利用导数研究函数的单调性问题(题型+方法+归纳总结)讲义-2025届高三数学一轮复习

利用导函数研究函数的单调性问题 (典型题型归类总结) 题型一：导数与原函数图像的关系 2 题型二：求已知函数（不含参）单调性 4 题型三：在区间上递增或递减，求参数范围 7 题型四：在区间上存在增区间或减区间，求参数范围 11 题型五：在某区间上不单调，求参数范围 15 题型六：“一次型”含参单调性分析 19 题型七：“准一次型”含参单调性分析 22 题型八：“二次型”含参可因式分解单调性分析 24 题型九：“二次型”含参不可因式分解单调性分析 32 题型十：“准二次型”含参单调性分析 39 题型十一：二阶导求函数单调性 46 题型十二：与三角函数有关问题 50 题型一：导数与原函数图像的关系 函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. 【典题1】函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ） A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点 【变式1-1】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数的定义域为，且图象如图所示，则不等式的解集为 . 1.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．时，取得最大值 D．时，取得最小值 2.定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 3.（多选）函数f（x）的导函数f'（x）的图像如图所示，则（　　） A．为函数f（x）的零点 B．x＝2为函数f（x）的极小值点 C．函数f（x）在上单调递减 D．f（﹣2）是函数f（x）的最小值 4.已知定义在区间上的函数的图象如图所示，若函数是的导函数，则不等式的解集为 . 题型二：求已知函数（不含参）单调性 求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 【例1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ． 【变式1-3】已知函数.求的单调区间； 1．已知函数，则“在区间上单调递增”的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 2.函数的单调递增区间是（    ） A．和(0,2) B． C．(0,2) D．和 3.函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 4.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 5.函数的严格递减区间是 . 6．函数的单调减区间可以为（    ） A． B． C． D． 7.（多选）若函数的单调递增区间为，则可能是（    ） A． B． C． D． 8.已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为 . 9.已知函数的减区间为，则 . 10.函数的单调递增区间为 ． 11.已知函数.若，讨论的单调性； 12.已知函数，若，求的单调区间. 题型三：在区间上递增或递减，求参数范围 已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 【例1】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 【变式1-1】已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是： . 【变式1-2】已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】 已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围 . 【变式2-1】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】“函数f（x）＝ex（ex﹣3）在区间[m，+∞）上单调递增”的充要条件是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 1.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C．】 D． 4．设，若函数在递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.若函数在具有单调性，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.（多选）若是区间（m﹣1，m+4）上的单调函数，则实数m的值可以是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 7.已知函数是区间上的单调函数，则的取值范围是 ． 8.若函数在上单调递增，则a的取值范围是 ． 8.已知函数的减区间为，则 . 10．如果函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的值为 ． 题型四：在区间上存在增区间或减区间，求参数范围 已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调递增区间，有解. ②已知在区间上单调递区间减，有解. 【例1】函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 . 【变式1-1】已知函数在上有增区间，则a的取值范围是 . 【变式1-2】若函数存在增区间，则实数的取值范围为（ ） A． B．C． D． 【变式1-3】若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是 ． 1.若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A．[ B． (-1,+∞) C．] D． 2.若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D．] 3.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 4.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 6.已知函数在上有增区间，则a的取值范围是 . 7若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为 ． 8.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 9.若函数在上存在单调递增区间，则实数的最大值为 ． 10.函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是 ． 11．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 12.设.若在上存在单调递增区间，求的取值范围； 题型五：在某区间上不单调，求参数范围 已知函数在区间上不单调，使得（且是变号零点），通常用分离变量法求解参变量范围,或者补集思想求解。 【例1】已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数在上不是单调函数，则实数m的取值范围是 ． 【变式1-2】已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是 ． 【变式1-3】.若函数在区间内不单调，则的取值范围是 ． 【例2】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【变式2-1】若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的实数k 【变式2-2】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 1.已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 . 3.已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4.若对于任意 ，函数在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是 ． 5.函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.函数在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7.函数在R上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是 . 题型六：“一次型”含参单调性分析 “一次函数”型：分类讨论的思考： ； ② “一次函数”型要注意的是：是否一次函数，直线斜率大于0还是小于0，函数零点与定义域端点的大小！ 【例1】求函数的单调区间. 【变式1-1】求函数的单调区间. 【变式1-2】已知是实数，求函数的单调区间. 【变式1-3】求函数的单调区间. 1.已知函数.讨论函数的单调性； 2. 求函数的单调区间. 3.设函数．讨论的单调性； 4.已知函数，其中.讨论的单调性； 5.求函数的单调区间. 6．已知0＜a＜1，函数f（x）（x≠0）．求f（x）的单调区间． 7.已知函数讨论f(x)的单调性： 题型七：“准一次型”含参单调性分析 导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 【例1】已知函数求函数的单调区间. 【变式1-1】已知函数f（x）＝（a﹣1）x+ex（a∈R）．讨论函数y＝f（x）的单调性； 【变式1-2】．已知函数f（x）＝x+2﹣aex．讨论f（x）的单调性； 【变式1-3】已知函数.讨论的单调性； 1．已知函数f（x）＝x+2﹣aex．讨论f（x）的单调性； 2.已知函数．讨论的单调性； 题型八：“二次型”含参可因式分解单调性分析 “二次函数型”: 1.先讨论二次项系数等于0，大于0，小于0三种情况 2.再讨论判别式（先讨论判别式为负或为0的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的）， 3.在判别式大于0的情况下还要确定两根的大小(若不能确定的要进行一步讨论),而且要注意根与定义域的关系， 最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。 提示：为讨论导函数的根及导函数的符号情况，一般能因式分解的要先分解（包括分式先通分）。 能因式分解说明导函数存在零点，就不需要考虑讨论判别式. 【例1】讨论的单调性. 【变式1-1】已知函数．讨论的单调性； 【变式1-2】已知函数，讨论函数的单调性； 【变式1-3】已知函数，求的单调区间. 【变式1-4】已知函数，．求函数的单调区间. 【变式1-5】已知函数．时，讨论的单调性． 1．已知函数f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0，求f（x）的单调区间； 2.已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2．讨论函数f（x）的单调性． 3．已知函数.讨论函数的单调性； 4.已知函数．讨论的单调性． 5.已知函数（，为自然对数的底数）.讨论函数的单调性； 6.已知函数．讨论的单调性； 7.已知函数．讨论函数的单调性； 8.已知函数，.讨论的单调性； 9.已知函数，函数．判断函数的单调性； 10.已知函数，讨论函数的单调性； 11.已知函数,其中.求的单调区间． 