复习10 导数的计算与几何意义专题讲义-2025届高三数学一轮复习（适用新高考）

复习10 导数的计算与几何意义 【知识梳理】 一. 导数计算 1. 基本初等函数的导数公式: ① 若 ,则 ② 若 ,则 ③ 若 ,则 ④ 若 ,则 ⑤ 若 ,则 ⑥ 若 ,则 ⑦ 若 ,则 ⑧ 若 ,则 2. 和差积商法则: ① ② ③ ④ 3. 复合函数的求导法则: 二. 导数定义与几何意义 1. 函数 在 处的瞬时变化率 (导数): . 2. 导数的几何意义: 函数 在 处的导数 就是曲线 上的点 , 处切线的斜率 ,即 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 三. 切线问题 1. 在某点的切线方程: 函数 在点 处的切线方程为: 2. 过某点的切线方程: 求 过点 的切线方程的思路： 设切点为 ,则斜率 过切点的切线方程为 ： ,又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值带入切线方程即可. ( 有几个值就有几条切线) 3. 公切线问题 若直线 是曲线 的切线,也是曲线 的切线,求公切线思路: 设直线 与 和 的切点分别为 和 , 写切线: , 化斜截: 斜率相等,截距相等: 两个方程解两个未知数,解出 带入所写切线即可. 4. 切线求参 ①已知切线的斜率 ,则由 ,可求出切点坐标. ② 若 在点 处的切线过点 ,则 . ③直线与二次函数或二次曲线相切时，用判别式法。 【典例精炼】 题型 1:导数的定义 1. 设函数 在 处可导,且 ,则 A. B. C. 1 D. -1 2. 设函数 在 处可导,则 等于 A. B. C. D. 3. 设函数 在 处可导,若 ,则 A. 1 B. -1 C. D. 4. 已知函数 ,则 ___。 题型 2: 导数计算 5. (多选)下列求导数运算正确的是 ( ) A. B. C. D. 6. 且是的导函数,则 A. B. C. D. 7. 已知 ,则 A. B. C. D. 8. (2024-天津模拟) 已知函数 ,那么 的值为 A. B. C. D. 9. 对于 这类函数的求导、可以使用下面的方式进行: 第一步: ; 第二步: ; 第三步: ; 第四步: 则函数 的导数 ___. 10. (2020・新课标III) 设函数 ,若 ,则 ___. 11. 设函数 的导函数为 ,若 则 ___。 12. 若函数 ，求 的值？ 题型 3: 在点处的切线问题 13. 求函数 在点 处的切线方程？ 14. 求函数 在 处的切线方程？ 15. 求函数 在 处的切线方程？ 16. (2024-甲卷) 设函数 ,则曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( ) A. B. C. D. 17. 设 ,曲线 在点 处的切线经过 ,则 A. 0 B. 1 C. D. 18. 曲线 在点 处的切线方程为___. 19. 曲线 在 处的切线与曲线 相切,则 ___. 20. (2021-新高考 II) 已知函数 ,函数 的图象在点 和点 的两条切线互相垂直,且分别交 轴于 两点,求 的取值范围？(难题) 题型 4: 过点处的切线问题 21. 已知函数 ,过原点作曲线 的切线,求切线方程？ 22. 过坐标原点作函数 的切线,求该切线方程？ 23. (2021・乙卷) 已知函数 . 求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标？ 24. 已知直线 与曲线 相切,则 的值为 A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 25. (2024·四川模拟) 若直线 与曲线 相切,则 A. B. C. D. 26. (2021-新高考 I) 若过点 可以作曲线 的两条切线,则 A. B. C. D. 27. 若过点 可以作曲线 的两条切线,则 A. B. C. D. 28. 