3.1.2 函数的表示法（第1课时）（教学课件） -2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

人教A版2019高一数学（必修一）第三章 函数的概念与性质 3.1.2函数的表示法（第1课时） 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点) 学习目标 Q1：由我们初中已经接触过了函数常见的三种表示方法，你还记得是哪三种方法吗？请结合教材P60--61的问题1,2,3,4来说明？ （1）解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 例如：问题1中的S=350t, t∈{t|0≤t≤0.5} 问题2中的w=350d, d∈{1,2,3,4,5} （2）图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 例如：问题3中的图象 情景导入 (３)列表法:用列出的表格来表示两个变量之间的对应关系. 例如：问题４中的表格 这三种方法是常用的函数表示法． 情景导入 【例4】 笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25 课本例题 【例4】 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？ 课本例题 列表法 图象法 解析法 定义 用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法 用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法 一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法 优 点 不必通过计算就能直接看出与自变量的值相对应的函数值 可以直观形象地表示随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于研究函数的性质 简明全面的概括了变量之间的对应关系；通过解析式可以求出任意一个自变量的值所对应的函数值 缺 点 只能表示有限个元素的函数关系 有些函数的图象难以精确作出 一些实际问题难以找到它的解析式 【思考】比较函数的三种表示法，它们各有什么优点和缺点? 【思考】所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图像法呢？请你举出实例加以说明. 并不是所有函数都能用解析法表示. （1）如某地一年中每天的最高气温是日期的函数，该函数就不能用解析法表示； （2）同样，并不是所有的函数都能用图像法表示，如函数 不能用图像法表示； （3）列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无限个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段. 课本例题 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注： 分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； 在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； 分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集. 新知探究 课本例题 课本例题 1．如图，把直截面半径为25 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为 x（单位：cm），面积为 y（单位：cm2），把 y 表示成 x 的函数． 25 cm A B C D 课本练习 2. 画出函数 的图象. 方法一：由绝对值的概念，可知 所以函数 的图像如图所示 . 方法二：（翻折法）先画出 的图像，然后再把图像中位于 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上面，其他不变. 方法三： 也可以由 y=|x| 的图象向右平移两个单位长度得到. 课本练习 1 2 3 4 1 2 O y=|x-2| x y 课本练习 1 1 O f(x) x y g(x) 课本练习 1 1 O m(x) x y 课本练习 分段函数的解析式问题 【典例】 已知函数f(x)=x2+1,g(x)=2x+4.若定义函数h(x): 当f(x)≥g(x)时,h(x)=f(x)-2g(x);当f(x)<g(x)时,h(x)=2f(x)-g(x). (1)写出h(x)的解析式; (2)求h(h(g(-2)))的值. 审题策略:(1)由给出的h(x)的定义,通过解不等式得出自变量的两个不同取值区间,按照分段函数的形式写出解析式; (2)由内向外逐步求值. 错因分析 规范展示:(1)当f(x)≥g(x),即x2+1≥2x+4时,解得x≤-1或x≥3, 此时h(x)=f(x)-2g(x)=x2+1-2(2x+4)=x2-4x-7; 当f(x)<g(x),即x2+1<2x+4时,解得-1<x<3, 此时h(x)=2f(x)-g(x)=2(x2+1)-(2x+4)=2x2-2x-2. (2)因为g(-2)=2×(-2)+4=0, 所以h(h(g(-2)))=h(h(0)), 而h(0)=2×02-2×0-2=-2, 所以h(h(g(-2)))=h(-2)=(-2)2-4×(-2)-7=5. 答题模板:第1步:由f(x)≥g(x)求得x的取值范围,并写出此时h(x)的解析式. ⇓ 第2步:由f(x)<g(x)求得x的取值范围,并写出此时h(x)的解析式. ⇓ 第3步:根据分段函数的形式写出h(x)的解析式. ⇓ 第4步:先求g(-2)的值,再求h(g(-2))的值,最后求得h(h(g(-2)))的值. 失误展示 造成失分的原因主要如下: (1)解错不等式,导致分段函数的分段范围错误; (2)计算化简错误,导致h(x)的解析式错误; (3)h(x)的结果不符合分段函数的要求; (4)计算出错,导致结果错误. 【变式训练】 我国是水资源相对匮乏的国家,为鼓励节约用水,某市打算出台一项水费政策措施,规定每季度每人用水量不超过5吨时,每吨水费收基本价1.3元,当超过5吨而不超过6吨时,超过部分的水费加收200%,当超过6吨而不超过7吨时,超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨,试计算,本季度他应缴多少水费? 解:用y表示本季度应缴水费(单位:元). 当0<x≤5时,y1=1.3x. 当5<x≤6时,应把x分成两部分:5与(x-5)分别计算,第一部分收基本水费1.3×5(元), 第二部分由基本水费与加价水费组成,即1.3(x-5)+1.3(x-5)×200%=1.3(x-5)(1+200%), 则y2=1.3×5+1.3(x-5)(1+200%)=3.9x-13. 当6<x≤7时, 同理y3=1.3×5+1.3×(6-5)×(1+200%)+1.3(x-6)(1+400%)=6.5x-28.6. 