4．（2023秋•林芝市期末）如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠BFE＝65°，则∠C′FB的度数为（　　） A．45° B．50° C．60° D．65° 5．（2024•淄博）如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A＝110°，则∠D的度数是（　　） A．40° B．36° C．35° D．30° 6．（2023秋•青县期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠AOE＝145°，则∠AOD的度数是（　　） A．70° B．80° C．55° D．65° 7．（2024春•金平区期中）如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个长方形的对边上，如果∠1＝m°，那么用含m的式子表示∠2的度数是（　　） A．（m+30）° B．（m+90）° C．（m+120）° D．（150﹣m）° 8．（2024•突泉县二模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠3＝55°，则∠2的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 9．（2024春•凉州区校级期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024春•利津县期末）如图AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠AEF的平分线交CD于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGF的度数是（　　） A．32° B．58° C．64° D．128° 二．填空题（共5小题） 11．（2024春•白银区校级期中）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中AB∥CD，AE∥BD．若∠CDB＝60°，∠ACD＝80°，则∠EAC的度数是 　 　． 12．（2024•金州区一模）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是 　 　． 13．（2024春•东莞市期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　 　时，CD∥AB． 14．（2024春•邵阳期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点 　 　，依据是 　 　． 15．（2024春•通河县期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠COA+∠BOD＝50°，则∠EOB＝　 　°． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•建邺区校级月考）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB．求证：B是弧DE的中点． 17．（2024春•建华区校级期中）如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF． （1）请直接写出∠AEP、∠CFP和∠EPF的数量关系； （2）在图2中，∠BEP的平分线与∠DFP的平分线交于点Q，试探索∠EQF与∠EPF之间的关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，已知∠BEP和∠DFP均为钝角，点G在直线AB、CD之间，且满足∠BEG＝∠BEP，∠DFG＝∠DFP，（其中n为常数且n＞1），请直接写出∠EGF与∠EPF的数量关系． 18．（2023秋•镇巴县期末）【问题情境】已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G． 【问题探究】（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由； 【问题解决】（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若AB∥CD，试说明∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG． 19．（2024春•大余县期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）AD与EC平行吗？请说明理由． （2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝76°，求∠FAB的度数． 20．（2024春•宁江区校级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，在（1）的条件下，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH． （3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，Q是EF上一点，且∠HPQ＝45°，若∠PHG＝15°，请直接写出∠QPE的度数（不需要写过程）． 2025年中考数学一轮复习——相交线与平行线 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024春•项城市校级期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②FD平分∠HFB；③2∠D+∠EHC＝90°；④FH平分∠GFD．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】B 【分析】先根据平行线的性质可得FG⊥FD，从而可得∠AFG+∠BFD＝90°，再根据平行线的性质可得∠D＝∠BFD，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得∠EHC＝∠D＝30°，由此即可判断③；根据平行线的性质可得∠BFD＝∠D＝30°，∠GFD＝90°，但题干未知∠HFD的大小，由此即可判断②和④． 【解答】解：∵FG⊥EH， ∴∠FGE＝90°， 又∵FD∥EH， ∴∠GFD＝180°﹣∠FGE＝90°， ∴FG⊥FD， ∴∠AFG+∠BFD＝180°﹣90°＝90°， ∴2∠D+∠BFD＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠D＝∠BFD， ∴2∠D+∠D＝90°， 解得∠D＝30°，则结论①正确； ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，则结论③正确； ∵∠D＝30°， ∴∠BFD＝∠D＝30°，∠GFD＝90°， 但∠HFD不一定等于30°，也不一定等于45°， 所以FD平分∠HFB，FH平分∠GFD都不一定正确，则结论②和④都错误； 综上，正确的是①③， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质、垂直，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 2．（2024秋•沙坪坝区校级月考）如图，已知直线a∥b，直线l与直线a、b分别交于点A、B，AC⊥AB交直线b于点C．若∠2＝50°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．40° C．60° D．30° 【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】由垂直可得∠BAC＝90°，即得∠ABC＝40°，再根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∵∠2＝50°， ∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠ABC＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查了垂直，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 3．