过点 作曲线 的切线,请写出切线的方程___. 29. (2024-新高考 I ) 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线,则 ___. 30. (2022•新高考 I ) 若曲线 有两条过坐标原点的切线,则 的取值范围是___. 题型 5: 公切线 31. 若存在过点 的直线与曲线 和 都相切,则 等于 A. -1 或 B. -1 或 C. 或 D. 或 7 32. 已知函数 . 若经过点 存在一条直线 与曲线 和 都相切,则 A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 33. 若直线 与函数 和 都相切,则其斜率 A. 2 或 B. 1 或 C. 0 或 1 D. 34. 若斜率为 1 的直线 与曲线 和圆 都相切,则实数 的值为 ( ) A. -1 B. 0 C. 2 D. 0 或 2 35. 若直线是曲线和曲线的切线,则 ___. 36. 已知函数 . 若曲线 与曲线 相交,且在交点处有相同的切线,求 的值和该切线方程？ 题型 6: 切线求距离 37. 设点 在曲线 上,点在曲线 上,则 最小值为 A. B. C . D. 38. 已知 是曲线 上一点,则 的最小值为 A. 1 B. C. D. 39. 已知点 是曲线 上任意的一点,则点 到直线 的距离的最小值是 A. B. C. D. 40. 在平面直角坐标系 中, 是曲线 上的一个动点,则点 到直线 的距离的最小值是___. 复习10 导数的计算与几何意义参考答案 题型 1:导数的定义 1. 设函数 在 处可导,且 ,则 A. B. C. 1 D. -1 答案：B 解析：解: ,则 ,解得 .故选: . 2. 设函数 在 处可导,则 等于 A. B. C. D. 答案：B 解析： 函数 在 处可导, .故选: . 3. 设函数 在 处可导,若 ,则 A. 1 B. -1 C. D. 答案：C 解析： , ,故选: . 4. 已知函数 ,则 ___。 答案： 解析： ,则 , 故答案为: 题型 2: 导数计算 5. (多选)下列求导数运算正确的是 ( ) A. B. C. D. 答案： . 解析： ,故选: . 6. 且是的导函数,则 A. B. C. D. 答案：A 解析： ,又 , ,即 , , 则 故选: 7. 已知 ,则 A. B. C. D. 答案：A 解析： , , 故选: . 9. (2024-天津模拟) 已知函数 ,那么 的值为 A. B. C. D. 答案：D 解析：因为 ,所以 , 则 ,所以 .故选: D . 9. 对于 这类函数的求导、可以使用下面的方式进行: 第一步: ; 第二步: ; 第三步: ; 第四步: 则函数 的导数 ___. 答案： . 解析：因为 ,故可得 ,所以 , 即 ,所以 .故答案为: . 10. (2020・新课标III) 设函数 ,若 ,则 ___. 答案：1 . 解析： , , ,则 , 故答案为: 1 . 11. 设函数 的导函数为 ,若 则 ___。 答案： . 解析：根据题意, ,则其导数 , 令 可得: ,变形可得 .故答案为: . 12. 若函数 ，求 的值？ 答案：2023!. 解析：设 ,则 , 故答案为: 2023!. 题型 3: 在点处的切线问题 14. 求函数 在点 处的切线方程？ 答案：切线方程为 . 解析： ,所以 ,又 ,所以 在 处的切线方程为 ,即 ,所以 . 15. 求函数 在 处的切线方程？ 答案：切线方程为 , 解析：根据题意, ,则 ,即切点的坐标为 ; 又由 ,则有 ,即切线的斜率 , 则切线的方程为 ,即 , 15. 求函数 在 处的切线方程？ 答案：切线方程是 . 解析：由 ,得 ,由点斜式可得, 曲线 在 处的切线方程是 . 16. (2024-甲卷) 设函数 ,则曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析： ,则 ,故 , 所以曲线 在点 处的切线为 , 令 ,解得 ,令 ,解得 , 故所求三角形的面积为 .