题型九：“二次型”含参不可因式分解单调性分析 “二次函数型”: 1.先讨论二次项系数等于0，大于0，小于0三种情况 2.再讨论判别式（先讨论判别式为负或为0的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的）， 3.在判别式大于0的情况下还要确定两根的大小(若不能确定的要进行一步讨论),而且要注意根与定义域的关系， 最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。 提示：为讨论导函数的根及导函数的符号情况，一般能因式分解的要先分解（包括分式先通分）。 【例1-1】已知函数， 当时，讨论函数的单调性. 【例1-2】求函数的单调性. 【例1-3】求函数的单调区间. 【变式1-1】讨论函数，的单调性 【变式1-2】设函数讨论的单调性； 【变式1-3】已知函数，其中.讨论函数的单调性； 1 . 讨论函数的单调性. 2 .若函数，求函数的单调区间. 3.已知函数．讨论的单调性． 4.已知函数．讨论的单调性 5.设函数,求的单调区间. 6.已知函数.讨论函数的单调性； 7.已知函数.讨论的单调性； 8. 求函数的单调性. 9.已知函数，讨论的单调性； 题型十：“准二次型”含参单调性分析 含参准二次函数型一般指的是含指数型或对数型的二次函数型，一般转化为熟悉的模型去理解。 【思考】举一个与导函数的正负性一致的导函数： . 【例1】求函数其中的单调性. 【变式1-1】求函数的单调性. 【变式1-2】讨论函数的单调性. 【变式1-3】已知函数.讨论的单调性； 【变式1-4】已知函数的单调性. 【变式1-5】求函数的单调性. 1．以下哪个导函数的正负性与导函数的正负性一致 ( ) 2.求函数的单调性. 3.已知函数，.若，讨论函数的单调性； 4.已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+b．讨论f（x）的单调性； 5.已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．讨论f（x）的单调性； 6.已知函数f（x）＝ex（ex﹣a）﹣a2x．讨论f（x）的单调性； 7.已知函数f（x）＝（x﹣1）exa．讨论f（x）的单调性； 8.求函数的单调性. 9.已知函数.判断函数的单调性. 题型十一：二阶导求函数单调性 1 二阶导数的概念 如果函数的导数在处可导，则称的导数为函数在处的二阶导数，记为. Eg 若函数，则，. 2二阶导数的意义 二阶导数是一阶导数的导数.从原理上看，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的凹凸性. 若在内，则在内为凹函数；若在内，则在内为凸函数； Eg ，其二次导数，为凹函数； ，其二次导数，为凸函数； 了解函数凹凸性，对于部分题型有助于更快地找到解题思路，特别是在切线放缩. 3 二次求导的运用 ① 二阶导数在高中教材中没有介绍，我们不好直接使用二阶导数性质，甚至它的符号. ② 二次求导除了可以判断函数凹凸性，还有一个重要运用， 使用场景：某些函数一次求导后，解和难度较大或甚至解不出(即很难得到的正负性)，则需要进行”二次求导”. 思考：若能知道的图像(或草图)，其正负性是否更好分析呢？那图如何而来?求导便可画图拉，分析其单调性、极值、最值等，这样一想便有了以下解题步骤； 解题步骤：设，对求导，求出和的解，便可得到的单调性，进而求其最值，不难得到的正负性，由图可知原函数的单调性. 若也很难求解呢？那就要三次求导. 【例1】求函数的单调区间. 【变式1-1】求函数的单调性. 【变式1-2】.已知函数．判断的单调性，并说明理由； 【例2】已知函数，为的导数,讨论的单调性； 【变式2-1】求函数在的单调性. 【变式2-2】设函数的单调性. 1.已知函数，判断的单调性，并说明理由； 2.函数.当时，求函数的单调性； 3.求函数的单调性． 4.求函数的单调性. 题型十二：与三角函数有关问题 与三角函数有关问题时，要注意三角函数的有界性。 【例1】若函数，，设，试比较的大小. 【变式1-1】函数在上的单调递减区间为 . 【变式1-2】已知函数.当时，求的单调区间； 【变式1-3】已知函数．当时，讨论在区间上的单调性； 【例2】求的单调性. 【变式2-1】求函数，，的单调区间. 【例3】若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为 ． 【变式3-1】若函数在上单调递减，则实数的取值范围为(　　) A．(－2，2) B．[－2，2] C．(－1，1) D．[－1，1] 【变式3-2】已知函数f（x）＝ax﹣sin2x在（0，π）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　） A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（2，+∞） D．[2，+∞） 1．已知函数f（x）＝ax+cosx在上单调递增，则a的取值范围是（　　） A．[﹣1，+∞） B．[1，+∞） C． D． 2.（多选）已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx﹣x的定义域为[﹣2π，2π]，则（　　） A．f（x）为奇函数 B．f（x）在[0，π）上单调递减 C．f（x）恰有2个极值点 D．f（x）有且仅有2个极大值点 3.求函数在区间的单调性. 4.已知函数．当时，求的单调区间； 5．已知函数f（x）＝xsinx+cosx，x∈（0，2π）．求函数f（x）的单调区间和极值． 6.已知函数f（x）＝（a﹣1）x+ex（a∈R）．设函数g（x）＝f（x）﹣sinx，若函数y＝g（x）在[0，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围． 7.已知函数f（x）＝sin2xsin2x．讨论f（x）在区间（0，π）的单调性； 8.已知，若，讨论的单调性； 9.已知函数．当时，讨论的单调性； 10.已知函数．讨论函数在区间上的单调性； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 利用导函数研究函数的单调性问题 (典型题型归类总结) 题型一：导数与原函数图像的关系 2 题型二：求已知函数（不含参）单调性 6 题型三：在区间上递增或递减，求参数范围 11 题型四：在区间上存在增区间或减区间，求参数范围 18 题型五：在某区间上不单调，求参数范围 25 题型六：“一次型”含参单调性分析 31 题型七：“准一次型”含参单调性分析 36 题型八：“二次型”含参可因式分解单调性分析 38 题型九：“二次型”含参不可因式分解单调性分析 50 题型十：“准二次型”含参单调性分析 63 题型十一：二阶导求函数单调性 73 题型十二：与三角函数有关问题 78 题型一：导数与原函数图像的关系 函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. 【典题1】函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ） A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点 【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减. 所以A选项正确，B选项错误. 在区间上，有极大值为，C选项正确. 在区间上，是的极小值点，D选项错误. 故选：AC 【变式1-1】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【详解】 对于不等式对， 当时，，则结合图象，知原不等式的解集为； 当时，，则结合图象，知原不等式的解集为． 综上，原不等式的解集为． 故选：A 【变式1-2】函数的定义域为，且图象如图所示，则不等式的解集为 . 【解析】由图可知，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，． 不等式可等价于或， 当时，有，即； 当时，有，即， 综上所述，不等式的解集为． 【点拨】由原函数图像判断出原函数的单调性，继而得到导函数的正负性(导函数的穿线图)，再看图易得不等式解集.注意原函数的趋势图与导函数的穿线图之间的转化. 1.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．时，取得最大值 D．时，取得最小值 【详解】 由图象可知：当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减； 对于A，，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误； 对于D，由单调性知，D错误. 故选：AB. 2.定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【分析】 根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项. 【详解】 根据导函数图像可知，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值. 所以A,B,D选项正确，C选项错误. 故选：ABD 3.（多选）函数f（x）的导函数f'（x）的图像如图所示，则（　　） A．为函数f（x）的零点 B．x＝2为函数f（x）的极小值点 C．函数f（x）在上单调递减 D．f（﹣2）是函数f（x）的最小值 【分析】由f'（x）的图像可知，在（﹣∞，﹣2），（，2）单调递减，在（﹣2，）单调递增，从而可得答案． 【解答】解：由f（x）的导函数f'（x）的图像可知，在（﹣∞，﹣2），（，2）单调递减，在（﹣2，）单调递增， 故当x＝﹣2或x＝2时，f（x）取得极小值，但f（﹣2）与f（2）的大小关系不确定， 故BC正确，AD错误， 故选：BC． 4.已知定义在区间上的函数的图象如图所示，若函数是的导函数，则不等式的解集为 . 【答案】(－2，－1)∪(－1，1) 【解析】结合导数与单调性关系可知， －2<x<－1，1<x<2时，函数单调递减，此时f′(x)<0， 当－1<x<1时，函数单调递增，此时f′(x)>0， 由不等式可得，(x+1)f′(x)>0， 解可得，－1<x<1或－2<x<－1， 故不等式的解集(－2，－1)∪(－1，1)． 题型二：求已知函数（不含参）单调性 求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 【例1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， ，，，， 则在上单调递减，在上单调递增. 故选：A 【变式1-1】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， ， 因为，可得，解得，可得， 因此，函数的单调递减区间为. 故选：D. 【变式1-2】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ． 【答案】 【解析】当时，, 由，解得，所以在区间上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以函数图象关于原点对称， 所以在区间上单调递增. 故答案为：. 【变式1-3】已知函数.求的单调区间； 【解析】的定义域为，，又， 当时，，则单调递减；     当时，，则单调递增，     即的单调减区间为，单调增区间为. 1．已知函数，则“在区间上单调递增”的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在区间上单调递增等价于在区间上大于等于恒成立， 即在上恒成立，即， 故是的充分不必要条件，故D正确. 故选：D. 2.函数的单调递增区间是（    ） A．和(0,2) B． C．(0,2) D．和 【答案】D 【详解】的定义域为， ，令，解得或， 故的单调递增区间为和. 故选：D 3.