（2024•河南模拟）图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2所示的数学问题：已知AB∥CD，∠A＝72°，∠E＝33°，则∠ECD的度数是（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：如图所示：延长DC交AE于点F， ∵AB∥CD，∠A＝72°， ∴∠EFC＝∠A＝72°， 由∵∠E＝33°， ∴∠ECD＝∠E+∠EFC＝105°， 故选：C． 【点评】此题主要考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”及三角形的外角性质是解题的关键． 4．（2023秋•林芝市期末）如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠BFE＝65°，则∠C′FB的度数为（　　） A．45° B．50° C．60° D．65° 【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】B 【分析】由平行线的性质推出∠DEF＝∠EFB＝65°，由折叠的性质得：∠D′EF＝∠DEF＝65°，由平行线的性质得到∠EFC′+∠D′EF＝180°，求出∠EFC′＝115°，即可得到∠C′FB＝∠EFC′﹣∠EFB＝115°﹣65°＝50°． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝65°， 由折叠的性质得：∠D′EF＝∠DEF＝65°， ∵ED′∥FC′， ∴∠EFC′+∠D′EF＝180°， ∴∠EFC′＝115°， ∴∠C′FB＝∠EFC′﹣∠EFB＝115°﹣65°＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查折叠的性质，平行线的性质，关键是由以上知识点求出∠EFC′＝115°． 5．（2024•淄博）如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A＝110°，则∠D的度数是（　　） A．40° B．36° C．35° D．30° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，∠D＝∠DBC； ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABC＝×70°＝35°． ∴∠D＝35°． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性质是关键． 6．（2023秋•青县期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠AOE＝145°，则∠AOD的度数是（　　） A．70° B．80° C．55° D．65° 【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】A 【分析】先根据补角的定义求出∠BOE，再根据角平分线的定义求出∠BOC，最后根据∠AOD＝∠BOC进行求解． 【解答】解：∵∠AOE＝145°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝35°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠BOE＝70°， ∴∠AOD＝∠BOC＝70°， 故选：A． 【点评】本题考查角平分线的定义，对顶角的性质，补角的定义，熟练掌握对顶角相等是解题的关键． 7．（2024春•金平区期中）如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个长方形的对边上，如果∠1＝m°，那么用含m的式子表示∠2的度数是（　　） A．（m+30）° B．（m+90）° C．（m+120）° D．（150﹣m）° 【考点】平行线的性质；列代数式．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】由平角的定义得∠BAC＝90°﹣∠1，由平行线的性质得∠BAC+∠2＝180°，即可求解． 【解答】解：如图， ∴∠BAC＝180°﹣90°﹣∠1 ＝90°﹣m°， ∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠2＝180°， ∴90°﹣m°+∠2＝180°， ∴∠2＝（m+90）°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 8．（2024•突泉县二模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠3＝55°，则∠2的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】计算题；运算能力． 【答案】B 【分析】由于平行，∠1+∠PFO＝180°，已知∠1＝155°，可得∠PFO的度数，又因∠3＝∠PFO+∠POF，可得∠POF的度数，对顶角相等，可得∠2的度数． 【解答】解：由于平行，∠1+∠PFO＝180°， ∵∠1＝155°， ∴∠PFO＝25°， ∵∠3＝∠PFO+∠POF，∠3＝55°， ∴∠POF＝30°， ∴∠2＝30°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，两直线平行同旁内角互补是本题的关键． 9．（2024春•凉州区校级期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【专题】几何综合题；转化思想；推理能力． 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝40°错误；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高． 10．（2024春•利津县期末）如图AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠AEF的平分线交CD于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGF的度数是（　　） A．32° B．58° C．64° D．128° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质以及角平分线的定义即可解决问题． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BEF＝∠EFG＝64°， ∴∠AEF＝180°﹣64°＝116°， ∵EG平分∠AEF， ∴∠AEG＝×116°＝58°， ∵AB∥CD， ∴∠EGF＝∠AEG＝58°， 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二．填空题（共5小题） 11．（2024春•白银区校级期中）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中AB∥CD，AE∥BD．若∠CDB＝60°，∠ACD＝80°，则∠EAC的度数是 　40°　． 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】40°． 【分析】根据AB∥CD和∠CDB、∠ACD的度数分别求出∠ABD和∠CAB的度数，然后根据AE∥BD求出∠BAE，进而求出∠EAC． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ACD+∠CAB＝180°，∠CDB+∠ABD＝180°， ∵∠CDB＝60°，∠ACD＝80°， ∴∠ABD＝120°，∠CAB＝100°， ∵AE∥BD， ∴∠BAE+∠ABD＝180°， ∴∠BAE＝60°， ∴∠EAC＝∠CAB﹣∠BAE＝100°﹣60°＝40°． 