典例剖析 总结归纳 总结归纳 注意定义域的端点是否取到，图象有实心点、空心点之分． 总结归纳 画含限制条件的函数图象的步骤 (1)画出初始函数的图象． (2)根据已知的限制条件判断在每个范围内的图象是否符合题意． (3)不在区域内的图象或不满足限制条件的图象改为虚线或不画． 总结归纳 总结归纳 总结归纳 函数的表示法 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 求解析式的方法： （1）待定系数法：函数类型已知时设出函数的一般式，然后利用条件求待定系数 （2）换元法：将含变量的代数式用新变量表示，进而求得解析式 （3）方程组法:根据已知条件构造方程组，进而求出函数解析式 (1)用换元法求函数的解析式时，要注意换元后自变量的取值范围 (2)用待定系数法求解析式是针对已知函数类型的问题 数学抽象：通过具体实例学习过程渗进归纳推理，培养数学抽象的核心素养 解析法 列表法 图象法 课堂小结 故h(x)= 综上,y= 基础类型一　函数的表示法(数学建模) 【典例】某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5})之间的函数关系． 【解析】(1)该函数关系用列表法表示为： x/道 0 1 2 3 4 5 y/分 50 40 30 20 10 0 (2)该函数关系用图象法表示，如图所示． (3)该函数关系用解析法表示为y＝50－10x(x∈{0，1，2，3，4，5}). 关于函数的三种表示方法 三种表示方法用不同方式表示出了函数自变量、函数值的对应关系，各有优缺点，在解题的过程中，可以选取最适合的方法表示函数． 微提醒：并不是说函数一定能用解析法、图象法表示． 如狄利克雷函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x为有理数，,0，x为无理数．)) 基础类型二　作函数的图象(直观想象) 【典例】作出下列函数的图象，并指出其值域： (1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)； (2)y＝ eq \f(2,x) (－2≤x≤1，且x≠0). 【解析】(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图1所示．由图可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)) . (2)用描点法可以作出函数的图象如图2所示． 由图可知y＝ eq \f(2,x) (－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞). 综合类型　函数图象的应用(直观想象) 【典例】给定函数f(x)＝－x＋2，g(x)＝x2，x∈R， ∀x∈R，记M(x)＝max eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(f（x），g（x）)) ，请分别用图象法和解析法表示函数M(x). 【解析】(1)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象，如图： (2)由题意，可得函数M(x)的图象，如图． 由x2＝－x＋2得x2＋x－2＝0解得x＝－2或x＝1. 结合图象可得函数M(x)的解析式为 M(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x≤－2，,－x＋2，－2<x<1，,x2，x≥1.)) 创新拓展　待定系数法求解析式(数学运算) 【典例】一辆中型客车的营运总利润y(单位：万元)与营运年数x(x∈N)的变化关系如表所示， x(年) 4 6 8 … y是x的二次函数 7 11 7 … 则营运总利润y＝________． 【解析】由表格数据可知，当f(4)＝f(8)＝7，f(6)＞f(8)，则二次函数开口向下，且对称轴为x＝6， 则根据二次函数的性质可知，当x＝6时，营运总利润y最大为11； 设y＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－6)) 2＋11，则a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－6)) 2＋11＝7，解得a＝－1. 所以y＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－6)) 2＋11＝－x2＋12x－25. 答案：－x2＋12x－25 常见的函数的解析式 (1)一次函数：y＝kx＋b，k≠0； (2)正比例函数：y＝kx，k≠0； (3)反比例函数：y＝ eq \f(k,x) ，k≠0； (4)一元二次函数： ①一般式：y＝ax2＋bx＋c；②顶点式：y＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－h)) 2＋k； ③两点式：y＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－x1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－x2)) .其中a≠0，顶点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h，k)) ，根x1，x2. 创新方法　代入法求解析式(数学运算) 【典例】(2021·信阳高一检测)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1)) ＝x＋3，则f(x)的解析式可取(　　) A．f(x)＝ eq \f(3x－1,x－1) (x≠1) B．f(x)＝ eq \f(3x＋1,x－1) (x≠1) C．f(x)＝ eq \f(2x,1＋x2) (x≠1) D．f(x)＝－ eq \f(x,1＋x2) (x≠1) 【解析】选A.令t＝ eq \f(2,x) ＋1，(t≠1)，则x＝ eq \f(2,t－1) ，因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1)) ＝x＋3，所以f(t)＝ eq \f(2,t－1) ＋3＝ eq \f(3t－1,t－1) ，(t≠1).所以f(x)＝ eq \f(3x－1,x－1) ，(x≠1). 关于代入法求解析式 (1)方便解出x的直接换元，用换元表示出x后代入即可； (2)不方便解出x的应整体变形、构造，再通过换元求解析式． 创新思维　解方程组法求解析式(数学抽象) 【典例】已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是________． 【解析】因为f(x)＋3f(－x)＝2x＋1…①， 用－x代替x得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1…②； ②×3－①得：8f(x)＝(－6x＋3)－(2x＋1)＝－8x＋2， 所以f(x)＝－x＋ eq \f(1,4) . 答案：f(x)＝－x＋ eq \f(1,4) 利用已知的方程特点，利用相反数等关系，再构造一个含有f(x)的方程． $$