函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导后，根据导函数的正负即可得到结果. 【详解】由题意得：函数的定义域为，， 当时，；当时，；的单调递增区间为. 4.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，解不等式可得. 【详解】的定义域为 解不等式，可得， 故函数的递减区间为. 5.函数的严格递减区间是 . 【答案】. 【解析】函数的定义域为， ， 令，则且，即的严格递减区间为. 6．函数的单调减区间可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意得， 令，解得或， 结合选项可知函数的单调减区间可以为,, 故选:AC. 7.（多选）若函数的单调递增区间为，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A选项，的定义域为，故单调递增区间不可能为，A错误； B选项，定义域为， ，令，解得， 所以单调递增区间为，B正确； C选项，定义域为， ，令，解得或， 所以单调递增区间为，，C错误； D选项，定义域为， ，令，解得， 故单独递增区间为，D正确. 故选：BD 8.已知奇函数的导函数为，若当时，且.则的单调增区间为 . 【答案】 【解析】因为时，则， 又，则，即， 所以， 令，即，即， 又，则，解得， 令，即，即， 即，解得， 所以在单调递增， 又为奇函数， 当时，在单调递增， 所以的单调增区间为. 9.已知函数的减区间为，则 . 【答案】3 【详解】由题意可得，，解集为，则. 故答案为：3 10.函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 由得或（因为，故舍去）， 所以在区间上单调递增． 故答案为： 11.已知函数.若，讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为， 当时，，所以， 设，因为、都在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以时，单调递减； 时，单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增. 12.已知函数，若，求的单调区间. 【解析】若，则的定义域为， 且， 令，解得；令，解得； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 题型三：在区间上递增或递减，求参数范围 已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 【例1】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 【解析】，则， 若在区间上单调递增，则在恒成立 ， 方法一 分离参数法 要成立等价于在恒成立， 令，， 则，在递增， 故， 故， 方法二 数形结合法 令，它是开口向下，过定点， 结合图像可知若要成立，只需要. 【点拨】 ① 若函数在某个区间内单调递增，则(含等号)恒成立，但不存在一区间内使得； ② 处理恒成立问题，方法多样，比如直接转化为最值问题，利用分离参数法转化为最值问题，数形结合等. 【变式1-1】已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是： . 【答案】 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为. 故a的取值范围是. 故答案为 【变式1-2】已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，恒成立，分离参数结合二次函数的性质求得答案. 【详解】因为函数在上单调递增，所以对恒成立， 即恒成立，设，， 当时，，所以，则， 所以实数a的最小值为. 【变式1-3】已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上为减函数， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，令， 所以， 所以在上单调递减，所以， 故，所以的取值范围是. 故选：D. 【例2】 已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解. 【详解】由得， 由于函数的定义域为，故令,解得，故的单调递增区间为， 若在区间上单调递增，则，解得 【变式2-1】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 当，解得：， 由条件可知， 所以 ，解得：. 故选：B. 【变式2-2】“函数f（x）＝ex（ex﹣3）在区间[m，+∞）上单调递增”的充要条件是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用导数研究函数的单调性即可得出结论． 【解答】解：f（x）＝ex（ex﹣3）， f′（x）＝ex（ex﹣3）+ex•ex＝2ex（ex﹣）， 令f′（x）＝0，解得x＝ln， ∴函数f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增． ∴“函数f（x）＝ex（ex﹣3）在区间[m，+∞）上单调递增”的充要条件是m≥ln． 故选：C． 【变式2-3】（多选）若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】， 令，得，令，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为， 因为函数在区间上单调， 所以或，解得或. 故选：AC. 1.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 2.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令， 则， 所以在上递增，又， 所以. 所以的取值范围是. 3.已知函数在，上为增函数，在（1，2）上为减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C．】 D． 【答案】B 【解析】由，得， ∵在，上为增函数；上为减函数, ∴两根分别位于和中， 得，即，解得. 4．设，若函数在递增，则的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在递增， 所以在上恒成立， 则，即在上恒成立， 由函数单调递增得， 又，所以，所以， 所以即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 5.若函数在具有单调性，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 当函数在单调递增时， 恒成立，得，设， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以， 因此有， 当函数在单调递减时， 恒成立，得，设， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以， 显然无论取何实数，不等式不能恒成立， 综上所述，a的取值范围是， 故选：C 6.（多选）若是区间（m﹣1，m+4）上的单调函数，则实数m的值可以是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于m的不等式组，解出即可． 【解答】解：由题意，f′（x）＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣2）（x+1）， 令f′（x）＞0，解得﹣1＜x＜2，令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞2， 所以f（x）在（﹣1，2）上单调递减，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递减， 若函数在区间（m﹣1，m+4）上单调， 则m+4≤﹣1或m﹣1≥2或，解得m≤﹣5或m≥3或m∈∅， 即m≤﹣5或m≥3． 故选：CD． 7.已知函数是区间上的单调函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， 令，则或， 因为是区间上的单调函数， 所以或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 8.若函数在上单调递增，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分与两种情况，求导，然后参变分离，构造函数，求出最值，得到答案. 【详解】， 当时，， 令得， 令，， 在上恒成立， 故在上单调递减， 又，所以，解得； 当时，， 令得， 令，， 在上恒成立， 故在上单调递减， 其中，故，解得， 由于，即在处连续， 综上，. 8.已知函数的减区间为，则 . 【答案】3 【解析】由题意可得，，解集为，则. 故答案为：3 10．如果函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的值为 ． 【答案】1 【详解】由题意得，，由，得， 解得或． 当时，，当时，， 则在区间上单调递增，不满足条件，舍去； 当时，， 当时，，当时，，满足在区间上单调递减，在区间上单调递增，故． 故答案为：1 题型四：在区间上存在增区间或减区间，求参数范围 已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调递增区间，有解. ②已知在区间上单调递区间减，有解. 【例1】函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数，∴， ∵函数在上存在单调递增区间，，即有解， 令,,∴当时，，即可． 故答案为: 【变式1-1】已知函数在上有增区间，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题得， 因为函数在上有增区间， 所以存在使得成立， 即成立， 因为时，， 所以. 故答案为： 【变式1-2】若函数存在增区间，则实数的取值范围为（ ） A． B．C． D． 【答案】C 【详解】若函数不存在增区间，则函数单调递减， 此时在区间恒成立， 可得，则，可得， 故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C. 【变式1-3】若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，则， 函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解， 即在区间上有解， 又，则， 所以在区间上有解， 所以，，令，， 则， 令，则在区间恒成立， 所以在上单调递减，所以， 即，所以，所以实数的取值范围是． 1.若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以 2.若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果. 【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ． 3.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】， 由题意知，在上有实数解， 即有实数解， 当时，显然满足， 当时，只需 综上所述 4.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把题意转化为在上有解，设，利用导数判断单调性，即可求解. 【详解】由可得：. 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在上有解，即在上有解. 设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以. 所以. 5.若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解. 【详解】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是. 6.已知函数在上有增区间，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】等价于存在使得成立，即成立，即得解.由题得， 因为函数在上有增区间， 所以存在使得成立， 即成立， 因为时，， 所以. 故答案为： 7若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】，等价于在有解，即在有解， 即在有解，所以， 令， 则，即在上是增函数， ∴，所以. 故答案为：. 8.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】， 由题意知，在上有实数解， 即有实数解， 当时，显然满足， 当时，只需 综上所述 故答案为： 9.若函数在上存在单调递增区间，则实数的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，由题意有解，即有解，令,, 时，该函数单调递增； 时,该函数单调递增， 所以，当取得最大值, 所以． 10.函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】对于函数， ，令， 则，因为在区间上单调递减， 所以恒成立，即恒成立，又， 所以， 又在区间上单调递增， 所以恒成立， 所以，解得， 综合得. 故答案为：. 11．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，求导得， 依题意，不等式在上有解，等价于在上有解， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：． 12.设.若在上存在单调递增区间，求的取值范围； 【答案】（1）； 【详解】解：（1）， 当时，， 则当时，令，得， 所以，当时，在上存在单调递增区间； 题型五：在某区间上不单调，求参数范围 已知函数在区间上不单调，使得（且是变号零点），通常用分离变量法求解参变量范围,或者补集思想求解。 【例1】已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在区间上不是单调函数， 所以在区间上有解，即在区间上有解． 令，则． 当时，；当时，． 故在上单调递减，在上单调递增．又因为， 且当时， 所以在区间上单调递增，所以，解得. 故选：A 【变式1-1】已知函数在上不是单调函数，则实数m的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】因为，所以， 又不是单调函数，所以函数有极值点，即在上有变号零点， 则成立， 当时，可化为，显然不成立； 当时，， 因为，，所以或， 所以实数m的取值范围为或（因为要有变号零点，故不能取等号）， 经检验，或满足要求. 故答案为：或 【变式1-2】已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，得， 当在内为减函数时，则在内恒成立， 所以在内恒成立， 当在内为增函数时，则在内恒成立， 所以在内恒成立， 令，因为在内单调递增，在内单调递减， 所以在内的值域为，所以或， 所以函数在内单调时，a的取值范围是， 故在上不单调时，实数a的取值范围是． 故答案为：． 【变式1-3】.若函数在区间内不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数在区间不是单调函数，得函数在区间上有极值，即导函数在区间内有解，由此求得的取值范围． 【详解】解：函数在区间内不单调， 在区间有解．并且解的两侧，导函数的符号相反， 由，解得，． 而在区间上单调递减，在，上单调递增． 的取值范围是． 【例2】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得： 故选：B. 【变式2-1】若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的实数k 【答案】B 【解析】由题意得，在区间上至少有一个实数根， 又的根为，且在或两侧异号， 而区间的区间长度为2，故只有2或-2在区间内， ∴或， ∴或，故A，C，D错误. 故选：B. 【变式2-2】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得： 1.已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，故在上有零点，令，令，得，令， 则，由，得，单调递增，又由，得， 故，所以，的取值范围 2.若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 . 【答案】(4，5) 【分析】由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围. 【详解】解：函数，， 若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点， 由得， 令，，， 在递减，在递增，而，，， 所以. 3.已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，令，根据在上不单调，由在上有变号零点求解. 【详解】， 令， 因为在上不单调， 在上有变号零点，即在上有变号零点， 当 时， ，不成立； 当 时，只需 ，即 ， 解得 或 ， 所以 在上不单调的充要条件是或 ， 所以在上不单调的一个充分不必要条件是 4.若对于任意 ，函数在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，若存在，在区间上为单调函数， 则①在上恒成立，或②在上恒成立． 由①得在上恒成立，由于，所以， 即在上恒成立，由于函数均为上的单调递减函数， 所以单调递减，当时，取最大值，则， 又存在，所以， 当时，取到最小值-5，所以，即； 由②得在上恒成立，则，即， 所以存在，函数g(x)在区间(t,3)上为单调函数的m的取值范围为或， 因此使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为. 故答案为： 5.函数在上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数， 则， 记， ∵在上不单调， 当时不满足； 当时，对称轴为，， ∴或， 故选：C． 6.函数在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，因在上不单调， 故导函数在上必有变号零点. 令，得，再令，则， 由，得即在上单调递增，所以， 故只需，即， 对于A，是的真子集,故 A选项是一个充分不必要条件， 而其他选项中，的范围都不是的真子集，故都不正确. 故选:A． 7.函数在R上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，而， 要使在R上不单调，则 . 故选：D 8.已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】 ∵函数在区间上不单调， ∴在区间内有解， 则在内有解， 易知函数在上是减函数， ∴的值域为， 因此实数a的取值范围为. 故答案为： 题型六：“一次型”含参单调性分析 “一次函数”型：分类讨论的思考： ； ② “一次函数”型要注意的是：是否一次函数，直线斜率大于0还是小于0，函数零点与定义域端点的大小！ 【例1】求函数的单调区间. 【解析】的定义域是，(优先讨论函数定义域) ， (通分，，则的正负性等价于的正负性) (判断的函数类型，分和) (1)当时，，在上递增； (2)当时，令，解得， (一次函数的斜率正数还是负数会影响导函数的正负性，分和讨论；同时注意零点与定义域端点的比较，结合图像就容易理解) ①当时，，在上，，递增； ②当时，， 在上，，递增；在上，，递减； 综上所述， 当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减. 【点拨】 本题对于导函数的分类讨论，您还可以有两个角度: (1)从代数角度，，则时，而时有零点； (2) 看成分式函数上下平移得到，则时图象与轴相离且，而时与轴相交，即有零点.故分类的角度可以多样的，要灵活处理. 【变式1-1】求函数的单调区间. 【答案】若，在上为增函数； 若，则在上为减函数，在上为增函数； 若，则在上为增函数，在上为减函数. 【解析】 　令，即　(这里需要对方程的类型讨论) (1)若时，，在上为增函数， (2)若时，则由得 (这里需要对的斜率讨论) ① 若时， 当时，，递减；当当时，，递增； ② 当时， 当时，，递增；当时，，递减； 综上所述：若，在上为增函数； 若，则在上为减函数，在上为增函数； 若，则在上为增函数，在上为减函数. 【变式1-2】已知是实数，求函数的单调区间. 【答案】当时，在递增； 当时，在递减，在递增. 【解析】函数的定义域为， ，由得. (考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论) (1)当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为. (2)当时，由，得；由，得. 因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为. 综上所述 当时，在递增； 当时，在递减，在递增. 【变式1-3】求函数的单调区间. 【解析】易知，函数的定义域为(0，+∞)， 因为． 若，则，此时原函数不具有单调性； 若，当时，，此时函数为增函数， 当时，，此时函数为减函数； 若，当时，，此时函数为减函数， 当时，，此时函数为增函数； 1.已知函数.讨论函数的单调性； 【解析】（1）函数的定义域是， 因， ①若，则在上单调递增； ②若，则当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增 2. 求函数的单调区间. 【答案】若时，在上递增； 若时，在上递增，在递减. 【解析】；(求导后通分) 的定义域是， 与的符号是一致的. (那我们只需要在各区间符号问题，注意数形结合) (1)若时，在上递增；(判断的函数类型) (2)若时，令，得； ①若时，当时，，递增； ②若时， 当时，，递增；当时，，递减； 综上所述 若时，在上递增； 若时，在上递增，在递减. (该题把导函数看成反比例函数的图像进行更容易些) 3.设函数．讨论的单调性； 【解析】的定义域为，， 若，则，在上单调递增． 若，则当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 4.已知函数，其中.讨论的单调性； 【解析】因为，易知其定义域为，， 当时，在上恒成立， 当时，由，得到， 所以，当时，，时，， 综上所述，当时，的单调增区间为，无减区间， 当时，的单调增区间为，减区间. 5.求函数的单调区间. 【解析】易知，函数的定义域为(0，+∞)， 因为． 若，则，此时原函数不具有单调性； 若，当时，，此时函数为增函数， 当时，，此时函数为减函数； 若，当时，，此时函数为减函数， 当时，，此时函数为增函数； 6．已知0＜a＜1，函数f（x）（x≠0）．求f（x）的单调区间． 【分析】求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间． 【解答】解：因为． 所以，． 由f′（x）＞0⇒x＞1，又函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 所以函数在（﹣∞，0）和（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增． 7.已知函数讨论f(x)的单调性： 【解析】． 当时，，易知f(x)在R上单调递减． 当时，令，可得；令，可得且， ∴f(x)在和上单调递减，在上单调递增． 当时，令，可得且；令，可得， ∴在和上单调增，在上单调递减． 题型七：“准一次型”含参单调性分析 导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 【例1】已知函数求函数的单调区间. 【解析】， 若时，在上递增； 若时，令，解得 当时，递增；当递减. 综上所述： 若时，在上递增； 若时，在递增，在递减. 【点拨】 ①导函数的图象可以看成是由上下平移而来，当时，图象向上平移，不产生零点；当时，图象向下平移，存在一个零点. ②不要一开始就令，误认为导函数一直存在零点，其实看下，也可知当时，才有意义！ 【变式1-1】已知函数f（x）＝（a﹣1）x+ex（a∈R）．讨论函数y＝f（x）的单调性； 【分析】直接利用参数的讨论和函数的求导求出函数的单调区间； 【解答】解：由题意得，f′（x）＝a﹣1+ex，x∈R， ①当a≥1时，f′（x）＝a﹣1+ex＞0，函数f（x）在R上单调递增； ②当a＜1时， 令f′（x）＝a﹣1+ex＞0，解得x＞ln（1﹣a）， 函数f（x）在（ln（1﹣a），+∞）上单调递增； f′（x）＝a﹣1+ex＜0，解得x＜ln（1﹣a）， 函数f（x）在（﹣∞，ln（1﹣a））上单调递减； 综上，当a≥1时，函数f（x）在R上单调递增； 当a＜1时，函数f（x）在（﹣∞，ln（1﹣a））上单调递减， 在（ln（1﹣a），+∞）上单调递增， 【变式1-2】．已知函数f（x）＝x+2﹣aex．讨论f（x）的单调性； 【分析】先求出导函数f′（x），再对a分情况讨论，根据f′（x）的正负得到f（x）的单调性； 【解答】解：函数f（x）＝x+2﹣aex，定义域为R， 则f′（x）＝1﹣aex， 当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增， 当a＞0时，令f′（x）＞0，得，令f′（x）＜0，得， 所以f（x）在上单调递增，在上单调递减； 【变式1-3】已知函数.讨论的单调性； 【解析】 函数的定义域为，． 令，解得， 则有当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增． 1．已知函数f（x）＝x+2﹣aex．讨论f（x）的单调性； 【分析】先求出导函数f′（x），再对a分情况讨论，根据f′（x）的正负得到f（x）的单调性； 【解答】解：函数f（x）＝x+2﹣aex，定义域为R， 则f′（x）＝1﹣aex， 当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增， 当a＞0时，令f′（x）＞0，得，令f′（x）＜0，得， 所以f（x）在上单调递增，在上单调递减； 2.已知函数．讨论的单调性； 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 题型八：“二次型”含参可因式分解单调性分析 “二次函数型”: 1.先讨论二次项系数等于0，大于0，小于0三种情况 2.再讨论判别式（先讨论判别式为负或为0的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的）， 3.在判别式大于0的情况下还要确定两根的大小(若不能确定的要进行一步讨论),而且要注意根与定义域的关系， 最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。 提示：为讨论导函数的根及导函数的符号情况，一般能因式分解的要先分解（包括分式先通分）。 能因式分解说明导函数存在零点，就不需要考虑讨论判别式. 【例1】讨论的单调性. 【解析】的定义域为，(注意函数的定义域) ，(通分，因式分解是常规操作) 令；与的符号相同) (第一步：讨论函数类型) (1)当时， 当时，，即，函数单调递增； 当时，，即，函数单调递减； (2)当时，令，解得； (第二步：讨论二次函数开口方向) ①当时，抛物线开口向下， 由于 (留意导函数零点和定义域端点的大小) 时，，即，函数单调递增； 时，，即，函数单调递减. ②当时，抛物线开口向上， (第三步：比较导函数零点大小) 当时，，恒成立，(不要忘了两根相等的情况) 此时，函数在上单调递增； 当时，， 时，，即，函数单调递增； 时，，即，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 当时， 时，，函数单调递增； 时，，即，函数单调递减； 时，，即，函数单调递增； 当时，， 留意导函数零点和定义域端点0的大小) 时，单调递减； 时，，即，函数单调递增； 综上所述： 当时，函数在上单调递增 , 在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增 , 在上单调递减； 当时，函数在单调递增，在单调递减； 当时，函数在单调递减 , 在单调递增. 【点拨】 ①原函数的单调性等价于导函数的正负性，我们注重导函数是否存在零点，零点的个数，零点的大小等； ②求导后，通分、因式分解是个好习惯，；能因式分解说明导函数存在零点，本题就不需要考虑讨论判别式. ③ 本题分类讨论思路 ④ 在第二，第三步讨论中，要注意导函数零点和定义域端点的大小. ⑤ 在讨论繁琐时，建议以思维导图形式，画“导函数图像”梳理思路，并画上对应每个分类讨论步骤中导函数与原函数的草图. 【变式1-1】已知函数．讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为， 则， ①当时，令，解得，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ②当时，令，解得，令，解得或， 在上单调递减，在和上单调递增， ③当时，恒成立， 在上单调递增， ④当时，令，解得，令，解得或， 在上单调递减，在和上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 【变式1-2】已知函数，讨论函数的单调性； 【解析】由题知，，， ①当时，， 则时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以的增区间是，减区间是； ②当时，， 当和时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的增区间是和，减区间是； ③当时，，故的单调递增区间是； ④当时，，在和上，单调递增； 在上，单调递减； 故的增区间是和，减区间是， 综上，当时，的增区间是，减区间是； 当时，的增区间是和，减区间是； 当时，的增区间是， 当时，的增区间是和，减区间是． 【变式1-3】已知函数，求的单调区间. 【解析】函数的定义域为， 求导得， 由可得或， ①当时，由可得，由可得， ②当时，在上恒成立， ③当时，由可得，由可得. 故当时，的单调增区间为，单调减区间为； 当时，的单调增区间为，无递减区间； 当时，的单调增区间为，单调减区间为. 【变式1-4】已知函数，．求函数的单调区间. 【解析】函数的定义域为．由题意得, 当时, ，则在区间内单调递增； 当时，由，得或（舍去）, 当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 所以当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式1-5】已知函数．时，讨论的单调性． 【解析】因为，所以， 所以， 所以 令可得，或， 若时， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 若， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 若，，且当且仅当时取等号， 所以在上单调递增， 综上，当时，函数的递增区间为，，递减区间为， 当，函数的递增区间为，，递减区间为， 若时，函数的单调递增区间为，没有递减区间， 1．已知函数f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0，求f（x）的单调区间； 【解答】解析：f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a）， 当a＜0时，对x∈R，有f′（x）＞0， 当a＜0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞） 当a＞0时，由f′（x）＞0解得或； 由f′（x）＜0解得， 当a＞0时，f（x）的单调增区间为； f（x）的单调减区间为． 2.已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2．讨论函数f（x）的单调性． 【分析】先求出函数的导数，通过讨论a的取值范围求出函数的单调区间． 【解答】∵f′（x）=（x＞0）， a≤0时，f′（x）＜0，f（x）的单调递减区间为：（0，+∞）， a＞0时，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增． 3．已知函数.讨论函数的单调性； 【解析】（1）因为的定义域为， 又， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得（舍去），； 当，，在上单调递减； ，，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 4.已知函数．讨论的单调性． 【解析】的定义域为，且， 当时，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，则有： 若，则，令，则单调递增； 令，则或单调递减； 若，则，令，则单调递增； 令，则或单调递减； 若，则单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 5.已知函数（，为自然对数的底数）.讨论函数的单调性； 【解析】的定义域为， ， 当时，，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 当时，令得（舍去），或， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 当时，令得或， 若时，， 令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 若时，，此时恒成立， 故在上单调递增， 若时，， 令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 6.已知函数．讨论的单调性； 【解析】由题知的定义域为， 由，得． 若，则，在上单调递减， 若，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 综上可得，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 7.已知函数．讨论函数的单调性； 【解析】易知定义域为，令得或， ①当，即时，令得或，令得； 故在单调递减，在，上单调递增； ②当，即时，恒成立，故在上单调递增； ③当，即时，令得或， 令得，在上单调递减，在，上单调递增； 综上，当时，在单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减， 在，上单调递增. 8.已知函数，.讨论的单调性； 【答案】当时，在上，是减函数, 当时，在上，是减函数,在上，是增函数； 【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞） 又 当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数 当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍） 所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数 在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数 9.