第3章 勾股定理——勾股定理及其相关计算讲义 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第4讲 勾股定理及其相关计算 要点一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 要点三、勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 1 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 1． 直角三角形的两直角边同时扩大为原来的倍，其斜边扩大到原来的_______倍． 2． 如果直角三角形的三边长为10、6、x，则最短边上的高为 ． 3． 若，则以为边的直角三角形的第三边为_______． 4． 已知，在中，，，高．那么的周长是_______． 5． 如图所示，一个梯子AB长5m，顶端A靠在墙AC上，梯子下端B与墙角C的距离为3m，梯子滑动后停在DE位置上，此时测得DB长1m，则顶端A下落了______． 6． 如图，在四边形中，，，，且，试求四边形ABCD的面积． 7． 如图，中，，于点D，若，，请求出的周长． 8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为a，b厘米，则图中所有正方形的面积之和为__________平方厘米． 9． 美丽的人造平面珊瑚礁图案．图中的三角形都是直角三角形，图中的四边形都是正方形．如果图中所有的正方形的面积之和是980cm2．则最大的正方形的边长是_______． 10．（全等+勾股定理）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为________． 11．已知：如图，在长方形ABCD中，，，将沿BD所在直线翻折，使点C落在点F上，如果BF交AD于E，求AE的长． 巩固练习 1． （1）中，，，则________． （2）中，，，，则________． 2． 如图，在中，，，，则________． 3． 在中，，，，点P是BC边上的中点，则________． 4． 如图，在中，，，，求AC的长度． 5． 如图，在四边形ABCD中，，，，，求四边形ABCD的面积． 6． 若是直角边长为1的等腰直角三角形，以斜边AC为直角边，画第二个等腰直角，再以的斜边AD为直角边，画第三个等腰，…，以此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是_________． 7． 在四边形ABCD中，对角线于点O，，，，则四边形AEFD的周长是多少？ 8． 一只蚂蚁从棱长为2的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是_________． 9． 如图，长方体的长、宽、高分别是5cm，3cm，4cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路径长度？ 10．在中，，，，以AB为一边作等腰三角形ABD，使，连接CD，则线段CD的长为______． 学科网（北京）股份有限公司 A D B C O $$