第3章 勾股定理 典型题总结-2024-2025学年苏科版数学八年级上册

勾股定理典型题总结

 

一．勾股定理证明与拓展

   模型一

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图中三个正方形面积关系                  

思考：如下图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？

 

例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是         .

 

 

 

 

 

 

 

变式1：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是，则=______.

           

 

 

变式2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2.

                                           

 

 

 

 

 

 

       （变式2）                                           （变式3）

变式3：如图，Rt△ABC 的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为                  ．

 

 

（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点 G 落在 HI 上，若 AC＋BC＝6，空白部分面积为 10.5，则阴影部分面积                                           

                  

                                                    

模型二

外弦图                内弦图   

 

例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5。求中间小正方形的面积为__________;

 

变式1：如图，是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为，若用、表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的有___________（填序号）.

     (变式1)                                        (变式2)                                                          

变式2：如图,正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为               

 

变式3：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称为“赵爽弦图”（如图5），图6是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1＋S2+S3 =10，则S2=  

二．勾股定理及逆定理

分类讨论思想：（易错点）

例题1、 在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为      

 

变式1：已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高等于8，则△ABC的周长为      ．

 

变式2：在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,则三角形的周长是      

 

变式3：在△ABC中，AB=2 ，AC=4，BC=2以AB为边向△ABC外做△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为