陕西省西安市高新第一中学2024-2025学年高三上学期第二次模拟考试数学试题

西安高新一中高2025届高三第二次模拟考数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合，，且，则集合（ ） A. B. C. D. 2.已知i是虚数单位，复数，且，则的最小值（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知向量，，若，则（ ） A. B.1 C. D.2 4.已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 5.当时，曲线与交点的个数为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 6.，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是（ ） ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，，则. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8.已知的定义域为R，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9，李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本标准差为6；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则下列说法中正确的是（ ） （参考数值：随机变量服从正态分布，则，，.） A. B. C. D. 10.已知曲线C上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（ ） A.曲线的轨迹方程为 B.若，M为曲线上的动点，则的最小值为5 C.过点，恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 D.圆与曲线交于A，B两点，与交于E、G两点，则A，B，E，G四点围成的四边形的周长为12 11.已知正方体的体积为8，线段，的中点分别为E，F，动点G在下底面内（含边界），动点H在直线上，且，则（ ） A.三棱锥的体积为定值 B.动点的轨迹长度为 C.不存在点，使得平面DEF D.四面体体积的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知等比数列为递增数列，且，，则__________. 13.小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一周二都去健身的概率为__________. 14.在四面体中，，，，若四面体的体积效大时，则四面体的外接球的表面积为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，且AD为BC边上的中线，AE为的角平分线. （I）求及线段BC的长； （II）求的面积. 16.（15分）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.“保护环境，人人有贵”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份x 2019 2020 2021 2022 2023 新能源汽车购买数量>（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 （I）计算y与x的相关系数r（保留三位小数）； （II）求y关于x的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量. 参考公式，，. 参考数值：，. 17（15分）.已知函数，，直线为曲线与的一条公切线. （I）求m，n； （II）若直线与曲线，直线，曲线分别交于，，三点，其中，且，，成等差数列，证明：满足条件的有且只有一个. 18.（17分）双曲线的左右顶点分别为，，动直线垂直的实轴，且交于不同的两点M，N，直线与直线的交点为. （I）求点P的轨迹C的方程； （II）过点作的两条互相垂直的弦DE，FG，证明：过两弦DE，FG中点的直线恒过定点. 19.（17分）已知数集.若的两个非空子集和满足：，，则称集合和是的一个“分拆”. 已知和是的一个分拆，表示数集中所有元素的和. （I）若，，求；（用数值表示） （II）证明：； （III）若n为给定的偶数，关于的方程有整数根，求的最小值，并写出取到最小值时的所有的集合A. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$高三数学试题解析 一、选择题 C 。 , C C AD A ABD ACD 二、填空题 13.{ 12. 2 14. 16π 3 三、解答题 15.(1)由题意在AABC中,sin2C=sinB,'. 2sinCcosC=sinB, 由余弦定理得cosc-2+9-36_1 6a (2)在△ABcC中, cosc-→o..ce(o2).sinc-1 .$-C4.c8 sinc-1x3x6×1 :AE平分 BAC,sin BAE=sin CAE, BE AC 其中sin乙AEB-sin乙AEC. .4-_-2,则Ec-4B:A-A. AC"CE :AD为BC边的中线,. SA-, .$---- 8 0.40+0.70+1.10+1.50+1.80 2-1.10. 5 2(x-)-(-2)+(-1)-o0+1P2-10. (-)-(-0.7)+(-0.4)+o+0.4f+0.7*-1.3, 2(x-)(-) ##2(_2(0-) (x-×)(u-) (2)由(1)知6-台 #(-) 所以y关于x的线性回归方程是=0.36x-726.46,当x=2025时,=0.36x2025-726.46-2.54(万 辆). 该地区2025年新能源汽车购买数量约为2.54万辆 17. (1)设y=x+m与y-f(x)相切于点(./(),而/(x)=”. 则/ ()= '=1,即:-0,f()-e*-1,则切点为(0.1),m=1,即l:y+$; p=-1,n-2,所以m=1,n-2. (2) 依题意,=×+l=ln(x+2)=5,则x=lns,=s-1,=e -2 由x,,×成等差数列,得2x。=×+,即2s-2=lns+e'-2,lns+e'-2$=0. 令h(s)-ln$+e'-2s(0<$c),求导得r(o)-+e'-2, 解法一:令h(s)-lns+e'-2s(o<s<1),求导得f(s)-+e'-2,此时>1.e'>1 f(s)-+e'-2>0,函数h(s)在(0.1)上单调递增,h(e)-3+e"-2^”co, h()-2>0.因 此(x)在(e*,1)上存在唯一零点。 当sE(0,s。)时,(s)<0;当se(so.1)时,(s)>0,(s)在(0,s。)上递减,在(so1)上递增, (s)0,函数$(s)在(0.l)上单调递增,h})=-3+*-2e<0,(l)=e-2>0,因此(x)在(*1 上存在唯一零点 所以满足条件的:有且只有一个. 18.(1)因为4(-20).(20)设P(ti). M(xox),.则N(n-)%).且--1①,--一-' 因为动直线/交双曲线于不同的两点M,N,所以x。*t2且xz土2. ②x③得-(x-4). 把①代入上式得→-(-4).化简得2-1,--~' (2)依题意得直线DE与直线FG斜率均存在且不为0 则△=36m+36(3m}+4)-144(m+1)>0,设D(×,),E(×,). 所以DE的中点R) -3m3mt 4(n-1)' /3 所以直线&5的方程为,理得(-)--/” 所以直线&s恒过定点(5-0). 19.【解析】(1)依题设,B-{xx-2”,k-0,1,2,3,4.5,可得 3 (2)依题设,2e4且2”B,或2”eB且2A. 若2A且2”B,则S(4)>2”,且S(B)<2*+2'+..+2-.因为 2*+2+..+2”=2-1<2”,所以$S(B)<S(A),可得S(A)*$(B). 若2 B且2”A,则S(B)>2”,且S(A)<2^*}+2+...+2”-.因为 2*+2+.+2=2-1<2”,所以S(A)<S(B),可得S(A)*$(B). 综上,S(A)S(B). -7分 (3)设方程x2-S(4)x+S(B)-0的两根为x,x,则 +=S(A),xx=S(B),且△-S(A)-4S(B)0. 因为S(A)>0.S(B)>0,所以x,x.是两个正根.依题设,该方程有整数根,而S(4)是正整数 所以方程的两根×,×,均为正整数 -9分 因为$(4)+S(B)=S()-2^*-1,所以x+x+xx=2”-1,即得 (x+1(x+1)-2”. 不妨设x<,由于x,x均为正整数,所以x+1=2^*,x+1-2**,其中k为正整数,且满 ---13分 令ay -2+2-2,k-1,2.,构造数列([^a. 因为a-,=(2**+2-2)-(2}-→+2-2)=-2^-(2--1)<0,所以数列{]单调递 减,可知fa.)的最小项为g:-3-2-2,可见S(4)的最小值为3-25-2· _-15分 令n-2m,meN”,则3-2--2-3-2”"-2-2”+2--2-2”+2(2"-1) -2-+2(1+2+..+2”) -2+2-22-2+2.-. 可知3-2-2可以写成一个二进制数,并且这个二进制数是被x唯一确定的数,可见 S(4)-3-2{-2对应的集合A也被n唯一确定. 所以,当5(4-3-2一2时,集合4A为2.2-“. --)17分