精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第四中学2025学年届高三上学期10月月考数学试题

衡阳县四中2025届高三10月月考 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式、指数不等式，结合集合的Ven图及交运算、补集运算即可. 【详解】因为集合或，所以， 所以. 故选：C. 2. 已知复数，（其中为虚数单位，）. 若是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】求出的代数形式，再根据实部为零，虚部不为零列式计算. 【详解】, 因为是纯虚数， 所以，解得. 故选：A. 3. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系， 表示出点的坐标， 利用坐标法结合平面向量数量积的定义求最小值即可. 【详解】以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系. 则设， 则 所以 所以当时, 取得最小值为. 故选：D. 4. 三个数，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求单调区间，由单调性即可比较. 【详解】，，， 记，则， 令，解得，所以在上单调递减， 因为，所以，即. 故选：D 5. 已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件构造函数，要求解的不等式可化为，判断单调性即可求解． 【详解】设，则， ∵，∴， ∴，即在定义域R上单调递减． ∵，∴， ∴不等式等价于，即，解得， 故选：D． 6. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由垂直得切线斜率，再由导数的几何意义求解． 【详解】由题意题中切线的斜率为2， 由，则， 所以，， 故选：A． 7. 已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出渐近线，解得的值，从而求得右焦点到直线的距离即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为直线与双曲线的一条渐近线平行， 所以，解得，所以双曲线的右焦点坐标为， 所以的右焦点到直线的距离为. 故选：C. 8. 已知在个电子元件中，有个次品，个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到个次品都找到为止，则经过次测试恰好将个次品全部找出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率的乘法公式可得解. 【详解】由已知可得前两次测试一次取得正品一次取得次品，第三次测试恰好取得次品， 则， 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据函数图象求出解析式，结合选项逐个验证可得答案. 【详解】由图可知，函数的周期为，所以，解得； 由可得，因为，所以. 所以. 对于A，，所以的图象关于点对称，正确. 对于B，，所以的图象不关于直线对称，错误. 对于C，，向右平移个单位， 得到，即可以得到函数的图象，正确. 对于D，时，，所以， 简图如下， 所以m的取值范围是，正确. 故选：ACD 10. 已知公差为的等差数列是递减数列，其前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最大值为7 D. 取最大值时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据递减数列的定义得，求出，再求得，然后结合数列性质判断各选项． 【详解】等差数列是递减数列，则公差，A正确； 由题意，∴， 则，从而取最大值时，或，D错误； 所以，B正确； ，由得，C正确． 故选：ABC． 11. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人从左向右排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙相邻，则不同的排法有240种 B. 若丙、丁相隔一个，则不同的排法数有96种 C. 若甲不在排头，乙不在排尾，则不同的排法有504种 D. 甲排在乙，丙左边的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据捆绑法、插空法、古典概型等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若甲、乙相邻，则不同的排法有种，A选项正确. B选项，若丙、丁相隔一个，则不同的排法数有种，B选项错误. C选项，若甲不在排头，乙不在排尾，则不同的排法有种，C选项正确. D选项，基本事件的总数有， 甲排在乙，丙左边的不同的排法数有， 所以甲排在乙，丙左边的概率为，D选项正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的二项展开式中的常数项为________．（结果用数字表示） 【答案】 【解析】 【分析】由通项公式，令即可求得，代入即可得解. 【详解】， 由得， 所以常数项为. 故答案为： 13. 过抛物线焦点的弦的中点横坐标为，则弦的长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦半径公式计算可得. 【详解】抛物线的准线方程为，设，， 则，所以， 所以. 故答案为： 14. 若，，平面内一点P，满足，的最大值是________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由向量的数量积定义和条件易得，利用三角形的角平分线定理可得,设，求出的取值范围，借助于余弦定理得到的解析式，由基本不等式求得的范围，由正弦函数的图象即得的最大值. 【详解】 如图，由和向量的数量积定义可得， ，即得，从而， 设，则，由，可得 由余弦定理，当且仅当时，即时，等号成立， 因，则，故. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查向量的数量积定义和余弦定理、基本不等式的综合应用,属于难题. 解题的思路在于对向量等式的理解和转化，以及三角形中角平分线定理的运用，通过余弦定理将所求角与三角形的三边联系起来，借助于基本不等式求得的范围. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知递增等比数列满足，是与的等差中项． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是与的等差中项，及为递增等比数列，确定，根据等比数列通项公式即可得出的通项公式； （2）将的通项公式代入，根据分组求和即可计算． 【小问1详解】 因为是与的等差中项，， 所以，即，解得或， 因为为递增等比数列，所以， 所以． 【小问2详解】 ， ． 16. 如图，三棱锥中，正三角形所在平面与平面垂直，为的中点，是的重心，，G到平面的距离为1，. （1）证明：平面； （2）证明：是直角三角形； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 在三棱锥中，连接PG并延长交BC于D，连接OD、OG， 由G为的重心，得D为BC的中点，又O是AC中点， 则，又平面POG，平面POG， 所以平面. （2） 由是正三角形，O是AB的中点，得， 又平面平面ABC，平面平面，平面PAC， 则平面ABC，又平面ABC，于是， 又，又平面POD，，因此平面POD， 又平面POD，则，又由（1）知，于是， 所以是直角三角形. （3）. 【解析】 【分析】（1）连接PG并延长交BC于D，连接OD、OG，由，利用线面平行的判定推理即得. （2）平面平面ABC，可得平面ABC，结合，可得结论. （3）建立空间直角坐标系，求出法向量，可得平面PAB与平面PBC夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在平面内过B作于F，平面平面ABC，平面平面，则平面PAC， 由G为的重心，且G到平面PAC的距离为1，得B到平面PAC的距离为3，即， 在中，，则，在中，， 以O为原点，直线OC，OP分别为y，z轴，过点O且垂直于平面PAC的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面PAB的法向量为，， 则，令，得， 设平面PBC的法向量为，， 则，令，得， 因此， 所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为. 17. 