故选: . 17. 设 ,曲线 在点 处的切线经过 ,则 B. 0 B. 1 C. D. 答案：C 解析：由已知得 ①, ,故切线斜率 , 故切线方程为 ,将 代入得 ②, 联立① ② 解得 , 故 . 故选: . 18. 曲线 在点 处的切线方程为___. 答案： 解析：,所以切线方程的斜率为5，由点斜式得. 19. 曲线 在 处的切线与曲线 相切,则 ___. 答案：3 解析：对于曲线 +1,2,切线方程为2x－y+2=0, 曲线 ，当2x＝2时，切点为(1,1+m),所以m=3. 20. (2021-新高考 II) 已知函数 ,函数 的图象在点 和点 的两条切线互相垂直,且分别交 轴于 两点,求 的取值范围？(难题) 答案： . 解析：当 时, ,导数为 ,可得在点 处的斜率为 ,切线 的方程为 , 令 ,可得 ,即 , 当 时, ,导数为 ,可得在点 处的斜率为 ,令 ,可得 ,即 , 由 的图象在 处的切线相互垂直,可得 , 即为 , 所以 .故答案为: . 题型 4: 过点处的切线问题 21. 已知函数 ,过原点作曲线 的切线,求切线方程？ 答案：切线方程为 . 解析：由题意,设切点为 ,由题意可得 ,即 , 解得 ,即切点 . 所以 ,所以切线方程为 . 22. 过坐标原点作函数 的切线,求该切线方程？ 答案：切线方程为 . 解析：设切点为 ,， ,解 ,所以切点为 ,切线的斜率为 , 故切线方程为 . 23. (2021・乙卷) 已知函数 . 求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标？ 答案：切线方程为 ,公共点的坐标为 和 . 解析：曲线过坐标原点的切线为 ,切点为 ,则切线方程为 ,将原点代入切线方程有, , 解得 切线方程为 ,令 , 即 ,解得 或 , 曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标为 和 . 24. 已知直线 与曲线 相切,则 的值为 A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 答案：B 解析：设切点为 ) ,由 , 切点为 , =-1,所以＝2，故选: B . 25. (2024·四川模拟) 若直线 与曲线 相切,则 A. B. C. D. 答案：C 解析：设切点为 ,由 ,得 , 故选: . 26. (2021-新高考 I) 若过点 可以作曲线 的两条切线,则 B. B. C. D. 答案：D 解析：法一: 函数 是增函数, 恒成立,函数的图象如图, ,即切点坐标在 轴上方,如果 在 轴下方,连线的斜率小于 0,不成立. 点 在 轴或下方时,只有一条切线. 如果 在曲线上,只有一条切线; 在曲线上侧,没有切线;由图象可知 在图象的下方,并且在 轴上方时,有两条切线,可知 .故选: . 法二: 设过点 的切线横坐标为 ,则切线方程为 , 可得 ,设 ,可得 是增函数, 是减函数, 当且仅当 时,上述关于 的方程有两个实数解,对应两条切线. 故选: . 27. 若过点 可以作曲线 的两条切线,则 A. B. C. D. 答案：D 解析：设切点坐标为 ,由于 ,因此切线方程为 ,又切线过点 ,则 , 设 ,函数定义域是 ,则直线 与曲线 有两个不同的交点, 当 时, 恒成立, 在定义域内单调递增,不合题意; 当 时, 时. 单调递减, 时, 单调递增,所以 (a) , 由题意知 ,即 .故选: . 28. 过点 作曲线 的切线,请写出切线的方程___. 答案：切线方程为 或 . 解析：设切点为 ,则 , 切线斜率 ,故切线方程为 , 切线过点 ,则 ,解得 或 , 故切线方程为 或 .故答案为: 或 . 29. (2024-新高考 I ) 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线,则 ___. 答案： . 解析： 曲线 ,可得 ,在点 处切线的斜率为: , 切线方程为: ,即 . 曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线, 设 的切点的横坐标为 ,可得切线的斜率为: , 可得 , 代入 ,可得切点坐标为: ,切点在曲线 上,所以 ,解得 .故答案为: . 30. (2022•新高考 I ) 若曲线 有两条过坐标原点的切线,则 的取值范围是___. 答案： . 解析： ,设切点坐标为 , 切线的斜率 切线方程为 , 又 切线过原点, ,整理得: , 切线存在两条, 方程有两个不等实根, ,解得 或 ,即 的取值范围是 ,故答案为: . 题型 5: 公切线 31. 若存在过点 的直线与曲线 和 都相切,则 等于 A. -1 或 B. -1 或 C. 或 D. 或 7 答案：A 解析：设直线与曲线 的切点坐标为 ,则函数的导数为 , 则切线斜率 ,则切线方程为 , 切线过点 ,即 ,解得 或 , ① 若 ,此时切线的方程为 ,此时直线与 相切,即 ,则 ,解得 . ② 若 ,其切线方程为 ,代入 得 ,消去 可得 ,又由 , 即 ,解可得 .综上所述故 或 . 故选: . 32. 已知函数 . 若经过点 存在一条直线 与曲线 和 都相切,则 A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 答案：B 解析： , 曲线 在 处的切线方程为 ,由 , 得 ,由 ,解得 . 故选: . 33. 若直线 与函数 和 都相切,则其斜率 A. 2 或 B. 1 或 C. 0 或 1 D. 答案：B 解析： , 设直线 与 的切点 ,与 的切点 ,则由题意可得,过 的切线方程 ,过 的切线方程 , 故 即 ,又 ,联立可得, 或 ,故 或 . 故选: . 34. 若斜率为 1 的直线 与曲线 和圆 都相切,则实数 的值为 ( ) A. -1 B. 0 C. 2 D. 0 或 2 答案：D 解析： 设 与曲线 的切点为 ,由 , 则 ,则 ,即切点为 , 所以直线 为 ,又直线 与圆 都相切,则有 ,解得 或 .故选: . 35. 若直线是曲线和曲线的切线,则 ___. 答案： 解析：设 与 和 的切点分别为 ;由导数的几何意义可得 ,得 ,再由切点也在各自的曲线上,可得 , 解得 .代入 ,解得 36. 已知函数 . 若曲线 与曲线 相交,且在交点处有相同的切线,求 的值和该切线方程？ 答案： , 切线的方程为 . 解析： 函数 , 由已知曲线 与曲线 在交点处有相同的切线,故有 且 ,解得 , 两条曲线交点的坐标为 切线的斜率为 切线的方程为 . 题型 6: 切线求距离 37. 设点 在曲线 上,点在曲线 上,则 最小值为 A. B. C . D. 答案：B 解析： 函数 与函数 互为反函数,图象关于 对称, 函数 上的点 到直线 的距离为 ,设 ,则 ,由 可得 , 由 可得 , 函数 在 单调递减, 在 单调递增, 当 时,函数 , 由图象关于 对称得: 最小值为 . 故选: . 38. 已知 是曲线 上一点,则 的最小值为 A. 1 B. C. D. 答案：C 解析：设 ,则 , 令 , 在 上单调递增, , 函数 在 上单调递减,在 上单调递增, 因此 时,函数 取得极小值即最小值, 的最小值为 . 故选: C . 39. 已知点 是曲线 上任意的一点,则点 到直线 的距离的最小值是 A. B. C. D. 答案：D 解析： 设 ,则 ,令 ,解得 或 , ,即平行于直线 且与曲线 相切的切点坐标为 ,由点到直线的距离公式可得点 到直线 的距离的最小值 ,故选: . 40. 在平面直角坐标系 中, 是曲线 上的一个动点,则点 到直线 的距离的最小值是___. 答案： 4 . 解析：由 ,得 ,设斜率为 -1 的直线与曲线 切于 ,由 ,解得 曲线 上,点 到直线 的距离最小, 最小值为 . 故答案为: 4 . $$