2025年中考数学一轮复习——无理数与实数

2025年中考数学一轮复习——无理数与实数 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•武汉月考）若M＝4x2﹣2x+17，N＝3x2+2x+7，x为实数，则M与N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M、N的大小关系与x的取值有关 2．（2024春•铜官区校级期中）估计与最接近的整数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•山亭区期末）的平方根是（　　） A．3 B． C． D．±3 4．（2024春•长垣市校级期中）如图，数轴上点A所表示的实数是（　　） A． B．﹣1 C． D． 5．（2024春•霸州市期末）已知x，y为实数，且，则下列式子的值最大的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．xy 6．（2024春•光山县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以点A为圆心，以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（　　） A． B．3.2 C． D． 7．（2024春•濉溪县期末）数轴上表示，π的点分别为A，B，点A是BC的中点，则点C所表示的数是（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•桐柏县月考）实数，0.1010010001⋯（相连两个1之间依次多一个0），其中无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024春•虹口区校级月考）下列说法中，正确的是（　　） A．1的任何次方根都是1 B．0的任何次方都是0 C．负数没有方根 D．正数的平方根互为相反数 10．（2024春•南沙区期末）若m＞n＞0，则下列结论错误的是（　　） A． B．m﹣3＞n﹣3 C．﹣2m＞﹣2n D． 二．填空题（共5小题） 11．（2024春•下陆区期中）将，，，，……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，若在（x，y），则（2x﹣y）2的值为 　 　． 12．对于实数u，v，定义新运算“#”：u#v＝uv+2024．若关于x的方程x#a﹣|x|＝1有一个正根和一个负根，则整数a的值是 　 　． 13．（2024春•凉州区期中）如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示﹣1，AB＝3，AD＝1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为 　 　． 14．（2024•湖南模拟）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，比较大小：|m|　 　n（填“＞”“＜”或“＝”）． 15．（2024春•栖霞市期末）中考新考法传统文化幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则A，B，C，D之和为 　 　． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•高新区校级月考）观察图1，每个小正方形的边长均为1． （1）图中阴影部分（正方形）的面积是 　 　，边长是 　 　； （2）作图2：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）； （3）在（2）题的数轴上表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且MN＝MP，直接写出点N表示的数． 17．（2024•北京）计算：． 18．（2024秋•宝丰县月考）已知：3a+7的立方根是﹣2，2b﹣3的算术平方根是3，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 19．（2024春•河北期末）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． （1）求这个魔方的棱长； （2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，它的面积是魔方侧面EFGH面积的一半，求正方形ABCD的边长a． （3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为 　 　． 20．（2024春•惠阳区校级期中）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14． （1）填空：点H在数轴上表示的数是 　 　，点A在数轴上表示的数是 　 　． （2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值． （3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值． 2025年中考数学一轮复习——无理数与实数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•武汉月考）若M＝4x2﹣2x+17，N＝3x2+2x+7，x为实数，则M与N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M、N的大小关系与x的取值有关 【考点】实数大小比较；整式的加减．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】A 【分析】直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答案． 【解答】解：∵M＝4x2﹣2x+17，N＝3x2+2x+7， ∴M﹣N＝4x2﹣2x+17﹣（3x2+2x+7） ＝4x2﹣2x+17﹣3x2﹣2x﹣7 ＝x2﹣4x+10 ＝（x﹣2）2+6， ∵（x﹣2）2≥0， ∴（x﹣2）2+6＞0， ∴M＞N． 故选：A． 【点评】本题考查了整式的加减，熟练掌握配方法的应用是关键． 2．（2024春•铜官区校级期中）估计与最接近的整数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】估算无理数的大小．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，先估算出的范围，再求出3与4中点与比较大小，进而得到最接近的整数． 【解答】解：∵32＝9，42＝16，9＜13＜16， ∴，即， ∵3.52＝12.25，且12.25＜13＜16， ∴， ∴，即， ∴与最接近的整数是3， 故选：C． 【点评】本题考查利用二次根式的性质估算无理数的范围，得出的范围是，并取3与4得中点与比较大小是解决问题的关键． 3．（2023秋•山亭区期末）的平方根是（　　） A．3 B． C． D．±3 【考点】算术平方根；平方根．版权所有 【专题】实数；数感． 【答案】C 【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，如果一个数的平方等于b，这个数就叫做b的平方根，由此即可得到答案． 【解答】解：∵＝3， ∴的平方根是±． 故选：C． 【点评】本题考查平方根、算术平方根，关键是掌握平方根、算术平方根的定义． 4．（2024春•长垣市校级期中）如图，数轴上点A所表示的实数是（　　） A． B．﹣1 C． D． 【考点】实数与数轴．版权所有 【专题】运算能力． 【答案】C 【分析】先勾股定理可得：正方形的对角线为：，从而可得A表示的数． 【解答】解：由勾股定理可得：正方形的对角线为：， ∴A点表示的数为：； 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，实数与数轴，熟练的确定数轴上表示的数是解本题的关键． 5．（2024春•霸州市期末）已知x，y为实数，且，则下列式子的值最大的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．xy 【考点】实数大小比较；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】A 【分析】根据非负数的性质求得x＝2，y＝1，分别代入求解，再进行判断即可． 【解答】解：∵， ∴x﹣2＝0，y﹣1＝0， ∴x＝2，y＝1， ∴x+y＝2+1＝3，x﹣y＝2﹣1＝1，xy＝2×1＝2，xy＝21＝2， ∴x+y的值最大， 故选：A． 【点评】本题考查实数大小比较，非负数的性质：偶次方，非负数的性质：算术平方根，解答本题的关键是首先利用非负数的性质得出x，y的值． 6．（2024春•光山县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以点A为圆心，以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（　　） A． B．3.2 C． D． 【考点】实数与数轴．版权所有 【专题】实数；推理能力． 【答案】A 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AB＝AE， ∴， ∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 故选：A． 【点评】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 7．（2024春•濉溪县期末）数轴上表示，π的点分别为A，B，点A是BC的中点，则点C所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【考点】实数与数轴．版权所有 【专题】实数；数感；推理能力． 【答案】C 【分析】首先根据数轴上的对应点分别是点A和点B，可以求出线段AB的长度，然后根据中点的性质即可解答． 【解答】解：∵数轴上表示，π的点分别为A，B， ∴AB＝， ∵点A是线段BC的中点， ∴CA＝AB， ∴点C的坐标为：． 故选：C． 【点评】本题考查了实数与数轴，用到的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，用较大的数减去两点间的距离． 8．（2024秋•桐柏县月考）实数，0.1010010001⋯（相连两个1之间依次多一个0），其中无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】无理数．版权所有 【专题】实数；数感． 【答案】C 【分析】利用无理数的定义即可判断． 【解答】解：∵，， ∴实数，0.1010010001⋯（相连两个1之间依次多一个0）中，无理数有，0.1010010001⋯（相连两个1之间依次多一个0），共3个， 故选：C． 【点评】本题考查了无理数，先化简实数，再根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 9．（2024春•虹口区校级月考）下列说法中，正确的是（　　） A．1的任何次方根都是1 B．0的任何次方都是0 C．负数没有方根 D．正数的平方根互为相反数 【考点】实数的性质．版权所有 【专题】实数；应用意识． 【答案】D 【分析】A．根据平方根的定义求出1的平方根，进行判断即可； B．根据零次幂的性质进行判断即可； C．根据负数平方根和立方根的性质：负数的立方根是负数，负数没有平方根，进行判断即可； D．根据平方根的定义进行解答即可． 【解答】解：A．∵1的平方根是±1，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； B．∵0的任何正整数次方都等于0，0的0次方没有意义，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； C．∵负数的立方根是负数，负数没有平方根，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； D．∵正数的平方根是不为0的一对互为相反数，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了实数的性质，解题关键是熟练掌握实数的有关性质． 10．（2024春•南沙区期末）若m＞n＞0，则下列结论错误的是（　　） A． B．m﹣3＞n﹣3 C．﹣2m＞﹣2n D． 【考点】实数大小比较；不等式的性质．版权所有 【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A、∵m＞n＞0， ∴mn，故本选项不符合题意； B、∵m＞n＞0， ∴m﹣3＞n﹣3，故本选项不符合题意； C、∵m＞n＞0 ∴﹣2m＜﹣2n，故本选项符合题意； D、∵m＞n＞0， ∴，故本选不项符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了实数大小的比较，不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2024春•下陆区期中）将，，，，……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，若在（x，y），则（2x﹣y）2的值为 　9　． 【考点】算术平方根；规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】规律型；实数；数感；推理能力． 【答案】9． 【分析】根据＜＝45，可以求出x和y的值，再计算即可． 【解答】解：∵＜＝45， ∴第45排从左到右的最后一个是，第45排共有45+44＝89个数， ∴在第45排从左向右第87个数， ∴x＝45，y＝87， ∴（2x﹣y）2＝（90﹣87）2＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义，探究出排列规律是解题的关键． 12．对于实数u，v，定义新运算“#”：u#v＝uv+2024．若关于x的方程x#a﹣|x|＝1有一个正根和一个负根，则整数a的值是 　0　． 【考点】实数的运算；含绝对值符号的一元一次方程．