浙江省西湖区翠苑中学教育集团2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市翠苑中学教育集团八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列四个汉字是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是　　 A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10 3．（3分）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是　　 A． B． C． D． 4．（3分）如图，用直尺和圆规作已知角的角平分线，要证明成立的的判定依据是　　 A． B． C． D． 5．（3分）由下列条件不能判断是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 6．（3分）已知等腰三角形三边的长分别为4，，10，则的值是　　 A．4 B．10 C．4 或10 D．6 或10 7．（3分）如图，若要用“”证明，则还需补充条件　　 A． B．或 C．且 D．以上都不正确 8．（3分）如图，在等边中，是的中点，于点，于点，已知，则的长为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 9．（3分）如图，在中，为中线，为上一点，且，．则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（3分）如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论： ①； ②； ③的最小值是； ④若平分，则的面积为9． 其中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 　　． 12．（4分）如图，，平分交于，若，，则点到的距离为 　　． 13．（4分）一等腰三角形一个外角是，则它的底角的度数为　 　 14．（4分）如图，在中，，，点在边上，作于、于，若，的面积为，则的长为 　　． 15．（4分）如图，中，，，点在边上运动与，不重合），设，将沿翻折至△处，与边相交于点．若△是等腰三角形，则的值为 　　． 16．（4分）如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为 　　，的值为 　　． 三.解答题（本题有7个小题，共66分） 17．（8分）已知：如图，，，，在同一直线上，，．求证：． 18．（8分）在图示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线与网格中竖直的线相重合． （1）在图中，作出关于直线对称的△； （2）在图中找一点，连接，使平分的面积； （3）在直线上找一点，使最小； （4）的面积为 　　． 19．（10分）如图，已知，． （1）请用直尺和圆规画出边的垂直平分线，垂足为点，交于点，连结．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的前提下，若，，求的长． 20．（10分）如图，中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点． （1）已知，求的度数； （2）求与之间满足的数量关系． 21．（10分）如图，是等腰直角三角形，，是的中点，，点，在，上． （1）求证：． （2）连结，则、、之间有什么数量关系？请说明理由． 22．（10分）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，，连接． （1）求证：； （2）已知，． ①求的面积； ②求的长． 23．（10分）（1）如图1，在中，，，为边上的中线．求中线的取值范围；（提示：延长到点，使，连接 （2）如图2，在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：； （3）如图3，四边形中，，，为中点，、分别在边、上，且，若，，求长． 2023-2024学年浙江省杭州市翠苑中学教育集团八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列四个汉字是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（3分）下列各组线段中，能构成三角形的是　　 A．1，1，3 B．2，3，5 C．3，4，9 D．5，6，10 【分析】由于三角形三边满足两短边的和大于最长的边，只要不满足这个关系就不能构成三角形．根据这个关系即可确定选择项． 【解答】解：、， 无法构成三角形，不合题意； 、， 无法构成三角形，不合题意； 、， 无法构成三角形，不合题意； 、， 可以构成三角形，符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形． 3．（3分）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是　　 A． B． C． D． 【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例． 【解答】解：当时，满足条件，但不能得出的结论， 能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是， 故选：． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法． 4．（3分）如图，用直尺和圆规作已知角的角平分线，要证明成立的的判定依据是　　 A． B． C． D． 【分析】根据证明，即可推出． 【解答】解：在和中， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 5．（3分）由下列条件不能判断是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【解答】解：、，且，可求得，故不是直角三角形； 、不妨设，，，此时，故是直角三角形； 、，且，可求得，故是直角三角形； 、，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形； 故选：． 【点评】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 6．（3分）已知等腰三角形三边的长分别为4，，10，则的值是　　 A．