已知函数，函数．判断函数的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】由题意得，； ∴． 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，有：在上单调递增；令，有：在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 10.已知函数，讨论函数的单调性； 【答案】见解析 【解析】因为， 所以. 令，解得或. 若，当即或时， 故函数的单调递增区间为； 当即时，故函数的单调递减区间为. 若，则， 当且仅当时取等号，故函数在上是增函数. 若，当即或时， 故函数的单调递增区间为； 当即时，故函数的单调递减区间为. 综上，时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； 时，函数单调递增区间为； 时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. 11.已知函数,其中.求的单调区间． 【解析】, 令，即解不等式:, ① 当时,解得:, 故的单调区间为： ② 当时, ,所以解得:, 故的单调区间为： ③ ,则,常值函数不具备单调性. ④ 时,解得:或, 故的单调区间为： 综上，当时, 在递减，在递增，在递减; 当时, 在递减，在递增，在递增，在递减； 当时,则,常值函数不具备单调性; 当时, 在递增，在递减，在递减，在递增. 题型九：“二次型”含参不可因式分解单调性分析 “二次函数型”: 1.先讨论二次项系数等于0，大于0，小于0三种情况 2.再讨论判别式（先讨论判别式为负或为0的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的）， 3.在判别式大于0的情况下还要确定两根的大小(若不能确定的要进行一步讨论),而且要注意根与定义域的关系， 最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。 提示：为讨论导函数的根及导函数的符号情况，一般能因式分解的要先分解（包括分式先通分）。 【例1-1】已知函数， 当时，讨论函数的单调性. 【解析】的定义域为， ， (因为，所以的正负性等价于的正负性；先确定函数类型，分和) (1)若时，，故在单调递增； (2)若时， (抛物线的开口方向会影响导函数的正负性，分和) ①若时，，故在单调递增； ②若时，令，解得， 则当时，，递增；当时，，递减. 综上所述 当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. 【点拨】 ① 本题分析函数的正负性，先确定是否二次函数，再确定二次函数开口方向. ② 从代数的角度，也可知当时，时有零点，分和 两种情况讨论便可. 【例1-2】求函数的单调性. 【解析】，其判别式为， (不一定能在实数内因式分解，故思考导函数是否存在零点，由判别式决定，分和讨论) (1)若，即时，在上递增； (2)若，即或时， 令，解得或，其中， 当时，递减；当或时，递增. 综上所述，当时，在上递增； 当或时，在上递减， 在递增. 【点拨】对于“二次函数”型，求导后要思考下能否可以因式分解，若不能，则对判别式进行讨论，确定导函数零点存在情况！ 【例1-3】求函数的单调区间. 【解析】的定义域为 (求导后通分、因式分解，确保有零点存在) 令，得， (对导函数零点与定义域端点三者比较大小，先比较与的大小，分和) (1)若时， 当时，，递减；当时，，递增； (2)若时， (判断导函数零点的大小，分、、三种情况) ①时， ，递增；(不要遗忘零点相等的情况) ②时， 当或时，，递增；当时，，递减； ③时， 当或时，，递增；当时，，递减. 综上所述 当时，递减区间为，递增区间为； 当时，递增区间为； 当时，递增区间为或，递减区间为； 当时，递增区间为或，递减区间. 【点拨】 求导后能够因式分解，说明导函数存在零点； 若函数存在零点，需要注意零点的大小比较，并且零点是否在定义域范围内，结合图象会更容易得到分类讨论的标准！ 【变式1-1】讨论函数，的单调性 【解析】因为，所以， 即， 当时，，令，解得， 所以时，，所以在上单调递减， 时，，所以在上单调递增； 当时， ， 令，， 当时，令，则，， 所以方程有、两个根， 解得，， 因为，，所以，， 所以不在定义域内， 时，，单调递减， 时，，单调递增； 时，当时，即时，在上恒成立， 所以在上单调递减； 当，即时，方程有、两个根， 解得，， 因为，，所以，， ，又因为，， 所以当时，，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减； 综上所述：时，    在是单调递减，在单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增 时，在和上单调递减， 在上单调递增； 时，在单调递减. 【变式1-2】设函数讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】定义域为， ， 令， ①当时，，，故在上单调递增， ②当时，，的两根都小于零，在上，， 故在上单调递增， ③当时，，的两根为， 当时，；当时，；当时，； 故分别在上单调递增，在上单调递减. 【变式1-3】已知函数，其中.讨论函数的单调性； 【解析】， 当时，恒成立，故在上单调递增； ② 当时，，令，得. ∵，∴方程有两不等实根. ∵，，∴. 令，得或；令，得. 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 另法（常规方法）：讨论的符号. 当，即时，恒成立，则，在上递增； ② 当，即或时，方程有两不等实根. （i）当时，由知，则恒成立，故在上递增； （ii）当时，由知， 令，得或；令，得. 故在、上递增，在上递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. 1 . 讨论函数的单调性. 【答案】当时，在上递增；当时，在上递减； 当时，在上递增，在上递减． 【解析】的定义域为，. (1)当时，，在上递增； (2)当时， ①若，，在上递增； ②若 ⅰ若，，在上递减； ⅱ若，令，解得， 则当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述； 当时，在上递增； 当时，在上递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 2 .若函数，求函数的单调区间. 【答案】时，的递减区间为， 递增区间为：； 时，递减区间为，递增区间为； 时，的减区间为，增区间为. 【解析】的定义域,， 设,， (1)当时，， ,,即，所以在单调递减； ,，即，所以在单调递增； (2)当时，因为,， ①若,即时，在上即， 所以在单调递减. ②若时，令得，此时 当或时，，递减； 当时，，递增. (3)当时，因为,， 所以有一正一负两根，解得, 当时，，递减； 当时，，递增. 综上所述： 时，的减区间为,增区间为：; 时， 递减区间为，递增区间为; 时， 的减区间为，增区间为. 3.已知函数．讨论的单调性． 【解析】， 当时，的判别式， 若，①当时，，在上恒成立，在上单调递增； ②当时，，方程的二根， 由，得或，由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减； 若，①当时，，在上恒成立，在上单调递减； ②当时，，方程的二根， 由，得，由，得或， 函数在上单调递增，在，上单调递减， 所以当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 4.已知函数．讨论的单调性 【解析】， ， 当时，，所以在上单调递增． 当时，令，则．            若，即时，恒成立，所以在上单调递增． 若，即时，方程的根为， 当时，或，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增， 在上单调递减． 5.设函数,求的单调区间. 【解析】， ， 若，则， 则恒成立，此时在上单调递增. 当或,由解得， 当时，列表如下： 当时，列表如下： 综上, 当时,在递减，在递增，在递减； 当时，在上单调递增； 当时，在递增，在递减，在递增. 6.已知函数.讨论函数的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】的定义域为，， 当时，，则在上是增函数； 当时，， 所以； 或； ， 所以在上是减函数，在和上是增函数. 7.已知函数.讨论的单调性； 【解析】的定义域为. 关于的方程， 当时，，，所以在上单调递增. 当时，，此时， ，所以在上单调递增. 当时，则是方程的两根. 又，所以， 令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 8. 求函数的单调性. 【解析】 依题意，函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f′(x)=2ax， ①a<0时，l令2ax2+2－a=0，可得x20， x，(负值舍去)， 当x∈(0，)时，f'(x)>0，当x，+∞)时，f'(x)<0， 故函数f(x)在(0，)上单调递增，在(，+∞)单调递减． ②0≤a≤2时，f'(x)>0恒成立，函数在(0，+∞)上单调递增， ③a>2时，当x∈(0，)时，f'(x)<0，当x，+∞)时，f'(x)>0， 故函数f(x)在(0，)上单调递减，在(，+∞)单调递增． 综上，时，函数在(0，)上单调递增，在(，+∞)单调递减． 时，函数在上单调递增， 时，函数在(0，)上单调递减，在(，+∞)单调递增． 9.已知函数，讨论的单调性； 【答案】见解析 【解析】的定义域为， ， 对于，， 当时，，则在上是增函数. 当时，对于，有，则在上是增函数. 当时， 令，得或， 令，得， 所以在，上是增函数， 在上是减函数. 综上，当时，在上是增函数； 当时，在，上是增函数， 在上是减函数. 题型十：“准二次型”含参单调性分析 含参准二次函数型一般指的是含指数型或对数型的二次函数型，一般转化为熟悉的模型去理解。 【思考】举一个与导函数的正负性一致的导函数： . 【解析】导函数由和相乘， 而，的正负性分别与，的正负性一致， 则导函数的正负性与的正负性一致， 在为负，在为正. 【点拨】若能把“指数函数”型转化为“二次函数”型，那在画“导函数穿线图”上会显得更简单. 【例1】求函数其中的单调性. 【解析】由题意得， (求导因式分解，知道存在零点，那要分析的正负性) (1)若时， 当时，，递减；当时，，递增； (2)若时，令⇒或； (比较两个零点的大小，此时正负性等价于的正负性) ①当时，，，在上递增； ②若时，， 当时，，递减； 当或时，，递增. ③若时，， 当时，，递减； 当或时，，递增. 综上所述 当时，在递减，在递增； 当时，在上递增； 当时，，在递减， 在递增； 当时，在递减， 在递增. 【点拨】 ① 求导后的因式分解很重要，从而确定零点个数； ② 当时，导函数正负性转化为二次函数 的正负性，转为熟悉模型，更容易分析！ 【变式1-1】求函数的单调性. 【答案】当时，在递减；在递增； 当时，在上递增； 当时，在，递增，在递减； 当时，在，递增；在递减． 【解析】， (1)若时， 当时，，递减；当时，，递增； (2)若时，由，解得或， ①若时，,，在上递增； ②若时， 当时，，递减； 当或时，，递增. ③若时，, 当时，，递减； 当或时，，递增. 综上：当时，在递减；在递增； 当时，在上递增； 当时，在，递增，在递减； 若时，在，递增；在递减． 【变式1-2】讨论函数的单调性. 【答案】当时，在递减，在递增； 当时，在上递减； 当时，在递增， 在递减； 当时，在递增， 在递减. 【解析】． (1)若时，, 当时，，递减；当时，，递增; (2)若时， 令，解得 ①若时，，，在内单调递减; ②若时，， 当或时，，递减； 当时，，递增. 则函数f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，x0)内单调递增，在(x0，+∞)内单调递减． ③若时，， 当或时，，递减； 当时，，递增. 综上所述 当时，在递减，在递增； 当时，在上递减； 当时，在递增, 在,递减； 当时，，在递增, 在,递减. 【变式1-3】已知函数.讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为， 求导得， 若，则，且当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减； 若，令，解得， 若，即，则恒成立，当时，，当时，， 即函数在上递减，在上递增； 若，即，则当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减； 若，即，则在上恒成立，函数在上递增； 若，即，则当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减， 所以当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为. 【变式1-4】已知函数的单调性. 【解析】 ， (1)若时，，由，解得， 当时，；当，， 故在递减，在递增； (2)若，由，解得或， ① 当时，， 当时，；当或时，， 故在递减，在，递增， ② 当时，，在上恒成立，故在上单调递增， ③ 当时，， 当时，；当或时，， 故在递减，在上单调递增； 综上：当，在递减，在递增， 当时，在递减，在递增， 当时，在上单调递增， 当时，在递减，在上单调递增． 【点拨】 ① 令，，与的正负性一致， 若令，解得或是错的， 因为当时才有意义，故要按照和分类讨论； ② 若时，零点有两个或，讨论的正负性， 由于与的正负性一样， 所以与的正负性一样. ③ 分类讨论思维导图如下 分类讨论有两点较难的地方 (1) 分类的“不漏不重”:把每段分类看成一个集合，每两个集合间交集为空集即为“不重”，所有集合的并集是全集即为“不漏”； (2) 分类的标准:在利用导数求含参函数的单调性，归纳成以下方法，仅供参考理解， · 导函数是否存在零点； · 若有零点，有几个？有两个以上，再比较零点大小； · 零点与定义域端点的大小比较. 整个分类讨论的思考过程，结合导函数与原函数的图像进行分析能让思路更清晰. 【变式1-5】求函数的单调性. 【答案】当时，在上单调递增； 当时，时单调递减，时单调递增； 当时，时单调递减，时单调递增． 【解析】， (1)若时，，此时在上单调递增； (2)若时，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； (3)若时，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，时，单调递减，时单调递增； 当时，时，单调递减，时单调递增． 1．以下哪个导函数的正负性与导函数的正负性一致 ( ) 【答案】 D 2.求函数的单调性. 【解析】(1)f′(x)=－a(x－1)+(x－1)ex=(x－1)(ex－a)， ∵a>0，由f′(x)=0可得x=1或x=lna， (i)当时，， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减； (ii)当时，，在上恒成立，即在上单调递增； (iii)当时，， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减； 3.已知函数，.若，讨论函数的单调性； 【解析】 . ①当时，令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 在上单调递减，在上单调递增. ②当时，令，解得或， 当即时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 当即时，在上单调递增， 当即时，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增. 4.已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+b．讨论f（x）的单调性； 【分析】（Ⅰ）对函数f（x）求导，对导数f'（x）分a≤0、、a＝、四种情况讨论，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+b，f'（x）＝x（ex﹣2a）， ①当a≤0时，当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0， ∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， ②当a＞0时，令f'（x）＝0，可得x＝0或x＝ln（2a）， （i）当时， 当x＞0或x＜ln（2a）时，f'（x）＞0，当ln（2a）＜x＜0时，f'（x）＜0， ∴f（x）在（﹣∞，ln（2a）），（0，+∞）上单调递增，在（ln（2a），0）上单调递减， （ii）a＝时， f'（x）＝x（ex﹣1）≥0 且等号不恒成立，∴f（x）在R上单调递增， （iii）当时， 当x＜0或x＞ln（2a）时，f'（x）＞0，当0＜x＜ln（2a）时，f'（x）＜0， f（x）在（﹣∞，0），（ln（2a），+∞）上单调递增，在（0，ln（2a））上单调递减． 综上所述： 当 a⩽0 时，f（x） 在 （﹣∞，0）上单调递减；在 （0，+∞）上 单调递增； 当 时，f（x） 在 （﹣∞，ln（2a）） 和 （0，+∞）上单调递增；在 （ln（2a），0）上单调递减； 当 时，f（x） 在 R 上单调递增； 当 时，f（x） 在 （﹣∞，0）和 （ln（2a），+∞） 上单调递增；在 （0，ln（2a）） 上单调递减． 5.已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．讨论f（x）的单调性； 【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性； 【解答】解：（1）由f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）ex﹣1， ∵e2x＞0，ex＞0 ∴当a≤0时，f′（x）＜0， ∴f（x）在R上单调递减， 当a＞0时，f′（x）＝（2ex+1）（aex﹣1）＝2a（ex）（ex）， 令f′（x）＝0，解得：x＝ln， 当f′（x）＞0，解得：x＞ln， 当f′（x）＜0，解得：x＜ln， ∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增； 综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数， 当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数； 6.已知函数f（x）＝ex（ex﹣a）﹣a2x．讨论f（x）的单调性； 【分析】先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断， 【解答】解：（1）f（x）＝ex（ex﹣a）﹣a2x＝e2x﹣exa﹣a2x， ∴f′（x）＝2e2x﹣aex﹣a2＝（2ex+a）（ex﹣a）， ①当a＝0时，f′（x）＞0恒成立， ∴f（x）在R上单调递增， ②当a＞0时，2ex+a＞0，令f′（x）＝0，解得x＝lna， 当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， ③当a＜0时，ex﹣a＞0，令f′（x）＝0，解得x＝ln（）， 当x＜ln（）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x＞ln（）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， 综上所述，当a＝0时，f（x）在R上单调递增， 当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（））上单调递减，在（ln（），+∞）上单调递增， 7.已知函数f（x）＝（x﹣1）exa．讨论f（x）的单调性； 【分析】对f（x）求导，再对a分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可； 【解答】解：函数f（x）＝（x﹣1）exa，定义域为R，f'（x）＝x（ex﹣a）， 当a≤0时，令f'（x）＜0，解得x＜0；令f'（x）＞0，解得x＞0， ∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增； 当a＝1时，f'（x）≥0恒成立，当且仅当x＝0时等号成立，∴f（x）在R上单调递增； 当0＜a＜1时，lna＜0，令f'（x）＜0，解得lna＜x＜0； 令f'（x）＞0，解得x＜lna或x＞0， ∴f（x）在（﹣∞，lna）上单调递增，在（lna，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增； 当a＞1时，lna＞0，令f'（x）＜0，解得0＜x＜lna； 令f'（x）＞0，解得x＜0或x＞lna， ∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增． 综上，当a≤0时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增； 当0＜a＜1时，f（x）在（﹣∞，lna）和（0，+∞）上单调递增，在（lna，0）上单调递减； 当a＝1时，f（x）在R上单调递增； 当a＞1时，f（x）在（﹣∞，0）和（lna，+∞）上单调递增，在（0，lna）上单调递减． 8.求函数的单调性. 【解析】(1)f′(x)=－a(x－1)+(x－1)ex=(x－1)(ex－a)， ∵a>0，由f′(x)=0可得x=1或x=lna， (i)当时，， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减； (ii)当时，，在上恒成立，即在上单调递增； (iii)当时，， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减； 9.已知函数.判断函数的单调性. 【解析】因为，定义域为， ， 令，因为，则， 可得在上单调递减，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 题型十一：二阶导求函数单调性 1 二阶导数的概念 如果函数的导数在处可导，则称的导数为函数在处的二阶导数，记为. Eg 若函数，则，. 2二阶导数的意义 二阶导数是一阶导数的导数.从原理上看，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的凹凸性. 若在内，则在内为凹函数；若在内，则在内为凸函数； Eg ，其二次导数，为凹函数； ，其二次导数，为凸函数； 了解函数凹凸性，对于部分题型有助于更快地找到解题思路，特别是在切线放缩. 3 二次求导的运用 ① 二阶导数在高中教材中没有介绍，我们不好直接使用二阶导数性质，甚至它的符号. ② 二次求导除了可以判断函数凹凸性，还有一个重要运用， 使用场景：某些函数一次求导后，解和难度较大或甚至解不出(即很难得到的正负性)，则需要进行”二次求导”. 思考：若能知道的图像(或草图)，其正负性是否更好分析呢？那图如何而来?求导便可画图拉，分析其单调性、极值、最值等，这样一想便有了以下解题步骤； 解题步骤：设，对求导，求出和的解，便可得到的单调性，进而求其最值，不难得到的正负性，由图可知原函数的单调性. 若也很难求解呢？那就要三次求导. 