某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500 家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如下频率分布直方图. （1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01)； （2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这 50 家食品生产企业中随机抽取5 家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[96，100]的企业数为 Y，求 Y的分布列与数学期望； （3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布 其中μ近似为50 家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ²近似为样本方差s²，经计算得 ，利用该正态分布，估计该市500 家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数). 附参考数据与公式： 则 P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. 【答案】（1）84.80分，中位数84.67分； （2）Y的分布列为： Y 0 1 2 P 1； （3）11家 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质即可求解； （2）利用频率分布直方图的性质及根据已知条件求出随机变量的取值，利用古典概型的概率公式求出随机变量相应取值的概率，进而得出随机变量的分布列，利用期望公式即可求解； （3）根据已知条件及正态分布的性质即可求解. 【小问1详解】 这 50家食品生产企业考核成绩的平均数为： 由频率分布直方图得内， 解得中位数 (分) . 【小问2详解】 这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有 家， 其中考核成绩在内的企业有家， 由题意可知，的可能取值为， , , , ∴Y的分布列为： Y 0 1 2 P . 【小问3详解】 由题意得, , ∴ (家) ， ∴估计该市 500家食品生产企业质量管理考核成绩高于 95.32分的有11家. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线交于两点，．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合双曲线的几何性质，求得的值，即可求解； （2）当直线的斜率不存在时，即，求得，得到； 当直线的斜率存在时，设，联立方程组求得，结合，结合向量的数量积的坐标运算，即可求解. 【小问1详解】 解：由双曲线的渐近线方程为，可得， 又由焦点到渐近线的距离为，可得，可得， 又因为，可得，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 当直线的斜率不存在时，即，将代入，可得或， 不妨设， 又由，可得， 所以； 当直线的斜率存在时，即， 联立方程组，整理得， 设，则， 且， 则， 且， 则 ， 综上可得：. 【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值与定值问题的解答策略与技巧： 1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解； 2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 19. 已知函数，在点处切线方程为． （1）求实数的值； （2）讨论的单调性； （3）设为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】（1）1 （2）在上单调递增，上单调递减 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用切点即在曲线上也在切线上求解即可； （2）求出函数导数，解不等式即可得出函数的单调性； （3）转化要证不等式为，构造函数利用函数的单调性证明即可. 【小问1详解】 由题意，， 又切线方程为， 所以. 【小问2详解】 ,, 所以,, 故在上单调递增，上单调递减. 【小问3详解】 因为，，当时，， 且在上单调递增，上单调递减， 所以由（不妨设）可得. 要证，只需证，而， 由函数单调性，只需证明， 因为，所以只需证明， 令， 则 ， 由知，， 所以在上单调递减， 所以，即，所以成立, 故. 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县四中2025届高三10月月考 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，（其中为虚数单位，）. 若是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 三个数，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 已知在个电子元件中，有个次品，个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到个次品都找到为止，则经过次测试恰好将个次品全部找出的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 10. 已知公差为的等差数列是递减数列，其前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最大值为7 D. 取最大值时， 11. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人从左向右排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙相邻，则不同的排法有240种 B. 若丙、丁相隔一个，则不同的排法数有96种 C. 若甲不在排头，乙不在排尾，则不同的排法有504种 D. 甲排在乙，丙左边的概率为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的二项展开式中的常数项为________．（结果用数字表示） 13. 过抛物线焦点的弦的中点横坐标为，则弦的长度为__________. 14. 若，，平面内一点P，满足，的最大值是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知递增等比数列满足，是与的等差中项． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，三棱锥中，正三角形所在平面与平面垂直，为的中点，是的重心，，G到平面的距离为1，. （1）证明：平面； （2）证明：是直角三角形； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500 家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成如下频率分布直方图. （1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01)； （2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这 50 家食品生产企业中随机抽取5 家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[96，100]的企业数为 Y，求 Y的分布列与数学期望； （3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布 其中μ近似为50 家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ²近似为样本方差s²，经计算得 ，利用该正态分布，估计该市500 家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家?(结果保留整数). 附参考数据与公式： 则 P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点的直线与双曲线交于两点，．求的值． 19. 已知函数，在点处切线方程为． （1）求实数的值； （2）讨论的单调性； （3）设为两个不相等的正数，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $