2025年九年级中考复习数学二次函数存在性之平行四边形习题

2025年九年级中考复习数学 二次函数存在性之平行四边形 习题 1．已知二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线经过点，与x轴交于，B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点，以A，E，C，D为顶点作平行四边形，若C，D（点C在点D的左侧）两点都在抛物线上，求C，D两点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿x轴平移，使其顶点在y轴上，得到抛物线，过定点的直线交抛物线于M，N两点，过点M，N的直线与抛物线都只有唯一公共点．求证：点R在定直线上运动． 3．如图，二次函数与轴交于A，两点，其中点A在点的左侧，A为，抛物线与轴交于点，对称轴为，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点G为直线上方的抛物线上的一动点，试计算以A，，，为顶点的四边形的面积的最大值； (3)若点为对称轴上的一个动点，点为抛物线上的一个动点，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，求出点的坐标． 4．如图，函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求，，三点的坐标； (2)在函数的图象上，连接，，的面积是的面积的倍，求点的坐标； (3)在函数的图象上，在轴正半轴上，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 5．如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合）， ①当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，点P是抛物线上的动点，若以C、E、P、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 6．在平面直角坐标系中，抛物线=与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (4)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 7．如图，已知二次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出该抛物线的对称轴并求点A，B的坐标； (2)求； (3)在对称轴上是否存在一点P，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 8．抛物线交轴于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），连接，是抛物线第四象限内一点，直线交于，交轴于点，若，求点坐标； (3)如图（2），经过第四象限的直线交抛物线于点，，交轴于点，作平行四边形，连接，若轴，当点到距离的最大时，求的值． 9．如图1，在平面直角坐标系中，，等腰直角三角形的顶点A的坐标为，点B在第四象限，边与x轴交于点C，点M，R分别是线段的中点，过点M的抛物线（m，n为常数）的顶点为P． (1)点M的坐标为___________，用含m的代数式表示n为___________； (2)如图2，点N为中点，抛物线经过点N，E，点F在线段上，当以和为对边的四边形是平行四边形时，求点E的坐标； (3)当点P在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点时，求出m的取值范围． 10．如图，已知拋物线的对称轴为直线，且经过点，，连接，动点从点出发在线段上以每秒2个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，连接，，设运动时间为秒． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，求点的坐标； ②点为抛物线对称轴上一点，若以、、、为顶点的四边形（为边）是平行四边形，求的值； (3)以为旋转中心，把绕点顺时针旋转得到，若点落在的内部，请直接写出的取值范围_____________． 11．如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积； (3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 12．如图1，已知抛物线与轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，点M是直线上方抛物线上的一动点． (1)求抛物线的顶点D的坐标和直线的解析式； (2)如图1，连接交于点P，若，求此时点M的坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于A，E两点，过顶点D作轴，交直线于点F．若点G是抛物线上一动点，试探究在直线上是否存在一点H，使得以点D，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 13．如图1，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，求四边形面积的的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位，点M是新抛物线与原抛物线的交点，N是平面内任意一点，若以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 14．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线 (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（不与直线重合）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N，画出图形，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知，． (1)求抛物线的解析式； (2)E是下方的抛物线上一点，过点E作轴交于点D，过点E作y轴的平行线交于点F．求周长的最大值，以及此时点E的坐标； (3)如图2，在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿y轴向下平移5个单位长度，点P为平移点E的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P，，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$