【例1】求函数的单调区间. 【解析】函数的定义域是， (注意定义域) 由，得， 令，则， 令，解得，令，解得， 故在递减，在递增， 故， 故在递增，无递减区间. 【点拨】 ① 本题其实是对原函数进行了“二次求导”，思路可以如下 求原函数的单调区间 分析导函数的正负性(即的零点问题) 若能画出的图像一切就清楚，那就再分析的单调性和最值，故二次求导了. ② 原函数的单调性与导函数的正负性相关，分析导函数的正负性利用注重导函数的零点问题； ③ 是个重要的不等式. 【变式1-1】求函数的单调性. 【解析】 ， 令，则 令，则， 在递增，，即， 在递增，，即, 在递增. 【变式1-2】.已知函数．判断的单调性，并说明理由； 【解析】 令， 在上递增，，， 在上单调递增. 【例2】已知函数，为的导数,讨论的单调性； 【解析】由题知， 令，则， 当时，在区间单调递增， 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【变式2-1】求函数在的单调性. 【解析】， 设， 则，在上递增，； ① 当时，，即，在区间上单调递增， ② 当时，，当时， 则存在使得， 当时，，即，递减； 当时，， 综上所述，当时，在递增；当时在上先减后增. 【变式2-2】设函数的单调性. 【解析】， 令函数，则， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增， 故， 当时，，则在是单调递增， 当时，， 易知当时，，当时，， 由零点存在性定理知：存在，使得， 不妨设， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 故函数在递增，在递减，在递增. 综上，当时，在是单调递增；当时， 1.已知函数，判断的单调性，并说明理由； 【解析】 令， 在上递增，，， 在上单调递增. 2.函数.当时，求函数的单调性； 【解析】当时，，定义域为， ，记，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 3.求函数的单调性． 【答案】当时，在递增；当时在上先增后减再增. 【解析】的定义域是，， 令，则 令，解得． 当时，，递减；当时，，递增； , ① 若，即时，则，即，递增． ② 若，即时，，． 所以，使得； 且当时，，即，递减； 当时，， 综上所述，当时，在递增；当时在上先减后增. 学科网（北京）股份有限公司 4.求函数的单调性. 【答案】函数的单调递增区间为，无单调递减区间 【解析】 f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=ex－1－lnx－1，， 因为f''(x)在(0，+∞)上单调递增，且f''(1)=0， 所以当x∈(0，1)时，f''(x)<0，f'(x)单调递减， 当x∈(1，+∞)时，f''(x)>0，f'(x)单调递增， 从而当x∈(0，+∞)时，f'(x)≥f'(1)=0，f(x)单调递增， 故函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 题型十二：与三角函数有关问题 与三角函数有关问题时，要注意三角函数的有界性。 【例1】若函数，，设，试比较的大小. 【解析】(要比较的大小，显然想到单调性) ，设， (要知道原函数的单调性，则分析的正负性，而它不太好分析，可构造函数二次求导，分析其单调性最值得到其函数图像便利于分析其正负性) 则 当时，，即在上递减， ，(此时得到函数的草图，正负性便确定) ，在上递减， 当，，即. 【点拨】 ① 要研究函数的单调性，则需要分析导函数的正负性； ② 当一次求导后，发现导函数不太“友善”(不能转化为常见的“一次型导数”， “二次型导数”，“指数型导数”或其混合型等)，则可考虑构造新函数进行二次求导. 【变式1-1】函数在上的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】由题意知，. 即，，因为，所以， 所以在中，， 所以在上的单调递减区间为. 故答案为： 【变式1-2】已知函数.当时，求的单调区间； 【解析】（1）当时，，所以， 当时，，所以，则， 所以，在上单调递减. 当时，记，则， 因为，所以，在单调递增， 所以，即，所以在上单调递增. 综上，的减区间为，增区间为. 【变式1-3】已知函数．当时，讨论在区间上的单调性； 【解析】（1）当时， ． 因为，所以． 所以在区间上的单调递增． 【例2】求的单调性. 【解析】 ， 令，故， 当时，，故在上单调递增， (要注意三角函数有界性) (此时，分析导函数是否有零点，分和讨论.) ①当时，，即， 故在上单调递增； ②当时，，且， 故存在，使得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上先减后增. 【点拨】 ① 当一次求导后的导函数不属于前面三种情况，形式比较复杂，若能分析出的图象，分析其正负性时就容易些，那函数可以“二次求导”分析的单调性、最值从而得到函数图象. ② 解题思考图如下 ③ 解题的整体思想还是数形结合，有些复杂题型可能还要三次求导. 【变式2-1】求函数，，的单调区间. 【答案】的单调递减区间是，没有单调递增区间． 【解析】根据题意，，则． 令 ，，则 ． 所以在区间上单调递减， 因为 ，所以，即 ， 所以的单调递减区间是，没有单调递增区间． 【例3】若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 由的图象在区间上单调递增， 可知不等式即在区间上恒成立． 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 故要使在上恒成立，只需． 由，解得， 故实数a的取值范围为，则a的最小值为． 故答案为： 【变式3-1】若函数在上单调递减，则实数的取值范围为(　　) A．(－2，2) B．[－2，2] C．(－1，1) D．[－1，1] 【答案】B 【解析】依题意，f(x)=2sinxcosx－4x－msinx， 所以f′(x)=2(2cos2x－1)－4－mcosx=4cos2x－mcosx－6≤0对∀x∈[0，2π]恒成立． 设t=cosx∈[－1，1]，g(t)=4t2－mt－6， 则g(t)≤0在[－1，1]上恒成立， 由二次函数的性质得 解得－2≤m≤2， 故选：B． 【变式3-2】已知函数f（x）＝ax﹣sin2x在（0，π）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　） A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（2，+∞） D．[2，+∞） 【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解． 【解答】解：因为函数f（x）＝ax﹣sin2x在（0，π）上单调递增， 所以f′（x）＝a﹣2cos2x≥0在（0，π）上恒成立， 所以a≥2cos2x在（0，π）上恒成立， 所以a≥2． 故选：D． 1．已知函数f（x）＝ax+cosx在上单调递增，则a的取值范围是（　　） A．[﹣1，+∞） B．[1，+∞） C． D． 【分析】由已知可得f'（x）＝a﹣sinx≥0在上恒成立，即a≥sinx，求出sinx的最大值即可得解． 【解答】解：因为函数f（x）＝ax+cosx在上单调递增， 所以f'（x）＝a﹣sinx≥0在上恒成立， 即a≥sinx，当x∈时，sinx的最大值为1， 所以a≥1，则a的取值范围是[1，+∞）． 故选：B． 2.（多选）已知函数f（x）＝xcosx﹣sinx﹣x的定义域为[﹣2π，2π]，则（　　） A．f（x）为奇函数 B．f（x）在[0，π）上单调递减 C．f（x）恰有2个极值点 D．f（x）有且仅有2个极大值点 【分析】根据奇函数的定义，即可判断A；利用导数判断函数的正负，即可判断B；利用导数f′（x）＝0，转化为函数的交点个数问题，即可判断CD． 【解答】解：A．函数的定义域为[﹣2π，2π]，关于原点对称， 又f（﹣x）＝﹣xcos（﹣x）﹣sin（﹣x）+x＝﹣xcosx+sinx+x＝﹣f（x）， 所以函数f（x）为奇函数，故A正确； B．由f（x）＝xcosx﹣sinx﹣x，得f′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx﹣1＝﹣xsinx﹣1， 当x∈[0，π）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在[0，π）上单调递减，故B正确； C．显然f′（0）≠0，当x≠0时，令f′（x）＝0，则﹣xsinx﹣1＝0，所以， 分别作出y＝sinx和在[﹣2π，2π]的图象， 由图可知，这两个函数的图象在区间[﹣2π，2π]上共有4个公共点，且图象在这些公共点处都不相切， 故f（x）在区间[﹣2π，2π]上的极值点的个数为4，有2个极大值点，故C错误，D正确． 故选：ABD． 3.求函数在区间的单调性. 【解析】 ① 当时，，单调递增； ② 当时，设 则，在内单调递减， 又， 在内存在唯一的，使得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上所述，在内先增后减. 4.已知函数．当时，求的单调区间； 【解析】当时，若，则， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间． 5．已知函数f（x）＝xsinx+cosx，x∈（0，2π）．求函数f（x）的单调区间和极值． 【解答】解：∵f（x）＝xsinx+cosx，0＜x＜2π， ∴f′（x）＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx， 令f′（x）＝0，则 或， ∴当或时，f′（x）＞0； 当时，f′（x）＜0． ∴f（x）在上递增，在上递减，在上递增， ∴当时，f（x）取得极大值， 当时，f（x）取得极小值． 故函数f（x）的单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值为，极小值为． 6.已知函数f（x）＝（a﹣1）x+ex（a∈R）．设函数g（x）＝f（x）﹣sinx，若函数y＝g（x）在[0，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围． 【解答】解：因为函数y＝g（x）在[0，+∞）上为增函数， 所以，g′（x）＝a﹣1+ex﹣cosx≥0在[0，+∞）上恒成立． 即1﹣a≤ex﹣cosx在[0，+∞）上恒成立． 令h（x）＝ex﹣cosx，当x∈[0，+∞）时，h′（x）＝ex+sinx＞0， 所以，h（x）＝ex﹣cosx在[0，+∞）上单调递增，h（x）min＝h（0）＝0． 所以，1﹣a≤0，解得a≥1， 所以，实数a的取值范围为[1，+∞）． 7.已知函数f（x）＝sin2xsin2x．讨论f（x）在区间（0，π）的单调性； 【解答】解：f（x）＝sin2xsin2x＝2sin3xcosx， ∴f′（x）＝2sin2x（3cos2x﹣sin2x）＝2sin2x（3﹣4sin2x） ＝2sin2x[3﹣2（1﹣cos2x）]＝2sin2x（1+2cos2x）， 令f′（x）＝0，解得，x＝，或x＝， 当x∈（0，）或（，π）时，f′（x）＞0，当x∈（，）时，f′（x）＜0， ∴f（x）在（0，），（，π）上单调递增，在（，）上单调递减． 8.已知，若，讨论的单调性； 【解析】 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 9.已知函数．当时，讨论的单调性； 【解析】 因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. 10.已知函数．讨论函数在区间上的单调性； 【解析】由题意，， 令，，解得或或，当时，；当时，， ∴在区间和上单调递增，在和上单调递减； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$