4 B．10 C．4 或10 D．6 或10 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系即可求解． 【解答】解：当时，，不符合三角形三边关系，舍去； 当时，，符合三角形三边关系． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，注意分两种情况讨论求解． 7．（3分）如图，若要用“”证明，则还需补充条件　　 A． B．或 C．且 D．以上都不正确 【分析】根据“”证明，因图中已经有为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可． 【解答】解：从图中可知为和的斜边，也是公共边． 根据“”定理，证明， 还需补充一对直角边相等， 即或， 故选：． 【点评】此题主要考查学生利用“”证明直角三角形全等这一知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题． 8．（3分）如图，在等边中，是的中点，于点，于点，已知，则的长为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】由等边三角形的性质推出，，由含角的直角三角形的性质推出，而，即可求出的长． 【解答】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 于点， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形，关键是由含角的直角三角形推出． 9．（3分）如图，在中，为中线，为上一点，且，．则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】首先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据等腰三角形的性质求得，设，进而求得，根据三角形的内角和定理求得，即可求解． 【解答】解：在中， 为中线， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性质，难度不大． 10．（3分）如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论： ①； ②； ③的最小值是； ④若平分，则的面积为9． 其中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】①根据等腰三角形的性质得出垂直平分，得出，根据三角形三边关系即可得出结论； ②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，即可得出结论； ③过点作于点，当点在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可； ④过点作于点，得出，求出，即可求出结果． 【解答】解：①，是的角平分线， ，， 垂直平分， ， ， ， ，故①正确； ②， ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③根据解析①可知，， 当最小时，最小， 过点作于点，如图所示： 当点在与交点上时，，此时最小，且最小值为， 平分， ，， ， ， ， 即的最小值是，故③错误； ④过点作于点，如图所示： 平分，， ， ， ， ，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，垂线段最短，垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 　两个角相等三角形是等腰三角形　． 【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”． 【点评】根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 12．（4分）如图，，平分交于，若，，则点到的距离为 　3　． 【分析】过作于，根据角平分线的性质得出，求出即可． 【解答】解：过作于， ， ， 平分交于点，， ， ，， ， ， 即到的距离为， 故答案为：3． 【点评】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线的性质得出是解此题的关键． 13．（4分）一等腰三角形一个外角是，则它的底角的度数为　或　 【分析】根据等腰三角形的一个外角等于，进行讨论可能是底角的外角是，也有可能顶角的外角是，从而求出答案． 【解答】解：①当外角是底角的外角时，底角为：， ②当外角是顶角的外角时，顶角为：， 则底角为：， 底角为或． 故答案为：或． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，特别注意不要忽略一种情况． 14．（4分）如图，在中，，，点在边上，作于、于，若，的面积为，则的长为 　　． 【分析】连接，根据列式计算即可得解． 【解答】解：如图，连接， ，，，，的面积为， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的面积，作辅助线把分成两个三角形列出方程是解题的关键． 15．（4分）如图，中，，，点在边上运动与，不重合），设，将沿翻折至△处，与边相交于点．若△是等腰三角形，则的值为 　或　． 【分析】由折叠的性质可求，，，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【解答】解：将沿翻折至△处， ，，， ，， 当，则， ， ； 当，则， ， ， 故答案为：或． 【点评】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 16．（4分）如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为 　6　，的值为 　　． 【分析】证明，得出，证明，由全等三角形的性质得出，证出，设，，由勾股定理及正方形的性质可得出，则可得出答案． 【解答】解：由正方形的性质可得，，，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 设，， ，，， ， ， ， ． 故答案为：6；0． 【点评】本题考查勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质及全等三角形的判定和性质是解题关键． 三.解答题（本题有7个小题，共66分） 17．（8分）已知：如图，，，，在同一直线上，，．求证：． 【分析】此题可以用等腰三角形的三线合一的性质解决． 【解答】证明：作于， （已知）， （三线合一）， 又（已知）， （三线合一）， ，即（等式的性质）． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质；做题中用到了等量减等量差相等得到答案． 18．（8分）在图示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线与网格中竖直的线相重合． （1）在图中，作出关于直线对称的△； （2）在图中找一点，连接，使平分的面积； （3）在直线上找一点，使最小； （4）的面积为 　8　． 【分析】（1）先根据轴对称的性质作出点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，作△即可； （2）取的中点，连接即可 （3）连接交于点，则点满足条件； （4）根据正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，利用图形面积的和差即可计算出的面积． 【解答】解：（1）过点作于，在的延长线上截取， 则点与点关于直线对称， 同理：作出点，， 作△，则△为所求； （2）取的中点，连接，则平分的面积． 故点为所求； 理由如下： 点为的中点， ， 与等底同高， 与的面积相等， 平分的面积； （3）连接交于点，则点为所求． 理由如下： 在上任取一点（不与点重合）， 连接，，，， 点与点关于直线对称， 为的垂直平分线， ，， ，， 根据“两点之间线段最短”得：， ， 为最小； （4）正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1， ． 【点评】此题主要考查了轴对称图形及其性质，最短路线等，解答此题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质，理解两点之间线段最短，等底（同底）等高（同高）的两个三角形的面积相等． 19．（10分）如图，已知，． （1）请用直尺和圆规画出边的垂直平分线，垂足为点，交于点，连结．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的前提下，若，，求的长． 【分析】（1）利用基本作图，作的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【解答】解：（1）如图，为所作； （2）垂直平分， ， 在中， ，， ， 即， 解得． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 20．（10分）如图，中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点． （1）已知，求的度数； （2）求与之间满足的数量关系． 【分析】（1）由题意可得，再由三角形的外角性质求得，由角平分线的定义得，最后利用三角形的内角和即可求的度数； （2）结合（1）进行分析即可． 【解答】解：（1）是边上的高线， ， 是的外角，， ， 平分， ， ； （2），理由如下： 是边上的高线， ， 是的外角， ， 平分， ， ； 即． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 21．（10分）如图，是等腰直角三角形，，是的中点，，点，在，上． （1）求证：． （2）连结，则、、之间有什么数量关系？请说明理由． 【分析】（1）连结，由，，得，由是的中点，得，，，则，，所以，可证明，得； （2）由全等三角形的性质得，则，因为，所以． 【解答】（1）证明：连结， 是等腰直角三角形，， ， ， 是的中点， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：， 理由：， ， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 22．（10分）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，，连接． （1）求证：； （2）已知，． ①求的面积； ②求的长． 【分析】（1）根据垂直定义可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后再利用等腰三角形的三线合一性质即可解答； （2）过点作，垂足为，根据已知可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用勾股定理求出，最后利用三角形的面积进行计算即可解答； （3）利用的面积，解答即可． 【解答】（1）证明：， ， 点是的中点， ， ， ， ， ； （2）解：过点作，垂足为， ，， ， ，， ， 在中，， ， 的面积， 的面积为． （3），， ， 的面积， 的面积， ， ． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．（10分）（1）如图1，在中，，，为边上的中线．求中线的取值范围；（提示：延长到点，使，连接 （2）如图2，在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：； （3）如图3，四边形中，，，为中点，、分别在边、上，且，若，，求长． 【分析】（1）延长到点，使，连接，证明，得到，利用三角形的三边关系，求出的取值范围，进而求出的取值范围； （2）延长至，使，连接，，推出，证明，得到，推出，利用勾股定理，即可得证； （3）延长至，使，连接，，得到，推出，延长，过作于，得到为含角的直角三角形，求出，的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得解． 【解答】解：（1）如图1，延长到点，使，连接， 为边上的中线， ， ， ， ，中，， ，即， ， ， ， （2）证明：如图2，延长至，使，连接，， ， 是的垂直平分线， ， 由（1）同理得：， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，延长至，使，连接，，延长，过作于， 同理得：， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ． 【点评】本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理．熟练掌握倍长中线法，证明三角形全等，是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$