精品解析：湖南省岳阳市湘阴县长仑区2024-2025学年上学期第一次学业水平监测九年级数学试卷

湘阴县长仑区2024下学期第一次学业水平监测 九年级数学试卷 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列不是关于的反比例函数的是( ) A. B. C. D. 2. 已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是(　 　) A. m≥5 B. m>5 C. m≤5 D. m<5 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（        ） A. 1，0 B. ﹣1，0 C. 1，﹣1 D. 无法确定 7. 若关于的方程有两个相等的实根，则的值是（ ） A. －4 B. 4 C. 4或－4 D. 2 8. 以3和为两根的一元二次方程是 （ ）； A. B. C. D. 9. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 11. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象分布在一、三象限 B. 它的图象与坐标轴没有交点 C. 它的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 当时，的值随的增大而增大 12. 已知点，，都在反比例函数（）的图像上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13. 关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的一个根为1，则方程的另一根为_____． 14. 已知的值为11，则代数式的值为________． 15. 如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程__________________________． 16. 已知一个函数的图象与的图象关于y轴成轴对称，则该函数的解析式为___． 17. 如图（图象在第二象限），若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为5，则__． 18. 如图，在反比例函数（）的图像上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则__________________． 三、解答题（共66分） 19. 计算 （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中． 20. 已知关于x的方程4x2﹣（k+2）x+k﹣1=0有两个相等的实根， （1）求k的值； （2）求此时方程的根． 21. 已知关于x的方程． （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设方程的两实数根分别为，当时，求m的值． 22. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x>0)的图象交于A(m，6)，B(3，n)两点． (1) 求一次函数的表达式； (2) 根据图象写出kx＋b－<0的x的取值范围． 24. 如图，在中，∠，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．运动多少时间时，能使的面积为？ 25. 某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 26. 如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=ax﹢b的图象交于C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点．且一次函数图象交y轴于点A． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△COE的面积； （3）点M在x轴上移动，是否存在点M使△OCM为等腰三角形？若存在，请你直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘阴县长仑区2024下学期第一次学业水平监测 九年级数学试卷 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列不是关于的反比例函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的三种常见形式为：(为常数，)、(为常数，)、(为常数，)．关键是将各选项的式子与反比例函数的形式进行对比，判断是否符合，同时注意区分正比例函数与反比例函数的形式差异． 【小问1详解】 解：根据反比例函数的定义，一般地，形如(为常数，)的函数叫做反比例函数，其等价形式为()或()． 选项A：可变形为，符合()的形式，是反比例函数； 选项B：符合正比例函数()的形式，不是反比例函数； 选项C：两边除以()得，符合反比例函数的形式，是反比例函数； 选项D：可变形为，符合()的形式，是反比例函数； 故选：B． 2. 已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是(　 　) A. m≥5 B. m>5 C. m≤5 D. m<5 【答案】D 【解析】 【分析】根据:当k＞0时，双曲线在第一、三象限；k＜0时，双曲线在第二、四象限.可得m-5<0. 【详解】因为，反比例函数y＝的图象在第二、四象限 所以，m-5<0 所以，m<5 故选D 【点睛】本题考核知识点：反比例函数的图象.解题关键点：熟记反比例函数的性质. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设比值为是解题关键． 设 ，用表示出 ，代入求值即可． 【详解】解：设 ， ， 故选：B ． 4. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程；一元二次方程的三要素：①整式方程；② 只含有一个未知数；③   未知数的最高次数是2；根据概念判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意； B、经整理后为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意； C、是一元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意； D、符合一元二次方程概念，是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 5. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选用适当的方法是解题的关键；方程不含一次项，故用直接开平方法或因式分解即可求解． 【详解】解：移项，得：， 开平方，得：， 即； 故选：C． 6. 若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（        ） A. 1，0 B. ﹣1，0 C. 1，﹣1 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， 把代入得：， 即方程的一个解是， 把代入得：， 即方程的一个解是； 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键． 7. 若关于的方程有两个相等的实根，则的值是（ ） A. －4 B. 4 C. 4或－4 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】∵关于x的方程2x2﹣ax+a﹣2=0有两个相等的实根， ∴△=0，即（﹣a）2﹣4×2×（a﹣2）=0，整理得a2﹣8a+16=0， ∴a1=a2=4， 故选B． 