版权所有 【专题】实数；应用意识． 【答案】0． 【分析】当x≥0时，原方程x#a﹣|x|＝1变形为xa+2024﹣x＝1，得a＝1﹣，由a为整数，得x＝1或2023，故a＝﹣2022或0．同理当x＜0时，得a＝2022或0．验算a＝﹣2022、2022、0，只有a＝0时，x有一个正根和一个负根，故a＝0． 【解答】解：当x≥0时，原方程x#a﹣|x|＝1变形为xa+2024﹣x＝1， ∴a＝1﹣， ∵a为整数， ∴x＝1或2023， ∴a＝﹣2022或0． 当x＜0时，方程方程x#a﹣|x|＝1变形为xa+2024+x＝1， ∴a＝﹣1﹣， ∵a为整数， ∴x＝﹣1或﹣2023， ∴a＝2022或0． 当a＝﹣2022时，原方程x#a﹣|x|＝1变形为﹣2022x+2024﹣|x|＝1， 若x≥0，则﹣2022x+2024﹣x＝1， ∴x＝1＞0． 若x＜0，则﹣2022x+2024+x＝1， ∴x＝＞0． ∴a＝﹣2022舍去． 同理a＝2022舍去． 当a＝0时，原方程x#a﹣|x|＝1变形为2024﹣|x|＝1， ∴|x|＝2023， ∴x有一个正根和一个负根， ∴a＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了实数的运算，含绝对值符号的一元一次方程，掌握去绝对值的方法是解题关键． 13．（2024春•凉州区期中）如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示﹣1，AB＝3，AD＝1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为 　　． 【考点】实数与数轴．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力． 【答案】． 【分析】根据勾股定理求出，则，即可得到答案． 【解答】解：由已知可得AB＝3，BC＝AD＝1， 在Rt△ABC中，， ∴， ∴点M表示的数为． 故答案为：． 【点评】此题考查了实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出AC，AM的长． 14．（2024•湖南模拟）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，比较大小：|m|　＞　n（填“＞”“＜”或“＝”）． 【考点】实数大小比较；绝对值；实数与数轴．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】＞． 【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案． 【解答】解：∵m＜﹣1＜0＜n＜1， ∴|m|＞n． 故答案为：＞． 【点评】此题考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键． 15．（2024春•栖霞市期末）中考新考法传统文化幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则A，B，C，D之和为 　　． 【考点】实数的运算；规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可． 【解答】解：对角线方向上的实数相乘的结果为， 根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得， ，解得， ，解得B＝1， ，解得C＝2， ，解得， ∴A，B，C，D之和为， 故答案为：． 【点评】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•高新区校级月考）观察图1，每个小正方形的边长均为1． （1）图中阴影部分（正方形）的面积是 　17　，边长是 　　； （2）作图2：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）； （3）在（2）题的数轴上表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且MN＝MP，直接写出点N表示的数． 【考点】实数与数轴．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）17，； （2）见解析； （3）． 【分析】（2）先过数轴上表示4的点作垂线AB，再以数轴上表示4的点为圆心、1半径画弧，在数轴上方交垂线AB于点C，然后设数轴上表示0的点为点O，以点O为圆心、OC长为半径画弧，交数轴于点P，由此即可得； （3）设点N表示的数为x，利用数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【解答】解：（1）图中阴影部分（正方形）的面积是， 边长是， 故答案为：17，； （2）如图，点P即为所求； （3）设点N表示的数为x， 由题意得：， 解得， 所以点N表示的数为． 【点评】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键． 17．（2024•北京）计算：． 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．版权所有 【专题】计算题；运算能力． 【答案】． 【分析】先化简零指数幂，二次根式，三角函数，绝对值，再按照实数的运算法则计算即可． 【解答】解： ＝1+﹣2×+ ＝． 【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键式掌握去绝对值，零指数幂，特殊三角函数值等相关知识． 18．（2024秋•宝丰县月考）已知：3a+7的立方根是﹣2，2b﹣3的算术平方根是3，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【考点】估算无理数的大小；平方根．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根；算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，即x2＝a，则这个正数x为a的算术平方根；无理数的估算等确定出a，b，c的值即可； （2）将a，b，c的值代入中求出值，然后根据平方根的定义：若一个数x的平方等于a，即x2＝a，则这个数x为a的平方根；计算即可． 【解答】解：（1）∵3a+7的立方根是﹣2， ∴3a+7＝﹣8， ∴a＝﹣5， ∵2b﹣3的算术平方根是3， ∴2b﹣3＝9， ∴b＝6， ∵64＜66＜81， ∴，即， ∵c是的整数部分， ∴c＝8， 答：a＝﹣5，b＝6，c＝8； （2）∵a＝﹣5，b＝6，c＝8， ∴＝， ∴16的平方根为±4． 【点评】本题考查了立方根、算术平方根、平方根以及无理数的估算，熟练掌握相关定义是解本题的关键． 19．（2024春•河北期末）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． （1）求这个魔方的棱长； （2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，它的面积是魔方侧面EFGH面积的一半，求正方形ABCD的边长a． （3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为 　﹣1﹣　． 【考点】实数与数轴；几何体的表面积；立方根．版权所有 【专题】计算题；矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】（1）这个魔方的棱长为2； （2）正方形ABCD的边长a＝； （3）﹣1﹣． 【分析】（1）运用正方体体积公式可得这个魔方的棱长； （2）求出侧面EFGH面积，可得正方形ABCD的面积，根据正方形的面积公式可得正方形ABCD的边长a； （3）根据（2）求得正方形ABCD的边长，已知点A与﹣1重合，且点D在点A的左侧，可得点D在数轴上表示的数． 【解答】解：（1）＝2， 答：这个魔方的棱长为2； （2）∵侧面EFGH面积＝2×2＝4， ∴正方形ABCD的面积＝2，即a2＝2， ∴a＝， 答：正方形ABCD的边长a＝； （3）∵AD＝， ∴点D在数轴上表示的数为﹣1﹣， 故答案为：﹣1﹣． 【点评】本题考查了实数与数轴、平方根与立方根，关键是掌握正方体的体积公式、正方形的面积公式． 20．（2024春•惠阳区校级期中）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14． （1）填空：点H在数轴上表示的数是 　15　，点A在数轴上表示的数是 　﹣15　． （2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值． （3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值． 【考点】实数与数轴；一元一次方程的应用．版权所有 【专题】代数几何综合题；分类讨论；几何直观． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据数轴上两点间距离，可求得点所对应的数； （2）根据题意，可表达出点M和点N对应数，进而表达OM和ON的长，根据OM＝2ON，建立等式，求解即可； （3）根据数轴上动点问题，图形动转化为点动，根据题意求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得，点H在数轴上表示的数为：5+10＝15； 点A在数轴上表示的数为：5﹣14﹣6＝﹣15． 故答案为：15；﹣15． （2）∵点M是线段AD的中点， ∴点M表示的数为5﹣14﹣＝﹣12， 又∵EN＝EH， ∴点N在数轴上表示的数为：5+（15﹣5）＝， 由题意可得，x秒时， 点M在数轴上表示的数为：﹣12+4x， 点N在数轴上表示的数为：﹣3x， ∴OM＝|4x﹣12|，ON＝|3x﹣|， ∵OM＝2ON， ∴|4x﹣12|＝2|3x﹣| ∴4x﹣12＝2（3x﹣）或4x﹣12＝﹣2（3x﹣）， 解得x＝或x＝． 故答案为：或． （3）当CD与EF重合时，所用时间为＝7秒， 由题意得：AD与EH重合的部分为＝4，如图1所示， 设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t1秒， ∴t1＝＝2， ∴第一次重叠面积为12时，时间t为2+7＝9（秒）； 当AD与EH重叠部分为4时，如图2所示， 设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t2秒， ∴t2＝＝6， ∴第二次重叠面积S＝12时，时间t为6+7＝13（秒）； ∴当长方形ABCD与长方形EFGH重叠部分的面积为12时，t的值为9或13． 【点评】本题主要考查数轴上两点间距离，解一元一次方程，数轴上动点问题等内容，做题时注意要分类讨论． 考点卡片 1．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 2．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 3．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 4．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 5．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 6．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 7．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 8．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 9．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 10．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 11．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 12．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 13．规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律． （1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程． 14．整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 15．零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 16．含绝对值符号的一元一次方程 解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． 例如：解方程|x|＝2 解：去掉绝对值符号 x＝2或﹣x＝2 方程的解为x1＝2或x2＝﹣2． 17．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 18．不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 19．几何体的表面积 （1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和） （2）常见的几种几何体的表面积的计算公式 ①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） ②圆锥体表面积：πr2+（r为圆锥体底面圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角） ③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） ④正方体表面积：6a2（a为正方体棱长） 20．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$