故答案为：40°． 【点评】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用；平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 12．（2024•金州区一模）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是 　58°　． 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°，由平角定义得到∠2+∠1+∠AFG＝180°，于是得到∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°． 【解答】解∵AB∥CD， ∴∠CGF+∠AFG＝180°， ∵∠2+∠1+∠AFG＝180°， ∴∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°． 故答案为：58°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°． 13．（2024春•东莞市期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　30°或150°　时，CD∥AB． 【考点】平行线的判定．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】见试题解答内容 【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数． 【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°； 如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°或30°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系． 14．（2024春•邵阳期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点 　C　，依据是 　垂线段最短　． 【考点】垂线段最短．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观． 【答案】C，垂线段最短． 【分析】根据“垂线段最短”进行分析判断即可． 【解答】解：根据题意得：在连接超市O和公路AD上的四点A、B、C、D的连线中，只有OC⊥AD， ∴在线段OA、OB、OC和OD中，OC最短， ∴为了使超市距离车站最近，车站应该修建在C点处． 依据是垂线段最短． 故答案为：C，垂线段最短． 【点评】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟知“在连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”是解题的关键． 15．（2024春•通河县期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠COA+∠BOD＝50°，则∠EOB＝　65　°． 【考点】垂线；对顶角、邻补角．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】65． 【分析】依据题意，由∠COA+∠BOD＝50°，∠BOD＝∠COA，从而可得∠COA＝∠BOD＝25°，结合OE⊥CD，进而可以判断得解． 【解答】解：∵∠COA+∠BOD＝50°， ∠BOD＝∠COA， ∴∠COA＝∠BOD＝25°． ∵OE⊥CD， ∴∠EOD＝90°， ∴∠EOB＝90°﹣∠BOD＝65°， 故答案为：65． 【点评】本题主要考查了垂线、对顶角、邻补角，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•建邺区校级月考）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB．求证：B是弧DE的中点． 【考点】平行线的性质；圆周角定理．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】证明见解析． 【分析】连接BC，根据两直线平行，内错角相等，得出∠BCE＝∠CBO，再根据等边对等角，得出∠CBO＝∠BCO，再根据等量代换，得出∠BCO＝∠BCE，进而得出∠BCD＝∠BCE，再根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，即可得出结论． 【解答】证明：如图，连接BC， ∵CE∥AB， ∴∠BCE＝∠CBO， ∵OB＝OC， ∴∠CBO＝∠BCO， ∴∠BCO＝∠BCE， 即∠BCD＝∠BCE， ∴， ∴B是弧DE的中点． 【点评】本题考查了平行线的性质、圆周角定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理． 17．（2024春•建华区校级期中）如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF． （1）请直接写出∠AEP、∠CFP和∠EPF的数量关系； （2）在图2中，∠BEP的平分线与∠DFP的平分线交于点Q，试探索∠EQF与∠EPF之间的关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，已知∠BEP和∠DFP均为钝角，点G在直线AB、CD之间，且满足∠BEG＝∠BEP，∠DFG＝∠DFP，（其中n为常数且n＞1），请直接写出∠EGF与∠EPF的数量关系． 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）∠AEP+∠CFP＝∠EPF，理由见解析过程； （2）∠EPF+2∠EQF＝360°，理由见解析过程； （3）∠EPF+n∠EGF＝360°，理由见解析过程． 【分析】（1）过点P作AB的平行线，利用平行线的性质即可解决问题． （2）分别过点P和点Q作AB的平行线，再结合平行线的性质即可解决问题． （3）仿照（2）中的解题过程即可解决问题． 【解答】解：（1）∠AEP+∠CFP＝∠EPF． 过点P作PM∥AB， ∵AB∥PM， ∴∠AEP＝∠EPM． ∵AB∥CD，AB∥PM， ∴CD∥PM， ∴∠CFP＝∠FPM． 又∵∠EPF＝∠EPM+∠FPM， ∴∠AEP+∠CFP＝∠EPM+∠FPM＝∠EPF． （2）∠EPF+2∠EQF＝360°． 理由如下： 过点P作PI∥AB，过点Q作QH∥AB， 由（1）知， ∠EPF＝∠AEP+∠CFP． 同理可得， ∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ． ∵EQ平分∠BEP， ∴∠BEP＝2∠BEQ． 同理可得， ∠DFP＝2∠DFQ， ∴∠BEP+∠DFP＝2（∠BEQ+∠DFQ）＝2∠EQF． ∵∠AEP+∠BEP＝∠CFP+∠DFP＝180°， ∴∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP＝360°， ∴∠EPF+2∠EQF＝360°． （3）∠EPF+n∠EGF＝360°． 由上述过程可知， ∠EPF＝∠AEP+∠CFP， ∠EGF＝∠BEG+∠DFG． ∵∠BEG＝∠BEP，∠DFG＝∠DFP， ∴∠EGF＝∠BEG+∠DFG＝（∠BEP+∠DFP）， ∴∠BEP+∠DFP＝n∠EGF． ∵∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP＝360°， ∴∠EPF+n∠EGF＝360°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 18．（2023秋•镇巴县期末）【问题情境】已知，∠1＝∠2，EG平分∠AEC交BD于点G． 【问题探究】（1）如图1，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°，试判断EF与CD的位置关系，并说明理由； 【问题解决】（2）如图2，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若AB∥CD，试说明∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据平行线的判定得AB∥EF，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可得角相等，最后根据内错角相等判定两条直线平行； （2）根据平行线的判定和性质得∠FEA的度数，再运用角平分线定义计算求得∠GEC的度数，进一步求得∠FEC的度数，最后根据平行线的判定得EF∥CD，即可得出结论； （3）分析思路同（2），只是把具体角的度数抽象为字母表示，通过列方程即可得出三者之间的关系． 【解答】（1）解：EF∥CD，理由如下： ∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠AEF＝∠MAE， ∵∠MAE＝45°，∠FEG＝15° ∴∠AEG＝60°， ∵EG平分∠AEC， ∴∠CEG＝∠AEG＝60°， ∴∠CEF＝∠CEG+∠FEG＝75°，∠NCE＝75°， ∴∠NCE＝∠CEF， ∴EF∥CD． （2）解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠FEA+∠MAE＝180°，∠MAE＝140°， ∴∠FEA＝40°，∠FEG＝30°， ∴∠AEG＝70°， ∵EG平分∠AEC， ∴∠CEG＝∠AEG＝70°， ∴∠FEC＝100°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠NCE+∠FEC＝180°， ∴∠NCE＝80°． （3）证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥EF， ∴∠MAE+∠FEA＝180°， ∴∠FEA＝180°﹣∠MAE， ∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG， ∵EG平分∠AEC， ∴∠GEC＝∠AEG， ∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG， ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴EF∥CD， ∴∠FEC+∠NCE＝180°， ∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°， ∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE， 即∠NCE＝∠MAE﹣2∠FEG． 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键掌握平行线的性质与判定． 19．（2024春•大余县期末）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）AD与EC平行吗？请说明理由． （2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝76°，求∠FAB的度数． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】证明题；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出AB∥CD，进而得出∠ADC+∠3＝180°，即可得出答案； （2）利用角平分线的定义结合已知得出∠FAD＝∠AEC＝90°，即可得出答案． 【解答】（1）AD与EC平行， 证明：∵∠1＝∠BDC， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换）， ∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝76°， ∴∠BDC＝76°， ∵DA平分∠BDC， ∴∠ADC＝∠BDC＝38°（角平分线定义）， ∴∠2＝∠ADC＝38°（已证）， 又∵DA⊥FA，AD∥CE， ∴CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°（垂直定义）， ∵AD∥CE（已证）， ∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣38°＝52°． 【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠FAD＝∠AEC＝90°是解题关键． 20．（2024春•宁江区校级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，在（1）的条件下，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH． （3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，Q是EF上一点，且∠HPQ＝45°，若∠PHG＝15°，请直接写出∠QPE的度数（不需要写过程）． 【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）∠QPE＝60°． 【分析】（1）根据对顶角相等，同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线AB与直线CD平行； （2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF＝90°，进而证明PF∥GH； （3）根据平角定义及角的和差计算即可得到结论； 【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠CFE，∠1＝∠AEF， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴AB∥CD； （2）证明：由（1）知，AB∥CD ∴∠BEF+∠EFD＝180°， 又∵∠BEF 与∠EFD的角平分线交于点P， ∴， ∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF， ∵GH⊥EG， ∴PF∥GH； （3）解：∵GH⊥EG， ∴∠PGH＝90°， ∵∠PHG＝15°， ∴∠HPG＝75°， ∵∠HPQ＝45°，∠QPE+∠HPQ+∠HPG＝180°， ∴∠QPE＝60°． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 考点卡片 1．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 2．角平分线的定义 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 3．对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 4．垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 5．垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 6．平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 7．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 8．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 9．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 10．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$