8. 以3和为两根的一元二次方程是 （ ）； A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，列式即可. 【详解】设这样的方程为x2+bx+c=0，则根据根与系数的关系可得b=-（3-1）=-2，c=3×（-1）=-3；所以方程是x2-2x-3=0．故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单，要求掌握根与系数的关系. 9. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】解：， ， ． 故选B． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 10. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 【答案】B 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：k＜5且k≠1． 故选：B． 11. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象分布在一、三象限 B. 它的图象与坐标轴没有交点 C. 它的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 当时，的值随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；根据的图象与性质判断即可． 【详解】解：函数的图象分布在一、三象限，图象与坐标轴无交点，它的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，在每个象限内，的值随的增大而减小； 故选项A、B、C正确，选项D错误； 故选：D． 12. 已知点，，都在反比例函数（）的图像上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意易得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，由此问题可求解． 【详解】解：由反比例函数（）可知该函数在第一、三象限，则有在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图像上， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13. 关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的一个根为1，则方程的另一根为_____． 【答案】 【解析】 【详解】把代入，得， 所以方程为， 解这个方程，得. 故答案为：. 14. 已知的值为11，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了求代数式的值．把变形为，利用整体代入计算即可． 【详解】解：∵的值为11， ∴ 故答案为： 15. 如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程__________________________． 【答案】 【解析】 【分析】设道路的宽为，将6块草地平移为一个长方形，长为，宽为．根据长方形面积公式即可列方程． 【详解】设道路的宽为， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键． 16. 已知一个函数的图象与的图象关于y轴成轴对称，则该函数的解析式为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的对称性即可求出该函数的解析式． 【详解】设所求函数的解析式为，点（）在图象上， ∵根据题意，（）关于y轴成轴对称的点（）在的图象上， ∴，即． ∴所求函数的解析式为． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键正确理解反比例函数的性质，本题属于基础题型． 17. 如图（图象在第二象限），若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为5，则__． 【答案】-10 【解析】 【分析】根据反比例函数（k≠0）的比例系数k的几何意义得到：，然后根据反比例函数在第二象限，得到满足条件的k的值． 【详解】解：∵， ∴， 且反比例函数在第二象限，k＜0， ∴k=-10， 故答案为：-10． 【点睛】本题考查了反比例函数（k≠0）的比例系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为，且函数在第一、三象限，k＞0，函数在第二、四象限，k＜0． 18. 如图，在反比例函数（）的图像上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，k的几何意义，正确进行图形分割是解题的关键． 【详解】解：由题意，可知点坐标分别为： ． 解法一： ∵， ， ， ∴． 解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 计算 （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1），； （2），； （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并会根据方程的特征选用合适方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法，即可求解； （2）先移项，然后利用因式分解法，即可求解； （3）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，解方程，求得a的值，再代入合适的值计算即可求出值． 【小问1详解】 解：， 开方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项，得：， ∴， 解得：，； 【小问3详解】 解： ， 解方程，得或， 当时，分式没有意义， 当时，原式． 20. 已知关于x的方程4x2﹣（k+2）x+k﹣1=0有两个相等的实根， （1）求k的值； （2）求此时方程的根． 【答案】（1）k1=2，k2=10；（2）当k=2时，x1=x2=；当k=10时，x1=x2=． 【解析】 【分析】（1）由于方程有两个相等的实根，由此可以得到其判别式等于0，由此可以列出关于k的方程，解此方程即可求出k的值； （2）利用（1）中的k值解一元二次方程即可求出方程的根． 【详解】解：（1）∵关于x的方程4x2﹣（k+2）x+k﹣1=0有两个相等的实根， ∴△=（k+2）2﹣4×4（k﹣1）=0， ∴k2﹣12k+20=0， ∴k1=2，k2=10； （2）当k=2时，原方程变为4x2﹣4x+1=0， ∴x1=x2=， 当k=10时，原方程变为4x2﹣12x+9=0， ∴x1=x2=． 21. 已知关于x的方程． （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设方程的两实数根分别为，当时，求m的值． 【答案】（1）当时，方程有两个不相等的实数根 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系， （1）根据判别式的意义得到，再解不等式即可； （2）先根据根与系数的关系计算的值，而，可把的值代入，进而可求出m的值． 【小问1详解】 解：根据题意可知： ， 解得， 当时，方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴解得：或， ∵， ∴． 22. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）不存在 【解析】 【分析】（1）由题意可得△≥0，即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围； （2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立．由根与系数的关系可得x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k，然后利用完全平方公式可以把x1·x2-x12-x22≥0转化为3x1·x2-（x1+x2）2≥0的形式，通过解不等式可以求得k的值． 【详解】（1）∵原方程有两个实数根， ∴△≥0 即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0， ∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0 ， ∴1﹣4k≥0， ∴k≤， ∴当k≤时，原方程有两个实数根； （2）假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立， ∵x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k， 由x1·x2-x12-x22≥0， 得3x1·x2-（x1+x2）2≥0 ∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0， 整理得：﹣（k﹣1）2≥0， ∴只有当k=1时，上式才能成立； 又∵由（1）知k≤， ∴不存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立. 23. 如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x>0)的图象交于A(m，6)，B(3，n)两点． (1) 求一次函数的表达式； (2) 根据图象写出kx＋b－<0的x的取值范围． 【答案】(1) 一次函数的解析式为y＝－2x＋8;(2) 0<x<1或x>3 【解析】 【分析】（1）先把A、B点坐标代入y=，求出m、n的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （2）根据该不等式的解集即为直线在双曲线下方时x的范围即可写出答案； 【详解】解：(1)∵点A(m,6),B(3,n)两点在反比例函数 (x>0)的图象上， ∴6m=3n=6， ∴m=1，n=2， ∴A(1,6),B(3,2). 又∵点A(m,6),B(3,n)两点在一次函数y=kx+b的图象上， ∴ 解得 则该一次函数的解析式为：y=−2x+8； (2)根据图象可知使成立的x的取值范围是0<x<1或x>3； 【点睛】考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键，注意数形结合思想在解题中的应用. 24. 如图，在中，∠，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．运动多少时间时，能使的面积为？ 【答案】运动秒时，能使的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t秒，则，由三角形的面积公式结合的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，则， 依题意，得：， 解得：， ∵， ∴， ∴． 答：运动秒时，能使的面积为． 25. 某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 【答案】（1）10%；（2）23． 【解析】 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价百分比）2”，列出方程，解方程即可得出结论； （2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”表示出总利润，再根据总利润不少于3210元，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%， 依题意得：400×（1﹣x%）2=324， 解得：x=10，或x=190（舍去）． 答：该种商品每次降价的百分率为10%． （2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件， 第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）； 第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）． 依题意得：60m+24×（100－m）=36m+2400≥3210， 解得：m≥22.5． ∴m≥23． 答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关于的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键． 26. 如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=ax﹢b的图象交于C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点．且一次函数图象交y轴于点A． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△COE的面积； （3）点M在x轴上移动，是否存在点M使△OCM为等腰三角形？若存在，请你直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的解析式为y=﹣x+1． （2）S△COE=S△AOE+S△AOC=×1×3+×1×4=3.5． （3）点M坐标为M1（8，0）或M2（5，0）或M3（﹣5，0）或M4（，0）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）点C（4，﹣3）坐标代入反比例函数y=即可求出k，C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点坐标代入y=ax+b解方程组即可求出a、b．由此即可解决问题． （2）先求出点A坐标，根据S△COE=S△AOE+S△AOC计算即可． （3）分三种情形①当CM=OC时，可得M1（8，0）．②当OC=OM时，可得M2（5，0），M3（﹣5，0）．②当MC=MO时，设M4（x，0），则有x2=（x﹣4）2+32，解方程即可． 试题解析：（1）∵反比例函数y=的图象经过点C（4，﹣3）， ∴﹣3=，∴k=﹣12，∴反比例函数解析式为y=﹣， ∵y=ax+b的图象经过C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点， ∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1． （2）∵一次函数的解析式为y=﹣x+1与y轴交于点A（0，1），∴S△COE=S△AOE+S△AOC=×1×3+×1×4=3.5． （3）如图，∵C（4，﹣3），∴OC==5， ①当CM=OC时，可得M1（8，0）．②当OC=OM时，可得M2（5，0），M3（﹣5，0）． ②当MC=MO时，设M4（x，0），则有x2=（x﹣4）2+32，解得x=，∴M4（，0）． 综上所述，点M坐标为M1（8，0）或M2（5，0）或M3（﹣5，0）或M4（，0）． 考点：反比例函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的判定和性质 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $